甘肃省张掖市2015年高三4月诊断考试数学(文)试题

张掖市高三年级2015年4月诊断考试
数学（文科）试卷
命题人：临泽一中 张自鹤 审题人：临泽一中 魏正清 终审人：山丹一中 钟丽娟
第I 卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的. 1.设全集是实数集R ，M x x =-≤≤{|}22，N x x =<{|}1，则=N M C R )(（ ） A. {|}x x <-2 B. {|}x x -<<21 C. {|}x x <1 D. {|}x x -≤<21 2.复数22i
z i
-=
+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3.已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则( ) A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题 C.命题)(q p ⌝∧是真命题 D.命题)(q p ⌝∨是假命题
4.某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数， 则可以输出的函数是（ ）
A ．2
()f x x =
B ．()sin f x x =
C ．()x
f x e = D ．1()f x x
=
5.设变量x ,y 满足约束条件30,03,x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
， 则2z x y =+的最大
值为（ ）
B.15
C.-3
6.已知实数1， m ，4构成一个等比数列，则圆锥曲线2
21x y m
+=的离心率为（ ） A ．
2
2
B ．3 C.
22或3 D ．1
2
或3 7.某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积是（ ） A.4
B. 3
8
C.2
D.
3
4 8.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若
2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =（ ）
A ．
3
π
B ．
34
π C ．
56π D ．23
π 9.直线()31-=-x k y 被圆2
2
(2)(2)4x y -+-=所截得的最短弦长等于( ) A. 3
B. 23
C. 22
D. 5
10.将函数sin()6y x π
=+图像上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变）
，再向右平移
3
π
个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（ ） A ．2x π=- B ．4x π=- C ．8x π= D ．4
x π
=
11.已知双曲线2
2
12
y x -=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为( ) A ．43 B ．5
3
C ．3
D ．233
12.已知1
1,1
()4ln ,1
x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩>函数则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值
范围是（注：e 为自然对数的底数）（ ）
A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭ B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e
1,41 C. ⎥⎦⎤ ⎝
⎛
41,0 D. 1,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
第II 卷（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 13.已知α为第二象限角，3
sin cos 3
αα+=
cos 2α=______ _____. 14.在ABC ∆中，2AB =，3AC =，1AB BC ⋅=,则BC = . 15.已知抛物线2
2(0)y px p =>，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为_________.
16.已知函数x
x f 2)(=且)()()(x h x g x f +=，其中)(x g 为奇函数, )(x h 为偶函数，若不等式2()(2)0a g x h x ⋅+≥对任意]2,1[∈x 恒成立,则实数a 的取值范围是 . 三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 中37a =，其前n 项和2*
2,n S pn n n N =+∈。

（I ）求p 的值及n a ；
（Ⅱ）在等比数列{}n b 中，31610,
43b a b a ==-，若等比数列{}n b 的前n 项和为n T .
求证：数列16n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
为等比数列.
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，
︒=∠60BAD ，Q 为AD 的中点.
（I ）若PD PA =，求证：平面⊥PQB 平面PAD ；
（II ）若平面⊥PAD 平面ABCD ，2===AD PD PA ，点M 在线段PC 上， 且
MC PM 2=,求四棱锥P ABCD -与三棱锥QBM P -的体积之比.
19.（本小题满分12分）
为了了解某学段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）； ……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如右图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19， 且第二组的频数为8.
（1）将频率当作概率，请估计该学段学生中百米成绩在[16，17）内的人数以及所有抽取学生的百米成绩的中位数（精确到0.01秒）；
（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率. 20.（本小题满分12分）
已知椭圆C: 22221,(0)x y a b a
b +=>>的离心率为63，且过点（1，63）.
（1）求椭圆C 的方程； （2）设与圆223
:4
O x y +=
相切的直线L 交椭圆于A,B 两点，M 为圆O 上的动点，求ABM ∆面积的最大值，及取得最大值时的直线L 的方程. 21.（本小题满分12分）
已知函数2
()(1)x
f x ax x e =+-，其中e 是自然对数的底数，a R ∈．
（Ⅰ）若曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线的斜率为4e ,求切线方程；
（Ⅱ）试求()f x 的单调区间并求出当0a >时()f x 的极小值. x
y
O
A
B
M
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》
如图：AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，
CE AB ⊥，垂足为E ，BD 交CE 于点F .
（Ⅰ）求证：CF BF =；
（Ⅱ）若4AD =，⊙O 的半径为6，求BC 的长. 23.（本小题满分10分）《选修4—4：参数方程选讲》
在平面直角坐标系xoy 中,以O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知
P 点的极坐标为(43,)6
π
, 曲线C 的极坐标方程为23sin 4ρρθ=.
(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；
(2)若Q 为C 上的动点,求PQ 中点M 到直线32:22x t
l y t
=+⎧⎨=-+⎩ (t 为参数)距离的最大值.
24.（本小题满分10分）《选修4—5：不等式选讲》
已知函数()1
f x x =-
（1） 若()()1f x f x a +-≥恒成立，求a 的取值范围； （2）若28a b +=，求证:[][]2
2
()()5f a f b +≥.
张掖市高三年级2015年4月诊断考试
文科数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A
D
C
B
B
C
A
D
C
A
D
B
二、填空题： 13. 531x =- 16. 17_
,12⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
三、解答题
17．解析：（I ）由题意可得: 332527a S S p =-=+=
1113p a S ∴=∴== ---------------------- 3分 3124d a a ∴=-=， ∴公差2d = ---------------------- 5分
由此可得： 21n a n =+ ----------------------6分
（Ⅱ）由题意可得:2
531161103,4381b b q a b b q a =====-=
联立方程组解得：3q =， 11
3
b =
--------------------8分 ∴数列{}n b 是以11
3
b =为首项，3为公比的等比数列。

∴1
(13)
1
3
(31)136
n n n T -==--∴111133662n n n T -+=⋅=⋅ ------------------10分 又因为 11162T +=，
116316
n n T T -+
=+ ∴16n T ⎧
⎫+⎨⎬⎩
⎭是以12为首项，3为公比的等比数列。

----------------12分
18．解析：（Ⅰ） PD PA =，Q 为AD 的中点，
AD PQ ⊥∴， -----------------------1分
又 底面ABCD 为菱形，︒=∠60BAD ， 设2,AB a =则AQ a =
，从而BQ =
222AQ BQ AB ∴+= ----------------4分
BQ AD ∴⊥ ----------------------------5分
又Q BQ PQ = ∴⊥AD 平面PQB ，又 ⊂AD 平面PAD ,
∴平面⊥PQB 平面PAD ; ----------------------------6分
（Ⅱ）过点M 作//MH BC 交PB 于点H. --------------------------7分
平面⊥PAD 平面ABCD ,平面 PAD 平面AD ABCD =,AD PQ ⊥
⊥∴PQ 平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD
,
11
=233
P ABCD ABCD V PQ S -∴=⋅菱形--------8分
⊥∴PQ BC ,又,//BQ AD AD BC ⊥ BQ BC ∴⊥,又
Q QP QB = ,
∴⊥BC 平面PQB ,又//MH BC ,MC PM 2=，
MH PQB ∴⊥平面 --------------------------10分
2
,23
MH PM BC BC PC ∴
===, 43MH ∴=
31P ABCD p QBM V V --∴=：： ---------------------------12分
19．解析：（1）设前3组的频率依次为3,8,19x x x ，则由题意可得:
381910.320.080.6x x ++=--=,由此得：0.02x = …………………1分
∴ …………………2分
第二组的频数为8， ∴抽取的学生总人数为8
500.16
=人 …………………3分
由此可估计学生中百米成绩在[16，17）内的人数0.325016=⨯=人。

……………4分 设所求中位数为m
答: 估计学生中百米成绩在[16，17）内的人数为16人…………………6分 （2）记“两个成绩的差的绝对值大于1秒”为事件A. 由(1)可知从第一组抽取的人数0.023503=⨯⨯=
从第五组抽取的人数0.08504=⨯=人，不妨记为1,2,3,4， ……………9分 则从第一、五组中随机取出两个成绩 c4,12,13,14,23,24,34这21种可能；
其中两个成绩的差的绝对值大于1秒的来自不同的组，共有12种。

∴两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率为4
7
. ……………12分
20．解析：（1）由题意可得：22
121363a b c a ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩——————————————2分
————————————4分
（2）①当k 不存在时，
max 33)22ABM x S ∆=±
=——————5分
②当k 存在时，设直线为y=kx+m,A(x 1,y 1),B (x 2,y 2)
2
2
2
23,1,13
x a b y ==∴+=
x
y
O
A
B
M
2121222633
13,13km m x x x x k k --+==
++——————————7分
—————————8分
2242
2
2222424612(1)11094||1()3311313169169km m k k k AB k
k k k k k k --++=+-=⋅=⋅+++++++
2
24
3
312(=1396k k k
=+
≤=±
++，取“”） ———————10分
max 23h r ==，max 3
()3,13ABM S y x ∆==±±
3
32<,max 3()3,13ABM S y x ∆∴==±±————————————12分
21．解析：（Ⅰ）++='x e ax x f )12()(x
x e x a ax e x ax ])12([)1(22++=-+，………1分
'(1)(31)4f a e e ∴=+= 解得:1a = …………………2分
(1)f e ∴= ∴切点坐标为 (1,)e
∴切线方程为：4(1)y e e x -=-
即所求切线方程为: 430ex y e --= …………………4分 （Ⅱ）(1)当0a =时，()(1)x f x x e ∴
=-，'()x f x xe =
∴当0x >时，'()0f x >；当0x <时，'()0f x <
()f x 的递减区间为(,0]-∞，递增区间为(0,)+∞.…………………6分
(2) 当0a >时， '
2
()[(21)][(21)]x
x
f x ax a e x ax a e =++=++ 令'
()0,f x = 解得：21
0,0a x x a
+==-< 当a
a x 1
2+-<或0>x 时，0)(>'x f 当01
2<<+-
x a
a 时，0)(<'x f ∴)(x f 的单调递减区间为]0,1
2[a a +-
，
单调递增区间为21
(,)a a
+-∞-
，(0,)+∞ …………………8分 ()f x ∴的极小值-1f(0)== …………………9分
2243(1)
d r m k =⇒=+
（3）当
0a <时，令'()0,f x = 解得：21
0,a x x a
+==- ①若021<<-
a ，当0<x 或a
a x 1
2+-
>时，0)(<'x f ； 当<<x 0a
a 1
2+-
时，0)(>'x f . ∴)(x f 的单调递减区间为(,0)-∞，21
(
,)a a
++∞； 单调递增区间为]1
2,0[a
a +-. …………………10分 ②若21-
=a ，=')(x f 02
1
2≤-x e x ， ∴)(x f 的单调递减区间为),(+∞-∞. …………………11分
③若21
-
<a ，当a
a x 12+-<或0>x 时，0)(<'x f ； 当01
2<<+-
x a
a 时，0)(>'x f . ∴)(x f 的单调递减区间为21
(,)a a
+-∞-
，(0,)+∞； 单调递增区间为]0,1
2[a
a +-
. …………………12分 22. 解析：（Ⅰ）证法一:连结CO 交BD 于点M ，如图 …………1分 ∵C 为弧BD 的中点，∴OC ⊥BD
又∵OC=OB,∴Rt ΔCEO ≌Rt ΔBMO ………… ………………2分 ∴∠OCE=∠OBM ……………………………3分
又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC …………………………4分 ∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF …………5分 证法二：延长CE 交圆O 于点N ，连结BN ，如图………1分
∵AB 是直径且CN ⊥AB 于点E.
∴∠NCB=∠CNB ……………………………………2分 又∵C 为弧BD 的中点 ∴∠CBD=∠CNB ……3分 ∴∠NCB=∠CBD
即∠FCB=∠CBF …………………………………4分
∴CF=BF …………………………………………………………5分 （Ⅱ）∵O,M 分别为AB,BD 的中点
N
D
C
B
A
E
F O
∴1
2,2,42
OM AD OE EB =
=∴== ……………………7分 在Rt △COE 中，2242CE OC OE =-=…………………………………9分 ∴在Rt △CEB 中，2243BC CE BD =+=………………………………10分 23. 解析：(1) cos 6,sin 23x y ρθρθ====，
∴点P 的直角坐标为 (6,23) ………………………………………2分
由2+43sin 4ρρθ=得：22434,x y y ++=即22
(23)16x y ++=
∴曲线C 的普通方程为:22(23)16x y ++= ……………………………………5分
(2)由 32:22x t
l y t
=+⎧⎨
=-+⎩可得直线l 的普通方程为50x y --= ………………6分
由曲线C 的普通方程:22
(23)16x y ++=可设点Q (4cos ,4sin 23)θθ-
∴则点M 坐标为(2cos 3,2sin )θθ+ ………………………………………7分
∴点M 到直线l 的距离22cos()2
2cos 32sin 54
22
d π
θθθ+-+--=
=………8分 当cos()4
π
θ+
=-1时，d 取得最大值22+
∴点M 到直线l 距离的最大值为22+。

………………………………………10分
24. 解析：(1)()()1111f x f x x x x x +-=-+-≥--= ……………………3分
1a ∴≤ ……………………5分
(2) 证明：[][]2222
()()(1)(1)f a f b a b +=-+-
222222[(1)(1)](12)[(1)1(1)2](23)25a b a b a b -+-⋅+≥-⋅+-⋅=+-=…………9分
[][]
22
()()5f a f b ∴
+≥……………………10分。