拉格朗日方程-刚体动力学-振动 习题课

T 3 1 m1 m2 x m2 L cos C x 2 2
m1 g m2 g
B
BUAA
刚体定点运动的角速度和角加速度
习 题 课
l
0

r
l 0
角速度 lim
0 lim l l 0 t 0 t t 0 t
L T 1 m R[(R r ) ] p R m0 R 2 0 2 1 1 1 2 2 2 T V m0 R m[( R r ) R ] m( R r )2 2 mg ( R r )cos E0 4 2 4 2

问题：在某瞬时刚体上哪些点的速度为零？
•瞬时转动轴(instant axis of rotation)：
在某瞬时，刚体上存在一根通过定点O的轴，在该
轴上各点的速度均为零，该轴称为瞬时转轴。 问题：如何确定定点运动刚体的瞬时转动轴？
12
BUAA
习 题 课
dv d ( r ) r v 2、加速度：a dt dt a aR a N
l'
其中： MO是作用于陀螺转子上的所有外力对O点之矩的矢量和， O点既可以是惯性参考系中的固定点，也可以是刚体的质心。 陀螺力矩：
M g J z '
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BUAA
习 题 课
6-4：具有固定顶点O的圆锥在水平面上作纯滚动，如图所示。 圆锥高CO=18cm，顶角，∠AOB=90o。圆锥面中心C作匀速 圆周运动，每秒绕行一周。试求圆锥的角速度和角加速度，并 求圆锥底面直径AB两端点A和B的速度和加速度。 z 圆锥绕O点作定点运动 绕铅垂轴的进动角速度ω1 绕OC轴的自转角速度ω2 圆锥的绝对角速度 ω ω ω1 ω2 x y
aR
aN
v
转动加速度 aR r 向轴加速度 a N v
r
o

求定点运动刚体上某一点的 加速度的基本步骤： 角速度
速 度
0 l
v r
0 1 2 角加速度 l0 l
13
BUAA
LO J x ' x ' i ' J y ' y ' j ' J z ' z ' k '
7
BUAA
vA
r A
习 题 课
T 3 1 m1 x m2 x m2 L cos C 系统的什么广义动量守恒？ x 2 2 研究圆盘： 研究整体：
x
A
F
m1 g
FN
rA d L LrA p px 0 x r dt r L m1 x m2 ( x cos ) 1 r 3 m x m x 1 m L cos C 2 p x LA 1 2 2 x F （1） P 2 2 r 3 1 1 1 L T V m1 x 2 m2 x 2 m2 L2 2 m2 xL cos m2 g (1 cos 8 )E 4 2 6 2 2
习 题 课
T 3 1 m1 x m2 x m2 L cos C x 2 2
（1）
x
A
（2）
x
A
3 m1 g m1 g m2 g 2
（1）
B
13 1 1 1 L 2 2 2 2 T V m1 x m2 x m2 L m2 xL cos m2 g (1 cos ) E 22 2 6 2 2 T 3 1 m x m x m2 L cos C （2） 1 2 x 2 2 3 1 1 1 L 2 2 2 2 T V m1 x m2 x m2 L m2 xL cos m2 g (1 cos 9 )E 4 2 6 2 2
vA
m1 g
FN
m2 g

c
vCA
B
Px mA x mAB vCx L m1 x m2 ( x cos ) 2
广义能量积分
保守系统，定常约束
1 1 1 1 L 2 2 2 2 T V m1 x m2 x m2 L m2 xL cos m2 g (1 cos ) E 2 2 6 2 2
O J l ' J z ' ( z ' ) L

Z’
O J l ' J z ' z ' J z ' L
J z '
陀螺近似理论公式：

dLO MO dt
M O J z '
BUAA
拉格朗日方程 刚体动力学 振动
习 题 课
BUAA
第二类拉格朗日方程的总结
对于具有完整理想约束的质点系，若系统的自由度为k， 则系统的动力学方程为： d L L Q 'j ( j 1,, k ) dt q j q j 其中：L T V T：为系统的动能，V：为系统的势能
BUAA
vA
习 题 课
例：图示机构在铅垂面内运动，滑块质量m1、均质杆质量m2，地
面光滑，杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统的首次积分。AB=L
解：系统的主动力均为有势力
分析系统的动能和势能
x
A
vC v A vCA 1 1 1 1 2 2 2 2 T m1 x m2 x m2 L m2 xL cos T ( x, , ) 2 2 6 2 L V m2 g (1 cos ) 2 , ) 中不显含广义坐标x和时间t , 拉格朗日函数 L T V L( x
3
BUAA
T
习 题 课
L T V 1 3 1 (2m m) R m( R r ) m( R r ) R mg ( R r ) cos 4 4 2 不显含广义坐标θ和时间t，存在循环积分和广义能量积分
2 2 2 2 0
1 1 2 1 1 2 2 m0 R 2 2 mv O ( mr ) 1 2 2 2 2 vO1 ( R r ) 1 ] R [( R r ) r 1 3 1 2 m( R r ) R T (2m0 m) R 2 2 m( R r ) 2 4 4 2 V mg ( R r ) cos
dLO M O ( F ( e) ) dt
习题课
z
定点运动刚体的欧拉动力学方程
z'
J x ' x ' ( J z ' J y ' ) y ' z ' M x ' J y ' y ' ( J x ' J z ' ) x ' z ' M y ' J z ' z ' ( J y ' J x ' ) x ' y ' M z '
3 1 1 1 2 2 2 2 T m1 x m2 x m2 L m2 xL cos T ( x, , ) 4 2 6 2 L V m2 g (1 cos ) 2 , ) 中不显含广义坐标x和时间t , 拉格朗日函数 L T V L( x
Px mA x mAB vCx
m2 g

c
vCA
B
FAy 1 1 2 L mA r A m1rx 2 2 rA Fr L r
rA L F （2） r
A
FAx
A
F
m1 g
FN
BUAA
T 1 m1 m2 x m2 L cos C x 2
瞬时转动轴：
l0
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BUAA
用欧拉角表示的角速度 { , ,} { , , }
习 题 课
z' z Fra bibliotek欧拉角
l k n k '
0

y'


y
上式两边除以t 0
n k k' z n z' 角加速度 d / dt
(t ) (t )l (t ) 0 1 2 l0 l
0
x


N
x'
节线
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BUAA
v lim 1、速 度：
习 题 课
r
r
定点运动刚体上点的速度和加速度
r r r t 0 t r v lim lim r r t 0 t t 0 t
x'
x
o
y
y'
其中：Ox’、Oy’、Oz’为刚体对 O点的惯量主轴（随体坐标轴）
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BUAA
利用陀螺的运动特性和机构特性
习 题 课
Z’
a
( , J z ' , J x ' J y ' J )

a x 'i 'y ' j ' ( z ' )k '
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ω1 2 k
BUAA
z
习 题 课
求绕OC轴的自转角速度ω2
OA为瞬轴，角速度为绝对角速度ω
vA 0
vC ω1 OC 18 2 j
x y
a aR a N aR r aN ω× ω×r
vB 2vC 36 2 j vB ω2 k= 2 2 k rBC ω ω1 ω2 2 k 2 2 k dω dk α 2 2 4 j dt dt
LO J x ' x ' i ' J y ' y ' j ' J z ' z ' k '
Lo J x 'x 'i ' J y 'y ' j ' J z ' (z ' )k '
J ( x ' i ' y ' j ' ) J z ' ( z ' )k ' J l ' l ' J z ' ( z ' )k '
Q'j ：为对应于广义坐标 q j 的非有势力的广义力
当系统为保守系统时，有：
1：若系统存在循环坐标 q ，则：
L T p const. q q
2：若系统的拉格朗日函数不显含时间t，则： T2 T0 V const.
2
BUAA
习 题 课
5-29：半径为r、质量为m的圆柱，沿半径为R、质量为m0的空 心圆柱内表面滚动而不滑动，如图所示。空心圆柱可绕自身的 水平轴O转动。圆柱对各自轴线的转动惯量为mr2/2和m0R2。 试求系统的首次积分。 问题： •系统有几个自由度？ •如何选取广义坐标？ •系统的Lagrange函数？ 系统有二个自由度，取 , 为 广义坐标。
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BUAA
vA
习 题 课
例：机构在铅垂面内运动，均质圆盘质量m1在地面上纯滚动，均 质杆AB质量m2用光滑铰链与圆盘连接。求系统首次积分。AB=L
解：系统的主动力均为有势力
分析系统的动能和势能
x
A
m1 g m2 g
c
vCA
B

1 1 1 1 2 2 2 2 T m1v A J A A m2vC J C AB 2 2 2 2 x vA x AB A r vC v A vCA
O J l ' dl ' J z ' ( z ' ) dk ' L dt dt
l'
y'
l' x' O
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BUAA
dl ' dk ' LO Jl ' J z ' (z ' ) dt dt
习 题 课
dl ' dk ' l ' , k ' dt dt
m1 g
m2 g

c
vCA
B

1 1 1 2 2 2 T m1v A m2 vC J C AB 2 2 2 vA x AB
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T 1 m1 m2 x m2 L cos C x 2
研究整体：
BUAA
习 题 课
系统的什么广义动量守恒？
x
A