湖北省沙市中学高三数学下学期第四次半月考(一模)试题理(无答案)

1
2015—2016学年下学期高三年级
第四次半月考理数试卷
考试时间：2016年5月5日
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1、已知集合}9log |{},0124|{3
12>=<-+=x x B x x x A ，则B A ⋂等于
A 、)2,3
1
(- B 、（-2，3） C 、（-2，2） D 、（-6，-2） 2、已知复数i
ai
Z 21510--=
的实部与虚部之和为4，则复数Z 在复平面上对应的点在
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限 3、已知)6
cos()42
(cos 2
π
π
+=+
x x ，则x cos 等于 A 、
33 B 、3
3
- C 、31 D 、31-
4、已知向量与的夹角为︒60，5||,2||==，则在-2方向上的投影为 A 、
23 B 、2 C 、2
5
D 、3 5、如果实数y x ,满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-+≥+-0
10220
1x y x y x ，则y x Z 3221+-=的最大值为
A 、1
B 、
43 C 、0 D 、7
4 6、已知435
52
2105
)1()1()1()21(a a x a x a x a a x ++++++++=-，则
A 、0
B 、-240
C 、-480
D 、960 7、执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的
A 、5),4,2(的值为
输出i a ∈∀ B 、5),5,4(的值为输出i a ∈∃ C 、5),4,3(的值为
输出i a ∈∀ D 、5),4,2(的值为输出i a ∈∃
2
8、已知函数)3sin(sin 2)(ϕ+=x x x f 是奇函数，其中)2
,0(π
ϕ∈，则函数)2cos()(ϕ-=x x g 的图像
A 、对称关于点)0,12
(
π
B 、可由函数)(x f 的图像向右平移
3π
个单位得到 C 、可由函数)(x f 的图像向左平移6π个单位得到 D 、可由函数)(x f 的图像向左平移3
π
个单位得到
9、已知函数)(x f 的定义域为R ，对任意1)1(1)
()(,2
12121=->--<f x x x f x f x x ，且有
，则不等式
|13|log 2|)13|(log 22--<-x x f 的解集为
A 、)0,(-∞
B 、)1,(-∞
C 、)3,0()0,1(⋃-
D 、)1,0()0,(⋃-∞ 10、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A 、
314 B 、5 C 、3
16 D 、6 11、已知点A 是抛物线2222)4(:)0(2:a y x C p px y M =-+>=与圆在
第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离为a 。

若抛物线M 上的一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，O 为坐标原点，则直线OA 被圆C 所截得的弦长为 A 、2 B 、32 C 、
327 D 、6
2
7 12、已知函数2
7
21ln )(,174)(22+-=+++-
=x x x g x x x x f ，实数b a ,满足1-<<b a ，若),0(],,[21+∞∈∃∈∀x b a x ，使得)()(21x g x f =成立，则a b -的最大值为
A 、2
B 、32
C 、22
D 、3 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13、甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙能达标的概率分别为
5
3
,32,43，则三人中有人达标但没有全部达标的概率为 。

14、过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点作与x 轴垂直的直线l ，直线l 与双曲线交于A,B 两点，
与双曲线的渐近线交于C,D 两点，若3|AB|=2|CD|，则双曲线的离心率为 。

3
15、在四棱锥P-A BCD 中，ABCD PB 底面⊥，底面ABCD 是边长为2的正方形，若直线PC 与平面PDB
所成角为︒30，则四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积为 。

16.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，对一切*n N ∈，都有1
n n n
a b a +=，则数列{}n b 的通项公式为 . 三、解答题。

17．（本小题满分12分）
已知函数222
(sin cos )1
()cos sin x x f x x x
+-=-
，方程()f x =(0,)+∞上的解按从小到大的顺序排成数列{}n a (*)n N ∈．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2
3(41)(32)
n
n a b n n =
--，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的表达式． 18．（本小题满分12分）
某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测。

检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂。

现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：
分（Ⅰ）试分别估计产品甲，乙下生产线时为合格品的概率；
（Ⅱ）生产一件产品甲，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件产品乙，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元.在（Ⅰ）的前提下：
（1）记X 为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）求生产5件乙所获得的利润不少于300元的概率. 19．（本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，
∠BCD ＝120°，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥ 平面ABCD ，BF ＝1．
（Ⅰ）求证：AD ⊥平面BFED ；
（Ⅱ）点P 在线段EF 上运动，设平面PAB 与平面ADE
所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．
4
20、（12分）已知右焦点为F 的椭圆)3(13222>=+a y a x 与直线7
3
=y 相交于P 、Q 两点，且QF PF ⊥
（1）求椭圆M 的方程；
（2）O 为坐标原点，A,B,C 是椭圆E 上不同的三点，并且O 为△ABC 的重心，试探究 △ABC 的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。

21、已知函数R a x x x e b a bx ax x f x
∈++---++=),22)(1(2
1
)()(22
，且曲线x x f y 与)(=轴相切于原点O.
（1）求实数b a ,的值； （2）若0)()(2≥-+∙n mx x x f 恒成立，求n m +的值。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B
铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，正方形ABCD 边长为2，以A 为圆心、DA 为半径的 圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结BF 并延长交 CD 于点E ．
（Ⅰ）求证：E 为CD 的中点； （Ⅱ）求EF ·FB 的值． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：2
2
(1)1x y －＋＝．直线l 经过点P （m ，0），且倾斜角为6
π
．以O
为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且｜PA ｜·｜PB ｜＝1，求实数m 的值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝｜x ＋6｜－｜m －x ｜（m ∈R ）． （Ⅰ）当m ＝3时，求不等式f （x ）≥5的解集；
（Ⅱ）若不等式f （x ）≤7对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．。