高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(第一课时)导学案 新人

3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(第一课时)
[教材研读]
预习课本P128，思考以下问题
1．两角和的余弦公式是什么？与两角差的余弦公式有什么不同？
2．如何利用两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式？
[要点梳理]
1．两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，简记为C(α＋β)，其中α，β都是任意角．2．两角和与差的正弦公式
(1)两角和的正弦
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，简记为S(α＋β)，其中α，β都是任意角．(2)两角差的正弦
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，简记为S(α－β)，其中α，β都是任意角．[自我诊断]
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )
2．存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( )
3．对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( )
[答案] 1.√ 2.√ 3.×
题型一 给角求值问题
思考：比较cos(α－β)与sin(α＋β)之间有何区别和联系？利用诱导公式五(或六)可以实现正弦和余弦的互化，根据这种联系，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示sin(α＋β)及sin(α－β)的公式．
提示：sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos β＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－αsin β ＝sin αcos β＋cos αsin β.
即sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
从而sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]
＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)
＝sin αcos β－cos αsin β. 求值：(1)cos75°；
(2)sin(－15°)；
(3)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°
. [思路导引] (1)将75°写成30°＋45°，再利用两角和的余弦公式求解；(2)将－15°化为30°－45°，再利用两角差的正弦公式求解；(3)观察题目中出现的角的关系，把47°写成17°＋30°，然后运用公式求值．
[解] (1)cos75°＝cos(30°＋45°)
＝cos30°cos45°－sin30°sin45° ＝
32×22－12×22＝6－24. (2)sin(－15°)＝sin(30°－45°)
＝sin30°cos45°－cos30°sin45°
＝12×22－32×22＝2－64
. (3)原式＝sin (17°＋30°)－sin17°cos 30°cos 17°
＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17° ＝sin 30°＝12
.
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
【温馨提示】 在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．
[跟踪训练]
(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；
(2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x )．
[解] (1)原式＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°)
＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°
＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝12
. (2)原式＝s in[(54°－x )＋(36°＋x )]
＝sin90°＝1
题型二 给值求值问题
(1)已知sin α＝35，cos β＝－513
，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；
(2)已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35
，求cos2α与cos2β的值．
[思路导引] 对于(2)2α＝(α＋β)＋(α－β)与2β＝(α＋β)－(α－β)，先确定α－β及α＋β角范围，再求α－β的正弦值及α＋β的余弦值，最后代入公式求解．
[解] (1)(直接法)∵α为第一象限角，β为第二象限角，
sin α＝35，cos β＝－513，∴cos α＝45，sin β＝1213
， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋45×1213＝3365
， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－45×1213＝－6365
.
(2)(角的代换法)∵π2<β<α<3π4
， ∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2
. ∴sin(α－β)＝1－cos 2
(α－β) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513
， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β) ＝－
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45. ∴cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝－45×1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝－3365
， cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－45×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝－6365
.
给值求值的方法
(1)直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)角的代换：将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换．
常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，
α＝12[(α＋β)＋(α－β)]＝12
[(α＋β)－(β－α)]， α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2－β， α＋β＝(2α＋β)－α，
2α＝(α＋β)＋(α－β)，
2β＝(α＋β)－(α－β)等．
[跟踪训练]
已知0<α<π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1213，cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－45，求sin2α的值． [解] ∵0<α<π3，∴π6<α＋π6<π2
π3<α＋π3<2π3
， 又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1213，cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－45 ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
α＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35 而sin2α＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋2α ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－1213×35
＝5665
题型三 给值求角问题
思考：已知一个角的三角函数值能否确定这个角的大小？如何确定？
提示：不能．需要确定这个角所在象限．
设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( )
A.3π4
B.5π4
C.7π4
D.
5π4或7π4 [思路导引] 由角α、β的范围及角α的正弦，可求角α的余弦，由角β的余弦，可求得角β的正弦，再利用两角和的余弦公式求角，注意α＋β角的范围．
[解析] ∵α，β为钝角，sin α＝
55， ∴cos α＝－1－sin 2α
＝－1－⎝
⎛⎭⎪⎫552＝－255， 由cos β＝－31010
，得 sin β＝1－cos 2
β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－310102＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－31010－55×1010＝22.
又∵π<α＋β<2π，∴α＋β＝7π4
. 故选C.
[答案] C
(1)解答此类题目的步骤为：
第一步，求角的某一个三角函数值；
第二步，确定角所在的范围；
第三步，根据角的取值范围写出所求的角，至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内．
(2)选择求角的三角函数值的方法：
若角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数． [跟踪训练]
已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010
，求α＋β的值． [解] ∵α，β均为锐角，且sin α＝
55，cos β＝1010， ∴cos α＝1－sin 2α＝255
sin β＝1－cos 2
β＝31010 又∵0<α<π2，0<β<π2
.
∴0<α＋β<π.
∵cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010
＝
102＋15250＝22. ∴α＋β＝π
4
题型四 辅助角公式 化简：(1)2(cos x －sin x )；
(2)315sin x ＋35cos x .
[思路引导] 将a sin x ＋b cos x 化成a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)形式．
[解] (1)2(cos x －sin x )
＝2×2⎝
⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos π4cos x －sin π4sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋x . (2)315sin x ＋35cos x
＝65⎝
⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝65⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin π3sin x ＋cos π3cos x
＝65cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3.
辅助角公式及其运用
(1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2
sin(α＋φ)(或a sin α＋b cos α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
[跟踪训练]
求函数y ＝cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π3的最大值． [解] y ＝cos x ＋cos x cos π3－sin x sin π3
＝32cos x －32
sin x ＝3⎝
⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π6 当x ＋π6＝2kπ时，即x ＝2kπ－π6
，k ∈Z 时，函数有最大值为 3. 课堂归纳小结
1．本节课的重点是两角和与差的正弦、余弦公式，难点是公式的应用．
2．要掌握两角和与差的正弦、余弦公式的四个应用
(1)给角求值问题，见典例1；
(2)给值求值问题，见典例2；
(3)给值求角问题，见典例3；
(4)辅助角公式，见典例4；
3．本节课的易错点：解决给值(式)求角问题时，易忽视角的范围而造成解题错误.
1．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010
，则sin C 等于( ) A.255
B ．－255 C.55
D ．－55 [解析] ∵cos B ＝1010
，∴B 为锐角 ∴sin B ＝1－cos 2
B ＝31010. 又∵sin
C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )
＝sin π4cos B ＋cos π4
sin B ＝22×1010＋22×31010
＝
8520＝255 [答案] A
2．sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为( )
A ．－32
B ．－12 C.12 D.32
[解析] 原式＝sin45°cos15°＋cos(180°＋45°)sin15°
＝sin45°cos15°－cos45°sin15° ＝sin(45°－15°)＝sin30°＝12
[答案] C
3．sin(70°－x )cos(25°－x )－cos(70°－x )sin(155°＋x )＝________.
[解析] ∵(20°＋x )＋(70°－x )＝90°，
(25°－x )＋(155°＋x )＝180°，
∴原式＝cos(20°＋x )cos(25°－x )－cos[90°－(20°＋x )]·sin[180°－(25°－x )]
＝cos(20°＋x )cos(25°－x )－sin(20°＋x )sin(25°－x )
＝cos[(20°＋x )＋(25°－x )]＝cos45°＝
22. [答案] 22
4．sin π12－3cos π
12
＝________. [解析] 原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12. 解法一：原式＝2⎝
⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π
12 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4＝－ 2. 解法二：原式
＝2⎝
⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12 ＝－2⎝
⎛⎭⎪⎫cos π6cos π12－sin π6sin π12 ＝－2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2. [答案] － 2
5．函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．
[解析] f (x )＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)
∵|sin(x －φ)|≤1
∴f (x )max ＝1
[答案] 1。