中考数学(河南地区) 练习 考点跟踪突破29 图形的平移
全国中考数学真题专项强化练习专题：图形的平移(含解析)
全国中考数学真题专项强化练习专题：图形的平移1．将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′．（1）在图2中，除△ADC与△C′BA′全等外，请写出其他2组全等三角形；①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；（2）请选择（1）中的一组全等三角形加以证明．解：（1）由图可得，①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；故答案为：△AA′E≌△C′CF；△A′DF≌△CBE；（2）选△AA′E≌△C′CF，证明如下：由平移性质，得AA′＝C′C，由矩形性质，得∠A＝∠C′，∠AA′E＝∠C′CF＝90°，∴△AA′E≌△C′CF（ASA）．2．已知A（α，0）、B（b，0），点C在y轴上，且由|a+4|+（b﹣2）2＝0．＝6，求C点的坐标；（1）若S△ABC（2）将C向右平移，使OC平分∠ACB，点P是x轴上B点右边的一动点，PQ⊥OC于Q点．当∠ABC﹣∠BAC＝60°时，求∠APQ的度数；（3）在（2）的条件下，将线段AC平移，使经过P点得线段EF，作∠APE的角平分线交OC的延长线于点M．当P点在x轴上运动时，求∠M﹣∠ABC的值．解：（1）设C（0，m）．∵|a+4|+（b﹣2）2＝0，又∵|a+4|≥0，（b﹣2）2≥0，∴a+4＝0，b﹣2＝0，∴a＝﹣4，b＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），∵S＝6，△ABC∴•6•|m|＝6，∴m＝±2∴C（0，2）或（0，﹣2）．（2）∵∠COB＝∠CAO+∠ACB，又∵∠COB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB∴2∠COB＝180°+∠BAC﹣∠ABC，∠ABC﹣∠BAC＝60°∴∠COB＝60°，∴∠APQ＝30°．（3）在△OMP中，∠M+∠MOP+∠MPO＝180°，∠M+∠MPO＝120°∵EF∥AC，∴∠BAC＝∠EPx，∴∠MPO＝90°﹣∠BAC，∠BAC＝∠ABC﹣60°∴∠MPO＝120°﹣∠ABC∴∠M+120°﹣∠ABC＝120°，∴∠M﹣∠ABC＝03．操作与探究：对数轴上的任意一点P．①作出点N使得N和P表示的数互为相反数，再把N对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．我们称P′是P的N变换点；②把P点向右平移1个单位，得到点M，作出点P′′使得P′′和M表示的数互为相反数，我们称P′′是P的M变换点．（1）如图，若点P表示的数是﹣4，则P的N变换点P′表示的数是5；（2）若P的M变换点P′′表示的数是2，则点P表示的数是﹣3；（3）若P′，P′′分别为P的N变换点和M变换点，且OP′＝2OP′′，求点P表示的数．解：（1）如图，由题意点P′表示的数为5，故答案为5．（2）由题意点M表示的数是﹣2，点P表示的数为﹣3，故答案为﹣3．（3）设点P表示的数为x，则点P′表示的数为﹣x+1，点P″表示的数为﹣x﹣1，由题意得|﹣x+1|＝2|﹣x﹣1|，解之得x＝﹣或x＝﹣3，∴点P表示的数为﹣或﹣3．4．（1）如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，D在PQ上，点E在两平行线之间，求证：∠BED＝∠PDE+∠MBE；（2）如图2，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝100°．①若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；②将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示．若∠ADQ＝n°，则∠BED的度数是220°﹣n°度（用关于n的代数式表示）．解：（1）如图1中，作EH∥PQ．∵EH∥PQ，PQ∥MN，∴EH∥MN，∴∠PDE＝∠DEH，∠MBE＝∠BEH，∴∠DEB＝∠DEH+∠BEH＝∠PDE+∠MBE．（2）①如图2中，∵∠CBN＝100°，∴∠MBC＝80°，∵BE平分∠MBC，∴∠MBE＝∠MBC＝40°，∵∠ADQ＝130°，∴∠PDA＝50°，∵ED平分∠PDA，∴∠PDE＝∠PDA＝25°，∴∠BED＝∠PDE+∠MBE＝25°+40°＝65°．②如图3中，∵∠ADQ＝n°，ED平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADQ＝n°，∴∠PDE＝180°﹣n°，∵∠ABE＝40°，∴∠BED＝∠PDE+∠ABE＝180°﹣n°+40°＝220°﹣n°．故答案为220°﹣n°．5．已知AB∥CD．（1）如图1，EOF是直线AB、CD间的一条折线，猜想∠1、∠2、∠3的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若点C在点D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DF所在直线交于点E，若∠ADC＝α，∠ABC＝β，求∠BED的度数（用含有α、β的式子表示）；（3）在（2）的前提下将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ADC＝α，∠ABC＝β，求∠BED的度数（用含有α、β的式子表示）．解：（1）如图1，过O作OM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥0M，∴∠1＝∠EOM，∠3＝∠FOM，∵∠EOF＝∠EOM+∠FOM，∴∠2＝∠1+∠3，（2）如图2，过E作EN∥AB，则EN∥AB∥CD，∴∠BEN＝∠ABE，∠DEN＝∠CDE∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝α+β，答：∠BED＝α+β，（3）如图3，过E作EP∥AB，则EP∥AB∥CD，∴∠PED＝∠EDC，∠PEB+∠ABE＝180°，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，∴∠BED＝∠PED+∠PEB＝α+（180°﹣β）＝α﹣β+180°，答：∠BED＝α﹣β+180°．6．如图1，已知直线a∥b，点A、E在直线a上，点B、F在直线b上，∠ABC＝100°，BD平分∠ABC交直线a于点D，线段EF在线段AB的左侧．若将线段EF沿射线AD的方向平移，在平移的过程中BD所在的直线与EF所在的直线交于点P．试探索∠1的度数与∠EPB的度数有怎样的关系？为了解决以上问题，我们不妨从EF的某些特殊位置研究，最后再进行一般化．【特殊化】（1）如图2，当∠1＝40°，且点P在直线a、b之间时，求∠EPB的度数；（2）当∠1＝70°时，求∠EPB的度数；【一般化】（3）当∠1＝n°时，求∠EPB的度数．（直接用含n的代数式表示）解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝50°，∵∠EPB是△PFB的外角，∴∠EPB＝∠PFB+∠PBF＝∠1+（180°﹣50°）＝170°；（3）①当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝180°﹣|n°﹣50°|；②当交点P在直线a上方或直线b下方时：∠EPB＝|n°﹣50°|；解：（1）如图2，作PG∥a，∴∠EPG＝∠EFC＝40°∵a∥b∴PG∥b∴∠GPB+∠CBD＝180°，又∵BD是∠ABC平分线，且∠ABC＝100°，∴∠GPB＝180°﹣2（1）∠ABC＝130°∴∠EPB＝∠EPG+∠GPB＝170°，（2）①当交点P在直线b的下方时：∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；②当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝50°+（180°﹣∠1）＝160°；③当交点P在直线a的上方时：∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；（3）①当n＞50°时，交点P在直线a上方，∠EPB＝n﹣50°，交点P在直线a、b之间，∠EPB＝230°﹣n交点P在直线b下方，∠EPB＝n﹣50°，②当n＜50°时，交点P在直线a上方，∠EPB＝50°﹣n交点P在直线a、b之间，∠EPB＝130°+n交点P在直线b下方，∠EPB＝50°﹣n．7．如图，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．（1）求∠EOB的度数．（直接写出结果，无需解答过程）∠EOB＝40°（2）若在OC右侧左右平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，请找出变化规律；若不变，请求出这个比值．（3）在OC右侧左右平行移动AB的过程中，是否存在使∠OEC＝∠OBA的情况？若存在，请直接写出∠OEC度数；若不存在，请说明理由．解：（1）∵∠FOB＝∠AOB，∴OB平分∠AOF，又∵OE平分∠COF，∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝∠COA＝×80°＝40°；故答案为：40°；（2）不变因为∠FOB＝∠AOB所以∠AOB＝∠FOA，因为CB∥OA所以∠OBC＝∠AOB，∠OFC＝∠FOA所以∠OBC＝∠OFC，即∠OBC：∠OFC＝；（3）存在，∠OEC＝60°8．图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点和直尺，完成下列各题：（1）补全△A′B'C’；（2）画出BC边长的高线AE；（3）连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是平行且相等；（4）点Q为格点（点Q不与点B重合），且△ACQ的面积等于△ABC的面积，则图中满足要求的Q点共有7个．解：（1）如图所示，△A′B'C'即为所求；（2）如图所示，AE即为所求；（3）由平移可得，AA′，BB′这两条线段之间的关系是平行且相等；故答案为：平行且相等；（4）如图所示，满足要求的Q点共有7个，故答案为：7．9．综合与实践操作发现如图，在平面直角坐标系中，已知线段AB两端点的坐标分别为A（2，6），B（5，2），点M的坐标为（﹣3，6），将线段AB沿AM方向平移，平移的距离为AM的长度．（1）画出AB平移后的线段MN，直接写出点B对应点N的坐标；（2）连接MA，NB，AN，已知AN平分∠MAB，求证：∠MNA＝∠BNA；拓展探索（3）若点P为线段AB上一动点（不含端点），连接PM，PN，试猜想∠AMP，∠MPN 和∠BNP之间的关系，并说明理由．解：（1）所作线段MN如图所示．点N的坐标为（0，2）．（2）证明：根据平移的性质，可知，MA∥NB，MN∥AB，∴∠BNA＝∠MAN，∠MNA＝∠BAN，∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠BAN，∴∠MNA＝∠BNA．（3）结论：∠AMP+∠BNP＝∠MPN．理由如下：如图，过点P作PH∥MA交MN于点H，又∵MA∥NB，∴MA∥HP∥NB，∴∠AMP＝∠MPH，∠BNP＝∠NPH，∴∠AMP+∠BNP＝∠MPH+∠NPH＝∠MPN．10．如图，已知点A（6，0），B（8，5），将线段OA平移至CB，点D（x，0）在x轴正半轴上（不与点A重合），连接OC，AB，CD，BD．（1）求对角线AC的长；（2）△ODC与△ABD的面积分别记为S1，S2，设S＝S1﹣S2，求S关于x的函数解析式，并探究是否存在点D使S与△DBC的面积相等，如果存在，请求出x的值（或取值范围）；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题意知，将线段OA平移至CB，∴四边形OABC为平行四边形，又∵A（6，0），B（8，5），∴点C（2，5）．过点C作CE⊥OA于E，在Rt△CEA中，AC＝＝＝；（2）∵点D的坐标为（x，0），若点D在线段OA上，即当0＜x＜6时，S1＝S△ODC ＝，S2＝S△AED＝，∴S＝S1﹣S2＝5x﹣15，若点D在OA的延长线上，即当x＞6时，S1＝S△ODC ＝，S2＝S△AED＝，∴S＝S1﹣S2＝15，由上可得，S＝，∵S△DBC＝＝15，当0＜x＜6时，S△DBC＝S时，x＝6（与A重合，不合题意，舍去）；当x＞6时，S△DBC＝S，点D在OA延长线上的任意一点处都可满足条件，∴点D所在位置为D（x，0）（x＞6）．11．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，三角形ABC三个顶点与方格纸中小正方形的顶点重合，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，具体要求如下：（1）在图①中平移三角形ABC，点A移动到点P，画出平移后的三角形PMN；（2）在图②中将三角形ABC三个顶点的横、纵坐标都减去2，画出得到的三角形A1B1C1；（3）在图③中建立适当的平面直角坐标系，且A点的坐标为（0，2），C点的坐标为（1，5）．解：（1）如图①所示；（2）如图②所示：（3）如图③所示：12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）C（0，2），D（4，2）S四边形ABDC＝AB•OC＝4×2＝8；（2）存在，当BF＝CD时，三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍．∵C（0，2），D（4，2），∴CD＝4，BF＝CD＝2．∵B（3，0），∴F（1，0）或（5，0）．13．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（2，3），点C在x轴的负半轴上，且AC＝6．（1）直接写出点C的坐标；（2）在y轴上是否存在点P，使得S△POB ＝S△ABC若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）把点C往上平移3个单位得到点H，作射线CH，连接BH，点M在射线CH上运动（不与点C、H重合）．试探究∠HBM，∠BMA，∠MAC之间的数量关系，并证明你的结论．解：（1）∵A（4，0），∴OA＝4，∵AC＝6，∴OC＝2，∴C（﹣2，0）．（2）设P（0，m），由题意：•|m|•2＝××6×3，解得m＝±6，∴P（0，6）或（0，﹣6）．（3）①当点M在点H的上方时，∠MAC＝∠AMB+∠HBM．理由：设AM交BH于J．∵BH∥AC，∴∠CAM＝∠HJM，∵∠HJM＝∠AMB+∠HBM，∴∠MAC＝∠AMB+∠HBM．②当点M在线段CH上（不与C，H重合）时，∠AMB＝∠CAM+∠HBM．理由：作MK ∥HB ．∵HB ∥AC ，∴MK ∥AC ，∴∠HBM ＝∠BMK ，∠CAM ＝∠KMA ，∴∠AMB ＝∠BMK +∠AMK ＝∠CAM +∠HBM ．14．已知点A 在平面直角坐标系中第一象限内，将线段AO 平移至线段BC ，其中点A 与点B 对应．（1）如图1，若A （1，3），B （3，0），连接AB ，AC ，在坐标轴上存在一点D ，使得S △AOD ＝2S △ABC ，求点D 的坐标；（2）如图2，若∠AOB ＝60°，点P 为y 轴上一动点（点P 不与原点重合），请直接写出∠CPO 与∠BCP 之间的数量关系（不用证明）．解：（1）由线段平移，A （1，3）平移到B （3，0），即向右平移2个单位，再向下平移3个单位，点O （0，0）平移后的坐标为（2，﹣3），可得出C （2，﹣3），所以S △ABC ＝，∴S＝9，而△AOD的高是1，△AOD∴△AOD的底为18．∴D（6，0）或D（﹣6，0）或（0，﹣18）或（0，18）；（2）延长BC交y轴于E点，利用OA∥BC及∠AOB＝60°，∴∠AOY＝∠BEY＝30°，再用三角形的内角和为180°，分三种情况可求：①当P在y轴的正半轴上时：∠BCP＝∠CPO+30°．②当P在y轴的负半轴上时：ⅰ：若P在E点上方（含与E点重合）时，∠BCP+∠CPO＝210°．ⅱ：若P在E点下方时，∠BCP＝∠CPO+150°．综合可得：∠CPO与∠BCP的数量关系是：∠BCP＝∠CPO+30°或∠BCP+∠CPO＝210°或∠BCP＝∠CPO+150°．15．先阅读然后解决问题：【阅读】如图（1），在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E沿DE线将△DEA剪切下来，并平移△DEA，使其拼接在△CE′B处这样，原来ABCD就变成一个矩形EE′CD．【问题解决】如图（2），将△ABC通过剪切和拼接，得到一个矩形．要求：（1）剪切线用实线，拼接图用虚线；（2）说明剪下的图形是怎样运动拼接的；（3）加注必要的字母，拼接后的非重合字母在原字母的右上角标注“′”，如：E′解：如图，矩形EGG′E′即为所求．。
中考数学高频考点 图形的平移
图形的平移概述：图形平移时，平移后的图形和平移前的图形是全等形。
图形在平移的过程中，莫些量是不变的，而有些量是按照某些规律变化，这一类题目就是要在图形平移变化的过程中，找到变和不变的量，把握它们的规律，根据题意，探求其中的等量关系，从而达到解题的目的。
1.如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把ΔABC沿着方向平移，得到ΔA´B´C´，当两个三角形重叠部分的面积为时，它移动的距离´等于_____ 。
2.如图①，ΔOAB中，，，将ΔAOB向右平移个单位，得到ΔO´A´B´。
（1）当时，如图②。
若反比例函数的图象经过点A´，一次函数的图象经过A´、B´两点。
求反比例函数及一次函数的表达式。
（4分）（2）若反比例函数的图象经过点A´及A´B´的中点，求的值。
（4分）3.如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形(如图所示).将纸片沿直线方向平移(点A,,,B始终在同一直线上),当点于点B重合时,停止平移.在平移过程中,与交于点E,与、分别交于点F、P.(1)当平移到如图3所示的位置时,猜想图中的与的数量关系,并证明你的猜想;(2)设平移距离为x,PE=y，求出y与x的函数关系式,以及自变量的取值范围;4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4．左右做平行移动的等边三角形DEF 的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上．（1）求△DEF的边长；（2）在△DEF做平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；（3）假设点C与点F的距离为x，△DEF与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并写出它的自变量的取值范围.5.如图,ΔABC中AB=AC,BC=6,点D位BC中点,连接AD,AD=4,AN是ΔABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E.(1)试判断四边形ADCE的形状并说明理由.(2)将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移,设移动时间为秒,平移后的四边形A’D’C’E’与ΔABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数表达式,并写出相应的t的取值范围.6.有一副直角三角板，在三角板中，∠BAC=90°,，在三角板中，∠FDE=90°，，。
2023年九年级中考数学一轮专题练习 图形的平移、折叠和旋转(含解析)
2023年中考数学一轮专题练习 ——图形的平移、折叠和旋转5一、单选题（本大题共12小题）1. （重庆市2022年）下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．2. （浙江省台州市2022年）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B ，C 所在直线为x 轴、队形的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系．若飞机E 的坐标为(40，a )，则飞机D 的坐标为（ ）A ．(40,)a -B ．(40,)a -C ．(40,)a --D ．(,40)a - 3. （浙江省嘉兴市2022年）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿对角线BD 方向平移1cm 得到正方形A B C D ''''，形成一个“方胜”图案，则点D ，B ′之间的距离为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．－1)cmD ．(2－1)cm4. （浙江省杭州市2022年）如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在1M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()21M-，()31,4M，4112,2M⎛⎫⎪⎝⎭四个点中，直线PB经过的点是（）A．1M B．2M C．3M D．4M5. （四川省德阳市2022年）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6. （四川省广安市2022年）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（）A．2 B．C．1.5 D7. （黑龙江省省龙东地区2022年）下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．8. （北京市2022年）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．59. （福建省2022年）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中90ABC ∠=︒，60CAB ∠=︒，AB ＝8，点A 对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC 移动到A B C '''，点A '对应直尺的刻度为0，则四边形ACC A ''的面积是（ ）A ．96B ．C ．192D ． 10. （广东省2022年）在平面直角坐标系中，将点()1,1向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）A ．()3,1B ．()1,1-C ．()1,3D ．()1,1- 11. （广西百色市2022年）如图，在△ABC 中，点A （3，1），B （1，2），将△ABC 向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B 的对应点B ′的坐标为（ ）A ．（3，-3）B ．（3，3）C ．（－1，1）D ．（－1，3） 12. （浙江省金华市2022年）如图是一张矩形纸片ABCD ，点E 为AD 中点，点F 在BC 上，把该纸片沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A B A E '''，，与BC 相交于点G ，B A ''的延长线过点C ．若23BF GC =，则AD AB的值为（ ）A ．B ．C ．207D ．83二、填空题（本大题共6小题）13. （浙江省丽水市2022年）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B 点的坐标是(，则A 点的坐标是 ．14. （浙江省台州市2022年）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为2cm．15. （山东省潍坊市2022年）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75︒，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B''的坐标为．16. （浙江省台州市2022年）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B 重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．17. （浙江省丽水市2022年）一副三角板按图1放置，O 是边()BC DF 的中点，12cm BC =．如图2，将ABC 绕点O 顺时针旋转60︒，AC 与EF 相交于点G ，则FG 的长是 cm ．18. （山东省潍坊市2022年）小莹按照如图所示的步骤折叠A 4纸，折完后，发现折痕AB ′与A 4纸的长边AB 恰好重合，那么A 4纸的长AB 与宽AD 的比值为 ．三、解答题（本大题共9小题）19. （浙江省丽水市2022年）如图，将矩形纸片折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P 处，折痕为．(1)求证：PDE CDF △≌△；(2)若4cm,5cm CD EF ==，求BC 的长．20. （浙江省丽水市2022年）如图，在66⨯的方格纸中，点A ，B ，C 均在格点上，试按要求画出相应格点图形．ABCDEF(1)如图1，作一条线段，使它是AB 向右平移一格后的图形；(2)如图2，作一个轴对称图形，使AB 和AC 是它的两条边；(3)如图3，作一个与ABC 相似的三角形，相似比不等于1．21. （黑龙江省省龙东地区2022年）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,5B -，()5,4C -．(1)将ABC 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到111A B C △，画出两次平移后的111A B C △，并写出点1A 的坐标；(2)画出111A B C △绕点1C 顺时针旋转90°后得到221A B C △，并写出点2A 的坐标；(3)在（2）的条件下，求点1A 旋转到点2A 的过程中所经过的路径长（结果保留π）． 22. （四川省广安市2022年）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形， 下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）23. （黑龙江省2022年）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．（1）在图中画出点O的位置；（2）将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（3）在网格中画出格点M，使A1M平分∠B1A1C124. （黑龙江省齐齐哈尔市2022年）综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中，AB=2，BC=3，则GHCE=；(3)当AB=m , BC=n时．GHCE=．(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC （如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为．25. （黑龙江省省龙东地区2022年）ABC和ADE都是等边三角形．(1)将ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA PB PC+=（或PA PC PB+=）成立；请证明．(2)将ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．26. （北京市2022年）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,),.M a b N 对于点P 给出如下定义：将点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度，再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度，得到点P'，点P'关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．(1)如图，点(1,1),M 点N 在线段OM 的延长线上，若点(2,0),P -点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q ；②连接,PQ 交线段ON 于点.T 求证：1;2NT OM = (2)O 的半径为1，M 是O 上一点，点N 在线段OM 上，且1(1)2ON t t =<<，若P 为O 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接.PQ 当点M 在O 上运动时直接写出PQ 长的最大值与最小值的差（用含t 的式子表示）27. （河南省2022年）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平； 操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在矩形内部点M 处，把纸片展平，连接PM ，BM ．根据以上操作，当点M 在EF 上时，写出图1中一个30°的角： ．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝ °，∠CBQ＝ °；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．参考答案1. 【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】A.不是轴对称图形，故A错误；B.不是轴对称图形，故B错误；C.是轴对称图形，故C正确；D.不是轴对称图形，故D错误．故选：C．2. 【答案】B【分析】直接利用关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案．【详解】解：根据题意，点E与点D关于y轴对称，∵飞机E的坐标为(40，a)，∴飞机D的坐标为(-40，a)，故选：B．3. 【答案】D【分析】-′求解即可．先求出BD，再根据平移性质求得BB'=1cm，然后由BD BB【详解】解：由题意，BD=，由平移性质得BB'=1cm，∴点D，B′之间的距离为DB'=BD BB-′=（1）cm，故选：D．4. 【答案】B【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y+2中可解答．【详解】解：∵点A（4，2），点P（0，2），∴PA ⊥y 轴，PA =4，由旋转得：∠APB =60°，AP =PB =4，如图，过点B 作BC ⊥y 轴于C ，∴∠BPC =30°，∴BC =2，PC∴B （2，2+2设直线PB 的解析式为：y =kx +b ，则222k b b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩∴2k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴直线PB 的解析式为：y =x +2，当y =0+2=0，x∴点M 1（-0）不在直线PB 上，当x y =-3+2=1，∴M 2（-1）在直线PB 上，当x =1时，y =+2，∴M 3（1，4）不在直线PB 上，当x =2时，y ，∴M 4（2，112）不在直线PB 上． 故选：B ．5. 【答案】A【分析】根据轴对称和中心对称的定义逐项判断即可．轴对称图形是把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合；中心对称图形是把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合．【详解】A 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；B 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；D 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；故选：A ．6. 【答案】A【分析】取AB 中点G 点，根据菱形的性质可知E 点、G 点关于对角线AC 对称，即有PE =PG ，则当G 、P 、F 三点共线时，PE +PF =PG +PF 最小，再证明四边形AGFD 是平行四边形，即可求得FG =AD ．【详解】解：取AB 中点G 点，连接PG ，如图，∵四边形ABCD 是菱形，且边长为2，∴AD =DC =AB =BC =2，∵E 点、G 点分别为AD 、AB 的中点，∴根据菱形的性质可知点E 、点G 关于对角线AC 轴对称，∴PE =PG ，∴PE +PF =PG +PF ，即可知当G 、P 、F 三点共线时，PE +PF =PG +PF 最小，且为线段FG ，如下图，G 、P 、F 三点共线，连接FG ，∵F 点是DC 中点，G 点为AB 中点，∴， 1122DF DC AB AG ===∵在菱形ABCD 中，，∴，∴四边形AGFD 是平行四边形，∴FG =AD =2，故PE +PF 的最小值为2，故选：A ．7. 【答案】C【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：∵是轴对称图形，也是中心对称图形， ∴不符合题意；∵是轴对称图形，不是中心对称图形∴不符合题意；∵不是轴对称图形，是中心对称图形∴符合题意；∵是轴对称图形，不是中心对称图形∴不符合题意；故选C ．8. 【答案】D【分析】根据题意，画出该图形的对称轴，即可求解．【详解】解∶如图，DC AB ∥DF AG ∥一共有5条对称轴．故选：D9. 【答案】B【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形ACC A ''的面积为sin602sin60AA AC AB AA ⋅'︒︒⋅'=，即可求解．【详解】解：依题意ACC A ''为平行四边形，∵90ABC ∠=︒，60CAB ∠=︒，AB ＝8，12AA '=．2AC AB ∴=∴平行四边形ACC A ''的面积=sin602sin60AA AC AB AA ''⋅︒=︒⋅2812=⨯⨯=故选B10. 【答案】A【分析】把点()1,1的横坐标加2，纵坐标不变，得到()3,1，就是平移后的对应点的坐标．【详解】解：点()1,1向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为()3,1．故选A ．11. 【答案】D【分析】根据图形的平移性质求解．【详解】解：根据图形平移的性质，B ′（1-2，2+1），即B ′（-1，3）；故选：D ．12. 【答案】A【分析】令BF =2x ，CG =3x ，FG =y ，易证CGA CFB ''△∽△，得出CG A G CF B F'='，进而得出y =3x ，则AE =4x ，AD =8x ，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，根据勾股定理得出EH =，最后求出AD AB的值． 【详解】解：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，又四边形ABCD 为矩形，∴∠A =∠B =∠D =∠BCD =90°，AD =BC ，∴四边形ABHE 和四边形CDEH 为矩形，∴AB =EH ，ED =CH ， ∵23BF GC =， ∴令BF =2x ，CG =3x ，FG =y ，则CF =3x +y ，2B F x '=，， 由题意，得==90CA G CB F ''︒∠∠，又GCA '∠为公共角，∴CGA CFB ''△∽△， ∴CG A GCF B F '='， 则53232x yx x y x-=+，整理，得()()30x y x y +-=，解得x =-y （舍去），y =3x ，∴AD =BC =5x +y =8x ，EG =3x ，HG =x ，在Rt △EGH 中EH 2+HG 2=EG 2，则EH 2+x 2=(3x )2，解得EH=， EH=-(舍)，∴AB=，∴ADAB ==．故选：A ．13.【答案】3A【分析】 52x y A G -'=如图，延长正六边形的边BM 与x 轴交于点E ，过A 作AN x ⊥轴于N ，连接AO ，BO ，证明,BOE AON 可得,,A O B 三点共线，可得,A B 关于O 对称，从而可得答案．【详解】解：如图，延长正六边形的边BM 与x 轴交于点E ，过A 作AN x ⊥轴于N ，连接AO ，BO ，∴ 三个正六边形，O 为原点，,120,BM MO OH AH BMO OHA,BMO OHA ≌,OB OA 11209030,18012030,2MOE BMO MOB60,90,BOE BEO同理：120303060,906030,AON OAN,BOE AON,,A O B ∴三点共线，,A B ∴关于O 对称，3,3.A故答案为：3.A14. 【答案】8【分析】根据平移的性质即可求解．【详解】解：由平移的性质S △A ′B ′C ′=S △ABC ，BC =B ′C ′，BC ∥B ′C ′，∴四边形B ′C ′CB 为平行四边形，∵BB ′⊥BC ，∴四边形B ′C ′CB 为矩形，∵阴影部分的面积=S △A ′B ′C ′+S 矩形B ′C ′CB -S △ABC=S 矩形B ′C ′CB=4×2=8(cm 2)．故答案为：8．15.【答案】(1)【分析】连接OB ，OB '由题意可得∠BOB '=75°，可得出∠COB '=30°，可求出B '的坐标，即可得出点B ''的坐标．【详解】解：如图：连接OB ，OB '，作B M '⊥y 轴∵ABCO 是正方形，OA =2∴∠COB =45°，OB=∵绕原点O 逆时针旋转75︒∴∠BOB '=75°∴∠COB '=30°∵=OB =∴，∴∵沿y 轴方向向上平移1个单位长度∴故答案为：16. 【答案】6-【分析】当点M 与点B 重合时，EF垂直平分AB ，利用三角函数即可求得EF的长；【详解】解：当点M 与点B 重合时，由折叠的性质知EF 垂直平分AB ，∴AE =EB =12AB =3， OB 'MB 'MO =B '(B ''(1)(1)在Rt △AEF 中，∠A =60°，AE =3，tan60°=EF AB， ∴EF =3当AF 长取得最小值时，DF 长取得最大值，由折叠的性质知EF 垂直平分AM ，则AF =FM ，∴FM ⊥BC 时，FM 长取得最小值，此时DF 长取得最大值，过点D 作DG ⊥BC 于点C ，则四边形DGMF 为矩形，∴FM =DG ，在Rt △DGC 中，∠C =∠A =60°，DC =AB =6，∴DG =DC sin60°∴DF 长的最大值为AD -AF =AD -FM =AD -DG =6-3故答案为：36-317. 【答案】3【分析】BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，根据锐角三角函数即可得DE ，FE ，根据旋转的性质得ONF △是直角三角形，根据直角三角形的性质得3ON =，即3NC =，根据角之间的关系得CNG △是等腰直角三角形，即3NG NC ==cm ，根据90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒得FON FED △∽△，即ON FN DE DF=，解得FN = 【详解】解：如图所示，BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，在Rt EDF 中，12tan tan 60DF DE EDF ===∠︒12sin sin 60DF EF EDF ===∠︒∵△ABC 绕点O 顺时针旋转60°，∴60BOD NOF ∠=∠=︒，∴90NOF F ∠+∠=︒，∴18090FNO NOF F ∠=︒-∠-∠=︒，∴ONF △是直角三角形， ∴132ON OF ==（cm ）， ∴3NC OC ON =-=（cm ），∵90FNO ∠=︒，∴18090GNC FNO ∠=︒-∠=︒，∴NGC 是直角三角形，∴18045NGC GNC ACB ∠=-∠-∠=︒，∴CNG △是等腰直角三角形，∴3NG NC ==cm ，∵90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒，∴FON FED △∽△， 即ON FN DE DF=，12FN =，FN =∴3FG FN NG =-=（cm ），故答案为：3．18. 1【分析】判定△AB ′D ′是等腰直角三角形，即可得出AB ′=AD ，再根据AB ′= AB ，再计算即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠B =∠DAB =90°，由操作一可知：∠DAB ′=∠D ′AB ′=45°，∠AD ′B ′=∠D =90°，AD =AD ′，∴△AB ′D ′是等腰直角三角形，∴AD =AD ′= B ′D ′，由勾股定理得AB ′=，又由操作二可知：AB ′=AB ，∴=AB ，∴AB AD=， ∴A 4纸的长AB 与宽AD：1．故答案为：：1．19. 【答案】(1)证明见解析 (2)163cm 【分析】（1）利用ASA 证明即可；（2）过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，求出FG 的长，设AE =x ，用x 表示出DE 的长，在Rt △PED 中，由勾股定理求得答案．(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠B =∠ADC =∠C =90°，由折叠知，AB =PD ，∠A =∠P ，∠B =∠PDF =90°，∴PD =CD ，∠P =∠C ，∠PDF =∠ADC ，∴∠PDF -∠EDF =∠ADC -∠EDF ,∴∠PDE =∠CDF ，在△PDE 和△CDF 中，P C PD CDPDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴PDE CDF △≌△（ASA ）；(2)如图，过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形,∴AB =CD =EG =4cm ，又∵EF =5cm ，∴3GF =,设AE =x ，∴EP =x ，由PDE CDF △≌△知，EP =CF =x ，∴DE =GC =GF +FC =3+x ，在Rt △PED 中，222PE PD DE +=,即()22243x x +=+， 解得，76x =， ∴BC =BG +GC = 77163663++=cm ． 20. 【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)画图见解析【分析】（1）分别确定A ，B 平移后的对应点C ，D ，从而可得答案；（2）确定线段AB ，AC 关于直线BC 对称的线段即可；（3）分别计算ABC 的三边长度，再利用相似三角形的对应边成比例确定DEF 的三边长度，再画出DEF 即可．(1)解：如图，线段CD 即为所求作的线段，(2)如图，四边形ABDC 是所求作的轴对称图形，(3)如图，如图，DEF 即为所求作的三角形，由勾股定理可得：221310,2,ABAC 而2,BC = 同理：2226210,22,DF DE 而4,EF 1,2AB AC BC DF DE EF .ABC DFE ∽21. 【答案】(1)见解析；()15,3A -(2)见解析；()22,4A(3)点1A 旋转到点2A 所经过的路径长为5π2【分析】（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可；（2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；（3）根据旋转可得点1A 旋转到点2A 为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可．(1)解：如图所示△A 1B 1C 1即为所求，()15,3A -；(2)如图所示△A 2B 2C 2即为所求，；(3)∵ ∴点旋转到点所经过的路径长为． 22. 【答案】见解析【分析】根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义画出图形即可 ()22,4A 115AC 1A 2A 90π55π1802⨯=【详解】解：如下图所示：23. 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；【分析】（1）连接对应点B 、F ，对应点C 、E ，其交点即为旋转中心的位置；（2）利用网格结构找出平移后的点的位置，然后顺次连接即可；（3）根据网格结构的特点作出即可．【详解】解：（1）如图所示，连接BF ，CE 交于点O ，点O 即为所求．（2）如图所示，△A 1B 1C 1为所求；（3）如图所示，点M 即为所求．理由：连接11,B M C M ，根据题意得：111111A B AC B M C M ====∴四边形111A B MC 菱形，∴A 1M 平分∠B 1A 1C 1．24. 【答案】(1)12GH CE =，证明见解析 (2)13GH CE = (3)2GH m CE n =(4)【分析】（1）先证明△ABF ≌△CBE ，得AF =CE ，再根据中位线性质得GH =12AF ，等量代换即可； （2）连接AF ，先证明△ABF ∽△CBE ，得到AF ：CE 的比值，再根据中位线性质得GH =12AF ，等量代换即可； （3）连接AF ，先证明△ABF ∽△CBE ，用含m 、n 的代数式表达出AF ：CE 的比值，再根据中位线性质得GH =12AF ，等量代换即可； （4）过M 作MH ⊥AB 于H ，根据折叠性质得∠C =∠MPN ，根据角平分线证明出∠C =∠PMH ，设CM =PM =x ，HM =y ，根据三角函数定义找到x 、y 之间的关系，再利用△AHM ∽△ABC ，得到CM BC H AM A =，代入解方程即可． (1) 解：12GH CE =，理由如下： ∵AB =BC ，四边形ABCD 为矩形，∴四边形ABCD 为正方形，∴∠ABC =∠CBE =90°，∵E 、F 为BC ，AB 中点，∴BE =BF ，∴△ABF ≌△CBE ，∴AF =CE ，∵H 为DF 中点，G 为AD 中点，∴GH =12AF ， ∴12GH CE =． (2) 解：13GH CE =， 连接AF ，如图所示，由题意知，BF =12AB =1，BE =12BC =32， ∴， 由矩形ABCD 性质及旋转知，∠ABC =∠CBE =90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF ：CE =2:3，∵G 为AD 中点，H 为DF 中点，∴GH =， ∴． 故答案为：． (3)解：， 连接AF ，如图所示，23AB BF BC BE ==12AF 13GH CE =132GH m CE n=由题意知，BF ==，BE ==， ∴， 由矩形ABCD 性质及旋转知，∠ABC =∠CBE =90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF ：CE =m ：n ，∵G 为AD 中点，H 为DF 中点，∴GH =， ∴． 故答案为：． (4)解：过M 作MH ⊥AB 于H ，如图所示，由折叠知，CM =PM ，∠C =∠MPN ，12AB 2m 12BC 2n AB BF m BC BE n==12AF 2GH m CE n =2mn∵PM 平分∠APN ，∴∠APM =∠MPN ，∴∠C =∠APM ，∵AB =2，BC =3，∴AC设CM =PM =x ，HM =y ，由知，， 即，∵HM ∥BC ，∴△AHM ∽△ABC ，∴， 即，， ∴，解得：x， 故答案为：． 25. 【答案】(1)证明见解析(2)图②结论：PB PA PC =+，证明见解析(3)图③结论：PA PB PC +=【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，PA =0，即可得出结论；（2）在BP 上截取BF CP =，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ∠=∠，再证明CAP BAF ≌△△（SAS ），得CAP BAF ∠=∠，AF AP =，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论；（3）在CP 上截取CF BP =，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ∠=∠，再证明BAP CAF ≌△△（SAS ），得出CAF BAP ∠=∠，AP AF =，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论：PA PB PF CF PC +=+=．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵点P 与点A 重合，∴PB =AB ，PC =AC ，PA =0，sin sin C APM ∠=∠AB HM AC PM =y x =y =C M BC H AM A =3y =3y =3=∴PA PB PC +=或PA PC PB +=；(2)解：图②结论：PB PA PC =+证明：在BP 上截取BF CP =，连接AF ，∵ABC 和ADE 都是等边三角形， ∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒ ∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠， ∴BAD CAE ∠=∠，∴BAD CAE ≌（SAS ），∴ABD ACE ∠=∠，∵AC =AB ，CP =BF ，∴CAP BAF ≌△△（SAS ），∴CAP BAF ∠=∠，AF AP =， ∴CAP CAF BAF CAF ∠+∠=∠+∠， ∴60FAP BAC ∠=∠=︒，∴AFP 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PC PF BF PB +=+=；(3)解：图③结论：PA PB PC +=，理由：在CP 上截取CF BP =，连接AF ，∵ABC 和ADE 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒∴BAC BAE DAE BAE ∠+∠=∠+∠，∴BAD CAE ∠=∠，∴BAD CAE ≌（SAS ），∴ABD ACE ∠=∠，∵AB =AC ，BP =CF ，∴BAP CAF ≌△△（SAS ），∴CAF BAP ∠=∠，AP AF =，∴BAF BAP BAF CAF ∠+∠=∠+∠，∴60FAP BAC ∠=∠=︒，∴AFP 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PB PF CF PC +=+=，即PA PB PC +=．26. 【答案】(1)见解析(2)42t -【分析】（1）①先根据定义和(1,1)M 求出点P'的坐标，再根据点P'关于点N 的对称点为Q 求出点Q 的坐标；②延长ON 至点()3,3A ，连接AQ ，利用AAS 证明ΔΔAQT OPT ≅，得到12TA TO OA ==，再计算出OA ，OM ，ON ，即可求出12NT ON OT OM =-==； （2）连接PO 并延长至S ，使OP OS =，延长SQ 至T ，使ST OM =，结合对称的性质得出NM 为Δ'P QT 的中位线，推出1=2NM QT ，得出()12221SQ ST TQ t t =-=--=-，则()()max min 2PQ PQ PS QS PS QS QS -=+--=．(1)解：①点Q 如下图所示．∵点(1,1)M ，∴点(2,0)P -向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P'， ∴()'1,1P -，∵点P'关于点N 的对称点为Q ，()2,2N ，∴点Q 的横坐标为：()2215⨯--=，纵坐标为：2213⨯-=，∴点()5,3Q ，在坐标系内找出该点即可；②证明：如图延长ON 至点()3,3A ，连接AQ ，∵ //AQ OP ，∴AQT OPT ∠=∠，在ΔAQT 与ΔOPT ∠中，AQT OPT ATQ OTP AQ OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ΔΔAQT OPT AAS ≅， ∴12TA TO OA ==， ∵ ()3,3A ，(1,1)M ，(2,2)N ，∴OA ==OMON =∴12TO OA ==∴NT ON OT =-= ∴12NT OM =； (2)解：如图所示，连接PO 并延长至S ，使OP OS =，延长SQ 至T ，使ST OM =，∵(,)M a b ，点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度，再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度，得到点P'，∴'1PP OM ==，∵点P'关于点N 的对称点为Q ，∴'NP NQ =，又∵OP OS =，∴OM ∥ST ，∴NM 为Δ'P QT 的中位线，∴//NM QT ，1=2NM QT ， ∵1NM OM ON t =-=-，∴222TQ NM t ==-，∴()12221SQ ST TQ t t =-=--=-，在ΔPQS 中，PS QS PQ PS QS -<<+，结合题意，max PQ PS QS =+，min PQ PS QS =-，∴()()max min 242PQ PQ PS QS PS QS QS t -=+--==-，即PQ 长的最大值与最小值的差为42t -．27. 【答案】(1)BME ∠或ABP ∠或PBM ∠或MBC ∠(2)①15，15；②MBQ CBQ ∠=∠，理由见解析 (3)4011AP =cm 或24cm 13【分析】（1）根据折叠的性质，得12BE BM =，结合矩形的性质得30BME ∠=︒，进而可得30ABP PBM MBC ∠=∠=∠=︒； （2）根据折叠的性质，可证()Rt Rt HL BQM BQC ∆≅∆，即可求解；（3）由（2）可得QM QC =，分两种情况：当点Q 在点F 的下方时，当点Q 在点F 的上方时，设AP PM x ==，分别表示出PD ，DQ ，PQ ，由勾股定理即可求解．(1) 解：12AE BE AB AB BM ===， 12BE BM =∴ 90BEM ∠=︒∵30BME ∠=︒∴60MBE ∠=︒∴ABP PBM ∠=∠∵30ABP PBM MBC ∠=∠=∠=︒∴(2)∵四边形ABCD 是正方形∴AB =BC ，∠A =∠ABC =∠C =90°由折叠性质得：AB =BM ，∠PMB =∠BMQ =∠A =90°∴BM =BC①BM BC BQ BQ ==∵，∴()Rt Rt HL BQM BQC ∆≅∆MBQ CBQ ∠=∠∴30MBC15MBQ CBQ ∠=∠=︒∴②BM BC BQ BQ ==∵，()Rt Rt HL BQM BQC ∆≅∆∴MBQ CBQ ∠=∠∴(3)当点Q 在点F 的下方时，如图，1cm 4cm 8cm FQ DF FC AB ====∵，，8413(cm)QC CD DF FQ =--=--=∴，DQ =DF +FQ =4+1=5(cm) 由（2）可知，QM QC =设8AP PM x PD x ===-，，222PD DQ PQ +=∴，即()()222853x x -+=+ 解得：4011x =∴40cm 11AP =； 当当点Q 在点F 的上方时，如图，1cm 4cm 8cm FQ DF FC AB ====∵，， 5QC =∴cm ，DQ =3cm ， 由（2）可知，QM QC =设8AP PM x PD x ===-，，222PD DQ PQ +=∴，即()()222835x x -+=+ 解得：2413x =∴24cm 13AP =．。
2024河南中考数学一轮知识点复习专题 图形的对称、平移与旋转 课件
′′
两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,
那么交点在对称轴上.
续表
性
质
轴对称图形
∠
∠ = ⑩____,
对应角 ∠ = ⑪_______,
∠
相等
∠
∠ = ⑫_______
轴对称
∠′
∠ = ⑬_____,
∠′
∠ = ⑭_____,
, −
坐标为_________.
图（2）
（6）如图（3），点 为边 上一动点，将 △ 沿直线
翻折，点 的对应点为 5 ，当 5 与坐标轴垂直时，
− 或
的长度为______________.
图（3）
【思路点拨】
（6）应分 5 ⊥ 轴与 5 ⊥ 轴两种情况讨论.
图（1）
（4）将 △ 向右平移2个单位长度，再向上平移 个单位长度，点 的
对应点 3 落在反比例函数 =
4
的图象上，则点 的对应点 3 的坐标为
, +
___________.
（5）如图（2），作 △ 关于直线 的对称图形 △ 4 ，
再作 △ 4 关于直线 4 的对称图形 △ 4 4 ，则点 4 的
拓展：若点 , 的坐标分别为 1 , 1 , 2 , 2 ,则线段 的中点 的坐标
为
1 +2 1 +2
,
2
2
（中点坐标公式）.
命题角度1 图形变换与坐标
例1 一题多问 如图（1），在平面直角坐标系中，点 在第一象限，点 在
轴的正半轴上， ∠ = ∠ = 30∘ ， = 2 .
中考数学总复习 第7章 第29讲 图形的平移课件
第十六页，共26页。
1．对应点的距离等于平移的距离； 2．利用“平移前后的两个图形全等”“平移前后对应线 段平行(或在同一条直线(zhíxiàn)上)且相等”是解决平移 问题的基本方法．
(－2，3)
．
第十八页，共26页。
2．(2011·湛江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个 顶点(dǐngdiǎn)的坐标分别为A(－3，5)，B(－4，3)，C(－1，1)． (1)作出向右平移5个单位的△A1B1C1； (2)作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁
丝的长度关系是( )
D
A．甲种方案所用铁丝(tiě sī)最长 B．乙种方案所用铁丝(tiě sī)最长 C．丙种方案所用铁丝(tiě sī)最长 D．三种方案所用铁丝(tiě sī)一样长
第十二页ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ共26页。
2．(2014·滨州)如图，如果把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向
根据旋转和平移可得∠GEF＝90°，∠CBE＝90°，CG∥EB，CB＝BE， ∵CG∥EB，∴∠BCG＋∠CBE＝180°，∴∠BCG＝90°， ∴四边形BCGE是矩形，∵CB＝BE，∴四边形CBEG是正方形
第二十五页，共26页。
图形的平移，关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图 形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连结各 组对应点的线段(xiànduàn)平行(或在同一直线上)且相等．
中考数学真题专项强化练习专题：图形的平移(含解析)
冲刺2020年全国中考数学真题专项强化练习专题：图形的平移1．将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′．（1）在图2中，除△ADC与△C′BA′全等外，请写出其他2组全等三角形；①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；（2）请选择（1）中的一组全等三角形加以证明．解：（1）由图可得，①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；故答案为：△AA′E≌△C′CF；△A′DF≌△CBE；（2）选△AA′E≌△C′CF，证明如下：由平移性质，得AA′＝C′C，由矩形性质，得∠A＝∠C′，∠AA′E＝∠C′CF＝90°，∴△AA′E≌△C′CF（ASA）．2．已知A（α，0）、B（b，0），点C在y轴上，且由|a+4|+（b﹣2）2＝0．＝6，求C点的坐标；（1）若S△ABC（2）将C向右平移，使OC平分∠ACB，点P是x轴上B点右边的一动点，PQ⊥OC于Q点．当∠ABC﹣∠BAC＝60°时，求∠APQ的度数；（3）在（2）的条件下，将线段AC平移，使经过P点得线段EF，作∠APE的角平分线交OC的延长线于点M．当P点在x轴上运动时，求∠M﹣∠ABC的值．解：（1）设C（0，m）．∵|a+4|+（b﹣2）2＝0，又∵|a+4|≥0，（b﹣2）2≥0，∴a+4＝0，b﹣2＝0，∴a＝﹣4，b＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），∵S＝6，△ABC∴•6•|m|＝6，∴m＝±2∴C（0，2）或（0，﹣2）．（2）∵∠COB＝∠CAO+∠ACB，又∵∠COB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB∴2∠COB＝180°+∠BAC﹣∠ABC，∠ABC﹣∠BAC＝60°∴∠COB＝60°，∴∠APQ＝30°．（3）在△OMP中，∠M+∠MOP+∠MPO＝180°，∠M+∠MPO＝120°∵EF∥AC，∴∠BAC＝∠EPx，∴∠MPO＝90°﹣∠BAC，∠BAC＝∠ABC﹣60°∴∠MPO＝120°﹣∠ABC∴∠M+120°﹣∠ABC＝120°，∴∠M﹣∠ABC＝03．操作与探究：对数轴上的任意一点P．①作出点N使得N和P表示的数互为相反数，再把N对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．我们称P′是P的N变换点；②把P点向右平移1个单位，得到点M，作出点P′′使得P′′和M表示的数互为相反数，我们称P′′是P的M变换点．（1）如图，若点P表示的数是﹣4，则P的N变换点P′表示的数是5；（2）若P的M变换点P′′表示的数是2，则点P表示的数是﹣3；（3）若P′，P′′分别为P的N变换点和M变换点，且OP′＝2OP′′，求点P表示的数．解：（1）如图，由题意点P′表示的数为5，故答案为5．（2）由题意点M表示的数是﹣2，点P表示的数为﹣3，故答案为﹣3．（3）设点P表示的数为x，则点P′表示的数为﹣x+1，点P″表示的数为﹣x﹣1，由题意得|﹣x+1|＝2|﹣x﹣1|，解之得x＝﹣或x＝﹣3，∴点P表示的数为﹣或﹣3．4．（1）如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，D在PQ上，点E在两平行线之间，求证：∠BED＝∠PDE+∠MBE；（2）如图2，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝100°．①若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；②将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示．若∠ADQ＝n°，则∠BED的度数是220°﹣n°度（用关于n的代数式表示）．解：（1）如图1中，作EH∥PQ．∵EH∥PQ，PQ∥MN，∴EH∥MN，∴∠PDE＝∠DEH，∠MBE＝∠BEH，∴∠DEB＝∠DEH+∠BEH＝∠PDE+∠MBE．（2）①如图2中，∵∠CBN＝100°，∴∠MBC＝80°，∵BE平分∠MBC，∴∠MBE＝∠MBC＝40°，∵∠ADQ＝130°，∴∠PDA＝50°，∵ED平分∠PDA，∴∠PDE＝∠PDA＝25°，∴∠BED＝∠PDE+∠MBE＝25°+40°＝65°．②如图3中，∵∠ADQ＝n°，ED平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADQ＝n°，∴∠PDE＝180°﹣n°，∵∠ABE＝40°，∴∠BED＝∠PDE+∠ABE＝180°﹣n°+40°＝220°﹣n°．故答案为220°﹣n°．5．已知AB∥CD．（1）如图1，EOF是直线AB、CD间的一条折线，猜想∠1、∠2、∠3的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若点C在点D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DF所在直线交于点E，若∠ADC＝α，∠ABC＝β，求∠BED的度数（用含有α、β的式子表示）；（3）在（2）的前提下将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ADC＝α，∠ABC＝β，求∠BED的度数（用含有α、β的式子表示）．解：（1）如图1，过O作OM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥0M，∴∠1＝∠EOM，∠3＝∠FOM，∵∠EOF＝∠EOM+∠FOM，∴∠2＝∠1+∠3，（2）如图2，过E作EN∥AB，则EN∥AB∥CD，∴∠BEN＝∠ABE，∠DEN＝∠CDE∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝α+β，答：∠BED＝α+β，（3）如图3，过E作EP∥AB，则EP∥AB∥CD，∴∠PED＝∠EDC，∠PEB+∠ABE＝180°，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，∴∠BED＝∠PED+∠PEB＝α+（180°﹣β）＝α﹣β+180°，答：∠BED＝α﹣β+180°．6．如图1，已知直线a∥b，点A、E在直线a上，点B、F在直线b上，∠ABC＝100°，BD平分∠ABC交直线a于点D，线段EF在线段AB的左侧．若将线段EF沿射线AD的方向平移，在平移的过程中BD所在的直线与EF所在的直线交于点P．试探索∠1的度数与∠EPB的度数有怎样的关系？为了解决以上问题，我们不妨从EF的某些特殊位置研究，最后再进行一般化．【特殊化】（1）如图2，当∠1＝40°，且点P在直线a、b之间时，求∠EPB的度数；（2）当∠1＝70°时，求∠EPB的度数；【一般化】（3）当∠1＝n°时，求∠EPB的度数．（直接用含n的代数式表示）解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝50°，∵∠EPB是△PFB的外角，∴∠EPB＝∠PFB+∠PBF＝∠1+（180°﹣50°）＝170°；（3）①当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝180°﹣|n°﹣50°|；②当交点P在直线a上方或直线b下方时：∠EPB＝|n°﹣50°|；解：（1）如图2，作PG∥a，∴∠EPG＝∠EFC＝40°∵a∥b∴PG∥b∴∠GPB+∠CBD＝180°，又∵BD是∠ABC平分线，且∠ABC＝100°，∴∠GPB＝180°﹣2（1）∠ABC＝130°∴∠EPB＝∠EPG+∠GPB＝170°，（2）①当交点P在直线b的下方时：∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；②当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝50°+（180°﹣∠1）＝160°；③当交点P在直线a的上方时：∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；（3）①当n＞50°时，交点P在直线a上方，∠EPB＝n﹣50°，交点P在直线a、b之间，∠EPB＝230°﹣n交点P在直线b下方，∠EPB＝n﹣50°，②当n＜50°时，交点P在直线a上方，∠EPB＝50°﹣n交点P在直线a、b之间，∠EPB＝130°+n交点P在直线b下方，∠EPB＝50°﹣n．7．如图，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．（1）求∠EOB的度数．（直接写出结果，无需解答过程）∠EOB＝40°（2）若在OC右侧左右平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，请找出变化规律；若不变，请求出这个比值．（3）在OC右侧左右平行移动AB的过程中，是否存在使∠OEC＝∠OBA的情况？若存在，请直接写出∠OEC度数；若不存在，请说明理由．解：（1）∵∠FOB＝∠AOB，∴OB平分∠AOF，又∵OE平分∠COF，∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝∠COA＝×80°＝40°；故答案为：40°；（2）不变因为∠FOB＝∠AOB所以∠AOB＝∠FOA，因为CB∥OA所以∠OBC＝∠AOB，∠OFC＝∠FOA所以∠OBC＝∠OFC，即∠OBC：∠OFC＝；（3）存在，∠OEC＝60°8．图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点和直尺，完成下列各题：（1）补全△A′B'C’；（2）画出BC边长的高线AE；（3）连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是平行且相等；（4）点Q为格点（点Q不与点B重合），且△ACQ的面积等于△ABC的面积，则图中满足要求的Q点共有7个．解：（1）如图所示，△A′B'C'即为所求；（2）如图所示，AE即为所求；（3）由平移可得，AA′，BB′这两条线段之间的关系是平行且相等；故答案为：平行且相等；（4）如图所示，满足要求的Q点共有7个，故答案为：7．9．综合与实践操作发现如图，在平面直角坐标系中，已知线段AB两端点的坐标分别为A（2，6），B（5，2），点M的坐标为（﹣3，6），将线段AB沿AM方向平移，平移的距离为AM的长度．（1）画出AB平移后的线段MN，直接写出点B对应点N的坐标；（2）连接MA，NB，AN，已知AN平分∠MAB，求证：∠MNA＝∠BNA；拓展探索（3）若点P为线段AB上一动点（不含端点），连接PM，PN，试猜想∠AMP，∠MPN 和∠BNP之间的关系，并说明理由．解：（1）所作线段MN如图所示．点N的坐标为（0，2）．（2）证明：根据平移的性质，可知，MA∥NB，MN∥AB，∴∠BNA＝∠MAN，∠MNA＝∠BAN，∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠BAN，∴∠MNA＝∠BNA．（3）结论：∠AMP+∠BNP＝∠MPN．理由如下：如图，过点P作PH∥MA交MN于点H，又∵MA∥NB，∴MA∥HP∥NB，∴∠AMP＝∠MPH，∠BNP＝∠NPH，∴∠AMP+∠BNP＝∠MPH+∠NPH＝∠MPN．10．如图，已知点A（6，0），B（8，5），将线段OA平移至CB，点D（x，0）在x轴正半轴上（不与点A重合），连接OC，AB，CD，BD．（1）求对角线AC的长；（2）△ODC与△ABD的面积分别记为S1，S2，设S＝S1﹣S2，求S关于x的函数解析式，并探究是否存在点D使S与△DBC的面积相等，如果存在，请求出x的值（或取值范围）；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题意知，将线段OA平移至CB，∴四边形OABC为平行四边形，又∵A（6，0），B（8，5），∴点C（2，5）．过点C作CE⊥OA于E，在Rt△CEA中，AC＝＝＝；（2）∵点D的坐标为（x，0），若点D在线段OA上，即当0＜x＜6时，S 1＝S △ODC ＝，S 2＝S △AED ＝，∴S ＝S 1﹣S 2＝5x ﹣15，若点D 在OA 的延长线上，即当x ＞6时，S 1＝S △ODC ＝，S 2＝S △AED ＝，∴S ＝S 1﹣S 2＝15，由上可得，S ＝，∵S △DBC ＝＝15，当0＜x ＜6时，S △DBC ＝S 时，x ＝6（与A 重合，不合题意，舍去）； 当x ＞6时，S △DBC ＝S ，点D 在OA 延长线上的任意一点处都可满足条件， ∴点D 所在位置为D （x ，0）（x ＞6）．11．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，三角形ABC 三个顶点与方格纸中小正方形的顶点重合，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，具体要求如下： （1）在图①中平移三角形ABC ，点A 移动到点P ，画出平移后的三角形PMN ； （2）在图②中将三角形ABC 三个顶点的横、纵坐标都减去2，画出得到的三角形A 1B 1C 1； （3）在图③中建立适当的平面直角坐标系，且A 点的坐标为（0，2），C 点的坐标为（1，5）．解：（1）如图①所示；（2）如图②所示：（3）如图③所示：12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；（2）在x 轴上是否存在一点F ，使得三角形DFC 的面积是三角形DFB 面积的2倍，若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）C （0，2），D （4，2） S 四边形ABDC ＝AB •OC ＝4×2＝8；（2）存在，当BF ＝CD 时，三角形DFC 的面积是三角形DFB 面积的2倍． ∵C （0，2），D （4，2），∴CD ＝4，BF ＝CD ＝2． ∵B （3，0），∴F （1，0）或（5，0）．13．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC ，点A 的坐标是（4，0），点B 的坐标是（2，3），点C 在x 轴的负半轴上，且AC ＝6． （1）直接写出点C 的坐标；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得S △POB ＝S △ABC 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）把点C 往上平移3个单位得到点H ，作射线CH ，连接BH ，点M 在射线CH 上运动（不与点C 、H 重合）．试探究∠HBM ，∠BMA ，∠MAC 之间的数量关系，并证明你的结论．解：（1）∵A（4，0），∴OA＝4，∵AC＝6，∴OC＝2，∴C（﹣2，0）．（2）设P（0，m），由题意：•|m|•2＝××6×3，解得m＝±6，∴P（0，6）或（0，﹣6）．（3）①当点M在点H的上方时，∠MAC＝∠AMB+∠HBM．理由：设AM交BH于J．∵BH∥AC，∴∠CAM＝∠HJM，∵∠HJM＝∠AMB+∠HBM，∴∠MAC＝∠AMB+∠HBM．②当点M在线段CH上（不与C，H重合）时，∠AMB＝∠CAM+∠HBM．理由：作MK ∥HB ． ∵HB ∥AC ， ∴MK ∥AC ，∴∠HBM ＝∠BMK ，∠CAM ＝∠KMA ， ∴∠AMB ＝∠BMK +∠AMK ＝∠CAM +∠HBM ．14．已知点A 在平面直角坐标系中第一象限内，将线段AO 平移至线段BC ，其中点A 与点B 对应．（1）如图1，若A （1，3），B （3，0），连接AB ，AC ，在坐标轴上存在一点D ，使得S△AOD＝2S △ABC ，求点D 的坐标；（2）如图2，若∠AOB ＝60°，点P 为y 轴上一动点（点P 不与原点重合），请直接写出∠CPO 与∠BCP 之间的数量关系（不用证明）．解：（1）由线段平移，A （1，3）平移到B （3，0）， 即向右平移2个单位，再向下平移3个单位， 点O （0，0）平移后的坐标为（2，﹣3）， 可得出C （2，﹣3）， 所以S △ABC ＝，∴S＝9，而△AOD的高是1，△AOD∴△AOD的底为18．∴D（6，0）或D（﹣6，0）或（0，﹣18）或（0，18）；（2）延长BC交y轴于E点，利用OA∥BC及∠AOB＝60°，∴∠AOY＝∠BEY＝30°，再用三角形的内角和为180°，分三种情况可求：①当P在y轴的正半轴上时：∠BCP＝∠CPO+30°．②当P在y轴的负半轴上时：ⅰ：若P在E点上方（含与E点重合）时，∠BCP+∠CPO＝210°．ⅱ：若P在E点下方时，∠BCP＝∠CPO+150°．综合可得：∠CPO与∠BCP的数量关系是：∠BCP＝∠CPO+30°或∠BCP+∠CPO＝210°或∠BCP＝∠CPO+150°．15．先阅读然后解决问题：【阅读】如图（1），在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E沿DE线将△DEA剪切下来，并平移△DEA，使其拼接在△CE′B处这样，原来ABCD就变成一个矩形EE′CD．【问题解决】如图（2），将△ABC通过剪切和拼接，得到一个矩形．要求：（1）剪切线用实线，拼接图用虚线；（2）说明剪下的图形是怎样运动拼接的；（3）加注必要的字母，拼接后的非重合字母在原字母的右上角标注“′”，如：E′解：如图，矩形EGG′E′即为所求．。
【聚焦中考】2017中考数学(河南地区) 一轮复习资料第29讲 图形的平移
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解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求； (2)如图所示：△A2B2C2，即为所求，点A2(－3，－1)，B2(0，－2)，C2(－2，－4)
[对应训练] 单击此处编辑母版标题样式 3．(2015· 安徽)如图，已知 A(－3，－3)，B(－2，－1)，C(－1，－2)是直角坐标平面上三 点．
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单击此处编辑母版标题样式 求平移变换后对应点的坐标
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【例 2】 (1)(2016· 安顺)如图，将△PQR 向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位 长度，则顶点 P 平移后的坐标是( A )
试题 有一条河流，两岸分别有 A，B 两地，假设河岸为两条平行线，要在河上架一座 垂直于河岸的桥 PQ，问桥造在何处，使 AP＋PQ＋QB 最小？
AC 綊 PQ，所以四边形 ACQP 是平行四边形，得 AP＝CQ，于是 AP＋PQ＋QB＝CQ＋AC＋ QB，AP＋QB＝CQ＋QB，根据“两点之间，线段最短”的原理，线段 BC 的长度是 CQ＋QB 的最小值，BC 与河岸的交点为 Q0，P0Q0 与河岸垂直，P0Q0 就是最佳的造6· 河南模拟)下列四幅图案在设计中用到平移变换方式的是( A )
河南中考数学 专题突破提升 第二节 图形的对称、平移、旋转与位似
河南中考数学专题突破提升第七章图形的变化第二节图形的对称、平移、旋转与位似(时间：60分钟分值：115分)评分标准：选择题和填空题每小题3分．基础过关1. (2017宜昌)如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是()2. (2017济宁)下列图形是中心对称图形的是()3. (2017徐州)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()4. (2016青海省卷)以下图形，对称轴的数量小于3的是()5. (2017菏泽)如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是()A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°第5题图第6题图第7题图6. (2017安顺)如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O.若AO＝5 cm，则AB的长为()A. 6 cmB. 7 cmC. 8 cmD. 9 cm7. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB 上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠CDB′等于()A. 40°B. 60°C．70° D. 80°8. (2017天津)如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是()A. ∠ABD＝∠EB. ∠CBE＝∠CC. AD∥BCD. AD＝BC第8题图第9题图9. (2017广州)如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为()A. 6B. 12C. 18D. 2410. (2017商丘模拟)如图，底边长为2的等腰直角三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，则点A1的坐标为()A. (2，－2)B. (1，－1)C. (1，－2)D. (2，－1)第10题图第11题图11. (2017东营)如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝3，则△ABC移动的距离是()A . 32B . 33C . 62D . 3－6212. (2017长沙)如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A′B′O′，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是________．第12题图 第13题图 第14题图13. (2017天水)如图所示，在矩形ABCD 中，∠DAC ＝65°，点E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F ，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点C′处，则∠AFC′＝________．14. (2016淮安)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在边AC 上，并且CF ＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是________．15. (10分)(2017金华)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标分别为A(－2，－2)，B(－4，－1)，C(－4，－4)．(1)作出△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 1B 1C 1.(2)作出点A关于x轴的对称点A′.若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部(不包括顶点和边界)，求a的取值范围．第15题图16. (10分)(2017齐齐哈尔)如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，4)，B(－5，2)，C(－2，1)．(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；(3)求(2)中线段OA扫过的图形面积．第16题图17. (10分)(2017枣庄)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，－4)．(1) 请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；(2) 以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．第17题图18. (10分)(2016新疆)如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC ＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．第18题图。
2024河南中考数学一轮知识点训练复习专题 图形的对称、平移与旋转 (课件)
4.[2023湖北恩施州] 如图，在矩形 中，点 是 的中点，将矩形 沿 折叠， ， 的对应点分别为 ， ，连接 交 于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
[答案] 点 是 的中点， .由折叠可知 ， ， ．
（2）连接 ，试判断四边形 的形状，并说明理由．
9.［原创新题］如图，在扇形 中， ，将扇形 沿 方向平移得到扇形 ，点 恰好落在 上.若 ，则图中阴影部分的面积为______.
考点3 图形的旋转
10.[2023江苏徐州] 下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A
A. B. C. D.
19.[2023洛阳一模] 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动.
（第11题）
11.[2023江苏无锡] 如图， 中， ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ， 交 于点 ．当 时，点 恰好落在 上，此时 等于( )
B
A. B. C. D.
（第12题）
12.[2023天津] 如图,把 以点 为中心逆时针旋转得到 ，点 , 的对应点分别是点 , ,且点 在 的延长线上,连接 ,则下列结论一定正确的是 ( )
（1）将 绕顶点 旋转一周，请直接写出点 ， 距离的最大值和最小值；
[答案] 点 ， 距离的最大值为3，最小值为1.
（2）如图（2），将 绕顶点 逆时针旋转 ，求 的长．
[答案] 如图，连接 ， ，易知 ， , .过点 作 于点 ，则 ， ， ， ， .
[答案] 四边形 是矩形.理由：如图，延长 , 四边形 是矩形，
， .由折叠可知， ， , ， .又由（1）可知 ， ，
， 四边形 是平行四边形， . , ， 四边形 是平行四边形.又 ， 平行四边形 是矩形．
2024河南中考数学知识点复习 图形的平移与位似 强化精练 (含答案)
2024河南中考数学知识点复习图形的平移与位似强化精练基础题1. (2023通辽)如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为()第1题图A. 3B. 4C. 5D. 122. (2022嘉兴)“方胜”是中国古代妇女的一种首饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1 cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为()第2题图A. 1 cmB. 2 cmC. (2－1)cmD. (22－1)cm3. (2023平顶山一模)如图，已知△OBC的顶点B，C在坐标轴上，点B的坐标为(3，0)，且△OBC＝30°.矩形AOPD的顶点A，P分别在x轴，y轴上，且点A的坐标为(－1，0)．将矩形AOPD向右平移2个单位，点P恰好落在线段BC上，此时点D的对应点D′的坐标为()第3题图A. (2，33) B. (1，33) C. (2，32) D. (1，32)4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将折线AEB向右平移得到折线CFD，则折线AEB在平移过程中扫过的面积是()第4题图A. 4B. 5C. 6D. 75. (2023长春)如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA△AA′＝1△2，则△ABC与△A′B′C′的周长之比为________．第5题图拔高题6. (2023绥化)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1△2，点A是位似中心，已知点A(2，0)，点C(a，b)，△C＝90°.则点C′的坐标为________．(结果用含a，b 的式子表示)第6题图7. 如图，两副含30°角的直角三角板斜边重合放置，将三角板ACD沿CA方向平移(两三角板始终接触)，已知AB＝6 cm.第7题图(1)四边形ABC′D′的形状的形状为__________________________________________________；(2)当CC′＝________时，四边形ABC′D′是菱形．参考答案与解析1. B 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥EF ，BC ＝AD ＝a ，∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF ，∴四边形AEFD 是矩形，由平移的性质得BE ＝CF ，∴EF ＝BC ＝4，∴平行四边形ABCD 的面积＝矩形AEFD 的面积＝ah ＝12，∴△ABE 的平移距离为4.2. D 【解析】∵四边形ABCD 为边长为2 cm 的正方形，∴BD ＝22＋22 ＝22 cm ，由平移的性质可知，BB ′＝1 cm ，∴B ′D ＝(22 －1)cm.3. B 【解析】∵点B 的坐标为(3，0)，点A 的坐标为(－1，0)，∴OB ＝3，OA ＝1，如解图由平移可知：AA ′＝OO ′＝2，∴O ′B ＝3－2＝1，∵∠OBC ＝30°，∴O ′P ′＝O ′B ·tan 30°＝1×33＝33 ，∵四边形A ′O ′P ′D ′是矩形，∴A ′D ′＝O ′P ′＝33 ，∴D ′的坐标为(1，33 ).第3题解图4. C 【解析】∵平移折线AEB ，得到折线CFD ，∴四边形AEFC 和四边形BEFD 都为平行四边形，∴折线AEB 在平移过程中扫过的面积＝S ▱AEFC ＋S ▱BEFD ＝AO ·EF ＋BO ·EF ＝EF ·(AO ＋BO )＝EF ·AB ＝[2－(－1)]×[1－(－1)]＝6.5. 1∶3 【解析】∵OA ∶AA ′＝1∶2，∴OA ∶OA ′＝1∶3，∵△ABC 和△A ′B ′C ′是以点O 为位似中心的位似图形，∴AC ∥A ′C ′，△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴△AOC ∽△A ′OC ′，∴AC ∶A ′C ′＝OA ∶OA ′＝1∶3，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的周长之比为1∶3.6. (6－2a ，－2b ) 【解析】如解图，过C 作CM ⊥AB 于M ，过C ′作C ′N ⊥AB ′于N ，则∠ANC ′＝∠AMC ＝90°，∵△ABC 与△AB ′C ′的相似比为1∶2，∴AC AC ′ ＝12，∵∠NAC ′＝∠CAM ，∴△ACM ∽△AC ′N ，∴AM AN ＝CM C ′N ＝AC AC ′，∵点A (2，0)，点C (a ，b )，∴OA ＝2，OM ＝a ，CM ＝b ，∴AM ＝a －2，∴a －2AN ＝b C ′N ＝12，∴AN ＝2a －4，C ′N ＝2b ，∴ON ＝AN －OA ＝2a －6，∴点C ′的坐标为(6－2a ，－2b ).第6题解图7. (1)平行四边形【解析】如解图，连接AD′，BC′，∵将三角板ACD沿CA方向平移，∴CD ＝C′D′＝AB，CD∥C′D′∥AB，∴四边形ABC′D′是平行四边形．第7题解图(2)6 cm【解析】当BC′＝AB＝6 cm时，四边形ABC′D′是菱形，∵BC′＝AB＝6 cm，∠BAC＝60°，∴△ABC′是等边三角形，∴AB＝AC′＝BC′＝6 cm，∵AC＝ABcos 60°＝12 cm，∴CC′＝AC－AC′＝6 cm.。
2020河南中考数学考点突破(课件+训练)：24图形的平移、对称、旋转与位似
命题探究
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2-1 (2017河南安阳一模)在矩形ABCD中,AB=3,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE,
9
点P,Q分别在BD,AD上,则AP+PQ的最小值是 2 .
命题探究
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2-2 (2019洛阳一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,且AC=8,BC=6.点P是边AC 上一动点,以直线BP为轴把△ABP折叠,使得点A落在图中点A'处,当△AA'C为直 角三角形时,线段CP的长为 4或3 .
真题演练
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3.(2017河南)如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD =AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点. (1)观察猜想 图1中,线段PM与PN的数量关系是 PM=PN ,位置关系是 PM⊥PN ; (2)探究证明 把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的 形状,并说明理由; (3)拓展延伸 把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最
大值.
解析 (1)PM=PN;PM⊥PN (2)等腰直角三角形.
(3) 49 .
2
真题演练
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考点研读
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考点研读
考点一 图形的平移 考点二 图形的对称(高频考点) 考点三 图形的旋转(高频考点) 考点四 图形的位似
考点一 图形的平移
定义
两大 要素 性质
作图 步骤
考点研读
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在平面内,将一个图形沿某个① 方向 移动一定的② 距离 ,这样 的图形运动称为平移
考点二 图形的对称(高频考点) 1.轴对称与轴对称图形
中考数学专项突破之平移考点大演练(含答案)
中考专项突破之平移考点大演练考点汇总：考点一：平移作图考点二：利用平移解决图形中的面积问题 考点三：函数图象的平移考点四：利用平移解决某些探究类问题 考点五：利用平移解决几何证明考点精讲：考点一：平移作图【例1】 在下面的六幅图中，⑵⑶⑷⑸⑹中的图案_________可以通过平移图案⑴得到的．【例2】 如图，由三角形⑴变换到三角形⑵，下列说法错误的是( )．A ．先向右平移2个单位长度，再往上平移3个单位长度；B ．先向上平移3个单位长度，再往右平移2个单位长度；C ．三角形⑴移动5个单位长度得到三角形⑵D ．三角形⑴可以通过轴对称得到三角形⑵【例3】 如图，在小正方形组成的网格中，四边形ABCD 和四边形''''A B C D 的位置如图所示，若四边形ABCD 平移后，与四边形''''A B C D 成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形1111A B C DD'C'B'A'D C BA考点二：利用平移解决图形中的面积问题【例4】 如图，三角形ABC 的底边BC 长3厘米，BC 边上的高是2厘米，将该三角形以每秒3厘米的速度沿高的方向向上平形移动2秒，这时阴影部分的面积为【例5】 一个水平放置的半圆，直径为10cm ，向上平移6cm ，求其扫过的面积．【例6】已知梯形的两条对角线长分别为6cm 、8cm ，两条底边的长度之和为10cm ，这个梯形的面积为__________【例7】 如图所示，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，4BC =，4AC =，现将ABC ∆沿CB 方向平移到A B C '''∆的位置．⑴若平移的距离为3，求ABC ∆与A B C '''∆重叠部分的面积；⑵若平移的距离为a 4(0)a ≤≤，求ABC ∆与A B C '''∆重叠部分的面积S 的取值范围．CBCB'考点三：函数图象的平移【例8】 将一次函数24y x =-图象向左平移2个单位，向上平移3个单位得到的解析式为__________【例9】 将反比例函数ky x=图象向右平移3个单位，向上平移2个单位经过点(15)，，则k =_______【例10】 将抛物线2y ax bx c =++的图象向左平移2个单位，向下平移2个单位得到的函数图象的解析式为2231y x x =--，则_______a b c ++=考点四：利用平移解决某些探究类问题【例11】 已知正方形ABCD ：⑴如图①，E 是AD 上一点，过BE 上一点O 作BE 的垂线，交AB 于点G ，交CD 于点H ， 求证：BE GH =⑵如图②，过正方形ABCD 内任意一点，作两条互相垂直的直线，分别交AD 、BC 于点E 、F ，交AB 、CD 于点G 、H ，EF 与GH 相等吗？请你写出你的结论⑶当点O 在正方形ABCD 的边上或外部时，过点O 作两条垂直的直线，被正方形相对的两边(或它们的延长线)截得的两条线段还相等吗？其中一种情况如图③，过正方形ABCD 外一点O 作互相垂直的两条直线m 、n ，其中m 与AD 、BC 的延长线分别交于点E 、F ，n 与AB 、DC 的延长线分别交于点G 、H ，试就该图形对你的结论加以证明。
河南中考数学考点突破 第一节 图形的平移、对称、旋转与位似
第一节图形的平移、对称、旋转与位似A组基础题组一、选择题1.(2017河南信阳二模)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有()A.4个B.3个C.2个D.1个2.(2016四川南充)如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,点P是直线MN上的点,下列判断错误的是()A.AM=BMB.AP=BNC.∠MAP=∠MBPD.∠ANM=∠BNM3.(2018河南许昌一模)如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△A'B'C,设点A的坐标为(a,b),则点A'的坐标为()A.(-a,-b)B.(-a.-b-1)C.(-a,-b+1)D.(-a,-b-2)4.(2016山东德州)对于平面图形上的任意两点P,Q,如果经过某种变换得到新图形上的对应点P',Q',保持PQ=P'Q',我们把这种变换称为“等距变换”.下列变换中不一定是等距变换的是()A.平移B.旋转C.轴对称D.位似5.(2018浙江丽水)如图,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A,D,E在同一条直线上,∠ACB=20°,则∠ADC的度数为()A.55°B.60°C.65°D.70°6.(2016山东烟台)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为()A.(3,2)B.(3,1)C.(2,2)D.(4,2)二、填空题7.(2016广东广州)如图,△ABC中,AB=AC,BC=12 cm,点D在AC上,DC=4 cm.将线段DC沿CB 方向平移7 cm得到线段EF,点E,F分别落在边AB,BC上,则△EBF的周长为cm.8.(2017湖南长沙)如图,△ABO三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(6,0),O(0,0),以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的,可以得到△A'B'O,已知点B'的坐标是(3,0),则点A'的坐标是.9.(2017河南许昌禹州一模)用等腰直角三角板画∠AOB=45°,并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°,则三角板的斜边与射线OA的夹角α为度.10.(2017湖北黄冈)已知:如图,在△AOB中,∠AOB=90°,AO=3 cm,BO=4 cm,将△AOB绕顶点O 按顺时针方向旋转到△A1OB1处,此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点,则线段B1D= cm.11.(2018河南中考考前狂押密卷A)如图,在矩形ABCD中,AC,BD为对角线,AB=2,把BD绕点B逆时针旋转,得到线段BE,当点E落在线段BA的延长线上时,恰有DE∥AC,连接CE,则阴影部分的面积为.12.(2018河南濮阳一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D,E分别为AC,BC上两个动点,若将∠C沿DE折叠,点C的对应点C'恰好落在AB上,且△ADC'恰好为直角三角形,则此时CD的长为.三、解答题13.(2017河南安阳二模)如图1,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点D在AC上,DE⊥AB于E,连接BD,点F是BD的中点,连接EF,CF.(1)EF和CF的数量关系为;(2)如图2,若△ADE绕着点A旋转,当点D落在AB上时,小明通过作△ABC和△ADE斜边上的中线CM和EN,再利用全等三角形的判定,得到了EF和CF的数量关系.请写出此时EF和CF的数量关系:;(3)若△AED继续绕着点A旋转到图3的位置时,EF和CF的数量关系是什么?写出你的猜想,并给予证明.14.(2018河南新乡一模)如图1,在△ABC与△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠A是公共角.(1)BD与CE的数量关系是:BD CE;(2)把图1中的△ABC绕点A旋转一定的角度,得到如图2所示的图形,①求证:BD=CE;②BD与CE所在直线的夹角与∠DAE的数量关系是什么?说明你的理由;(3)若AD=10,AB=6,把图1中的△ABC绕点A顺时针旋转α度(0°<α<360°),直接写出BD长度的取值范围.图1图2B组提升题组一、选择题1.(2017江苏苏州)如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AD=8,F是AB的中点.过点F作FE⊥AD,垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移,得到△A'E'F'.设P、P'分别是EF、E'F'的中点,当点A'与点B重合时,四边形PP'CD的面积为()A.28B.24C.32D.32-82.(2017湖南长沙)如图,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的H重合(H不与端点C,D 重合),折痕交AD于点E,交BC于点F,边AB折叠后与边BC交于点G.设正方形ABCD的周长为m,△CHG的周长为n,则的值为()A. B.C.-D.随H点位置的变化而变化二、填空题3.(2017河南商丘一模)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,点E为射线BC上一动点,将△ABE 沿AE折叠,得到△AB'E.若B'恰好落在射线CD上,则BE的长为.三、解答题4.(2016山西)综合与实践问题情境在综合与实践课上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,将一张菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD.操作发现(1)将图1中的△ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角α,使α=∠BAC,得到如图2所示的△AC'D,分别延长BC和DC'交于点E,则四边形ACEC'的形状是;(2)创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角α,使α=2∠BAC,得到如图3所示的△AC'D,连接DB,C'C,得到四边形BCC'D,发现它是矩形.请你证明这个结论;实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,量得图3中BC=13 cm,AC=10 cm,然后提出一个问题:将△AC'D沿着射线DB方向平移a cm,得到△A'C″D',连接BD',CC″,使四边形BCC″D'恰好为正方形,求a的值.请你解答此问题;(4)请你参照以上操作,将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移,得到△A'C'D,在图4中画出平移后构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,写出你发现的结论,不必证明.图45.(2018河南驻马店一模)(1)如图1,△ABC中,AB=AC,点D在AB上,过点D作DE∥BC,交AC于E,连接CD,F,G,H分别是线段CD,DE,BC的中点,则线段FG,FH的数量关系是(直接写出结论);(2)将图1中的△ADE绕点A旋转到如图2位置,上述结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;(3)如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,点E在BC上,且BE=,过点E作ED⊥AB,垂足为D,将△BDE绕点B顺时针旋转,连接AE,取AE的中点F,连接DF.当AE与AC垂直时,线段DF的长度为(直接写出结果).6.(2017江苏南京)折纸的思考:【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.第一步,对折矩形纸片ABCD(AB>BC)(图1),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平(图2). 第二步,如图3,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB、PC,得到△PBC.(1)证明△PBC是等边三角形;【数学思考】(2)如图4,小明画出了图3的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现,在矩形ABCD中把△PBC 经过图形变化,可以得到图5中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程;(3)已知矩形一边长为3 cm,其邻边长为a cm.对于每一个确定的a的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围;【问题解决】(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4 cm和1 cm的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最小值为cm.答案精解精析A组基础题组一、选择题1.B根据轴对称图形和中心对称图形的概念,可知正方形、圆、菱形和四花瓣均是轴对称图形和中心对称图形,所以题中第一、三、四个图形符合题意,第二个图形是轴对称图形,不是中心对称图形,故选B.2.B根据轴对称图形的性质,可知AM=BM,△MAP≌△MBP,△AMN≌△BMN,∴∠MAP=∠MBP,∠ANM=∠BNM,∴A、C、D正确,无法证明AP=BN.故选B.3.D由题意知,点A和点A'关于点C成中心对称,所以点C是线段AA'的中点,可得A'(-a,-b-2).故选D.4.D由“等距变换”的含义可知,通过“等距变换”变换后图形中两点间的距离不变.因为经过平移、旋转和轴对称变换的图形变换前后是全等的,所以A、B、C选项是等距变换;经过位似变换的图形变换前后是相似的,但不一定全等,所以对应点之间的距离不一定保持相等.因此,图形经过位似变换,不一定是等距变换,故选D.5.C∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC,∴∠DCE=∠ACB=20°,∠BCD=∠ACE=90°,AC=CE,∴∠ACD=90°-20°=70°.∵点A、D、E在同一条直线上,∴∠ADC+∠EDC=180°.∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°,∴∠ADC=∠E+20°.∵∠ACE=90°,AC=CE,∴∠DAC+∠E=90°,∠E=∠DAC=45°,又在△ADC中,∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°,∴∠ADC=180°-∠DAC-∠DCA=65°.故选C.6.A因为正方形BEFG的边长为6,正方形ABCD与正方形BEFG的相似比为,所以正方形ABCD的边长为2,设OA=x,易知△OBC∽△OEF,所以==,所以=,解得x=1,所以点C 的坐标为(3,2),故选A.二、填空题7.答案13解析由题可得FC=7 cm,EF=DC=4 cm,EF∥DC,∴∠EFB=∠DCF,∵AB=AC,∴∠DCF=∠ABC,∴∠EFB=∠ABC,∴EB=EF=4 cm,∵BC=12 cm,∴BF=BC-FC=5 cm,∴△EBF的周长为EB+BF+EF=4+5+4=13 cm.8.答案(1,2)9.答案22解析如图所示,由旋转的性质可知,∠EMF=∠NMB=22°,又由平移的性质可知,AO∥FM,∴α=∠EMF=22°.10.答案 1.5解析∵在△AOB中,∠AOB=90°,AO=3 cm,BO=4 cm,∴AB=∵点D为AB的中点,∴OD=AB=2.5 cm.∵将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处,∴OB1=OB=4 cm,∴B1D=OB1-OD=1.5 cm.11.答案π-2解析∵把BD绕点B逆时针旋转得到线段BE, ∴BD=BE.∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,AC=BD.又∵DE∥AC,∴四边形ACDE是平行四边形,∴ED=AC.∴BD=BE=ED.∴△BED是等边三角形.∴∠ABD=60°.又∵AB=2,∴BD=4,AD=2.∴S阴影=S扇形EBD+S△BCD-S△EBC=π+×2×2-×4×2=π-2.12.答案或解析①如图,当∠ADC'=90°时,∠ADC'=∠C,则DC'∥CB,∴△ADC'∽△ACB.又∵AC=3,BC=4,∴'==.设CD=C'D=x,则AD=3-x,∴-=,解得x=.经检验,x=是该方程的解,∴CD=.②如图,当∠DC'A=90°时,∠C=∠DC'A,由折叠可得,∠C=∠DC'E=90°,由∠C=∠AC'D=90°,∠A=∠A,可得△ADC'∽△ABC. 在Rt△ABC中,AB==5,==.∴'设CD=C'D=x,则AD=3-x,∴-=,解得x=.经检验,x=是该方程的解,∴CD=.综上,CD的长为或.三、解答题13.解析(1)EF=CF.(2)EF=CF.(3)猜想:EF=CF.证明如下:取AB、AD的中点M,N,连接MC,MF,NF,NE.在Rt△ABC中,∵CM是斜边上的中线,∴AB=2CM.在△ABD中,∵NF是中位线,∴AB=2NF,∴MC=NF.同理可得MF=NE.∵MF、NF都是△ABD的中位线,∴MF∥AD,NF∥AB,∴∠BMF=∠BAD=∠DNF,∵∠BAC=∠EAD,∴∠BMC=∠DNE,∴∠FMC=∠ENF. ∴△MFC≌△NEF,∴CF=EF.14.解析(1)=.(2)①证明:∵∠DAE=∠BAC,∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE,即∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,,,,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE.②结论:BD与CE所在直线的夹角与∠DAE的度数相等. 理由:延长DB交CE于点F,设AE交BD于点O,∵△ABD≌△ACE,∴∠ADB=∠AEC,又∵∠AOD=∠EOF,∴180°-∠ADB-∠AOD=180°-∠AEC-∠EOF,即∠DAE=∠DFE.(3)∵AD=10,AB=6,∴AD-AB≤BD≤AD+BD,∴4≤BD≤16.B组提升题组一、选择题1.A如图,分别过E、P、D点作EN⊥AB,PG⊥AB,DH⊥AB,垂足分别为N,G,H,DH交PP'于点M.在菱形ABCD中,AD=8,∠A=60°,F是AB的中点,∴AF=4=AH,DH=4,∵FE⊥AD,∴∠AEF=90°.∴AE=2,EN=,∵PG⊥AB,EN⊥AB,∴PG∥EN,又P是EF的中点,∴PG=EN=.∵将△AEF平移得到△A'E'F',∴PP'AB,∴PP'DC,∴四边形PP'CD是平行四边形,∴DM=DH-PG=.∴S四边形PP'CD=8×=28.故选A.2.B设正方形ABCD的边长为2a,则正方形ABCD的周长为m=8a,设CH=x,DE=y,则DH=2a-x,EH=AE=2a-y,∵∠EHG=90°,∴∠DHE+∠CHG=90°,∵∠DHE+∠DEH=90°,∴∠DEH=∠CHG,又∵∠D=∠C=90°,∴△CHG∽△DEH,∴==,即-==-,∴CG=(-),GH=(-),∴△CHG的周长为CH+CG+HG=-,在Rt△DEH中,DH2+DE2=EH2,即(2a-x)2+y2=(2a-y)2,整理得4ax-x2=4ay,∴CH+CG+HG=-==4a=n.∴=,故选B.二、填空题3.答案或15解析当点B'在线段CD上时,如图1,图1∵将△ABE沿AE折叠,得到△AB'E,∴AB'=AB=5,B'E=BE,CE=3-BE,∵AD=3,∴DB'=4,∴B'C=1,∵B'E2=CE2+B'C2,∴BE2=(3-BE)2+12,∴BE=.当点B'在CD的延长线上时,如图2,连接BB',BF,图2易知四边形BAB'F为菱形,∴AB=BF=5,∴CF=4.∵CF∥AB,∴△CEF∽△BEA.∴=,即=.解得CE=12,∴BE=15,综上所述,BE的长为或15.三、解答题4.解析(1)菱形.(2)证明:如图,作AE⊥CC'于点E.由旋转得AC'=AC,∴∠CAE=∠C'AE=α=∠BAC.由题意知BA=BC,∴∠BCA=∠BAC.∴∠CAE=∠BCA,∴AE∥BC.同理,AE∥DC',∴BC∥DC'.又∵BC=DC',∴四边形BCC'D是平行四边形.∵AE∥BC,∠CEA=90°,∴∠BCC'=180°-∠CEA=90°,∴四边形BCC'D是矩形.(3)过点B作BF⊥AC,垂足为F.∵BA=BC,∴CF=AF=AC=×10=5(cm).在Rt△BCF中,BF=-=-=12(cm).在△ACE和△CBF中,∵∠CAE=∠BCF,∠CEA=∠BFC=90°, ∴△ACE∽△CBF.∴=,即=,解得CE=.当四边形BCC″D'恰好为正方形时,分两种情况:①点C″在边C'C上,a=C'C-13=-13=.②点C″在C'C的延长线上,a=C'C+13=+13=.综上所述,a的值为或.(4)答案不唯一.例:如图.平移及构图方法:将△ACD沿着射线CA方向平移,平移距离为AC的长度,得到△A'C'D,连接A'B,DC.结论:四边形A'BCD是平行四边形.5.解析(1)FG=FH.(2)结论仍然成立.理由:如题图2中,∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE.∵AB=AC,AD=AE,∴△BAD≌△CAE,∴BD=CE.∵DG=GE,DF=CF,BH=CH,∴GF=EC,FH=BD,∴FG=FH.(3)或.提示:①如图(1)中,作EK⊥BC于K,延长AC到H,使得CH=AC,连接BH、EH,延长ED到G,使DG=DE,连接BG、AG.易证△ABH,△EBG都是等腰三角形,∠ABH=∠EBG,△BHE≌△BAG,∴EH=AG.∵AE∥CK,AC∥EK,∴四边形ACKE是平行四边形.∵∠ACK=90°,∴四边形ACKE是矩形,∴AC=EK=5,∠CAE=90°.在Rt△EBK中,BK=-=6,∵BC=12,∴AE=CK=6.在Rt△AEH中,EH==2,∵AF=FE,ED=DG,∴DF=AG=EH=.②如图(2)中,同法可证EH=AG,四边形ACKE是矩形,AC=EK=5,CK=AE=BC+BK=18,在Rt△AEH中,HE==2,同法可得,DF=AG=EH=.综上所述,线段DF的长度为或.6.解析(1)证明:由折叠可知PB=PC,BP=BC,因此△PBC是等边三角形.(2)本题答案不唯一,下列解法供参考.如图,以点B为中心,在矩形ABCD中把△PBC按逆时针方向旋转适当的角度,得到△P1BC1;再以点B为位似中心,将△P1BC1放大,使点C1的对应点C2落在CD上,得到△P2BC2.(3)本题答案不唯一,下列解法供参考.(4).如图,△CEF是直角三角形,∠CEF=90°,CE=4 cm,EF=1 cm.∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠D=90°.易证Rt△AEF∽Rt△DCE,∴==,∴设AE=x cm,CD=4x cm,则DE=3x cm.在Rt△CDE中,CE=5x=4 cm,∴x=,∴AD=4x=cm,∴所需正方形边长最小值为cm.。
郑州市初中数学图形的平移,对称与旋转的知识点总复习含答案解析
郑州市初中数学图形的平移，对称与旋转的知识点总复习含答案解析一、选择题1．如图所示的网格中各有不同的图案，不能通过平移得到的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，结合各选项所给的图形即可作出判断．【详解】A 、可以通过平移得到，不符合题意；B 、可以通过平移得到，不符合题意；C 、不可以通过平移得到，符合题意；D 、可以通过平移得到，不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查平移的性质，属于基础题，要掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．2．如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若ABD 48∠=o ，CFD 40∠=o ，则E ∠为( )A ．102oB ．112oC ．122oD ．92o【答案】B【解析】【分析】 由平行四边形的性质和折叠的性质，得出ADB BDF DBC ∠∠∠==，由三角形的外角性质求出1BDF DBC DFC 202∠∠∠===o ，再由三角形内角和定理求出A ∠，即可得到结果．【详解】AD //BC Q ，ADB DBC ∠∠∴=，由折叠可得ADB BDF ∠∠=，DBC BDF ∠∠∴=，又DFC 40∠=o Q ，DBC BDF ADB 20∠∠∠∴===o ，又ABD 48∠=o Q ，ABD ∴V 中，A 1802048112∠=--=o o o o ，E A 112∠∠∴==o ，故选B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出ADB ∠的度数是解决问题的关键．3．如图，在边长为1522的正方形ABCD 中，点E ，F 是对角线AC 的三等分点，点P 在正方形的边上，则满足PE+PF=55的点P 的个数是（ ）A ．0B ．4C ．8D ．16【答案】B【解析】【分析】 作点F 关于BC 的对称点M ，连接EM 交BC 于点P ，则PE+PF 的最小值为EM ，由对称性可得CM=5，∠BCM=45°，根据勾股定理得EM=55【详解】作点F 关于BC 的对称点M ，连接EM 交BC 于点P ，则PE+PF 的最小值为EM ． ∵正方形ABCD 1522， ∴15222=15， ∵点E ，F 是对角线AC 的三等分点，∴EC=10，FC=AE=5，∵点M 与点F 关于BC 对称，∴CF=CM=5，∠ACB=∠BCM=45°，∴∠ACM=90°，∴EM=222210555EC CM +=+=，∴在BC 边上，只有一个点P 满足PE+PF=55，同理：在AB ，AD ，CD 边上都存在一个点P ，满足PE+PF=55，∴满足PE+PF=55的点P 的个数是4个．故选B ．【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握利用轴对称的性质求两线段和的最小值，是解题的关键．4．在平面直角坐标系中，把点(5,2)P -先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是（ ）A ．(8,4)-B ．(8,0)-C ．(2,4)-D ．(2,0)-【答案】A【解析】【分析】根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可得答案．【详解】∵点P （-5，2），∴先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是（-5-3，2+2），即（-8，4），故选：A ．【点睛】此题考查坐标与图形的变化，解题关键是掌握点的坐标的变化规律．5．在平面直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别加正数(1)a a ＞，那么所得的图案与原来图案相比( )A ．形状不变，大小扩大到原来的a 倍B．图案向右平移了a个单位C．图案向上平移了a个单位D．图案向右平移了a个单位，并且向上平移了a个单位【答案】D【解析】【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【详解】在直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别加上正数a（a＞1），那么所得的图案与原图案相比，图案向右平移了a个单位长度，并且向上平移了a个单位长度．故选D．【点睛】本题考查了坐标系中点、图形的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．6．如图，△ABC绕点A逆时针旋转使得点C落在BC边上的点F处，则以下结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC.其中正确的结论有()A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】【分析】根据旋转的性质，旋转前后对应线段相等、对应角相等即可解答.【详解】由旋转可知△ABC≌△AEF，∴AC=AF，EF=BC，①③正确，∠EAF=∠BAC，即∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC，∴∠EAB=∠FAC，④正确，②错误，综上所述，①③④正确.故选B.【点睛】本题考查了旋转的性质，属于简单题，熟悉旋转的性质，利用旋转的性质找到对应角之间的关系是解题关键.7．如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，则其旋转中心是（ ）A ．（1，0）B ．（0，0）C ．（-1，2）D ．（-1，1）【答案】C【解析】【分析】 根据其中一个三角形是由另一个三角形绕着某点旋转一定的角度得到的，那么对应点到旋转中心的距离相等，找出这个点即可．【详解】解：如图所示，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，只有（-1，2）点到三角形的三顶点距离相等，故（-1，2）是图形的旋转中心，故选：C ．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转中心到对应点的距离相等，是解决问题的关键．8．如图，O 是AC 的中点，将面积为216cm 的菱形ABCD 沿AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．28cmB ．26cmC ．24cmD ．22cm【答案】C【解析】【分析】 根据题意得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO=OC=12AC ，故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积的14【详解】解：如图，由平移的性质得，▱ABCD∽▱OECF，且AO=OC=12 AC故四边形OECF的面积是▱ABCD面积1 4即图中阴影部分的面积为4cm2．故选：C【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是应用相似多边形的性质解答问题.9．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则BQAQ的值为（）A2B3C．22D．32【答案】A【解析】【分析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将BQAQ转化为BQAC，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案．【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ADC＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝22AD，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∴AD＝CD＝BD，由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，∴AC′＝AQ＝AC，由△AEC∽△BDQ得：BQAC＝BDAE，∴BQAQ＝BQAC＝ADAE＝2AEAE＝2．故选：A．【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．10．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，当点C1、B1、C三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交AC于点D．下列结论：①△AC1C 为等腰三角形；②△AB1D∽△BCD；③α＝75°；④CA＝CB1，其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，得到△ABC≌△AB1C1，根据全等三角形的性质得到AC1=AC，于是得到△AC1C为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C1=∠ACC1=30°，由三角形的内角和得到∠C1AC=120°，得到∠B1AB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AB1B=30°=∠ACB，于是得到△AB1D∽△BCD；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C1AB1=∠BAC=45°，推出∠B1AC=∠AB1C，于是得到CA=CB1；故④正确．【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，∴△ABC ≌△AB 1C 1，∴AC 1＝AC ，∴△AC 1C 为等腰三角形；故①正确；∴AC 1＝AC ，∴∠C 1＝∠ACC 1＝30°，∴∠C 1AC ＝120°，∴∠B 1AB ＝120°，∵AB 1＝AB ，∴∠AB 1B ＝30°＝∠ACB ，∵∠ADB 1＝∠BDC ，∴△AB 1D ∽△BCD ；故②正确；∵旋转角为α，∴α＝120°，故③错误；∵∠C 1AB 1＝∠BAC ＝45°，∴∠B 1AC ＝75°，∵∠AB 1C 1＝∠BAC ＝105°，∴∠AB 1C ＝75°，∴∠B 1AC ＝∠AB 1C ，∴CA ＝CB 1；故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．11．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A ．有两个内角相等的三角形B ．有一个内角为45°的直角三角形C ．有两个内角分别为50°和80°的三角形D ．有两个内角分别为55°和65°的三角形【答案】D【解析】A.有两个内角相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形；B.有一个内角为45度的直角三角形是等腰直角三角形，也是等腰三角形，是轴对称图形；C.有两个内角分别为50度和80度的三角形，第三个角是50度，故是等腰三角形，是轴对称图形；D.有两个内角分别为55度和65度的三角形,不是等腰三角形，不是轴对称图形. 故选：D.12．如图，将ABC V 沿BC 方向平移1个单位长度后得到DEF V ，若ABC V 的周长等于9，则四边形ABFD 的周长等于( )A．13 B．12 C．11 D．10【答案】C【解析】【分析】先利用平移的性质求出AD、CF，进而完成解答．【详解】解：将△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，∴AD=CF=1，AC=DF，又∵△ABC的周长等于9，∴四边形ABFD的周长等于9+1+1=11．故答案为C．【点睛】本题主要考查了平移的性质，通过平移确定AD=CF=1是解答本题的关键．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴AB=2234+=5，作E 关于AC 的对称点E′，连接E′F ，则E′F 即为PE+PF 的最小值，∵AC 是∠DAB 的平分线，E 是AB 的中点，∴E ′在AD 上，且E′是AD 的中点，∵AD=AB ，∴AE=AE ′，∵F 是BC 的中点，∴E ′F=AB=5．故选C ．14．如图，在矩形ABCD 中， 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上，得到折痕,AE 那么BE 的长度为（ ）A ．1B ．2C ．32D ．85【答案】C【解析】【分析】 由勾股定理求出AC 的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x ，则CE=4x -，利用勾股定理，即可求出x 的值，得到BE 的长度．【详解】解：在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，∴∠B=90°，∴22345AC =+=，由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF ，∴CF=5-3=2，在Rt △CEF 中，设BE=EF=x ，则CE=4x -，由勾股定理，得：2222(4)x x +=-， 解得：32x =； ∴32BE =． 故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出BE 的长度．15．如图，将ABC V 沿射线BC 方向平移2 cm 得到DEF V ．若ABC V 的周长为13 cm ，则四边形ABFD 的周长为（ ）A ．12 cmB ．15 cmC ．17 cmD ．21 cm【答案】C【解析】【分析】 根据平移的特点得AD=BE=CF=2，将四边形ABFE 的周长分解为AB+BC+DF+AD+CF 的形式，其中AB+BC+DF=AB+BC+AC 为△ABC 的周长．【详解】∵△DEF 是△ABC 向右平移2个单位得到∴AD=CF=BE=2，AC=DF四边形ABFD 的周长为：AB+BC+DF+AD+CF=(AB+BC+AC)+(AD+CF)=13+2+2=17故选：C ．【点睛】本题考查平移的性质，需要注意，平移前后的图形是完全相同的，且对应点之间的线段长即为平移距离．16．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.图1图2有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形②图1中，点A到BC上任意一点的距离都相等③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】B【解析】【分析】逐一对选项进行分析即可.【详解】①勒洛三角形不是中心对称图形，故①错误；②图1中，点A到BC上任意一点的距离都相等，故②正确；③图2中，设圆的半径为r∴勒洛三角形的周长=12032180rrππ⨯=g g圆的周长为2rπ∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确；④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④错误故选B【点睛】本题主要考查中心对称图形，弧长公式等，掌握中心对称图形和弧长公式是解题的关键. 17．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为( )A．70°B．80°C．84°D．86°【答案】B【解析】【分析】由旋转的性质可知∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B＝∠BB1A＝∠AB1C1＝40°，从而可求得∠BB1C1＝80°.【详解】由旋转的性质可知：∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，∠BAB1＝100°.∵AB＝AB1，∠BAB1＝100°，∴∠B＝∠BB1A＝40°.∴∠AB1C1＝40°.∴∠BB1C1＝∠BB1A+∠AB1C1＝40°+40°＝80°.故选：B.【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到△ABB1为等腰三角形是解题的关键. 18．小天从镜子里看到镜子对面的电子钟如下图所示，则此时的实际时间是（）A．21：10 B．10：21C．10：51 D．12：01【答案】C【解析】【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【详解】根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与12：01成轴对称，所以此时实际时刻为10：51，故选C．【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧.19．下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】轴对称图形是指平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；而在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进一步判断求出答案即可.【详解】A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意；B：是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；C：是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；D：是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；故选：A.【点睛】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握相关概念是解题关键.20．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12∠1，再根据三角形内角和定理可得.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12∠1=22°∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°；故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．。
春河南省数学九年级中考专题训练 图形的平移与旋转（word版含答案）
图形的平移与旋转一、选择题1．(2020·台州)如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C(0，－1)对应点的坐标为（）A．(0，0) B．(1，2) C．(1，3) D．(3，1)第1题图第2题图2．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为（）A．70° B．80° C．84° D．86°3．(2020·青岛)如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．(0，4) B．(2，－2)C．(3，－2) D．(－1，4)第3题图第4题图4．(2020·天津)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC 上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（）A．AC＝DE B．BC＝EFC．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF5．如图，将斜边为长4，且一个角为30°的Rt△AOB放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重合，D为斜边的中点，现将Rt△AOB绕O点顺时针旋转120°得到Rt△EOC，则点D对应的点的坐标为（）A．(1，－ 3 ) B．( 3 ，1)C．(2 3 ，－2) D．(2，－2 3 )6．(2020·大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC ＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（）A.50° B．70° C．110° D．120°第6题图第7题图7．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，AB′交CD于点E，若DE＝B′E，AB＝5，AD＝4，则AE的长为（）A．3 B．2 5 C．258D．4110二、填空题8．(2020·广西北部湾)以原点为中心，把点M (3，4)逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为.9．(2020·广州)如图，点A的坐标为(1，3)，点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为．第9题图第10题图10．如图，在正方形ABCD中，将线段AD绕点A顺时针旋转30°得到线段AE，CE的延长线交正方形ABCD的对角线BD于点F，则∠DFC的度数为.11．(2020·广州)如图，在正方形ABCD中，△ABC绕点A 逆时针旋转到△AB′C′，AB′，AC′分别交对角线BD于点E，F，若AE＝4，则EF·ED的值为．12．(2020·泰安)如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A(0，3)，B(－1，1)，C(3，1).△A′B′C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A′B′－C′绕点B′逆时针旋转180°，点A′的对应点为M，则点M的坐标为．13．(2020·张家界)如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是．三、解答题14．(2020·丹东)如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，先以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1.使它与△ABC位似，且相似比为2∶1，然后再把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2.(1)画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；(2)画出△A2B2C2，直接写出在旋转过程中，点A到点A2所经过的路径长．15．(2020·孝感)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，5)，B(－3，1)和C(4，0)，请按下列要求画图并填空．(1)平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为；(2)将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段AE，并直接写出cos ∠BCE的值为；(3)在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为．16．(2019·苏州)如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE ＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.(1)求证：EF＝BC；(2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．图形的平移与旋转一、选择题1．(2020·台州)如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C(0，－1)对应点的坐标为(D)A．(0，0) B．(1，2) C．(1，3) D．(3，1)第1题图第2题图2．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为(B) A．70° B．80° C．84° D．86°3．(2020·青岛)如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是(D)A．(0，4) B．(2，－2)C．(3，－2) D．(－1，4)第3题图第4题图4．(2020·天津)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC 上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是(D)A．AC＝DE B．BC＝EFC．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF5．如图，将斜边为长4，且一个角为30°的Rt△AOB放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重合，D为斜边的中点，现将Rt△AOB绕O点顺时针旋转120°得到Rt△EOC，则点D对应的点的坐标为(A)A．(1，－ 3 ) B．( 3 ，1)C．(2 3 ，－2) D．(2，－2 3 )6．(2020·大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC ＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是(D)A.50° B．70° C．110° D．120°第6题图第7题图7．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，AB′交CD于点E，若DE＝B′E，AB＝5，AD＝4，则AE的长为(D)A．3 B．2 5 C．258D．4110二、填空题8．(2020·广西北部湾)以原点为中心，把点M (3，4)逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为__(－4，3)__.9．(2020·广州)如图，点A的坐标为(1，3)，点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为__(4，3)__．第9题图第10题图10．如图，在正方形ABCD中，将线段AD绕点A顺时针旋转30°得到线段AE，CE的延长线交正方形ABCD的对角线BD于点F，则∠DFC的度数为__120°__.11．(2020·广州)如图，在正方形ABCD中，△ABC绕点A 逆时针旋转到△AB′C′，AB′，AC′分别交对角线BD于点E，F，若AE＝4，则EF·ED的值为__16__．12．(2020·泰安)如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A(0，3)，B(－1，1)，C(3，1).△A′B′C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A′B′－C′绕点B′逆时针旋转180°，点A′的对应点为M，则点M的坐标为__(－2，1)__．13．(2020·张家界)如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是__ 2 －1__．三、解答题14．(2020·丹东)如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，先以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1.使它与△ABC位似，且相似比为2∶1，然后再把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2.(1)画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；(2)画出△A2B2C2，直接写出在旋转过程中，点A到点A2所经过的路径长．解：(1)△A1B1C1如解图所示，点A1的坐标为(－2，－4)；(2)△A2B2C2如解图所示，由勾股定理得OA＝12＋22＝ 5 ，点A到点A2所经过的路径长为90×π×5180＝5π2.15．(2020·孝感)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，5)，B(－3，1)和C(4，0)，请按下列要求画图并填空．(1)平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为__(2，－4)__；(2)将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段AE，并直接写出cos ∠BCE的值为__55__；(3)在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为__(0，4)__．解：(1)如解图，线段CD为所求；(2)如解图，线段AE为旋转后所得；(3)如解图，点F即为所求．16．(2019·苏州)如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE ＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.(1)求证：EF＝BC；(2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．(1)证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF.∵将线段AC 绕A点旋转到AF的位置，∴AC＝AF.在△ABC与△AEF中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AE ，∠BAC ＝∠EAF，AC ＝AF ，∴△ABC ≌△AEF(SAS)， ∴EF ＝BC ；(2)解：∵AB＝AE ，∠ABC ＝65°，∴∠BAE ＝180°－65°×2＝50°，∴∠FAG ＝∠BAE＝50°.∵△ABC ≌△AEF ，∴∠F ＝∠C ＝28°，∴∠FGC ＝∠FAG＋∠F＝50°＋28°＝78°.。
2023年中考数学二轮复习 图象的平移 拓展练习(含答案)
2023年中考数学二轮复习《图象的平移》拓展练习一、选择题1.在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是( )A.位似B.旋转C.轴对称D.平移2.下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是( )A. B. C. D.3.如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②.关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是( )A.主视图相同B.左视图相同C.俯视图相同D.三种视图都不相同4.下列四个图案是小明家在瓷砖厂选购的四种地砖图案，其中既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的是（）5.在平面直角坐标系中，将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则k的值为( )A.﹣2B.2C.﹣3D.36.对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（）A.平移B.旋转C.轴对称D.位似7.将抛物线y=（x﹣1）2+3向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的表达式为（）A.y=（x﹣2）2B.y=x2C.y=x2+6D.y=（x﹣2）2+68.如图，△ABC沿着由点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC=5．EC=3，那么平移的距离为（ ）A.2B.3C.5D.79.有下列函数：①y=x2；②y=－x2；③y=(x－1)2+2.其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x－3的有( ).A.①②B.①③C.②③D.①②③10.如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，BC＝2cm，∠A＝30°，四边形DEFG 为矩形，DE＝23cm，EF＝6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合.Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C 与点F重合时停止.设Rt△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2，运动时间xs.能反映ycm2与xs之间函数关系的大致图象是( )11.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(﹣3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( )A.1B.1或5C.3D.512.如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若BC ＝3，则△ABC 移动的距离是( )A.32B.33C.62D.3－62二、填空题13.一个点从数轴上表示﹣1的点开始，先向右平移6个单位长度，再向左平移8个单位长度，则此时这个点表示的数是_____.14.直线y ＝2x －1沿y 轴平移3个单位长度，则平移后直线与y 轴的交点坐标为_______.15.若将一次函数y=﹣2x+1的图象向(上或下)平移 单位，使平移后的图象过点(0,﹣2).16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是正方形，点C(0，4)，D 是OA 中点，将△CDO 以C 为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C 与点O 重合，写出此时点D 的对应点的坐标________.17.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝4cm.沿对角线AC 剪开，将△ABC 向右平移至△A 1BC 1位置，成图(2)的形状，若重叠部分的面积为3cm 2，则平移的距离AA 1＝ cm ．18.如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为(3，﹣1)，AB＝23.若将⊙P向上平移，则⊙P与x轴相切时点P的坐标为__________.三、解答题19.在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示,将△ABC先向右平移5个单位得△A1B1C1，再向上平移2个单位得△A2B2C2。
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考点跟踪突破29图形的平移
一、选择题
1．(2016·郑州模拟)如图，在平面直角坐标系中，将点M(2，1)向下平移2个单位长度得到点N，则点N的坐标为( A )
A．(2，－1) B．(2，3) C．(0，1) D．(4，1)
,第1题图),第2题图) 2．(2016·青岛)如图，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P(a，b)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为( A )
A．(a－2，b＋3) B．(a－2，b－3)
C．(a＋2，b＋3) D．(a＋2，b－3)
3．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是( D )
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
4．(2015·丽水)如图，在方格纸中，线段a，b，c，d的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有( B ) A．3种B．6种C．8种D．12种
,第4题图),第5题图) 5．如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数有( D ) A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
6．(2016·莆田)在平面直角坐标系中，点P(－1，2)向右平移3个单位长度得到的点的坐标是__(2，2)__．
7．(2016·泰州)如图，△ABC中，BC＝5 cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为__2.5__ cm.
,第7题图) ,第8题图)
8．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8 cm ，D 是AB 的中点．现将△BCD 沿BA 方向平移1 cm ，得到△EFG ，FG 交AC 于点H ，则GH 的长等于__3__ cm .
点拨：∵△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8 cm ，D 是AB 的中点，∴AD ＝BD ＝CD ＝12
AB ＝4 cm ；又∵△EFG 由△BCD 沿BA 方向平移1 cm 得到的，∴GH ∥CD ，GD ＝1 cm ，∴GH DC ＝AG AD ，即GH 4＝4－14
，解得GH ＝3(cm ) 9．如图①，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A′B′D′的位置得到图②，则阴影部分的周长为__2__．
点拨：∵两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到
△A′B′D ′的位置，∴A′M ＝A′N ＝MN ，MO ＝DM ＝DO ，OD′＝D′E ＝OE ，EG ＝EC ＝GC ，B′G ＝RG ＝RB′，RB ＝RN ＝BN ，∴OE ＋OM ＋MN ＋NR ＋GR ＋EG ＝A′D′＋BC ＝1＋1＝2
10．(2017·中考预测)如图，把抛物线y ＝12
x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y ＝12
x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为__272
__． 点拨：过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，设抛物线m 的对称轴交x 轴于点N.∵抛物线平移后经过原点O 和点A(－6，0)，∴平移后的抛物线对称轴为x ＝－3，得出二次函数解析式
为y ＝12(x ＋3)2＋h ，将(－6，0)代入得出0＝12(－6＋3)2＋h ，解得h ＝－92
，∴点P 的坐标是(3，－92
)，根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO 的面积， ∴S ＝3×|－92|＝272
三、解答题
11．(2016·安徽)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD 的两条边AB 与BC ，且四边形ABCD 是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC.
(1)试在图中标出点D ，并画出该四边形的另两条边；
(2)将四边形ABCD 向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′.
解：(1)点D以及四边形ABCD另两条边如图所示．
(2)得到的四边形A′B′C′D′如图所示．
12．(2015·锦州)如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点是A(－5，1)，B(－2，3)，线段CD的两个端点是C(－5，－1)，D(－2，－3)．
(1)线段AB与线段CD关于某直线对称，则对称轴是__x轴__；
(2)平移线段AB得到线段A1B1，若点A的对应点A1的坐标为(1，2)，画出平移后的线段A1B1，并写出点B1的坐标为__(4，4)__．
解：(1)∵A(－5，1)，C(－5，－1)，∴AC⊥x轴，且A，C两点到x轴的距离相等，同理BD⊥x轴，且B，D两点到x轴的距离相等，∴线段AB和线段CD关于x轴对称，故答案为x轴
(2)∵A(－5，1)，A1(1，2)，∴相当于把A点先向右平移6个单位，再向上平移1个单位，∵B(－2，3)，∴平移后得到B1的坐标为(4，4)，画图略
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得到△DEF，DF与BC交于点H.
(1)求BE的长；
(2)求Rt△ABC与△DEF重叠(阴影)部分的面积．
解：(1)连接OG，如图，∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝AB2＋AC2＝5，∵Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，∴AD＝BE，
DF＝AC＝3，EF＝BC＝5，∠EDF＝∠BAC＝90°，∵EF与半圆O相切于点G，∴OG⊥EF，
∵AB ＝4，线段AB 为半圆O 的直径，∴OB ＝OG ＝2，∵∠GEO ＝∠DEF ，
∴Rt △EOG ∽Rt △EFD ，∴OE EF ＝OG DF ，即OE 5＝23，解得OE ＝103，∴BE ＝OE －OB ＝103－2＝43
(2)BD ＝DE －BE ＝4－43＝83.∵DF ∥AC ，∴DH AC ＝BD AB ，即DH 3＝834
，解得DH ＝2.∴S 阴影＝S △BDH ＝12BD·DH ＝12×83×2＝83，即Rt △ABC 与△DEF 重叠(阴影)部分的面积为83
14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，第1次平移将矩形ABCD 沿AB 的方向向右平移5个单位，得到矩形A 1B 1C 1D 1，第2次平移将矩形A 1B 1C 1D 1沿A 1B 1的方向向右平移5个单位，得到矩形A 2B 2C 2D 2，…，第n 次平移将矩形A n －1B n －1C n －1D n －1沿A n －1B n －1的方向平移5个单位，得到矩形A n B n C n D n (n ＞2)．
(1)求AB 1和AB 2的长；
(2)若AB n 的长为56，求n.
解：(1)∵AB ＝6，第1次平移将矩形ABCD 沿AB 的方向向右平移5个单位，得到矩形A 1B 1C 1D 1，第2次平移将矩形A 1B 1C 1D 1沿A 1B 1的方向向右平移5个单位，得到矩形A 2B 2C 2D 2…∴AA 1＝5，A 1A 2＝5，A 2B 1＝A 1B 1－A 1A 2＝6－5＝1，∴AB 1＝AA 1＋A 1A 2＋A 2B 1＝5＋5＋1＝11，∴AB 2的长为5＋5＋6＝16
(2)∵AB 1＝2×5＋1＝11，AB 2＝3×5＋1＝16，∴AB n ＝(n ＋1)×5＋1＝56，解得n ＝10。