高考数学大题狂练系列(第01期)命题角度7.3极坐标与参数方程的综合应用(文理通用)(2021学年)

２0１8年高考数学大题狂练系列（第0１期）命题角度7.3 极坐标与参数方程的综合应用（文理通用)
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角度７。

3 极坐标与参数方程的综合应用
1。

在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,若直线l 的参数方程为0{
x tcos y y tsin α
α
==+(t 为参数, α为l 的倾斜角),曲线E 的极坐标方程为4sin ρθ=,
射线θβ=， 4
π
θβ=+
, 4
π
θβ=-
与曲线E 分别交于不同于极点的三点,,A B C 。

(1）求证: =2|OA|OB OC +; （2）当7=
12
π
β时,直线l 过,B C 两点,求0y 与α的值. 【答案】(Ｉ) 见解析;（I Ｉ） 02y =, 6
π
α=
.
试题解析：(I)证明:依题意, 4sin OA β=， 4sin 4OB πβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 4sin 4OC πβ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭,
则4sin 4sin 42sin 244OB OC OA ππβββ⎛⎫⎛
⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
（II ） 解：当712
π
β=
时, B 点的极坐标为7754sin ,2,1241246
πππππ
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭, C 点的极坐标为774sin ,23,1241243πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭,
化为直角坐标，即()
3,1B , (
)
3,3C
,
则直线l 的方程为3230x y +， 所以02y =, 6
π
α=
.
２.已知直线l 在直角坐标系xOy 中的参数方程为{
(x a tcos t y tsin θ
θ
=+=为参数， θ为倾斜角),以坐标
原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,在极坐标系中，曲线的方程为
2cos 4cos 0ρρθθ--=.
（1）写出曲线C 的直角坐标方程；
（2）点(),0Q a ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求使22
11
||||QA QB +
为定值的a 值. 【答案】（１)24y x = (２) 1
4
试题解析:(1）∵ρ﹣ρcos 2θ﹣４c ｏｓθ=0,∴ρ2﹣ρ2ｃos 2
θ﹣4ρcｏsθ=0, ∴x 2
+ｙ2
﹣x 2
﹣4x=０,即y 2
=4x. (2）把为{
x a tcos y tsin θθ
=+=（t 为参数,θ为倾斜角)代入y ２
=4x 得:
sin 2
θ•t 2
﹣4ｃo ｓθ•t﹣4a=0， ∴t 1+t ２＝
24cos sin θθ ,t 1t 2=2
4sin a
θ
- , ∴()2
2212
11
222
222
2
12
12
2111116cos 8sin ||||16t t t t a QA QB t t t t a
θθ+-++=+== ∴当ａ=２时,为定值1
4
． 3。

已知直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极
坐标系中,曲线的极坐标方程为。

(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程(化为标准方程)；
(２)设直线与曲线交于两点，求。

【答案】(1)
；(2）2。

【解析】解:(1）直线的普通方程为即,
曲线的直角坐标方程是,
即。

4.已知[)0,απ∈，在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为,{
x tcos y tsin αα
==（t 为参数）；在以坐标
原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线2l 的极坐标方程是
()cos 2sin 6πρθαα⎛
⎫
-=+ ⎪⎝
⎭。

(Ⅰ）求证： 12l l ⊥;
（Ⅱ)设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
， P 为直线1l ， 2l 的交点，求OP AP ⋅的最大值.
【答案】(１）详解解析；（2）2 【解析】试题分析:
（1)利用题意由直线一般方程的系数关系可得两直线垂直；
(2）由题意求得点P 到直线OA 的距离为d 的最大值即可得OP AP ⋅的最大值为2。

试题解析：
(Ⅰ)易知直线1l 的普通方程为： sin cos 0x y αα-=.
(Ⅱ)当2ρ=, 3π
θ=
时, ()cos ρθα-= 2cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 2sin 6πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭, 所以点2,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线()cos 2sin 6πρθαα⎛
⎫-=+ ⎪⎝⎭上。

设点P 到直线OA 的距离为d ，由12l l ⊥可知, d 的最大值为12
OA =.
于是OP AP d ⋅= 22OA d ⋅=≤, 所以OP AP ⋅的最大值为2．
5。

已知圆()()2
2
1:228C x y -+-=和直线3
:0l x y +
=。

(Ⅰ)求1C 的参数方程以及圆1C 上距离直线l 最远的点P 坐标；
（Ⅱ)以坐标原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,将圆1C 上除点O 以外所有点绕着O 逆时针旋转
3
π
得到曲线2C ,求曲线2C 的极坐标方程。

【答案】(1）(26,22P +(2）=42sin 12πρθ⎛
⎫-' ⎝
'⎪⎭
【解析】试题分析：(Ⅰ）根据00{x x rsin y y rcos θ
θ
=+=+可得1C 圆的参数方程,由直线的位置可得当30α=︒
时,圆
1C 上的点距离直线l 最远，即可得点P 坐标；
（Ⅱ)得1C 的极坐标方程为42sin 4πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭,该变换为
={=3
ρρπθθ'+'，
，
，由相关点法可得结果.
６。

已知曲线C 的参数方程为12{12x cos y sin θ
θ
=-+=+(θ为参数）．以原点O 为极点, x 轴的非负半轴为
极轴建立极坐标系．
（Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程;
（Ⅱ)若直线l: [)()0,,R θααπρ=∈∈与曲线C 相交于Ａ、B 两点,设线段AB 的中点为M,求OM 的最大值.
【答案】（Ⅰ)22cos 2sin 20ρρθρθ+--=;（Ⅱ） 2.
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用cos ?sin x y ρθρθ==，求极坐标方程即可； （Ⅱ)设()1,A ρα、()2,B ρα，则12
2
OM ρρ+=
,联立θα=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=即可。

解法2:由(Ｉ）知曲线Ｃ是以点P ()1,1-为圆心,以2为半径的圆,在直角坐标系中,直线l 的方程为tan y x α=⋅，则2
1tan 1tan PM αα
+=
+，
∵2
22221tan ||||21tan OM OP PM αα+=-=-+ 22tan 11tan α
α=-+，
当,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时， tan 0α<, 21tan 2tan αα+≥, 22
2tan ||121tan OM αα=+≤+,当且仅当tan 1α=-,即34
π
α=
时取等号, ∴2OM ≤，即OM 的最大值为2． 7．平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1{
31
x t y t =+=+(t 为参数),以原点为极点， x 轴正半轴
为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θ
ρθ
=
-．
（１）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；
(２)已知与直线l 平行的直线l '过点()2,0M ,且与曲线C 交于,A B 两点，试求AB ． 【答案】（１）3cos sin 310ρθρθ--+=, 22y x =;(２）
813
3
．
（2）直线l 的倾斜角为
3π, ∴直线l '的倾斜角也为3
π
,又直线l '过点()2,0M ，
∴直线l '的参数方程为122
{3x t y '
+='
=(t '为参数),
将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=, 设点A B 、对应的参数分别为1
2,t t ''．
由一元二次方程的根与系数的关系知12
12
164
,33
t t t t =-+''='', ∴()2
2
2212
121241648131?1?42333AB k t t k t t t t ⨯⎛⎫=+-=++-''''''=+= ⎪⎝⎭
．
8.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C : 340x y +-=，曲线2C : {1x cos y sin θ
θ
==+(θ为参数)，以坐
标原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系。

（Ⅰ)求曲线1C , 2C 的极坐标方程;
(Ⅱ）曲线3C ： {x tcos y tsin αα
==（t 为参数， 0t >, 02π
α<<)分别交1C , 2C 于A , B 两点,当α取
何值时，
OB OA
取得最大值。

【答案】（Ⅰ）1C :3cos sin 40ρθρθ+-=, 2C ： 2sin ρθ=;（Ⅱ）3
4。

试题解析：(Ⅰ)因为cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ+=, 1C 3cos sin 40ρθρθ+-=，
2C 的普通方程为()2
211x y +-=,即2220x y y +-=，对应极坐标方程为2sin ρθ=.
(Ⅱ)曲线3C 的极坐标方程为θα=(0ρ>, 02
π
α<<）
设()1,A ρα, ()2,B ρα，则13cos sin ραα
=
+， 22sin ρα=，
所以
2
1
OB OA
ρρ=
= (
)
12sin 3cos sin 4ααα⨯+ (
)
1
3sin2cos214
αα=
-+
12sin 2146πα⎡⎤⎛⎫=
-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦, 又02
π
α<<
, 526
6
6
π
π
π
α-<-
<
, 所以当262
π
π
α-
=
,即3
π
α=
时,
OB OA
取得最大值34
．
9。

在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2{3x t y t
=-+=(t 为参数），若以该直角坐标系的原点O
为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ+=. (Ⅰ）求直线l 与曲线C 的普通方程；
(Ⅱ）已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，设()2,0M -，求11
MA MB
-
的值。

【答案】(Ⅰ)3230x y --=; 24y x =-,(Ⅱ） 1
4。

试题解析：（Ⅰ)由2{
3x t y t
=-+=得)32y x =-,
∴直线l 3230x y --=； 由2sin 4cos 0ρθθ+=得22sin 4cos 0ρθρθ+=，
又∵cos ,sin x y ρθρθ==, ∴曲线C 的普通方程为24y x =-. （Ⅱ）设,A B 对应的参数为12,t t , 将2{
3x t y t
=-+=代入24y x =-得23480t t +-=，∴12124
8,33
t t t t +=-=-,
∵直线l 的参数方程为2{3x t y t =-+=可化为()()1222{322
x t y t =-+⨯=⨯， ∴122,2MA t MB t ==, ∴
12121141612334t t MA MB t t +-==÷=。

1０.已知圆22,
:{ 22x cos C x sin θθ=+=+(θ为参数)，以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,点,A B 的极坐标分别为()()1,,1,0π. (１）求圆C 的极坐标方程;
(２）若P 为圆C 上的一动点，求22||PA PB +的取值范围。

【答案】（1）24cos 4sin 60ρρθρθ--+=（２）[]6,38
试题解析:（1)把圆C 的参数方程化为普通方程为()()22
222x y -+-=,即
224460x y x y +--+=， 由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，
得圆C 的极坐标方程为24cos 4sin 60ρρθρθ--+=。

(2)设()22cos ,22sin ,,P A B θθ+的直角坐标分别为()()1,0,1,0-,
则()()()()2222
22||32cos 22sin 12cos 22sin PA PB θθθθ+=+++++ []2216sin 6,384πθ⎛⎫=++∈ ⎪⎝
⎭ 所以22||PA PB +的取值范围为[]6,38．
以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

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