山西省晋中市高一数学下学期期末试卷(含解析)

2016-2017学年山西省晋中市高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．已知集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x||x|≤2}，则集合A∩B=（）
A．（﹣4，2] B．（﹣1，2] C．[﹣2，﹣1）D．[﹣2，4）
2．下列不等式中，与不等式的解集相同的是（）
A．（x+4）（x2﹣2x+2）＞3 B．x+4＞3（x2﹣2x+2）
C． D．
3．现有10个数，它们能构成一个以2为首项，﹣2为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是（）
A．B．C．D．
4．已知递增等差数列{a n}的前n项和为S n，a3a5=45，S7=49，则数列的前n项和为（）
A．B．C．D．
5．如图是一个算法的流程图，则输出的a值为（）
A．511 B．1023 C．2047 D．4095
6．在△ABC中，若AB=4，AC=6，D为边BC的中点，O为△ABC的外心，则=（）A．13 B．24 C．26 D．52
7．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，则f=（）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．函数的零点个数为（）
A．5 B．6 C．7 D．9
9．若b＞a＞0，则的最小值为（）
A． B．3 C． D．2
10．已知函数f（x）=cos2x的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的
图象，若使|f（x1）﹣g（x2）|=2成立x1，x2的满足，则φ的值为（）
A．B．C．D．
11．已知数列{a n}满足：a n+1+（﹣1）n a n=n+2（n∈N*），则S20=（）
A．130 B．135 C．260 D．270
12．在平面四边形ABCD中，若AB=3，AC=4，cos∠CAB=，AD=4sin∠ACD，则BD的最大值为（）
A． B．4 C． D．5
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知角α的终边在直线y=3x上，则sin2α+sin2α= ．
14．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，S n为前n天两只老鼠打洞长度之和，则S n= 尺．
15．已知函数f（x）=ax2﹣2ax+b，当x∈[0，3]时，|f（x）|≤1恒成立，则2a+b的最大
值为．
16．在平面直角坐标系xoy中，角θ满足
，设点B是角θ终边上的一个动点，则的最小值为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．已知向量，函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若，且α为第一象限角，求cosα的值．
18．已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=（a，b+c），
．
（1）求角A；
（2）若a=3，求△ABC面积的取值范围．
19．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）（n∈N*）都在函数f（x）=
的图象上．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=a n•3n，求数列{b n}的前n项和T n．
20．为了测量山顶M的海拔高度，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M在同一个铅垂面内（如图）．能够测量的数据有俯角、飞机的高度和A，B两点间的距离．请你设计一个方案，包括：
（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
（2）用文字和公式写出计算山顶M海拔高度的步骤．
21．设函数f（x）=，a为常数，且a∈（0，1）．
（1）若x0满足f（x0）=x0，则称x0为f（x）的一阶周期点，证明函数f（x）有且只有两个一阶周期点；
（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，当a=时，求函数f（x）的二阶周期点．
22．已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N*．（1）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{b n}满足b n=，且b2=，证明：b1+b2+…+b n＞．
2016-2017学年山西省晋中市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．已知集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x||x|≤2}，则集合A∩B=（）
A．（﹣4，2] B．（﹣1，2] C．[﹣2，﹣1）D．[﹣2，4）
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】运用二次不等式和绝对值不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，即可得到所求．
【解答】解：集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，
B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，
则集合A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1，2]．
故选：B．
2．下列不等式中，与不等式的解集相同的是（）
A．（x+4）（x2﹣2x+2）＞3 B．x+4＞3（x2﹣2x+2）
C． D．
【考点】7E：其他不等式的解法．
【分析】判断出分母大于0，根据不等式的性质求出结论即可．
【解答】解：∵x2﹣2x+2＞0，
∴由不等式，
得：x+4＞3（x2﹣2x+2），
故选：B．
3．现有10个数，它们能构成一个以2为首项，﹣2为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】利用等比数列的性质列出这10个数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出结果．
【解答】解：现有10个数，它们能构成一个以2为首项，﹣2为公比的等比数列，
∴这10个数分别为2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，128，﹣256，512，﹣1024，
∴从这10个数中随机抽取一个数，
则它小于8的概率：p=．
故选：C．
4．已知递增等差数列{a n}的前n项和为S n，a3a5=45，S7=49，则数列的前n项和为（）
A．B．C．D．
【考点】8E：数列的求和．
【分析】通过设{a n}的公差为d，利用a3a5=45，S7=49，联立方程组，进而可求出第四项和公差，然后求解通项公式，化简数列的通项公式，裂项、并项相加求和即可．
【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，则由题意递增等差数列{a n}的前n项和为S n，a3a5=45，S7=49，知a4=7，
（7﹣d）（7+d）=45，即﹣d2=﹣4
解得d=2，
∴a n=7+（n﹣4）×2=2n﹣1．
（2）∵==（），
∴数列的前n项和为： =
=．
故选：D．
5．如图是一个算法的流程图，则输出的a值为（）
A．511 B．1023 C．2047 D．4095
【考点】EF：程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
a=1，n=1
执行循环体，a=3，n=2
不满足条件n＞10，执行循环体，a=7，n=3
不满足条件n＞10，执行循环体，a=15，n=4
不满足条件n＞10，执行循环体，a=31，n=5
不满足条件n＞10，执行循环体，a=63，n=6
不满足条件n＞10，执行循环体，a=127，n=7
不满足条件n＞10，执行循环体，a=255，n=8
不满足条件n＞10，执行循环体，a=511，n=9
不满足条件n＞10，执行循环体，a=1023，n=10
不满足条件n＞10，执行循环体，a=2047，n=11
满足条件n＞10，退出循环，输出a的值为2047．
故选：C．
6．在△ABC中，若AB=4，AC=6，D为边BC的中点，O为△ABC的外心，则=（）A．13 B．24 C．26 D．52
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】由已知把用表示，展开数量积，结合向量在向量方向上投影的概念得答案．
【解答】解：如图，
∵D为边BC的中点，∴，
又O为△ABC的外心，且AB=4，AC=6，
∴=
=．
故选：A．
7．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，则f=（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】3P：抽象函数及其应用．
【分析】运用赋值法，可得函数f（x）为周期为4的周期函数，且f（0）=0，求出f，f，代入函数的表达式求出函数值即可．
【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数，
又∵f（1+x）=f（1﹣x），
可得f（x+1）=﹣f（x﹣1），
即为f（x+2）=﹣f（x），
即有f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）为周期为4的周期函数，
∴f=f（1），
由当0＜x≤1时，f（x）=2x，
可得f（1）=2，
由f=f（0）=0，
则f=f（1）+f（0）=2．
故选：C．
8．函数的零点个数为（）
A．5 B．6 C．7 D．9
【考点】54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】利用诱导公式以及二倍角公式化简函数的解析式，考查两个函数的图象，频道零点个数即可．
【解答】解：函数
=2cosx（1﹣2sin2）﹣1﹣|lg（x+1）|
=2cos2x﹣1﹣|lg（x+1）|
=cos2x﹣|lg（x+1）|．
函数的零点，就是cos2x﹣|lg（x+1）|=0的根．
即：y=cos2x，与y=|lg（x+1）|解得的个数．
如图：
lg|3π+1|＞lg10=1，
两个函数的图象的交点有6个．
故选：B．
9．若b＞a＞0，则的最小值为（）
A． B．3 C． D．2
【考点】3H：函数的最值及其几何意义；7G：基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】化简所求表达式为的形式，利用换元法，转化求解最小值即可．
【解答】解：b＞a＞0，可得：，
则=，
令t=＞1，上式化为： =t﹣1+≥2=2，
当且仅当t=1+时取等号．
表达式的最小值为：2．
故选：C．
10．已知函数f（x）=cos2x的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的
图象，若使|f（x1）﹣g（x2）|=2成立x1，x2的满足，则φ的值为（）
A．B．C．D．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据三角函数的图象变换关系求出g（x），结合|f（x1）﹣g（x2）|=2成立x1，x2
的满足，建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：函数f（x）=cos2x的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，
则g（x）=cos2（x+φ）=cos（2x+2φ），
由|f（x1）﹣g（x2）|=2，得|cos2x1﹣cos（2x2+2φ）|=2，
则必有cos2x1=1且cos（2x2+2φ）=﹣1，或cos2x1=﹣1，cos（2x2+2φ）=1，
根据对称性不妨设cos2x1=1且cos（2x2+2φ）=﹣1，
则2x1=2k1π，2x2+2φ=2k2π+π，
即x1=k1π，x2=﹣φ+k2π，
则x1﹣x2=（k1﹣k2）π+φ﹣，
∵0＜φ＜，，
∴|x1﹣x2|=|（k1﹣k2）π+φ﹣|=|（k2﹣k1）π+﹣φ|，
则当k1=k2时，﹣φ=，即φ=，
故选：C．
11．已知数列{a n}满足：a n+1+（﹣1）n a n=n+2（n∈N*），则S20=（）
A．130 B．135 C．260 D．270
【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．
【分析】a n+1+（﹣1）n a n=n+2，n=1，2，3，可得：a2﹣a1=3，a3+a2=4，a4﹣a3=5．于是a3+a1=1，a2+a4=9，同理可得：a5+a7=a3+a1=1=a9+a11=a13+a15=a17+a19．a6+a8=17，a10+a12=25，a14+a16=33，a18+a20=41．即可得出．
【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n=n+2，
∴a2﹣a1=3，a3+a2=4，a4﹣a3=5．
可得a3+a1=1，a2+a4=9，
同理可得：a5+a7=a3+a1=1=a9+a11=a13+a15=a17+a19．
a6+a8=17，a10+a12=25，a14+a16=33，a18+a20=41．
∴{a n}的前20项和=（a1+a3）+…+（a17+a19）+（a2+a4）+（a6+a8）+…+（a18+a20）
=5+9+17+25+33+41=130．
故选：A．
12．在平面四边形ABCD中，若AB=3，AC=4，cos∠CAB=，AD=4sin∠ACD，则BD的最大值为（）
A． B．4 C． D．5
【考点】9V：向量在几何中的应用．
【分析】由AD=4sin∠ACD可知D在以AC为直径的圆上，求出OB和圆的半径即可得出答案．
【解答】解：设AC中点为O，连结OB，则AO=AC=2，
在△ABO中，由余弦定理得OB==3，
∵AD=4sin∠ACD=ACsin∠ACD，
∴AD⊥CD，
∴D位于以AC为直径的圆O上，
∴OD=AC=2，
∴当OBD三点共线时，BD取得最大值OB+OD=5．
故选D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知角α的终边在直线y=3x上，则sin2α+sin2α= ．
【考点】G9：任意角的三角函数的定义．
【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】解：∵角α的终边在直线y=3x上，∴tanα=3，
则sin2α+sin2α====，
故答案为：．
14．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对
穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，S n为前n天两只老鼠打洞长度之和，则
S n= 尺．
【考点】8E：数列的求和．
【分析】根据题意可知，大老鼠和小老鼠打洞的距离为等比数列，根据等比数列的前n项和公式，求得S n．
【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，
前n天打洞之和为=2n﹣1，
同理，小老鼠每天打洞的距离=2﹣，
∴Sn=2n﹣1+2﹣=，
故答案为：=．
15．已知函数f（x）=ax2﹣2ax+b，当x∈[0，3]时，|f（x）|≤1恒成立，则2a+b的最大值为 1 ．
【考点】3W：二次函数的性质．
【分析】通过讨论a的符号，得到f（x）的最小值和最大值，由恒成立思想可得a，b满足的条件，作出可行域，从而求出2a+b的最大值即可．
【解答】解：f（x）=ax2﹣2ax+b=a（x﹣1）2+b﹣a，
则函数的对称轴为x=1，最值为b﹣a，
当a＞0时，函数f（x）图象开口向上，
当x=1时，f（x）取最小值b﹣a，
当x=3时取最大值3a+b，
由|f（x）|≤1恒成立，即﹣1≤f（x）≤1在[0，3]恒成立，
可得﹣1≤b﹣a，且3a+b≤1，且a＞0，
作出点（a，b）满足的不等式组的可行域，如上图．
则z=2a+b过点（0，1）时，取得最大值1；
当a＜0时，函数f（x）图象开口向下，
当x=1时，f（x）取最大值b﹣a，
当x=3时取最小值3a+b，
由|f（x）|≤1恒成立，即﹣1≤f（x）≤1在[0，3]恒成立，
可得﹣1≤3a+b，且﹣a+b≤1，且a＜0，
作出点（a，b）满足的不等式组的可行域，如下图．
则z=2a+b过点（0，1）时，取得最大值1．
故答案为：1．
16．在平面直角坐标系xoy中，角θ满足
，设点B是角θ终边上的一个动点，则
的最小值为．
【考点】9V：向量在几何中的应用．
【分析】求出sinθ，cosθ，设OB=a，得出B点坐标，从而可得||关于a的表达式，利用二次函数的性质求出最小值．
【解答】解：方法1：sinθ=2sin cos=﹣，cosθ=cos2﹣sin2=，
设OB=a，则B（a，﹣ a），
∴=（12﹣，5+），
∴||===，
∴当a=时，||取得最小值=．
方法2：由方法1可知B点在射线3x+4y=0（x＞0），
∴的最小值为A到射线3x+4y=0（x＞0）的距离d==．
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．已知向量，函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若，且α为第一象限角，求cosα的值．
【考点】9R：平面向量数量积的运算；H5：正弦函数的单调性．
【分析】（1）利用向量数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过正弦函数的单调性求解即可．
（2）利用已知条件求解，判断相位的范围，利用两角和与差的余弦函数化简求解即可．
【解答】解：（1）向量，函数
．
=
=
=
=…
由…
得
所以函数f（x）的单调减区间为．…
（2）由=，得…
由α是第一象限角，得，
所以
所以…
所以
=．…
18．已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=（a，b+c），
．
（1）求角A；
（2）若a=3，求△ABC面积的取值范围．
【考点】HP：正弦定理．
【分析】（1）由，结合正弦定理，通过B=π﹣A﹣C，化简表达式利用两角和与差的三
角函数推出锐角求解A．
（2）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，结合B的范围，求解三角形的面积的范围即可．
【解答】解：（1）由，得…
由正弦定理得…
因为B=π﹣A﹣C
所以
所以
由于sinC≠0，所以…
由，得，故…
（2）由，得，…
所以
=…
由△ABC为锐角三角形，所以，得，
所以，，
故6＜bc≤9，…
又，
所以，△ABC面积的取值范围为．…
19．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）（n∈N*）都在函数f（x）=
的图象上．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=a n•3n，求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】8I：数列与函数的综合；8E：数列的求和．
【分析】（1）利用点与函数的关系，推出递推关系式，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和即可．
【解答】解：（1）由题可得
当n≥2时，
所以…
所以
所以（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0
因为a n＞0
所以a n﹣a n﹣1=2…
当n=1时，，所以
因为a1＞0，所以a1=5…
所以数列{a n}是以5为首项，2为公差的等差数列．
所以a n=5+2（n﹣1）=2n+3…
（2）由（1）可得…
…
所以
=…
=6﹣（2n+2）•3n+1…
所以…
20．为了测量山顶M的海拔高度，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M在同一个铅垂面内（如图）．能够测量的数据有俯角、飞机的高度和A，B两点间的距离．请你设计一个方案，包括：
（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
（2）用文字和公式写出计算山顶M海拔高度的步骤．
【考点】HU：解三角形的实际应用．
【分析】（1）A，B点到M点的俯角α，β，飞机的高度h，A，B两点的距离a，画出图形．（2）过点M作AB的垂线，垂足为N，第一步，在△ABM中，计算AM．第二步，在△AMN中，
计算MN．第三步，计算山顶M海拔高度：h﹣MN
【解答】解：（1）需测量的数据有：A，B点到M点的俯角α，β，飞机的高度h，A，B两点的距离a．…
（2）过点M作AB的垂线，垂足为N，
第一步，在△ABM中，计算AM．由正弦定理得，…
第二步，在△AMN中，计算MN．由锐角三角函数定义得MN=AMsinα…
第三步，计算山顶M海拔高度：h﹣MN．…
21．设函数f（x）=，a为常数，且a∈（0，1）．
（1）若x0满足f（x0）=x0，则称x0为f（x）的一阶周期点，证明函数f（x）有且只有两个一阶周期点；
（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，当a=时，求函数f（x）的二阶周期点．
【考点】5B：分段函数的应用．
【分析】（1）利用定义通过当0≤x≤a时，当a＜x≤1时，验证函数f（x）有且只有两个一阶周期点．
（2）当时，，推出，利
用函数的定义域，通过分段求解即可．
【解答】（1）证明：由题可得，当0≤x≤a时，，因为a∈（0，1），所以x=0；…
当a＜x≤1时，，因为a∈（0，1），所以x=，
所以函数f（x）有且只有两个一阶周期点．…
（2）解：当时，
所以…
当时，由4x=x，解得x=0，
因为f（0）=0，故x=0不是f（x）的二阶周期点；…
当时，由2﹣4x=x，解得，
因为，故是f（x）的二阶周期点；…
当时，由4x﹣2=x，解得，
因为，故不是f（x）的二阶周期点；…
当时，由4﹣4x=x，解得，
因为，故是f（x）的二阶周期点；…
综上，当时，函数f（x）的二阶周期点为x1=，x2=．…
22．已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N*．（1）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{b n}满足b n=，且b2=，证明：b1+b2+…+b n＞．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（1）由已知，S n+1=qS n+1，S n+2=qS n+1+1，两式相减，得到a n+2=qa n+1（n≥1），即数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列，求出q即可．
（2）可得q=，即，于是b1+b2+…+b n＞1+q+q2+…+q n﹣1=
==．
【解答】解：（1）由已知，S n+1=qS n+1，S n+2=qS n+1+1，两式相减，得到a n+2=qa n+1（n≥1）．
又由S2=qS1+1，得到a2=qa1．
故a n+1=qa n对所有n≥1都成立．
所以数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列，从而．…
由2a2，a3，a2+2成等差数列，可得2a3=3a2+2，即2q2=3q+2．
则（2q+1）（q﹣2）=0．
由已知，q＞0，故q=2．…
所以．…
（2）由（1）知，a n=q n﹣1．
b n=．…
由，q＞0解得q=．…
因为1+q2（n﹣1）＞q2（n﹣1）所以…
于是b1+b2+…+b n＞1+q+q2+…+q n﹣1===
故b1+b2+…+b n＞．…。