高三北师大理科数学一轮复习课时作业等比数列A

课时作业(二十九)A [第29讲 等比数列]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身 1．[2011·深圳一模] 设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( )
A.n [(－1)n －1]2
B.(－1)n －
1＋12
C.(－1)n ＋12
D.(－1)n －12
2．[2011·泉州质检] 等比数列{a n }中，a 2＝3，a 7·a 10＝36，则a 15＝( ) A ．12 B ．－12 C ．6 D ．－6
3．[2011·沈阳二模] 设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4
a 3
的值为( )
A.154
B.152
C.74
D.72 4．[2011·广东卷] 已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.
能力提升 5．[2011·厦门质检] 已知等比数列{a n }中，a 3＝2，其前n 项的积T n ＝a 1a 2…a n ，则T 5
等于( )
A ．8
B ．10
C ．16
D ．32 6．[2011·开封二模] 设数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 5，a 13成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )
A.n 24＋7n 4
B.n 23＋5n 3
C.n 22＋3n
4
D ．n 2＋n 7．甲、乙两间工厂的月产值在2012年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小，则有( )
A ．甲的产值小于乙的产值
B ．甲的产值等于乙的产值
C ．甲的产值大于乙的产值
D ．不能确定 8．[2011·合肥三模] 已知各项均为实数的数列{a n }为等比数列，且满足a 1＋a 2＝12，a 2a 4＝1，则a 1＝( )
A ．9或116 B.1
9或16
C.19或1
16
D ．9或16 9．若数列{a n }满足a n ＋2a n ＋1＋a n ＋1
a n
＝k (k 为常数)，则称数列{a n }为等比和数列，k 称为公比
和．已知数列{a n }是以3为公比和的等比和数列，其中a 1＝1，a 2＝2，则a 2012＝________.
10．[2011·北京卷] 在等比数列{a n }中，若a 1＝1
2
，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|
＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.
11．[2011·莱芜模拟] 在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝3116，a 3＝14，则1a 1＋1
a 2
＋…
＋1
a5＝________.
12．(13分)[2011·济南二模] 设数列{a n}是一等差数列，数列{b n}的前n项和为S n＝
2
3(b n
－1)，若a2＝b1，a5＝b2.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)求数列{b n}的前n项和S n.
难点突破
13．(12分)[2011·安徽卷] 在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作T n，再令a n＝lg T n，n≥1.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n＝tan a n·tan a n＋1，求数列{b n}的前n项和S n.
课时作业(二十九)A
【基础热身】
1．D [解析] 由已知，数列{(－1)n }是首项与公比均为－1的等比数列，其前n 项和为
S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)
＝(－1)n －12.
2．A [解析] 由等比数列的性质，有a 2·a 15＝a 7·a 10＝36，则a 15＝36
a 2
＝12.
3．A [解析] 在等比数列{a n }中，S 4＝a 1(1－24
)1－2
＝15a 1，a 3＝a 1·22＝4a 1，则S 4a 3＝15
4.
4．2 [解析] 因为{a n }为等比数列，所以a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝4，即2q 2－2q ＝4， 所以q 2－q －2＝0，解得q ＝－1或q ＝2， 又{a n }是递增等比数列，所以q ＝2. 【能力提升】
5．D [解析] 由a 3＝2，得T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝25
＝32. 6．A [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 5＝a 1＋4d ，a 13＝a 1＋12d ，
由a 1，a 5，a 13成等比数列，得a 25＝a 1a 13
， 即(a 1＋4d)2
＝a 1(a 1＋12d)， 化简，得4d 2－a 1d ＝0， ∵a 1＝2，d ≠0，
∴d ＝1
2，S n ＝2n ＋n (n －1)2×12＝n 24＋7n 4
.
7．C [解析] 设甲各个月份的产值为数列{a n }，乙各个月份的产值为数列{b n }，则数列
{a n }为等差数列、数列{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，a 11＝b 11，故a 6＝a 1＋a 11
2
≥a 1a 11＝b 1b 11
＝b 26＝b 6.由于等差数列{a n }的公差不等于0，故a 1≠a 11，上面的等号不能成立，故a 6>b 6.
8．D [解析] 由已知得a 23＝1，所以a 3＝1或a 3＝－1，设公比为q ，则有a 3q 2＋a 3
q
＝12， 当a 3＝1时，解得q ＝13或q ＝－1
4，此时a 1＝9或16；
当a 3＝－1时，－1q 2＋－1
q
＝12无解．
9．21006 [解析] 据题意可推知此数列为1,2,2,4,4,8,8,16,16，…，其奇数项为1,2,4,8，…，
偶数项为2,4,8,16，…，所以a 2012＝2×21006－
1＝21006.
10．－2 2n －
1－12 [解析] 由a 4＝a 1q 3＝12
q 3＝－4，可得q ＝－2；因此，数列{|a n |}是首
项为12，公比为2的等比数列，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝1
2(1－2n )1－2
＝2n －
1－12.
11．31 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 2＋…＋a 5＝31
16
，得
a 1(1＋q ＋…＋q 4)＝31
16
，
由a 3＝14，得a 1q 2＝14，则a 21q 4＝116
， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 5＝1a 1⎝⎛⎭⎫1＋1
q ＋…＋1q 4＝a 1(1＋q ＋…＋q 4)a 21q
4＝31. 12．[解答] (1)∵S 1＝2
3
(b 1－1)＝b 1，∴b 1＝－2.
又S 2＝2
3
(b 2－1)＝b 1＋b 2＝－2＋b 2，
∴b 2＝4，∴a 2＝－2，a 5＝4.
∵{a n }为一等差数列，∴公差d ＝a 5－a 23＝6
3
＝2，
即a n ＝－2＋(n －2)·2＝2n －6.
(2)∵S n ＋1＝23(b n ＋1－1)①，S n ＝2
3
(b n －1)②，
①－②得S n ＋1－S n ＝2
3
(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，∴b n ＋1＝－2b n ，
∴数列{b n }是一等比数列，公比q ＝－2，b 1＝－2， 即b n ＝(－2)n .
∴S n ＝2
3
[(－2)n －1]．
【难点突破】
13．[解答] (1)设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则 T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2，① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1，②
①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得
T 2n ＝(t 1t n ＋2)·
(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝102(n ＋2)． ∴a n ＝lg T n ＝n ＋2，n ∈N *.
(2)由题意和(1)中计算结果，知 b n ＝tan(n ＋2)·tan(n ＋3)，n ≥1， 另一方面，利用
tan1＝tan[(k ＋1)－k ]＝tan (k ＋1)－tan k
1＋tan (k ＋1)·tan k ，
得tan(k ＋1)·tan k ＝tan (k ＋1)－tan k
tan1－1.
所以S n ＝∑k ＝1
n
b k ＝∑k ＝3
n ＋2
tan(k ＋1)·tan k
＝∑k ＝3
n ＋2
⎣⎡⎦⎤
tan (k ＋1)－tan k tan1－1
＝tan (n ＋3)－tan3
tan1
－n .。