四川省泸县第二中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题理

2018年春期四川省泸县二中高二年级半期考试
数学（理科）
第I 卷（选择题，共 60分）
12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的
5i
1 .复数z 二兰 ( 2+i
2.点M 的直角坐标为（-2..3,2）化为极坐标为（
2 -、 .(4P
2
3.化极坐标方程2「sin v -2 1 - 0为直角坐标方程为
A . — 1< a <1
B 6 . f （x ）是定义在R 上的以 1 0< a <1
C . - 1<a < —
5
3为周期的偶函数，且f (2)
的个数至少是（）
2
7.直线y=x ，b 与抛物线x =2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA_OB ，则b=（
）
2 2
8. 若直线l 过点（3,0）与双曲线x -y =9只有一个公共点，则这样的直线有（
）
A.1条
B.2
条 C.3
条 D.4
条
9. 若不论k 为何值，直线y 二k （x-2） • b 与曲线x 2 - y 2 =1总有公共点，则b 的取值范围是 （）
A. x 2+y 2=0 或 y=1 B . x=1
C 4.函数f (x ) = ln(5 + 4x — x 2)的单调递减区间是() A. -：：,2丨 B.
2, ：： C. -1,21 x 2+y 2=0 或 x=1
D.
2,4
.y=1
5•点（2a,a -1）在圆
2
y -^y -'4=0的内部，则
的取值范围（）
、选择题：本大题共 A. i
• 1 2i 1 -i
11
二
5 二、 .（4F 1 . ------- <a <1
5
则方程f (x ) = 0在区间(0,6)内解
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1
10. —个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是E「那么
A. （ - 3, 3）
B. 一、、3, 3
C. （-2,2）
D. 1-2,2 1
这个三棱柱的体积是()
A. 96、、3
B.
16、, 3 C.
函数g(x) =f(x) _kx 在［-1, 1］上与函数f (x)具有相同的单调性，则 A. [0 ,…，) B . ( _：: , —3]
C. ( -：:, 0] D . [ -3)
佗函数f(x)=x_ln(x 2) e x
- 4e a -，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x °使f(x o ) =3 成立，则实数a 的值为( )
A. ln2
B . ln2 -1
C.
-l n2
D
. -1n2 -1
第□卷(90分)
二.填空题(本大题共 4小题，每题5分，满分20分)
13.函数f (x)
」
x+2在x=1处的切线方程为 ________________ .
x
14.已知函数f x = x 3 ax 2 bx c 在x =--与x =1时都取得极值，若对 x 1-1,21，不 3 等式 f x ::: c 2
恒成立，则c 的取值范围为 ________ 。

15. 一个长、宽、高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动 该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是
__________ .
3
1
2
16. 已知函数 f(x)=x sin x 3x ，对于任意 R 都有f(-x ■ 3x) ■ f (x - 2k)乞0恒
2
成立，则k 的取值范围是
三•解答题(本大题共 6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

)
17. (本小题满分12分)
_
x
2
已知函数f (x ) = e(ax + b ) — x - 4x ，曲线y = f (x )在点(0 , f (0))处的切线方程为 y = 4x + 4.
(I)求a , b 的值；
(n)讨论f (x )的单调性.
24 ._3 D.
48.3
11.定义在R 上的函数 f(x)的导函数f'(x)无零点，且对任意 x R 都有 f(f(x) X 3) =2，若
k 的取值范围是(
10. —个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是 E 「那么
18. (本小题满分12分)
剑门关华侨城2018首届新春灯会在剑门关高铁站广场举行
.在高铁站广场上有一排成直线型
3
的4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是
，出现
4
1
绿灯的概率是一，现将这4盏灯依次记为 A 1，A 2，A ，A 4.并令
4
i “,2,3,4)、八.
，以匚=a 1 + a 2 + a 3 + a 4 , i =123,4)
(I)求芒=2的概率. (n)求 的概率分布列及
的数学期望E .
19. (本题满分12分)
如图，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 是梯形， AB II DC . NABC=90 , AD 二SD , 1
BC 二CD
AB ,侧面 SAD _ 底面 ABCD .
2
(I)求证：平面 SBDa_平面SAD ;
(n)若SD 与底面ABCD 所成的角为60，求二面角C-SB-D 的余弦值.
20. (本题满分12分)
设抛物线C : y 2 =2 px( p 0)的焦点为F ,准线为I .已知以F 为圆心，半径为4的圆与
I 交于A 、B 两点，E 是该圆与抛物线 C 的一个交点，• EAB=90 .
1灯A 出现当这些装饰灯闪烁一次时
(I)求p的值；
(n)已知点P的纵坐标为-1且在C上, Q、R是C上异于点P的另两点，且满足直线PQ
和直线PR 的斜率之和为-1，试问直线QR 是否经过一定点，若是，求出定点的坐标，否则, 请说明理由
21.已知函数 f(x)=xln x ax 1，a R .
(I )当时x 0，若关于x 的不等式 f (x) _0恒成立，求a 的取值范围;
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 •作答时，用2B 铅笔
在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

22.选修4-4 :极坐标与参数方程
I x = 2 d 3 cos J ；
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 x 2 3cos ，其中：•为参数，「(0,二). 、目=2sin a
在以坐标原点 0为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点 P 的极坐标为(4\2, —)，直
4
线I 的极坐标方程为nC …一)5 ^0.
4
(I )求直线I 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程；
(n)若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点.求点M 至煩线I 的距离的最大值.
23.选修4-5 :不等式选讲
r *
(n)当n 三N 时，证明:
n 2n 4
::ln 22 ln 23
2
小In 2
已知函数f(X)=| x -1| .
(I)解不等式f(2x) f (x 4) _6 ;
(n)若a、b R, | a | ：：：1, | b | ：：：1，证明:f (ab) . f (a - b 1).
2018年春期四川省泸县二中高二年级半期考试
数学(理科)答案
1-6 CCADDB 7-12 ACBDAD
13. x y _3 =0 ； 14. (-①厂1)U(2,+M)15. (1,5) 16. \2,---.
17..解：(1) f'(x) = e x(ax+ a+ b) -2x-4,
由已知得f (0) = 4, f' (0) = 4,故b= 4, a+ b= &
从而a= 4, b= 4.
(2)由(1)知，f(x) = 4e x(x + 1) -x2-4x,
x ( x 1 1
f ' (x) = 4e(x+ 2) -2x-4 = 4(x+ 2) • l e
令f'(x) = 0 得，x =- In 2 或x =- 2.
当x€ (-a,- 2) U ( - ln 2 ,+s)时，f'(x) > 0;当x € ( - 2,- ln 2)时，f '(x)
v 0.
故f (x)在(-a, - 2) , ( - ln 2 ,+a)上单调递增，在(—2,- ln 2)上单调递减.
3 1 27
18.解：解：(【)由题意得p( =2)=6(4)(4)"128.
E的可能取值为0,1,2,3,4 ,
_ k 3 k 1 4 -k 而p( =k)〜(：)(：)(k =0,1,2,3,4)
4 4
E = (3)
19.证明：(I)因为乙ABC =90 , BC =CD .
所以.CBD =45 , △ BCD是等腰直角三角形，
故BD 二2CB.
因为 AB = .2BD , . ABD =45 , 所以△ ABD s\BCD ,
.ADB =90，即 BD _ AD .
因为侧面SAD_底面ABCD ，交线为 AD , 所以BD _平面SAD ，所以平面 SBD_平面SAD ;
(H)过点S 作SE _ AD 交AD 的延长线于点 E , 因为侧面 SAD_底面 ABCD ，
所以乙SDE 是SD 与底面ABCD 所成的角，即 ESDE =60， 过点D 在平面SAD 内作DF _AD ， 因为侧面SAD_底面ABCD ， 所以DF _底面ABCD .
如图建立空间直角坐标系 D -xyz.
c (¥ 肓'。

)，S(辛 ‘。

冷)，
2 2 2 2
则 DB =(0, 2 , 0) , BS=(-辽，-2 ‘ 匕),BC =(-辽,
2
, 0)
2 2 2 2 设m =(x , y , z)是平面SBD 法向量 $2y =0 , 则一・y S 2 2 ■4 L 取
, 0 , 1)
设n = (x , y , z)是平面SBC 法向量
5
设 BC =CD =1，B(0,
2，0)，
5
-x 2y =o
则
2
-
二 x_.2y 昌=0
2 2
取 n=.(,3，一. 3 , -1),
所以二面角C-SB-D 的余弦值为-I .
7
方法二：（H ）过点 S 作SE _ AD 交AD 的延长线于点 E .
因为侧面 SAD _底面 ABCD .
所以乙SDE 是SD 与底面ABCD 所成的角，即./SDE =60 . 设 BC =CD =1，贝U AD =BD 二SD 二 2， 厂
厂 在 Rt △SDE 中，DE 2 , SE 6 ,
2
2
所以 SB =2 , SC =$2 , 取SB 中点F ，因为BD =SD ，所以DF _ SB .
过点F 作GF _ SB 交SC 于点G ，连接DG , 则ZDFG 是二面角C -SB-D 的平面角•
在厶 SBC 中，SG=BG , cos BCG 2 ,
4 由余弦定理得： SG =BG
5
可求得FG - , CG 2 .
5 5
在厶SBD 中，可求得DF =1 , 所以 cos ^DFG 二—,
| cos ：： m , n |
=
|m|| n| 2
3)- 1
. ( 3)2
(- 3)- 1
7
在厶CDG 中，由余弦定理得 DG
22
所以二面角C—SB — D的余弦值为二.
7
20.解：(1) 设跄J)，“(砧)，则M(心0)丽二炉心处顽二(0必)
屈
由卞得，'_
『+丄［ 2 2
因为在「上，所以. .因此点丄的轨迹方程为"'■:
(2)由题意知F(70)设Q(rWM，则
OQ - (-3Q PF -(-1-輝厂心OQOPF - 3+3m-in，
OP=(m f n)f PQ = (-3-魁f -M)
由->.U.L，_'= .•得一7；：:二二二
又由(1 )知■■■■:- - ■■:- 一，故：+, …..
所以-3?'-II，即工巧.
又过点丄存在唯一直线垂直于-，
所以过点丄且垂直于L'的直线.过「的左焦点J • 21.解：(1)由f (x) _ 0，得xln x ax 1 _ 0 (x 0).
1 1
整理，得-a二lnx 恒成立，即-a = (lnx )min.
x x
人1冲 1 1 x—1
令F(x) =ln x .则F '(x) 2 2 .
x x x x
•••函数F(x)在(0,1)上单调递减，在(1厂：：)上单调递增
1
••函数F(x)=lnx，—的最小值为F(1)=1.
x
• -a 乞1，即a - -1.
• a的取值范围是［-1「：).
(2)：为数列 1 的前n项和，丄为数列1的前n项和.
2n+4 .(n +1)( n+2)“n+1 .n(n +1)“
•••只需证明- 1------- ：：：|n2d」：：：—1—即可.
(n +1)(n+2) n n(n 十1)
1 由(1),当 a = —1 时，有 xln x — x +1 兰0，即 In x>x~-. x n 1 i 宀.(丄)
2 .—1 D n n+1 (n +1)( n+2) n+1 n+2
1 现证明 2ln x x (x 1). x 1 构造函数 G(x)二 x 2ln x (x_1), x
•••函数G(x)在上是增函数，即 G(x) _G(1) = 0. 1 •••当 x 1 时，有 G(x) ■ 0,即 2lnx ：：：x 成立. x 令X =丿弓，则(*)式成立. 综上，得 1 ln 2 n 一- (n +1)( n+2) n I f 2 n 对数列］(n +1)(n+2)t ln
〒j ，［n(n +1)j
=:?sin^，可得直线|的直角坐标方程为 x -y -10 = 0.
I x = 2』3COS - <
将曲线C 的参数方程 x 2 OS 消去参数■■，得曲线C 的普通方程为
[y =2sin a
2 2
人 n +1 n +1 令x 1,即得In 1 n n 现证明 1『口样厶 n n(n 1) 则 G'(x) =1 丄 x 2 x 2 -2x 1 2 0 . x x n(n 1) 分别求前n 项和，得 2 <ln 2+ln 2n 4 22.解：(1)V 直线 2 3 i 2 n 1 n In 2 n n 1 l 的极坐标方程为 ?sin( -) 5 2=0，即Tsinr -
4 「cos 亠 10 =0 .
由 x =『COST ， y 即2ln
< _____ — n 、. n 1 . n 、n 1 n 1
x y
1(y 0).
12 4
（2）设 Q （2、、3cos_：i,2sin _：：） （0 ：：：：：：：二）. 点P 的极坐标（4 ,, 2,—）化为直角坐标为（4, 4）.
4
则 M （、、3cos ：4 2,sin * 亠 2）.
73COSG -sin a -10
•••点M 到直线I 的距离d = ---------- = ----------- 当
sin （一Ry ，即―号时，等号成立
•••点M 到直线I 的距离的最大值为 6,2 .
23.解：23.解：(1 )由 f (2x) • f(x • 4) _6 得：|2x-1|
| x 3^ 6 , 当 x ：：：
-3 时，—2x • 1 - x -3 _ 6，解得 x ：：： -3 ; 1
当 -3 _ x 时，-2x • 1 • x • 3 _ 6，解得 -3 _ x _ -2 ；
2 1
4
当 x •—时，2x-「x ，3_6，解得 x_—； 2
3
4 综上，不等式的解集为{ x| x 空-2或一 -}. 3 （2）证明： f (ab) f (a 「b 1) ：= | ab 「1 |a 「b|, 因为 |a|：：：1, |b|：：：1，即 a 2 ：：：1, b 2 <1,
所以
| ab T|2 _| a
_b |2
= a 2b 2 _2ab 1 _a 2 2ab -b 2 = a 2b 2 _a 2 -b 2 1 = 2 2 (a -1)(b -1) 0 ,
所以|ab -1|2 |a -b|2，即|ab -1|・|a -b|，所以原不等式成立•
2sin^ - )10 <6.2 .。