全真模拟试卷高三数学答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2的图像与x轴相交于点A、B、C，则A、B、C三点关于点D对称，其中D点坐标为（）
A. (1, 0)
B. (0, 1)
C. (0, 0)
D. (2, 0)
答案：C
解析：由f(x) = x^3 - 3x + 2可知，f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，解得x = ±1。

因为f(1) = 2，f(-1) = 0，所以点A(1, 2)，点B(-1, 0)。

由于f(x)是奇函数，其图像关于原点对称，所以点C(1, -2)。

因此，点D为原点(0, 0)。

2. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an为（）
A. 27
B. 29
C. 31
D. 33
答案：C
解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，代入首项a1 = 2和公差d = 3，得an = 2 + 3(n - 1)。

当n = 10时，an = 2 + 3(10 - 1) = 31。

3. 下列命题中正确的是（）
A. 对于任意实数x，x^2 ≥ 0
B. 对于任意实数x，x^3 ≥ 0
C. 对于任意实数x，x^4 ≥ 0
D. 对于任意实数x，x^5 ≥ 0
答案：A
解析：选项A正确，因为平方任何实数都大于等于0。

选项B、C、D错误，因为当x为负数时，x^3、x^4、x^5都小于0。

4. 函数y = log2(3x - 1)的图像在（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案：A
解析：由于3x - 1 > 0，解得x > 1/3。

因此，函数的定义域为(1/3, +∞)，即图像在第一象限。

5. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）
A. 1/5
B. 2/5
C. 3/5
D. 4/5
答案：B
解析：向量a与向量b的点积为13 + 24 = 3 + 8 = 11，|a| = √(1^2 + 2^2) = √5，|b| = √(3^2 + 4^2) = 5。

因此，cosθ = (a·b) / (|a|·|b|) = 11 / (√5 5) = 2/5。

6. 下列函数中，在定义域内是增函数的是（）
A. y = x^2
B. y = 2^x
C. y = log2x
D. y = √x
答案：B
解析：函数y = 2^x在定义域内是增函数。

7. 已知等比数列{an}的首项为3，公比为2，则第5项an为（）
A. 48
B. 96
C. 192
D. 384
答案：D
解析：等比数列的通项公式为an = a1 r^(n - 1)，代入首项a1 = 3和公比r = 2，得an = 3 2^(n - 1)。

当n = 5时，an = 3 2^(5 - 1) = 3 2^4 = 48。

8. 下列函数中，在定义域内是偶函数的是（）
A. y = x^2
B. y = x^3
C. y = x^4
D. y = x^5
答案：A
解析：函数y = x^2在定义域内是偶函数。

9. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1，则f'(x) = （）
A. 3x^2 - 12x + 9
B. 3x^2 - 12x + 1
C. 3x^2 - 12x - 9
D. 3x^2 - 12x - 1
解析：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

10. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(1, 4)，则a、
b、c的值分别为（）
A. a > 0, b = -2, c = 4
B. a > 0, b = -2, c = 5
C. a > 0, b = 2, c = 4
D. a > 0, b = 2, c = 5
答案：A
解析：函数的顶点坐标为(-b/2a, 4)，代入得1 = -b/2a，解得b = -2a。

因为开
口向上，所以a > 0。

又因为顶点坐标为(1, 4)，代入得4 = a + b + c，代入b
= -2a得4 = a - 2a + c，解得c = 4a。

因此，a > 0, b = -2, c = 4。

二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。

）
11. 若sinα = 1/2，则cosα = （）
答案：√3/2
解析：由sin^2α + cos^2α = 1，得cosα = √(1 - sin^2α) = √(1 -
(1/2)^2) = √(1 - 1/4) = √3/2。

12. 函数y = 3x - 2的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，则三角形OAB的面
积S为（）
答案：6
解析：直线y = 3x - 2与x轴相交于点A(2/3, 0)，与y轴相交于点B(0, -2)。

因此，三角形OAB的面积S = 1/2 OA OB = 1/2 (2/3) 2 = 6。

13. 若等差数列{an}的前n项和为S_n，且S_5 = 20，S_10 = 50，则首项a_1 = （）
答案：2
解析：等差数列的前n项和公式为S_n = n/2 (2a_1 + (n - 1)d)，代入S_5 =
20和S_10 = 50，得5/2 (2a_1 + 4d) = 20，10/2 (2a_1 + 9d) = 50。

解得
a_1 = 2。

14. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 2)，则向量a与向量b的叉积为（）
解析：向量a与向量b的叉积为a_x b_y - a_y b_x = 2 2 - 3 1 = 4 - 3 = 1。

15. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像在x = 1处有极值点，则a、b、c满足的关系式为（）
答案：b^2 - 4ac = 0
解析：函数f(x)的导数为f'(x) = 2ax + b，令f'(x) = 0，解得x = -b/(2a)。

因为x = 1处有极值点，所以- b/(2a) = 1，即b = -2a。

又因为极值点是函数图像的最高点或最低点，所以判别式b^2 - 4ac = 0。