2021_2022学年新教材高中数学第2章函数复习课第2课时函数课后训练巩固提升含解析北师大版必修第

第2课时 函数
课后训练·巩固提升
1.已知幂函数f (x )的图象过点(2,√22),则f (8)的值为() A.√24B.√28
C.2√2
D.8√2
f (x )=x α. ∵函数f (x )的图象过点(2,√2
2),
∴√22=2α,∴α=-12,∴f (x )=x -12, ∴f (8)=8-12=√24
.
2.函数f (x )=√1-x +2
x 的定义域为()
A.(-∞,0)
B.(0,1]
C.(-∞,1]
D.(-∞,0)∪(0,1]
f (x )有意义,需有{1-x ≥0,x ≠0,
解得x ≤1,且x ≠0, ∴函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,1],故选D .
3.已知f (x )是一次函数,且f (x-1)=3x-5,则f (x )的解析式为()
A.f (x )=3x+2
B.f (x )=3x-2
C.f (x )=2x+3
D.f (x )=2x-3
f (x )=kx+b (k ≠0),
则f (x-1)=k (x-1)+b=3x-5,
即kx-k+b=3x-5,
∴{k =3,b -k =-5,解得k=3,b=-2,
∴f (x )=3x-2.
4.已知函数f (x )={x +1,x ≥1,4x,x <1,且f (x )=3,则x 的值是 ()
A.2
B.23
C.2或43
D.2或3
4
:
当x ≥1时,f (x )=x+1=3,得x=2,满足题意,
当x<1时,f (x )=4x=3,得x=3
4,满足题意.
综上可得,x 的值是2或3
4.
5.若函数f (x )=x 2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M-m 的值()
A.与a 有关,且与b 有关
B.与a 有关,但与b 无关
C.与a 无关,且与b 无关
D.与a 无关,但与b 有关
f (0)=b ,f (1)=1+a+b ,f (-a 2)=b-a 2
4中取,所以最值之差一定与b 无关,选B .
6.函数f (x )=√x+1
x 的定义域是.
{x +1≥0,x ≠0,得x ≥-1,且x ≠0.
∴函数f (x )=√x+1
x 的定义域为[-1,0)∪(0,+∞).
-1,0)∪(0,+∞)
7.设函数f(x)=(x+1)(x+a)
x
为奇函数,则a=.
f(x)=(x+1)(x+a)
x
为奇函数, 所以f(-x)=-f(x),
即(-x+1)(-x+a)
-x =(x+1)(x+a)
-x
,
整理,得(a+1)x=0,所以a+1=0,
得a=-1.
1
8.已知函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(3)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.
因为函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数,
则m2-2m+2=1,解得m=1,故f(x)=x-2.
(2)函数f(x)为偶函数.
证明如下:由(1)知f(x)=x-2,其定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 因为对于定义域内的任意x,都有
f(-x)=(-x)-2=1
(-x)2=1
x2
=x-2=f(x),
故函数f(x)=x-2为偶函数.
(3)f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
证明如下:在(0,+∞)上任取x1,x2,不妨设0<x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=x1-2−x2-2=1
x12−1
x22
=x22-x12
x12x22=(x2-x1)(x2+x1)
x12x22
,
∵x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
∴x2-x1>0,x2+x1>0,x12x22>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
1.函数y=f(x)与y=g(x)的图象如下图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是()
y=f(x)·g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集,即(-∞,0)∪(0,+∞),所以函数y=f(x)·g(x)的图象在x=0处是断开的,故可以排除C,D;由于当x为很小的正数时,f(x)>0,且g(x)<0,则f(x)·g(x)<0,可排除B,故选A.
2.若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是()
A.f(x)为奇函数
B.f(x)为偶函数
C.f(x)+1为奇函数
D.f(x)+1为偶函数
x1=x2=0,则有f(0)=f(0)+f(0)+1,
∴f(0)=-1,
令x1=x,x2=-x,则有f(0)=f(x)+f(-x)+1,
所以f(x)+1+f(-x)+1=0,
即f(-x)+1=-[f(x)+1],
∴f(x)+1为奇函数.
3.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,当x>0时,f(x)的图象如图所示,则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集是___________________.
f(x)为奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
故x[f(x)-f(-x)]=x[f(x)-(-f(x))]=2xf(x)<0,
由题图知,当x>0时,若0<x<3,f(x)<0,若x>3,f(x)>0.
又因为f(x)为奇函数,所以当x<-3时,f(x)<0,当-3<x<0时,f(x)>0.
而不等式2xf(x)<0可化为{x>0,
f(x)<0或{x<0,
f(x)>0,
于是有{x>0,
0<x<3,
或{x<0,
-3<x<0,
即0<x<3或-3<x<0,
故不等式的解集为(0,3)∪(-3,0).
∪(-3,0)
4.已知函数f(x)=ax
x2-1
(a≠0,x∈(-1,1)).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若a=1,求f(x)在区间[-1
2,1
2
]上的最大值和最小值.
设-1<x1<x2<1,
则f(x1)-f(x2)=ax1
x12-1−ax2
x22-1
=ax1x22-ax1-ax2x12+ax2
(x12-1)(x22-1)
=a(x2-x1)(x1x2+1)
(x12-1)(x22-1)
.
∵-1<x1<x2<1,
∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x12-1)(x22-1)>0,
∴当a>0时,f (x 1)-f (x 2)>0,
即f (x 1)>f (x 2),
∴f (x )在区间(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),
∴f (x )在区间(-1,1)上单调递增.
综上所述,当a>0时,f (x )在区间(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f (x )在区间(-1,1)上单调递增.
(2)当a=1时,f (x )=x
x 2-1,由(1)知f (x )在区间[-12,12
]上单调递减, 故f (x )的最大值为f (-12)=23,最小值为f (12)=-23.
5.已知一元二次函数f (x )的最小值为1,且f (0)=f (2)=3.
(1)求f (x )的解析式;
(2)若f (x )在区间[2a ,a+1]上不单调,求实数a 的取值范围;
(3)在区间[-1,1]上,y=f (x )的图象恒在函数y=2x+2m+1图象的上方,试确定实数m 的取值范围.
由题意设f (x )=a (x-1)2+1(a>0),
将点(0,3)的坐标代入,得a=2,
所以f (x )=2(x-1)2+1=2x 2-4x+3.
(2)由(1)知函数f (x )图象的对称轴为直线x=1,
所以2a<1<a+1,所以0<a<12.
即实数a 的取值范围为(0,12).
(3)f (x )-2x-2m-1=2x 2-6x-2m+2,
由题意得2x 2-6x-2m+2>0对于任意x ∈[-1,1]恒成立,
所以x 2-3x+1>m 对于任意x ∈[-1,1]恒成立.
令g (x )=x 2-3x+1,x ∈[-1,1],
则g(x)min=g(1)=-1,
所以m<-1,故实数m的取值范围为(-∞,-1).。