湖北省孝感高中2012届高三数学五月训练 理 新人教A版

孝感高中2012届数学（理科）训练题
高三数学组
一．选择题：（共５０分） 1.设复数
i
i -+11在复平面内对应点为A ，方程012
=++z z 的两个根在复平面内对应点分别为B 、C ，则向量AC AB +对应的复数为（ ）
A ．i --2
B ．i --1
C ．i 21--
D ．i 22--
2．一个空间几何体的三视图如下，则该空间几何体的体积是（ ） A ．
423
π+
B ．
823
π+
C ．
413
π+
D ．108π+
3. 平面向量的集合A 到A 的映射f 由()2()f x x x a a =-⋅确定,其中
a 为常向量.若映射f 满足()()f x f y x y ⋅=⋅对,x y A ∈恒成立,则a 的坐标不可能．．．
是（ ）
A ．(0,0)
B ．22(
,)44 C ．22(,)22 D ．13
(,)22
- 4．已知随机变量X 服从正态分布(
)2
,σ
μN ，且()9544.022=+<<-σμσμX P ，
()6826.0=+<<-σμσμX P ，若1,4==σμ, 则()=<<65X P （ ）
A ．0.1358
B ．0.1359
C ．0.2716
D ．0.2718
5．已知ABC ∆，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且 sin ac A BA BC <⋅，则 A ．ABC ∆是钝角三角形 B ．ABC ∆是锐角三角形
C ．ABC ∆可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形
D ．无法判断
６．已知0,>b a ，且411≤+b a ，3
2)(16)(ab b a =-，则b a +的值等于
A. 1
B. 2
C. 3
D. 无法确定
７．已知数列{
n
a
}满足：1
m a = (m 为正整数)，
1,231,n
n
n n n
a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，若
6
1
a
=，则m
所有可能的取值为( )
A ．4或5
B ．4或32
C ．5或32
D ．4,5或32
8. 定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，()'()'()f x f x xf x +<恒成立，
1
(2),(3),(21)(2)2
a f
b f
c f ==
=+，则,,a b c 的大小关系为 （ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．a c b << D ．c b a << 9.设函数12
20
2,1()3log ,1x a x f x t dt x x -⎧≤⎪
=⎨->⎪⎩⎰，且[(0)]2f f =，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是（ ）
A. [1,2]-
B. [0,2]
C. [0,)+∞
D. [0,1][2,)+∞
10．已知函数 2342013()12342013x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，2342013
()12342013
x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-，设
函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为
A ．8
B ．9
C ． 10
D ． 11
二．填空题：（共２５分）
11．给出一个算法： 1２．设a ，b∈R+，a+b=1．则由
Input
x ≥ab ab 11+44
；
0If x Then ≤ 21616
b ≥222
a a
b 11+； ()4f x x = 6464
≥33
33a b a b 11+
Else ．．．．．．得：
()2x
f x =
≥n n n n
a b a b 1
+
________.
End if Pr int ()f x End 根据以上算法，可求得(3)(2)f f -+的值为________. 1３．已知(],0,2a b ∈，函数()()1
sin 2cos x
f x a t b t dt =
-⎰在
,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上为增函数的概率是________. 14. 已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>和圆
222:O x y b +=，过
椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ． 若椭圆上存在点P ，使得
090APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为 ________ ；设直线AB 与x 轴、y 轴分别交
于点,M N ，当点P 在椭圆上运动时，
2222a b ON OM += ________.
选考题（１５，１６题中任选一题作答） １５．《几何证明选讲》如图，半径分别为a 和a 3的圆O 1与圆O 2外切于T ， 自圆O 2上一点P 引圆O 1的切线，切点为Q ，若PQ=2a ，则PT= 。

１６．《坐标系与参数方程》已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴
· · · P
Q T O 2 O 1
的正半轴重合，曲线1C
：cos()4ρθπ
+=2C ：24,4x t y t ⎧=⎨=⎩
（t ∈R ）交于A 、B 两点．则
,OA OB <>=______.
三．解答题：（共７５分）
17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知向量
(,2)m b a c =-，(cos 2cos ,cos )n
A C
B =-，且m n ⊥．（1）求sin sin C
A 的值；
（2
）若
2,||a m ==，求△ABC 的面积S ．
18．（本题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有,A B 两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品。

（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 A 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为 一等品的概率,P P 甲乙；
（2）已知一件产品的利润如表二所示，用,ξη分别 表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下， 求,ξη的分布列及,E E ξη；
（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三 所示。

该工厂有工人40名，可用资金60万元。

设,x y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在（2）的 条件下，,x y 为何值时，z xE yE ξη=+最大？ 最大值是多少？（解答时须给出图示说明）
1９.（本题满分12分）已知数列}
{n a 的前n 项和为
n
S ，且
*
,16,81N n ka S a n n ∈-==．
（I ）求k 的值及
n
a ；
（II ）设*))(22()(log )()()
2(2N n f b ，n n a n f n n n
f n
∈+=⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数为奇数
（表二）
（表三）
（表一）
（i ）求
n
b ； （ii ）令
n
n n a b c 2log )3(－=，求
}
{n c 的前n 项和为
n
T ．
２０．（本小题满分12分）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，
∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2．
（Ⅰ）求证：AE//平面DCF ；
（Ⅱ）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为︒60．
21.（本题满分13分）已知P 是圆1
F
：
16)1(2
2=++y x 上的动点，点2
F
（1，0），线段
2
PF
的垂直平分线l 与半径
1
PF
交于点Q ．
（I ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹C 的方程。

（II ）已知点M 3(1,)2
，A 、B 在（1）中所求的曲线C 上，且
),(是坐标原点O R OM MB MA ∈=+λλ，（i ）求直线AB 的斜率；
（ii ）求证：当MAB ∆的面积取得最大值时，O 是MAB ∆的重心． 22.（本题满分１４分） 已知函数()f x 的图像在[a,b]上连续不断，定义：
1()min{()/}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，2()max{()/}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，其中
min{()/)f x x D ∈表示函数)(x f 在D 上的最小值，max{()/)f x x D ∈表示函数)
(x f 在D 上的最大值，若存在最小正整数k ，使得
21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]
x a b ∈成立，则称函数)(x f 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”
（1）若()cos ,[0,]f x x x π=∈，试写出1
()f x ，2()f x 的表达式； （2）已知函数2
(),[1,4],f x x x =∈-试判断)(x f 是否为[-1,4]上的“k 阶收缩函数”，
如果是，求出对应的k ，如果不是，请说明理由；
（3）已知0b >，函数
32
()3,f x x x =-+是[0,b]上的2阶收缩函数，求b 的取值范围. 孝感高中2012届数学训练题答案
一．ＣＢ B B A ＢＤA ＤＣ
二．－８；14；144n n 212e ≤<，2
2
a b
3a ，2π 三
．
18． 解：（1）.6.08.075.0,68.085.08.0=⨯=⨯=乙甲P P ……2分
（2）随机变量ξ、η的分别列是
,2.432.05.268.05=⨯+⨯=ξE .1.24.05.16.05.2=⨯+⨯=ηE …6分
（3）由题设知⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≥≤+≤+.
0,0,4028,60105y x y x y x 目标函数为 ……8分
.1.22.4y x yE xE z +=+=ηξ ……9分
作出可行域（如图），作直线:l ,01.22.4=+y x 将l 向右上方平移至l 1位置时，直线经过可行域上的点M 点与原点距离最大，此时y x z 1.22.4+= ……10分
取最大值．解方程组⎩
⎨⎧=+=+.4028,
60105y x y x
得.4,4==y x 即4,4==y x 时，z 取最大值25．2. …12分
ξ
5 2.5 P
0.68
0.32
η
2.5 1.5 P
0.6
0.4
z
19．（I ）由
1
,8116
161111=∴=+=
-==k k
a ka S a 得（1
分
1
116,216---=≥-=∴n n n n a S n a S 时当
由
111121
)16()16(----=
-=---=-=n n n n n n n n n a a a a a a S S a 得（2分
21,8}{1=
=∴q a ，a n 公比首项为等比数列*)
(2)2
1
(841N n a n n n ∈==∴--（4分）
（
II ）
（
i
）
⎪⎩
⎪⎨⎧=-)()2(log )
(2)(2
4为偶数为奇数n n
f n n f n
⎩⎨⎧≥-==+=+=--)2(2
3)1(3
)12
(log )22(1
1
2n n f f b n n n
n
（8分）
（ii ）⎩⎨⎧≥⋅-==-）（22)4()1(0
1
n n n C n n （10分）
1
432212)4(2202)1(2)2(2-⋅-+++⋅+⋅-+⋅-=+++=≥∴n n n n C C C T ，n 时当（1）
n
n n n n T 2)4(2)5(202)1(2)2(21432⋅-+⋅-++⋅+⋅-+⋅-=- （2）
（1）-（2）得n
n n n n n n T 2)4(282)4(12127⋅--+-=⋅----+-=－
)2(8
2)5(≥+⋅-=∴
n n T n n 0
1=T 适合 综合得
*)
(8
2)5(N n n T n n ∈+⋅-= （12
２０.（Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ， 可得四边形BCGE 为矩形，又ABCD 为矩形，所以AD EG
∥，从而四边形ADGE 为平行
四边形，故AE DG ∥．因为AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF ，
所以AE ∥平面DCF ．………6分
（Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得AB ⊥平面BEFC ， 从而AH EF ⊥．所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角． 在Rt EFG △
中，因为EG AD ==2EF =，
所以60CFE ∠=，1FG =．又因为CE EF ⊥，所以4CF =， 从而3BE CG ==
，于是
sin BH BE BEH =∠=
，
D
A B
E
F
C
H
G
因为tan AB BH AHB =∠所以当AB 为9
2时，
二面角A EF C --的大小为60………12分
2１．（I ）根据题设有4|||,|||12==P F QF QP 4||||||||||1121==+=+∴P F QP QF QF QF 又42||21<=F F 根据椭圆的定义可知Q ∴的轨迹为以F1（-1，0），F2（1，0）为焦
点中心在原点半长轴为2，半焦距为1，半短轴为3的椭圆，其方程为1
342
2=+y x （4
分）
（II ）（i ）设
),(),,(2211y x B y x A ，由⎪⎩⎪
⎨⎧+=++=+=+λλ
λ23
322121y y x x OM MB MA 得 由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+13413422222
121y x y x 两式相减设 2
1232243432121-=++⋅-=++⋅-=λλy y x x k AB （6分）
(ii)设AB 的直线方程为 t
x y +-=21
，代入椭圆C 的方程，整理得
322=-+-t tx x
)4(32t -=∆ 224215)4(3411||t
t AB -⨯=-⨯+=是P 到直线AB 的距离5|24|t d -= )
22(4|2|2
3
2<<---=
∆t t t S MAB （8分）
481]4)36()2()2()2([41)3()2(41432
=
++-+-+-≤+-=t t t t t b t S
29
≤
∴S 当且仅当
时取等号即1362-=+=-t t t （11分）
根
据
韦
达
定
理
得
3
12,12121-=∴-=+=+∴-==+λλx x t x x ⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+⨯-=++=++=++∴0323
3233323233323
03
1
21
21λy y x x 故O 是MAB ∆的重心。

（13分）
2２. （1）由题意可得：
1()cos ,[0,]f x x x π=∈，2()1,[0,]f x x π=∈．
（２分）
（2）21,[1,0)()0,[0,4]x x f x x ⎧∈-=⎨∈⎩，221,[1,1)(),[1,4]x f x x x ∈-⎧⎪=⎨∈⎪⎩，22121,[1,0)()()1,[0,1),[1,4]
x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪
-=∈⎨⎪∈⎩
当[1,0]x ∈-时，
2
1(1),1,2;x k x k x k -≤+∴≥-≥ 当(0,1)x ∈时，
1
1(1),,1;1k x k k x ≤+∴≥
∴≥+
当[1,4]x ∈时，
22
16
(1),,.
15x x k x k k x ≤+∴≥≥+ 综上所述，
165k ≥
． 即存在4k =，使得)(x f 是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。

（７分）
（3）
2
()363(2)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=得0x =或2x =。

函数()f x 的变化情况如下：
令()0f x =得0x =或3x =。

（i ）当2b ≤时，()f x 在[0,]b 上单调递增，因此，32
2()()3f x f x x x ==-+，
1()(0)0f x f ==。

因为32()3f x x x =-+是[0,]b 上的“二阶收缩函数”，所以，
①
21()()2(0)f x f x x -≤-对[0,]x b ∈恒成立；
②存在[0,]x b ∈，使得
21()()(0)
f x f x x ->
-成立。

①即：3232x x x -+≤对[0,]
x b ∈恒成立，由32
32x x x -+≤解得
01x ≤≤或2x ≥。

要使3
2
32x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立，需且只需01b <≤。

②即：存在[0,]x b ∈，使得
2(31)0x x x -+<成立。

由2
(31)0x x x -+<解得0x <x <<。

所以，只需b >。

1b <≤。

（i i ）当23b <≤时，()f x 在[0,2]上单调递增，在[2,]b 上单调递减，因此，
2()(2)4f x f ==，1()(0)0f x f ==，21()()4,0f x f x x x -=-=，显然当0x =时，
21()()2(0)f x f x x -≤-不成立。

（i i i ）当3b >时，()f x 在[0,2]上单调递增，在[2,]b 上单调递减，因此，
2()(2)4f x f ==，1()()0f x f b =<，21()()4()4,0f x f x f b x x -=->-=，
显然当0
x =时，
21()()2(0)f x f x x -≤-不成立。

综合（i ）（i i ）（i i i
1b <≤. １４分。