2021_2022学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质课后篇巩固提升含解析

2.3.2抛物线的简单几何性质
课后篇巩固提升
基础巩固
1.抛物线y2=2px(p>0)上的点M(4,m)到焦点的距离为5,则m的值为()
A.2
B.3
C.4
D.4或-4
y2=2px的准线方程为x=-p
2,由抛物线的定义有|4+p
2
|=5,p=2(负值舍去),此时y2=4x,将点
M(4,m)代入抛物线方程中,求出m=±4,故选D.
2.已知抛物线x2=-4y的通径为AB,O为坐标原点,则()
A.通径AB长为8,△AOB的面积为4
B.通径AB长为8,△AOB的面积为2
C.通径AB长为4,△AOB的面积为4
D.通径AB长为4,△AOB的面积为2
,长为2p,故|AB|=4,S△AOB=1
2
×1×4=2.
3.已知双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为
坐标原点,若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为√3,则抛物线的焦点坐标为() A.(2,0) B.(1,0)
C.(8,0)
D.(4,0)
因为c
a
=2,
所以c 2
a2=a2+b2
a2
=4,
于是b2=3a2,
则b
a
=√3,
故双曲线的两条渐近线方程为y=±√3x,而抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p
2
,
所以A(-p
2,√3p
2
),B(-p
2
,-√3p
2
),
则|AB|=√3p,又△AOB的高为p
2,则S△AOB=1
2
×p
2
×√3p=√3,即p2=4.
因为p>0,所以p=2,故抛物线焦点坐标为(1,0).
4.过抛物线x2=y的焦点F的直线交抛物线于不同的两点A,B,则1
|AF|+1
|BF|
的值为()
A.2
B.1 C .1
D.4
A ,
B ,所以直线的斜率存在.
设过抛物线x 2=y 的焦点F 的直线方程为y=kx+1
4,由{x 2=y ,
y =kx +14
,
消去x 得y 2-(k 2+1
2)y+1
16=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则y 1y 2=1
16,y 1+y 2=k 2+12.
因为抛物线的准线方程为y=-1
4,
所以根据抛物线的定义可知|AF|=y 1+14
,|BF|=y 2+1
4
,
所以1
|AF |+1
|BF |=1
y 1+
14
+
1y 2+
14
=
y 1+y 2+
1
2
y 1y 2+14(y 1+y 2)+
1
16
=4,故选D .
5.已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,A 为抛物线C 上一点且在第一象限,以F 为圆心,FA 为半径的圆交抛物线C 的准线于M ,N 两点,且A ,F ,M 三点共线,则|AF|= ()
A.2
B.4
C.6
D.8
,
∵A ,F ,M 三点共线, ∴AM 是圆的直径, ∴AN ⊥MN ,AN ∥x 轴,
又F 为AM 的中点,且点F 到准线的距离为2,
∴|AN|=4,
由抛物线的定义可得|AF|=|AN|=4,故选B .
6.已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB|=12,P 为C 准线上的一点,则△ABP 的面积为.
y 2=2px (p>0),由于l 垂直于对称轴且过焦点,故直线l 的方程为x=p
2,则|AB|=2p=12,故p=6.所以抛物线的准线方程为x=-3,故S △ABP =1
2×6×12=36.
7.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值X 围是.
l 方程为y=k (x+2),与抛物线联立方程组整理得ky 2-8y+16k=0.
当k=0时,直线l 与抛物线有一个交点;当k ≠0时,由Δ=64-64k 2≥0, 解得-1≤k ≤1,且k ≠0. 所以-1≤k ≤1.
-1,1]
8.已知点A (2,0),B (4,0),点P 在抛物线y 2=-4x 上运动,则AP
⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值时点P 的坐标为.
P (x 0,y 0),则y 02
=-4x 0(x 0≤0),
∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0-2,y 0)·(x 0-4,y 0)=x 02-6x 0+8+y 02=x 02-10x 0+8=(x 0-5)2-17.
∵x 0∈(-∞,0],∴当x 0=0时,AP
⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值,此时点P 的坐标为(0,0).
9.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,直线l 斜率为1,直线l 与抛物线交于A ,B 两点,与x 轴交于P 点. (1)若|AF|+|BF|=8,求直线l 的方程; (2)若AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|.
由题意,直线l 斜率为1,设直线l 的方程为y=x+m ,设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),
联立方程组{y =x +m ,
y 2=4x ,整理得x 2+(2m-4)x+m 2=0,则x A +x B =4-2m ,
又由|AF|+|BF|=8,可得x A +1+x B +1=8,所以x A +x B =6, 即4-2m=6,解得m=-1,所以直线l 的方程为y=x-1.
(2)根据题意,设P (x P ,0),由{y =x +m ,
y 2=4x ,消去x 得y 2-4(y-m )=0,得y 2-4y+4m=0,
则y A +y B =4, ① y A y B =4m ,
②
又由AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得(x P -x A ,0-y A )=2(x B -x P ,y B -0), 可得-y A =2y B ,代入①式,可得y A =8,y B =-4, 再代入②式得m=-8,即x A +x B =20,x A x B =64, 所以|AB|=√2√(x A +x B )2-4x A x B =12√2.
10.如图,河道上有一座抛物线型拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面8 m,拱圈内水面宽16 m .为保证安全,要求通过的船的顶部(设为平顶)与拱圈在竖直方向上的高度之差至少为0.5 m .
(1)一条船的顶部宽4 m,在正常水位时,要使这条船安全通过,则船在水面以上部分的高度不能超过多少米?
(2)近日因受台风影响水位暴涨2.7 m,为此必须加重船载,降低船身,才能通过桥洞.试问:一条顶部宽4√2 m,在水面以上部分的高度为4 m 的船,船身应至少降低多少米才能安全通过?
如图所示,以过拱桥的最高点O 且平行于水面的直线为x 轴,以过点O 且垂直于水面的直线为y 轴建立平面直角坐标系.
设抛物线的方程为x 2=-2py (p>0),将点(8,-8)代入得2p=8,则抛物线的方程为x 2=-8y ,将x=2代入x 2=-8y ,得y=-0.5,8-0.5-0.5=7(m),
故船在水面以上部分的高度不能超过7m .
(2)将x=2√2代入方程x 2=-8y ,得y=-1,此时1+0.5+2.7+4=8.2(m),8.2-8=0.2(m), 故船身应至少降低0.2m 才能安全通过.
能力提升
1.抛物线x 2=2py (p>0)与椭圆x 212
+
y 22
=1交于A ,B 两点,若△AOB 的面积为√6(其中O 为坐标原点),则
p= ()
A.2
B.3
C.4
D.6
,A ,B 关于y 轴对称,可设A (x 0,y ),B (-x 0,y )(x 0>0),
∵△AOB 的面积为√6,∴S △AOB =1
2×2x 0×y=x 032p =√6,又x 0
212+
y 2
2
=1,则x 02
+3x 0
4
2p 2=12, 由上整理,得x 04-12x 02+36=0,解得x 02
=6,则p=3.故选B .
2.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过点F 和抛物线上一点M (2,2√2)的直线l 交抛物线于另一点N ,则|NF|∶|FM|等于() A.1∶2 B.1∶3 C.1∶√2
D.1∶√3
(1,0),
所以直线MF 为y=2√2(x-1),与抛物线联立得2x 2-5x+2=0, 解得x=2(舍去)或x=1
2
,即x N =1
2
,
所以|NF|∶|FM|=x N +1
x M +1
=
1
2
+12+1
=1∶2,故选A .
3.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y 2=ax 反射后,与x 轴相交于点A (2,0),则抛物线的准线方程为.(提示:抛物线的光学性质——从焦点发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行)
y=-2平行于抛物线的对称轴知A (2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.
2
4.已知抛物线y=ax 2的准线与圆x 2+y 2-6y-7=0相切,则a 的值为.
y=ax 2,即x 2=1
a y ,准线方程为y=-1
4a ,因为抛物线x 2=1
a y 的准线与圆x 2+(y-3)2=16相切,
当a>0时,3+1
4a =4,
解得a=1
4
,
当a<0时,-1
4a -3=4, 解得a=-1
28.
-1
28
5.已知抛物线y=2px 2(p>0)的焦点为F ,点P (1,1
4)在抛物线上. (1)求抛物线的标准方程;
(2)过点P 作PQ 垂直于抛物线的准线,垂足为Q ,若抛物线的准线与对称轴相交于点M ,求四边形PQMF 的面积.
由点P (1,1
4)在抛物线上,得p=1
8,
故抛物线标准方程为x 2=4y.
(2)由(1)知点F (0,1),准线方程为y=-1,所以|FM|=2,|PQ|=1+1
4=5
4,|MQ|=1,则直角梯形PQMF 的面积等于1
2×(5
4+2)×1=13
8.
6.(选做题)已知抛物线C :y 2=2px (p>0),过其焦点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A ,B 两点,且线段AB 的中点的纵坐标为4. (1)求抛物线C 的标准方程;
(2)若不过原点O 且斜率存在的直线l 与抛物线C 相交于D ,E 两点,且OD ⊥OE.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.
A ,
B 两点的坐标分别为(x A ,y A ),(x B ,y B ),
则y A 2=2px A ,y B 2=2px B ,
两式相减得(y A +y B )(y A -y B )=2p (x A -x B ). 即(y A +y B )·y A -y
B x A
-x B
=2p ,
又线段AB 的中点的纵坐标为4,直线AB 的斜率为1,
∴8=2p ,∴p=4.
即抛物线C 的标准方程为y 2=8x.
l :y=kx+b (b ≠0)与抛物线C :y 2=8x 交于点D (x 1,y 1),E (x 2,y 2),
则{y =kx +b ,y 2=8x ,
消去x 得ky 2-8y+8b=0, ∴{k ≠0,64-32kb >0,
∴y 1y 2=8b
k ,x 1x 2=
y 12y 2
264
=b 2
k 2,
由OD ⊥OE 得x 1x 2+y 1y 2=0, 即b
k =-8,b=-8k ,
直线为y=k(x-8), ∴l过定点(8,0).。