静电场2.6-2.7电气

2 3
3 2 0 0 x x
y
d 2 d 2
d 在x 处 : 2
1 2
1 2 0 0 x x
o
x
I
1 A1 x B1
II
III
d A1 2 0
d A3 2 0 d 2 B1 B3 8 0
2
0
0

r a 边界条件：
1 (r ) 2 (r ) 0
1 (r ) 2 (r ) 0
C1 1 (r ) C2 r C1 2 (r ) C2 r
r
1 1 2 r r 2 1 2 r r
本节重点
1、电容的计算；
在圆柱坐标系中：
1 1 2 2 (r ) 2 2 r r r r z 2
b 2
a
由于电荷分布关于柱对称，因此 1 2 (r )0 电位、电场分布也关于柱对称。 r r r 即电位仅随r的变化而变化。
1 (r )0 r r r
设有一与电源相连接的带电体系统，假设有某一 带电体在电场力作用下产生了一个小位移（此位移 是假想的，因此称虚位移），这是电场力对它做功 所致。根据能量守恒定律： 电场力所做的功+电场能量的增量=外电源提供 的能量，即： f dg dWe dW
2
C1、C2为积分常数，由边界条件确定。 外导体接地，内 导体电位为 U
C1 r r
C1 dr C1 ln r C2 r
由题意知： r a时， U；r b时，U 0
代入下式： C ln r C 1 2
U U C1 ln a ln b ln a 解方程得： b
1 We 0 E 2 dV 2 V
电场强度表示 的电场能量
例2-19 半径为R 的导体球上带电量为q，试计算空 间（ε0）中的静电能量。 ρ
解： 两种方法： W 1 E 2 dV e V 0 2 q E 1 n We qi i 4 0 r 2
2
i 1
R r
1 q q2 （ ）We 0 ( 1 ) 2 4r 2 dr 2 R 2 4 0 r 8 0 R 导体球上的电位： q q E dr dr 2 R R 4 r 4 0 R 0
U ln b C2 U C1 ln a a ln b
U C1 ln a C2 0 C1 ln b C2
C1 ln r C2
r U U ln b U ln b ln r a a a ln ln ln b b b
E ?
b
a
E
1 2 1 1 2 2 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 r r r r sin r sin 2
1.平面对称场 当电荷呈平面对称分布，且导体表面、介质分界面 与电荷对称平面平行时，空间电位分布的等位面也是 一族相互平行的平面，这种场称为平面对称场。 例2-16 有一厚度为 d ，体密度为 的均匀带电无限大 平板，求空间I，II，III，区域内的 与 E 分布
2、分界面上的边界条件； 3、利用分界面上的边界条件分析问题； 4、应用泊松方程和拉普拉斯方程计算 电场
作业：P64 2-17
2.7 静电场的能量与力 静电场中的电荷受电场力的作用，如果电场力移动 电荷，说明电场力做功。可见，静电场中储存着能量。
把静电场中储存的能量称为静电能量。 各点电荷或各 2.7.1 点电荷系的能量 导体的电位 N 1 N个点电荷的静电 We qi i N个导体的静电场 场中储存的能量: i 1 2 中储存的能量 对于电荷连续分布的系统:
2 2 x 2 0
d d 2 3 x 2 0 8 0
E
2 ˆ E2 x ˆ xx x 0
d 3 ˆ ˆ E3 x x x 2 0
2.柱面对称场
当电荷呈柱面对称分布，且导体表面、介质分 界面都是共轴柱面时，空间电位分布的等位面是 一族共轴的圆柱面，这种场称为柱面对称场。
2.6.1 泊松方程与拉普拉斯方程的导出
由真空中微分形式的高斯定律 真空中没有极化 E 电荷， 0
E 代入上式得：
f
( ) 0
0
2
数学上，将 表示为
在无源区，
2
真空中的泊松方程
0 ，变为：
0
E2
x 0
2
x 0
x 0
d 2 dx
x 0
0
o I II III
x
d 2 dx
( x A2 ) x 0 0 0
A2 0
在 x
d 处，应有电位和电位的法向导数连续。 2
d 在 x 处，应有电位和电位的法向导数连续。 2
d 在x 处 : 2
V

1 dV 2
0
0 E
则：
We
0
2
E
V
2
dV
0
2
E dS
s
此时，如果把积 分空间取得无限 大，结果会怎样？
0
此式说明，电能量存在于在 E 0 的所有空间， 而不是只存在于电荷所在的空间。
1 2 We 0 E dV 2 V
3 A3 x B3
x III
根据边界条件确定积分常数
根据边界条件确定积分常数 首先选 x 0处为电位参考点
1 A1 x B1
2 2 x A2 x B2 2 0
x 0， 2 0
B2 0
3 A3 x B3
y
d 2 d 2
电荷是关于 x 0 的平面对称分布 的，电荷在此平面上产生的电场相 互抵消，在 x 0 处：
圆柱坐标系中
电场分布也关于柱对称。即 电场仅随r的变化而变化
ˆ ˆ ˆ r z r z
r U r U ˆ ˆ ˆ E r a b r ln r ln r b a
3.球面对称场
当电荷呈球面对称分布，且导体表面、介质分 界面都是同心球面时，空间电位分布的等位面是 一族同心球面，这种场称为球面对称场。
d d 2 x 2 0 8 0
E ?
2 2 x 2 x A2 x B2 2 0 2 0
3 A3 x B3
d d 2 x 2 0 8 0
d d 1 x 2 0 8 0
2
1 d ˆ ˆ E1 x x x 2 0
2.6 泊松方程与拉普拉斯方程
前面我们所介绍的计算电场或电位问题的方法 有两种：积分公式法和高斯法。这些方法都是在 已知电荷分布求的情况下使用。但实际情况往往 是电荷的分布不知道。
即使给出了电荷分布，通过积分运算也不是很 容易求出其解。
寻找另一条途径，即求解电位
的微分方程。
求解电场、电位的另一种行之有效的方法就是 泊松方程法。
2
真空中的拉普拉斯方程
按照同样的方法可导出介质中的泊松方程和 拉普拉斯方程 由介质中微分形式的高斯定律
D f
E 代入上式得：
在无源区， f
D E
f E

f ( )
0 ，变为：
f
2
介质中的泊松方程
S ˆ n S dS dF dqE E S dS
2 0
单位面积上受到的力的大小为：
dF S 1 f 0 E 2 we dS 2 0 2
2.9.4 作用在电介质上的作用力 略
2.9.5 虚位移法
前面讨论了作用在导体上的作用力，本质上是按照 库仑定律或电场强度的定义来计算的。还可从能量守 恒出发，采用虚位移概念导出更简便的计算方法。
0
2
介质中的拉普拉斯方程
泊松方程

2
拉普拉斯方程
0
2
2 2 2 在直角坐标系下： 2 2 2 2 x y z
在柱坐标系下：
在球坐标系下：
1 1 2 2 2 (r ) 2 2 2 r r r r z
解：导体球周围的电场分布呈球对称分布 上、下半空间中任一点处的电位分别为
1 (r )、2 (r )
21 (r ) 0 2 2 (r ) 0
1 2 1 1 (r ) (r )0 r r r 1 2 2 2 2 (r ) (r )0 r r r
若取圆柱坐标系，电位只是变量r的函数，也可 用直接积分法求解
例2-17 同轴传输线的内导体半径r=a，外导体的内半径r=b，传 输线长度远大于半径，外导体接地，内导体电位为U， 如图所示。试求同轴传输线介质中的电位和电场分布。 解：介质区域内无电荷分布，因此介质 中的电位分布满足拉普拉斯方程：
2 0
若取球坐标系，电位只是变量r的函数，也可用 直接积分法求解
例2-18
用泊松方程法求解例2-14。
a0 一金属球半径为a，位于两种不同媒质的分界 1 (r ) r a C2 C2 0 r 0 ，求上、下半空间中 面上，导体球电位为 a0 a 0 C1 C1 2 (r ) r 任一点处的电位。 r
解：三个区域内的电位分别满足：
d 21 1 0 2 dx d 2 2 2 2 dx 2 0
2
y
d 2 d 2
解分别为：
d 2 3 2 3 0 2 dx
2 2 x A2 x B2 2 0
1 A1 x B1