导数在高中数学解题中的应用分析

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教学信息
新教师教学导数是微分的初步知识，同时也是新教材的新增内容，是研究函数、解决实际问题的有力工具，在近年的高考中已占有突出的地位，是高考和各地模拟考试的热点。

近几年全国各地高考试卷中均有与导数有关的综合问题，经常是导数与不等式、方程、解析几何、数列、函数等其他知识的交汇进行命题，从不同的角度灵活考查了综合利用所学知识解决数学问题的能力。

因此，在复习时要增强运用导数知识解决数学问题的意识。

一、导数在求函数极值中的应用
函数的最值问题是高中数学中的一个重点，也是一个难点，在导数引入高中课本以前，求函数最值的方法有很多种，但是导数引入高中课本后，对很多求最值类型的题目不仅多了一种解题的方法与思路，而且更是解决问题的简便方法之一。

由于最值问题中二次函数的最值比较典型，本文就以导数在求二次函数最值中的应用为例。

在大部分高考题目中，二次函数的区间最值是指二次函数在某个特定区间上的最大（小）值，这类题往往含有参数，是高考的热点与难点。

如果用数形结合的思想和方法来解答，则十分麻烦，但利用导数来解答，则简洁明了。

导数的作用主要是判断函数在此区间上的单调性与函数的极值点，解题的关键在于考察二次函数的极值点与区间的相对位置关系。

例1：已知函数f （x ）=x 2（x +1）
，求函数f （x ）在R 上的极值。

其相应的求解的过程如下：
解：f ′（x ）=2x （x +1）+x 2=3x 2+2x ，令f ′（x ）=0，得到x 1=0，x 2=- 。

当x ∈（-∞，- ）时，f ′（x ）＞0，即f （x ）为单调递增；当x ∈（- ，0）时，即f ′（x ）＜0，即f （x ）为单调递减；当x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）＞0，即f （x ）单调递增。

所以当x =- 时，f （x ）取得相应的极大值f （- ）= ，当x =0时，f （x ）取得相应的极小值f （0）=0。

二、利用导数判断函数的单调性
在导数被引进高中数学课本以前，判断函数的单调性最常规的方法就是定义法，但是定义法一般常常用来判断一些简单函数的单调性，遇到稍微复杂一点的函数，在利用定义法判断的时候比较繁琐。

导数引进以后就可以尝试用导数来判断函数的单调性了。

利用导数判断函数单调性的基本原理就是，针对一个函数f （x ），如果它的导数f ′（x ）在区间[a ，b ]上大于0，则函数f （x ）在区间[a ，b ]上是单调递增的，否则则是单调递减。

例2：已知函数f （x ）=x 2e ax （a ≤0）
，讨论f （x ）的单调性。

解：f ′（x ）=x （ax +2）e ax
.当a =0时，令f ′（x ）=0，得x =0，若x >0，则f ′（x ）>0，则f （x ）在（0，+∞）单调递增；若x <0，则f ′（x ）<0，则f （x ）在（-∞，0）单调递减。

当a <0时，令f ′（x ）=0，得x =0或x =-2/a ，若x <0，则f ′（x ）<0，则f （x ）在（-∞，0）单调递减；若0<x <-2/a 时，则f ′（x ）>0，则f （x ）在（0，-2/a ）上单调递增；
若x >-2/a 时，则f ′（x ）<0，则f （x ）在（0，+∞）单调递减。

三、利用导数证明不等式
函数与不等式的结合是高中数学中比较典型的题目，尤其是近年来在命题宗旨越来越趋向综合化的命题指导思想模式下，函数与不等式的结合愈加紧密。

根据以往很多省份的高考试题研究结果，很多不等式的证明几乎都可以利用导数来解决。

例3：已知函数f （x ）=x （x -a ）（x -b ）
，其中0<a <b ，设f （x ）在x =s ，x =t 取到极值，其中s <t ，求证：0<s <a <t <b 。

证明：首先求f （x ）的导数，得：f ′（x ）=3x 2-2（a +b ）x +ab
由f （x ）在x =s 和x =t 取到极值，知：s ，t 是二次方程f ′（x ）
=0的两实根，
又f ′（0）=ab >0f ′（a ）=a 2-ab =a （a -b ）<0 f ′（b ）=b 2-ab =b （b -a ）>0即f ′（x ）在区间（0，a ），（a ，b ）内分别各有一个实根，由s <t ，s ，t 都是方程f ′（x ）=0的两实根，得出：0<s <a <t <b 。

以上是用导数将二次函数“降次”转化为研究二次方程在（0，a ）与（a ，b ）存在实根的问题，结合实根分布理论，运用数形结合的思想，实现了不等式的证明。

当然，还有很多利用导数证明不等式的时候，需要利用函数的单调性。

四、利用导数来解决切线问题
我们知道，函数f （x ）在点x =x 0处的导数f ′
（x 0）的几何意义就是曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线的斜率，其切线方程可以表示为y -f （x 0）=f ′（x 0）（x -x 0）。

近几年来，随着高考对导数知识考查力度的不断加大，关于高次曲线、分式曲线、根式曲线、指数曲线、对数曲线、三角曲线、圆锥曲线的切线问题逐渐进入高考试卷，成为高考试卷中一道亮丽的风景线。

导数的几何意义为这些用传统方法难以求解的切线问题提供了新思路、新方法、新途径，拓宽了高考的命题空间。

下面结合某些高考题或高考模拟题，介绍导数在解决高中切线问题的基本方法与思路。

由于篇幅限制，关于导数在分式曲线、根式曲线、指数曲线、对数曲线、三角曲线、圆锥曲线的应用在此就不再累述，但是基本的原理与思路都是相同的。

本文重点探讨了导数在求函数极值，在证明不等式，在求函数单调性以及在切线问题中的应用，事实上，导数的应用范围还远远不止这么多，例如在向量中的应用，在解析几何与立体几何中都具有重要的应用。

关键是由于导数内容是安排在高中数学的最后一册，而平时很多学生在解答题目的时候已经习惯用比较常规的定势思维来解决这些问题，尤其是在考试那种氛围下更是难想到用导数的方法来解题，这就需要在平时中多加训练。

参考文献
[1]范运灵.高中导数的交汇问题[J].考试，2007，（3）作者简介：荆勇（1973.10-），男，本科毕业，重庆市合川大石中学，中级职称，从事高中数学教学工作。

导数在高中数学解题中的应用分析
荆勇
（重庆市合川大石中学重庆 401546）
【摘要】导数这个高等数学的基本概念已经成为研究初等函数的一个强有力的工具，大大拓宽了数学解题的思路与方法，不但为解决函数的极值、最值、单调性问题提供了一种有效的途径和简便的方法，同时在解决数列求和、方程根的个数、实际问题等方面也有着广泛的应用。

另外，用导数来解不等式，既能加深学生对导数和函数知识的理解，又能培养学生分析问题和解决问题的能力。

本文试图以导数在函数、不等式以及切线中的应用为例，说明导数在高中数学解题中的应用分析。