北京市十一学校2019届高三学部2月月考数学(理科)试题(解析版)

北京市十一学校2019届高三学部2月月考数学（理科）试题
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1.已知全集，函数的定义域为M，集合，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，，或；
，．
故选：B．
可解出集合M，N，然后进行交集、补集的运算即可．
考查函数定义域的概念及求法，描述法的定义，以及交集、并集和补集的运算．
2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误；
B.的定义域为R，且；
该函数为奇函数；
和在R上都是增函数；
在R上是增函数，该选项正确；
C.反比例函数在定义域上没有单调性，该选项错误；
D.的定义域为，不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误．
故选：B．
根据奇函数的定义，奇函数定义域和图象的特点，反比例函数在定义域上的单调性，以及一次函数和的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．
考查奇函数的定义，奇函数定义域和图象的对称性，以及反比例函数在定义域上的单调性，一次函数和的单调性．
3.“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解：由得，由得，
则”是“”必要不充分条件，
故选：B．
求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．
4.执行如图所示的程序框图若输出，则输入角
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：根据程序框图中的算法，得输出的结果可能是或，
当输出的是时，即，，此时不存在；
当输出的是时，，，此时；
，此时符合题意，
综上所述可得输入的．
故选：D．
分和时两种情况加以讨论，解方程并比较与的大小，最后综合即可得到本题的答案．本题以程序框图为载体，求方程的解，着重考查了算法语句与方程、三角函数等知识，属于基础题．
5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若则角B的值为
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】解：已知等式变形得：，即，
则或．
故选：C．
已知等式变形后，利用余弦定理化简，求出的值，由B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．
此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
6.多面体的底面ABCD为矩形，其正主视图和侧左视图如图，其中正主视图为等腰梯形，
侧左视图为等腰三角形，则AM的长为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：如图所示，分别取E，F为AD，BC的中点，
连接ME、EF、NF，作，垂足为O，
则由正视图知，MNEF为等腰梯形，，，
且平面ABCD，
由侧左视图为等腰三角形，可知，，
，
在中，，则，
故选：C．
在几何体中，分别取E，F为AD，BC的中点，连接ME、EF、NF，作，利用正主视图MNEF为等腰梯形，由侧左视图求出MO，由勾股定理求出ME，AE的长，即可求AM的长．
本题考查三视图与直观图的关系，考查学生的读图能力，属于基础题．
7.已知等比数列的前n项和为，则下列结论中一定成立的
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】解：我们考虑公比的正负，若，若时，
显然，从而排除A，C；
若，时，取，则，即，排除D从而选B，
对于B选项，
我们可以如下证明：
时命题成立；
时，即，从而；
时，，从而，
故选：B．
根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．
本题考查等比数列的通项公式及其前n项和公式，注意分析公比的情况，属于中档题．
8.设函数的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意，都有，则称为D上的
“m型增函数”已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，若为R 上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：函数是定义在R上的奇函数，且当时，，
，
为R上的“20型增函数”，
，
当时，，解得．
当时，由，即，得：
，
，或，
解得，
实数a的取值范围是．
故选：B．
由已知得，，由此能求出实数a的取值范围．
本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意新定义的正确理解．
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
9.已知双曲线的一条渐近线为，那么双曲线的离心率为______．
【答案】2
【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为，
由题意可得，
即为，
，
可得．
故答案为：2．
求出双曲线的一条渐近线方程，由题意可得，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．
10.设i是虚数单位，复数所对应的点在第一象限，则实数a的取值范围为______．
【答案】．
【解析】解：复数
又在复平面内所对应的点位于第一象限，
且
解得．
故答案为：．
根据复数代数形式的乘除运算，将复数化为的形式，再由z在复平面内所对应的点位于第一象限，则复数的实部和虚部均大于0，构造关于a的不等式组，解不等式组，即可得到实数a的取值范围．本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，其中将函数化为的形式，进而将问题转化为解不等式组问题是解答本题的关键．
11.若变量x，y满足约束条件，则的最大值______．
【答案】10
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数为，
由图可知，当直线过时直线在y轴上的截距最大，z最大，
为．
故答案为：10．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
12.在直角坐标系xOy中，曲线的方程为，曲线的参数方程为为参数以原点O为极点，
x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线与的交点的极坐标为______．
【答案】
【解析】解：将曲线的参数方程为参数代入
曲线的方程为，可得
，
解得，
可得交点的直角坐标为，
由，，，
可得，，，
可得．
可得交点的极坐标为
故答案为：
将曲线的参数方程代入曲线的方程，可得，再由，，，求得，，即可得到所求坐标．
本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查联立两曲线方程求交点，考查运算能力，属于基础题．
13.在梯形ABCD中，，，E为BC中点，若，则______．
【答案】
【解析】解：由题意作图如右图，
，，，
为BC中点，
，
又，
，，
故
故答案为：．
由题意作图辅助，从而利用平面向量的线性运算化简即可．
本题考查了平面向量的线性运算的几何表示与数形结合的思想应用．
14.对于函数和实数M，若存在m，，使成立，则
称为函数关于M的一个“生长点”若为函数关于M的一个“生长点”，则______；若，，则函数关于M的“生长点”共有______个
【答案】3
【解析】解：若为函数关于M的一个“生长点”，
则
，
若，，
则是公差为2的等差数列，
则由
得
即，
即，
，
由得，此时“生长点”为，
由得，此时“生长点”为，
由得，此时“生长点”为，
故函数关于M的“生长点”共有3个，
故答案为：，3
根据“生长点”的定义建立方程即可求M，结合等差数列的求和公式进行判断即可．
本题主要考查与等差数列有关的新定义问题，读懂题意结合等差数列的求和公式，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
15.已知函数的最大值为1．
求函数的周期与单调递增区间；
若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】解：，，．
其周期为．
令，求得，
可得函数的增区间为，．
将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，
，
，，
当时，，取最大值；
当时，，取最小值．
【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的最值以及周期性、单调性，得出结论．利用函数的图象变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数在区间上的最大值和最小值．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最值以及周期性，函数的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
16.为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品每一台新产品在进入市场前都必
须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立．
Ⅰ求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；
Ⅱ如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元即获利元现有该新型防雾霾产品3台，随机变量X表示这3台产品的获利，求X的分布列及数学期望．
【答案】解：ⅠⅠ记“每台新型防雾霾产品不能销售”为事件A，
则．
所以，该产品不能销售的概率为．
Ⅱ由已知，可知X的取值为，，0，120．
，
，
，
，
的分布列为：
．
【解析】ⅠⅠ记“每台新型防雾霾产品不能销售”为事件A，由此利用对立事件概率计算公式能求出每台新型防雾霾产品不能销售的概率．
Ⅱ由已知，可知X的取值为，，0，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及EX．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
17.已知三棱柱中，底面ABC，，，，，E、F分别为
棱C、BC的中点．
Ⅰ求证；
Ⅱ求直线EF与所成的角；
Ⅲ若G为线段的中点，在平面EFG内的射影为H，求 A.
【答案】证明：Ⅰ底面ABC，平面ABC
．
，．
又平面，平面，，
平面．
平面，
B.
Ⅱ以A为原点建立空间直角坐标系A---xyz，如图所示：
则0，，，，．
，．
．
直线EF与所成的角为．
Ⅲ，，．0，．
设平面GEF的法向量为y，，
则，
令，则．
．
在平面EFG内的射影为H，为与平面EFG所成的角的余角，
．
．
【解析】由，即可得出平面，于是；
以A为原点建立坐标系，求出和的坐标，计算即可得出直线EF与所成的角；
求出和平面EFG的法向量，则，．
本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量的应用与空间角的计算，属于中档题．
18.已知椭圆M：的焦距为2，点在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、
B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC 交椭圆M于点P，连接AP
Ⅰ求椭圆M的方程及离心率；
Ⅱ求证：．
【答案】解：由题意知，，
则，
所以椭圆M的方程为，椭圆M的离心率为；
证明：设，，
则，，
由点A，P在椭圆上，所以，
点A不是椭圆M的顶点，可得，
法一：又，，且点B，C，P三点共线，
所以，即，
所以
．
即．
法二：由已知AB，AP的斜率都存在，
，
又，可得，
则，
即．
【解析】由题意知，，求得，进而得到椭圆方程和离心率；
设，，则，，将A，P代入椭圆方程两式相减，由点B，C，P三点共线，可得直线PB，BC的斜率相等，化简整理求得，即可得证；或求得，再由两
直线垂直的条件：斜率之积为，即可得证．
本题考查椭圆方程和离心率的求法，注意运用椭圆的焦距和点满足椭圆方程，考查两直线垂直的条件：斜率之积为，注意运用直线的斜率公式和点满足椭圆方程，属于中档题．
19.已知函数．
Ⅰ若函数在点处的切线平行于直线，求切点P的坐标及此切线方程；
Ⅱ求证：当时，；其中
Ⅲ确定非负实数a的取值范围，使得，成立．
【答案】Ⅰ解：定义域为，．
由题意，，，，
即切点P的坐标为．
此时切线方程；
Ⅱ证明：当时，，可转化为
当时，恒成立．
设，
原问题转化为当时，恒成立．
．
令，则舍，．
，变化如下：
，，
．
当时，成立；
Ⅲ解：，，可转化为
当时，恒成立．
设，
．
当时，对于任意的，，
在上为增函数，，
命题成立．
当时，令，则，
当，即时，对于任意的，，
在上为增函数，，
命题成立．
当，即时，
则舍，．
，变化如下：
，
当时，命题不成立．
综上，非负实数a的取值范围为．
【解析】Ⅰ求出原函数的导函数，利用求得，得到，再由直线方程的斜截式可得切线方程；
Ⅱ当时，，可转化为当时，恒成立构造函数
，利用导数求其最小值，即可证明结论；
Ⅲ，，可转化为当时，恒成立构造函数
，然后对a分类求解得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，是中档题．
20.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列的前n项和，则称是“回归数列”．
Ⅰ前n项和为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；
通项公式为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；
Ⅱ设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求d的值；
Ⅲ是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由．
【答案】解：Ⅰ当时，，
当时，．
当时，．
数列是“回归数列”；
，前n项和，，
为偶数，
存在，即，
数列是否是“回归数列”；
，
对，使，即，
取时，得，解得，
，，
又，，．
设的公差为d，令，
对，，
，
对，，
则，且数列和是等差数列．
数列的前n项和，
令，则．
当时，；当时，．
当时，由于n与的奇偶性不同，即为非负偶数，．
因此对，都可找到，使成立，即为“回归数列”；．
数列的前n项和，
令，则．
对，为非负偶数，．
因此对，都可找到，使成立，即为“回归数列”；．
因此命题得证．
【解析】利用“当时，，当时，”即可得到，再利用“回归数列”的意义即可得出，，，为偶数，即可证明数列是“回归数列”；
利用等差数列的前n项和即可得出，对，使，取和根据即可得出；
设的公差为d，构造数列：，，可证明和是等差数列再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“回归数列”；即可得出．
本题考查了利用“当时，，当时，”求、等差数列的前n项和公式及其通项公式、“回归数列”意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．。