华南师范大学附属中学七年级数学下册第九单元《不等式与不等式组》知识点总结(培优)

一、选择题
1．若点A （a ，b ）在第二象限，则点B （﹣a ，b+1）在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限A 解析：A
【分析】
根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得关于a 、b 的不等式，再根据不等式的性质，可得B 点的坐标符号．
【详解】
解：∵点P （a ，b ）在第二象限，
∴a ＜0，b ＞0，
∴-a ＞0，b+1＞0，
∴点B （﹣a ，b+1）在第一象限．
故选A ．
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中象限内的点的坐标的符号特征和不等式的性质．注意第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－）． 2．已知点()121M m m --，在第四象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ． B
解析：B
【分析】
由点()121M m m --，在第四象限,可得出关于m 的一元一次不等式组,解不等式组即可得出m 的取值范围,再对照四个选项即可得出结论．
【详解】
解：由点()121M m m --，在第四象限，得 1-2010m m >⎧⎨-<⎩
， ∴0.51m m <⎧⎨<⎩
即不等式组的解集为：0.5m <，
在数轴上表示为：
故选：B ．
【点睛】
此题考查了象限及点的坐标的有关性质、在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式组，需要综合掌握其性质
3．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]=1，[﹣2.5]=﹣3，若[x ﹣2]=﹣1，则x 的取值范围为（ ）
A ．0＜x ≤1
B ．0≤x ＜1
C ．1＜x ≤2
D ．1≤x ＜2D
解析：D
【详解】
由题意得 2021
x x -<⎧⎨-≥-⎩ 解之得
12x ≤<
故选D ．
4．若a b >，则下列不等式中，不成立的是（ ）
A ．33a b ->-
B ．33a b ->-
C ．
33
a b > D ．22a b -+<-+ A 解析：A
【分析】 根据不等式的性质进行判断即可.
【详解】
解：A 、根据不等式的性质3，不等式的两边乘以(-3)，可得-3a ＜-3b ，故A 不成立； B 、根据不等式的性质1，不等式的两边减去3，可得a-3＞b-3，故B 成立；
C 、根据不等式的性质2，不等式的两边乘以13，可得33
a b >，故C 成立； D 、根据不等式的性质3，不等式的两边乘以(-1)，可得-a ＜-b ，再根据不等式的性质1，不等式的两边加2，可得-a+2＜-b+2，故D 成立.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
5．若实数3是不等式2x a 20--<的一个解，则a 可取的最小整数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5D
解析：D
【分析】
将x 3=代入不等式得到关于a 的不等式，求解即可.
【详解】
根据题意，x 3=是不等式的一个解，
∴将x 3=代入不等式，得：6a 20--<，
解得：4a >，
则a 可取的最小整数为5，
故选：D.
【点睛】
此题考查不等式的解的定义，解一元一次不等式，正确理解不等式的解的定义将x=3代入得到关于a 的不等式是解题的关键.
6．下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A ．2x 10->
B ．12-<
C ．3x 2y 1-≤-
D ．2y 35+> A
解析：A
【分析】
只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式叫做一元一次不等式.
【详解】 A 、是一元一次不等式；
B 、不含未知数，不符合定义；
C 、含有两个未知数，不符合定义；
D 、未知数的次数是2，不符合定义，
故选：A.
【点睛】
此题考查一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式叫做一元一次不等式.
7．关于x 的不等式620x x a -≤⎧⎨
≤⎩有解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜3
B ．a≤3
C ．a≥3
D ．a ＞3C
解析：C
【分析】
解不等式6－2x ≤0，再根据不等式组有解求出a 的取值范围即可．
【详解】
解不等式6－2x ≤0，得：x ≥3，
∵不等式组有解，
∴a ≥3．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查根据不等式组的解判断未知参数的范围，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
8．若m n <，则下列各式中正确的是（ ）
A ．33m n +>+
B ．33m n ->-
C ．33m n ->-
D ．33
m n > C 解析：C
【分析】
根据不等式的基本性质依次分析各项即可得到结果．
【详解】
∵m ＜ｎ
∴m+3＜n+3，故A 选项错误；
m-3＜n-3，故B 选项错误；
-3m ＞-3n ，故C 选项正确； 33
m n <，故D 选项错误； 故选C.
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9．如果a >b ，那么下列不等式不成立．．．
的是（ ） A ．0a b ->
B ．33a b ->-
C ．1133a b >
D ．33a b ->- D 解析：D
【分析】
根据不等式的基本性质逐项判断即可得．
【详解】
A 、0a b ->，成立；
B 、不等式的两边同减去3，不改变不等号的方向，即33a b ->-，成立；
C 、不等式的两边同乘以正数13，不改变不等号的方向，即1133a b >，成立；
D 、不等式的两边同乘以负数3-，改变不等号的方向，即33a b -<-，不成立； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
10．在数轴上，点A ，现将点A 沿数轴做如下移动，第一次点A 向左移动4个单位长度到达点1A ，第二次将点1A 向右移动8个单位到达点2A ，第三次将点2A 向左移动12个单位到达点3A ，第四次将点3A 向右移动16个单位长度到达点4A ，按照这种规律下去，第n 次移动到点n A ，如果点n A 与原点的距离不少于18，那么n 的最小值是（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10C
解析：C
【分析】 根据题意依次得出点A 移动的规律，当点A 奇数次移动时，对应表示的数为负数，当点A 偶数次移动时，对应表示的数为正数，得出对应规律，根据点n A 与原点的距离不少于18，列出不等式，求解可得．
【详解】
解：第一次：1A 4-，
第二次：2A 4，
第三次：3A 8，
第四次：4A 8+，
...
当n 为奇数时，第n 142
n +⨯22n -，
当n 为偶数时，第n 42n ⨯2n ， ∵点n A 与原点的距离不少于18，
∴2218n -≥218n ≥，
解得：82n ≥
+，92n ≥-，
∵012
<<， ∴n≥9，
∴n 的最小值是9，
故选C ．
【点睛】
本题是数字类的变化规律题，考查了解不等式，还考查了数轴的性质：向左移→减，向右移→加；从第一个点移动开始分别计算出表示的数，大胆猜想，找出对应的规律，并验证，列式计算．
二、填空题
11．“鼠去牛来辞旧岁，龙飞凤舞庆明时．”在新年的钟声敲响之际，南开中学初2022级举行了元旦晚会．在晚会前，一、二、三班都组织购买了 A 、B 、C 三类糖果．已知一班分别购买 A 、B 、C 三类糖果各3千克、2千克、5千克，二班分别购买A 、B 、C 三类糖果各 2千克、1千克、4千克，且一班和二班购买糖果的总金额比值为3∶2．若三类糖果单价和为108元，且各单价是低于50元/千克的整数，A 与C 单价差大于25元．则三班分别购买A 、B 、C 三类糖果各2千克、3千克、4千克的总金额为______元．296【分析】可设A
单价x 元B 单价y 元由三类糖果单价和为108元得C 单价；再由一班和二班购买糖果的总金额比值为3∶2可得xy 的关系式再由A 与C 单价差大于25元可得一元一次不等式根据各单价是低于50元
解析：296
【分析】
可设A 单价x 元，B 单价y 元，由三类糖果单价和为108元得C 单价；再由一班和二班购买糖果的总金额比值为3∶2，可得x 、y 的关系式，再由A 与C 单价差大于25元，可得一元一次不等式，根据各单价是低于50元/千克的整数求出符合题意的解即可
【详解】
解：设A 单价x 元，B 单价y 元
三类糖果单价和为108元得C 单价为（108-x-y ）元
又一班和二班购买糖果的总金额比值为3∶2可得：
325(108)324(108)2
x y x y x y x y ++--=++-- 整理可得：2x+3y=216①
又A 与C 单价差大于25元，即x-（108-x-y ）>25
整理可得：2x+y>133,将①中的2x 代入可得：y<41.5
又A 、B 、C 三类糖果单价是低于50元/千克的整数，故：
若y=41，代入①得x=46.5，不符合题意
若y=40，代入①得x=48，符合题意
若y=39，代入①得x=49.5，不符合题意
若y=38，代入①得x=51，不符合题意
y 越小，x 越大，故后面x 的结果均大于50，不符合题意
故x=48，y=40,108-x-y=20
由上可知：
A 类糖果的单价是48元
B 类糖果的单价是40元
C 类糖果的单价是20元
故分别购买A 、B 、C 三类糖果各2千克、3千克、4千克的总金额为：
48×2+40×3+20×4=296（元）
故答案为：296
【点睛】
本题考查一元一次不等式的解法，利用条件建立一元一次不等式并结合题意准确得到A 、B 、C 三类糖果的单价是解本题的关键
12．对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如
[1.2]1,[3]3,[ 2.5]3==-=-，若4510x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，则x 的取值可以是______________（任写一个）．50（答案不唯一）【分析】由于规定表示不大于x 的最大整数则表示不
大于的最大整数接下来根据可列出不等式组求解即可【详解】解：表示不大于x 的最大整数表示不大于的最大整数又可列不等式组x 的取值可以是范围内 解析：50（答案不唯一）
【分析】
由于规定[]x 表示不大于x 的最大整数，则410x +⎡⎤⎢
⎥⎣⎦表示不大于410x +的最大整数，接下来根据4510x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，可列出不等式组，求解即可． 【详解】 解：
[]x 表示不大于x 的最大整数， ∴410x +⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不大于410x +的最大整数，
又4510x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
， ∴可列不等式组45104610
x x +⎧≥⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩ ，450460x x +≥⎧⎨+<⎩， ∴4656
x x ≥⎧⎨<⎩，∴4656≤<x ， ∴x 的取值可以是范围内的任何实数．
故答案为：50（答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据[x]表示不大于x 的最大整数列出不等式组．
13．若0a b c ++=，且a b c >>，以下结论：
①0a >，0c >；
②关于x 的方程0ax b c ++=的解为1x =；
③22()a b c =+ ④||||||||
a b c abc a b c abc +++的值为0或2； ⑤在数轴上点A ．B ．C 表示数a 、b 、c ，若0b <，则线段AB 与线段BC 的大小关系是AB BC >．
其中正确的结论是______（填写正确结论的序号）．②③⑤【分析】①根据a+b+c=0且a ＞b ＞c 推出a ＞0c ＜0即可判断；②根据a+b+c=0求出a=-（b+c ）又ax+b+c=0时ax=-（b+c ）方程两边都除以a 即可判断；③根据a=-（b+c ） 解析：②③⑤
【分析】
①根据a+b+c=0，且a＞b＞c推出a＞0，c＜0，即可判断；
②根据a+b+c=0求出a=-（b+c），又ax+b+c=0时ax=-（b+c），方程两边都除以a即可判断；
③根据a=-（b+c）两边平方即可判断；
④分为两种情况：当b＞0，a＞0，c＜0时，去掉绝对值符号得出a
a
+
b
b
+
c
c-
+
abc
abc
-
，求
出结果，当b＜0，a＞0，c＜0时，去掉绝对值符号得出a
a
+
b
b-
+
c
c-
+
abc
abc
，求出结果，
即可判断；
⑤求出AB=a-b=-b-c-b=-2b-c=-3b+b-c，BC=b-c，根据b＜0利用不等式的性质即可判断．【详解】
解：（1）∵a+b+c=0，且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
∴①错误；
∵a+b+c=0，a＞b＞c，
∴a＞0，a=-（b+c），
∵ax+b+c=0，
∴ax=-（b+c），
∴x=1，
∴②正确；
∵a=-（b+c），
∴两边平方得：a2=（b+c）2，
∴③正确；
∵a＞0，c＜0，
∴分为两种情况：
当b＞0时，a
a+
b
b+
c
c+
abc
abc=
a
a
+
b
b
+
c
c-
+
abc
abc
-
=1+1+（-1）+（-1）=0；
当b＜0时，a
a+
b
b+
c
c+
abc
abc=
a
a
+
b
b-
+
c
c-
+
abc
abc
=1+（-1）+（-1）+1=0；
∴④错误；
∵a+b+c=0，且a＞b＞c，b＜0，
∴a＞0，c＜0，a=-b-c，
∴AB=a-b=-b-c-b=-2b-c=-3b+b-c，BC=b-c，∵b＜0，
∴-3b＞0，
∴-3b+b-c＞b-c，
∴AB＞BC，
∴⑤正确；即正确的结论有②③⑤．
故答案为：②③⑤．
【点睛】
本题考查了比较两线段的长，数轴，有理数的加法、除法、乘方，一元一次方程的解，绝对值等知识点的综合运用，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
14．“x 的4倍与1的差不大于3”用不等式表示为 ________________ ．4x-13【分析】的4倍与1的差即4x-1不大于就是据此列不等式【详解】由题意得4x-13故答案为：4x-13【点睛】此题考查列不等式正确理解语句是解题的关键
解析：4x-1≤3，
【分析】
x 的4倍与1的差即4x-1，不大于就是≤，据此列不等式．
【详解】
由题意得4x-1≤3，
故答案为：4x-1≤3．
【点睛】
此题考查列不等式，正确理解语句是解题的关键．
15．已知方程组3951x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩
的解为正数，求a 的取值范围是_______．－＜＜4【分析】先解方程组用含a 的式子表示方程组的解根据方程组的解是正数列出关于a 的不等式组再求解【详解】解：①＋②得：①－②得：所以原方程组的解为：∵方程组的解为正∴＞0且＞0解得：－＜＜4故填：
解析：－
54＜a ＜4 【分析】
先解方程组用含a 的式子表示方程组的解，根据方程组的解是正数，列出关于a 的不等式组，再求解．
【详解】
解：3951x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩
①②， ①＋②得：2810x a =+，
45x a =+，
①－②得：228y a =-+，
4y a =-+，
所以，原方程组的解为：454x a y a =+⎧⎨
=-+⎩
， ∵ 方程组的解为正，
∴45a +＞0且4a -+＞0，
解得：－
54＜a ＜4， 故填：－
54
＜a ＜4． 【点睛】 本题考查了方程组的解法，以及一元一次不等式组的解法，解此类问题要先用字母a 表示方程组的解，再根据题意，列不等式组，最后求解．
16．已知点()6,29P m m --关于x 轴对称的点在第三象限，则m 的整数解是______．5
【分析】利用平面直角坐标系中点的坐标特点得出m 的取值范围【详解】解：∵点P(m ﹣62m ﹣9)关于x 轴的对称点在第三象限∴点P 在第二象限∴m ﹣6<0且2m ﹣9>0解得：<m<6∴m 的取值范围是<m<
解析：5
【分析】
利用平面直角坐标系中点的坐标特点得出m 的取值范围．
【详解】
解：∵点P (m ﹣6，2m ﹣9)关于x 轴的对称点在第三象限，
∴点P 在第二象限，
∴m ﹣6<0且2m ﹣9>0， 解得：92
<m<6， ∴m 的取值范围是92
<m<6， ∴m 的整数解为5；
故答案为 5．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-），要注意先判断出点P 在第二象限．
17．若关于x 的不等式2310a x -->的最大整数解为2-，则实数a 的取值范围是_________．【分析】先求出不等式的解再根据不等式的最大整数解确定a 的取值范围即可【详解】解：解得∵不等式的最大整数解为∴解得：；故答案为：
【点睛】本题考查的是不等式的解正确的解不等式是解题的关键 解析：512a -
<≤- 【分析】
先求出不等式的解，再根据不等式的最大整数解确定a 的取值范围即可．
【详解】
解：解2310a x -->， 得213
＜
-a x ， ∵不等式2310a x -->的最大整数解为2-， ∴21-2-13
＜-≤a ， 解得：512
a -<≤-； 故答案为：512a -
<≤-． 【点睛】
本题考查的是不等式的解，正确的解不等式是解题的关键．
18．定义[]x 表示不大于x 的最大整数、{}[]x x x =-，例如[]
22=，[]2.83-=-，[]2.82=，{}20=，{}2.80.8=，{}2.80.2-=，则满足{}[]2x x =的非零实数x 值为_______．【分析】
解析：1.5
【分析】
19．已知a ＞b ，则15a +c _____15b +c （填“＞”“＜”或“＝”）．>【分析】根据不等式的性质求解即可15>0所以不等式两端同时乘15时不改变不等号的方向【详解】∵a ＞b15>0∴15a ＞15b ∴15a+c ＞15b+c 故答案为>【点睛】本题考查了不等式的性质熟记不等
解析：>
【分析】
根据不等式的性质求解即可，15>0，所以不等式两端同时乘15时，不改变不等号的方向．
【详解】
∵a ＞b ，15>0
∴15a ＞15b
∴15a+c ＞15b+c
故答案为>．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，熟记不等式两端同时乘或除一个负数时，符号改变是本题的关键．
20．若不等式组0122
x a x x +≥⎧⎨->-⎩恰有四个整数解，则a 的取值范围是_________.3≤a ＜4【分析】求出每个不等式的解集根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集根据已知不等式组有四个整数解得出不等式组-4＜-a≤-3求出不等式的解集即
可得答案【详解】解不等式①得：x≥-a 解不等
解析：3≤a ＜4
【分析】
求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知不等式组有四个整数解得出不等式组-4＜-a≤-3，求出不等式的解集即可得答案．
【详解】
0122x a x x +≥⎧⎨->-⎩
①② 解不等式①得：x≥-a ，
解不等式②x ＜1，
∴不等式组得解集为-a≤x ＜1，
∵不等式组恰有四个整数解，
∴-4＜-a≤-3，
解得：3≤a ＜4，
故答案为：3≤a ＜4
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式（组），不等式组的整数解，能根据不等式组的解集得出关于a 的不等式组是解题关键．
三、解答题
21．某县举办运动会需购买A ，B 两种奖品，若购买A 种奖品5件和B 种奖品2件，共需80元；若购买A 种奖品3件和B 种奖品3件，共需75元．
（1）求A 、B 两种奖品的单价各是多少元？
（2）大会组委会计划购买A ．B 两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍，设购买A 种奖品m 件，购买费用为W 元，写出W （元）与m （件）之间的函数关系式，并求出自变量m 的取值范围，以及确定最少费用W 的值．
解析：（1）A 、B 两种奖品的单价分别是10元、15元；（2）1015(100)W m m =+-，7075m ≤≤，当75m =时，W 有最小值为1125．
【分析】
（1）设A 种奖品的单价是x 元，B 种奖品的单价是y 元，根据“钱数=A 种奖品单价×数量+B 种奖品单价×数量”可列出关于x 、y 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设购买A 种奖品m 件，则购买B 种奖品（100m -）件，根据购买费用不超过1150元，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍，可列出关于m 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m 的取值范围，再结合数量关系即可得出W 与m 之间的函数关系，根据一次函数的性质既可以解决最值问题．
【详解】
解：（1）设A 、B 两种奖品的单价分别为x 、y 元
则52803375x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1015x y =⎧⎨=⎩
∴A 、B 两种奖品的单价分别是10元、15元．
（2）设购买A 种奖品m 件，则B 为（100m -）件
由题意得：3(100)1015(100)1150m m m m ≤-⎧⎨+-≤⎩
， 解得：7075m ≤≤
1015(100)W m m =+-
15005m =-
∵50-<，
∴W 随m 的增加而减少，
当75m =时，W 有最小值为1125．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）列出关于x 、y 的二元一次方程组；（2）根据数量关系列出W 关于m 的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组、函数关系或不等式组）是关键．
22．我国古代民间把正月正、二月二、三月三、五月五、六月六、七月七、九月九这“七重”列为吉庆日；“七”在生活中表现为时间的阶段性，比如一周有“七天”……在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性也和“七”有关．
定义：对于四位自然数n ，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数n 为“七巧数”．
例如：3254是“七巧数”，因为347+=，257+=，所以3254是“七巧数”； 1456不是“七巧数”，因为167+=，但457+≠，所以1456不是“七巧数”．
（1）若一个“七巧数”的千位数字为a ，则其个位数字可表示为______（用含a 的代数式表示）；
（2）最大的“七巧数”是______，最小的“七巧数”是______；
（3）若m 是一个“七巧数”，且m 的千位数字加上十位数字的和，是百位数字减去个位数字的差的3倍，请求出满足条件的所有“七巧数”m ．
解析：（1）7-a ；（2）7700，1076；（3）6431，4523，2615
【分析】
（1）根据七巧数的定义，即可得到答案；
（2）根据七巧数的定义，即可得到答案；
（3）设m 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，根据题意得到a ，b ，c ，d 之间的数量关系，进而求出b 的范围，即可求解．
【详解】
（1）∵一个“七巧数”的千位数字为a ，
∴其个位数字可表示为：7-a ，
故答案是：7-a；
（2）由题意可得：最大的“七巧数”是：7700，最小的“七巧数”是：1076，故答案是：7700，1076；
（3）设m的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，
则
3()
7
7
a c
b d
a d
c b
+=-
⎧
⎪
=-
⎨
⎪=-
⎩
①
②
③
，
把②③代入①，可得：7-d+7-b=3b-3d，既：4b-2d=14，
∴d=2b-7，
∴百位数字为b，个位数字为2b-7，十位数字为7-b，
∵2b-7≥0且7-b≥0，
∴3.5≤b≤7，
当b=4时，则d=1，a=6，c=3，m=6431，
当b=5时，则d=3，a=4，c=2，m=4523，
当b=6时，则d=5，a=2，c=1，m=2615，
当b=7时，则d=7，a=0，c=0，不符合题意，
∴满足条件的所有“七巧数”m为：6431，4523，2615．
【点睛】
本题主要考查新定义问题，理解题意，列出方程和不等式，掌握分类讨论的思想方法，是解题的关键．
23．某商场销售A、B两种型号的计算器，两种计算器的进货价格分别为每台15元，20元．商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润38元；销售6台A型号和3台型号计算器，可获利润6元．
（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？
（2）商场准备用不多于1250元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，且全部售出后至少获利460元．问：最少需要购进A型号的计算器多少台？最多可购进A型号的计算器多少台？
解析：（1）A、B两种型号计算器的销售价格分别为21元、28元；（2）最少需要购进A 型号的计算器30台，最多可购进A型号的计算器50台
【分析】
（1）设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，根据题意可等量关系：①5台A型号和1台B型号计算器，可获利润38元；②销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润6元，由①②等量关系列出方程组，解方程即可；
（2）根据题意表示出所用成本，进而得出不等式组求出即可．
【详解】
（1）设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，由题意得：
551520386361532060x y x y +-⨯-=⎧⎨+-⨯-⨯=⎩
， 解得：2128x y =⎧⎨=⎩
答：A 、B 两种型号计算器的销售价格分别为21元、28元；
（2）设购进A 型号的计算器z 台，则B 种计算器为（70-z ）台，依题意得：
1520(70)1250(2115)(2820)(70)460z z z z +-≤⎧⎨-+--≥⎩
， 解得：3050z ≤≤，
∴最少需要购进A 型号的计算器30台，最多可购进A 型号的计算器50台．
答：最少需要购进A 型号的计算器30台，最多可购进A 型号的计算器50台．
【点睛】
考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式组求解．
24．某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉，共需要资金4400元．
（1）求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？
（2）该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案； （3）甲型微波炉的售价为1400元，售出一台乙型微波炉的利润率为45%．为了促销，公司决定甲型微波炉九折出售，而每售出一台乙型微波炉，返还顾客现金m 元，要使（2）中所有方案获利相同，则m 的值应为多少？
解析：（1）甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元；（2）有4种进货方案，分别为：甲型号7台则乙型号13台；甲型号8台则乙型号12台；甲型号9台则乙型号11台；甲型号10台则乙型号10台；（3）要使（2）中所有方案获利相同，则m 的值应为100元
【分析】
（1）设甲型号微波炉每台进价为x 元，乙型号微波炉每台进价为y 元，然后由题意可列方程组进行求解；
（2）设购进甲型号微波炉为a 台，则乙型号微波炉为()20a -台，然后根据题意可列不等式组进行求解a 的范围，然后根据a 为正整数可求解；
（3）设总利润为w ，则由（2）可得
()()()()14000.910008004520100720020w a m a m a m =⨯-+⨯--=-+-％，进而根据题意可求解．
【详解】
解：（1）设甲型号微波炉每台进价为x 元，乙型号微波炉每台进价为y 元，根据题意得：
22600234400x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 解得：1000800x y =⎧⎨=⎩
， 答：甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元．
（2）设购进甲型号微波炉为a 台，则乙型号微波炉为()20a -台，由（1）及题意得： ()()1000800201800010008002017400a a a a ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩
， 解得：710a ≤≤，
∵a 为正整数，
∴a 的值为7、8、9、10，
∴有4种进货方案，分别为：甲型号7台则乙型号13台；甲型号8台则乙型号12台；甲型号9台则乙型号11台；甲型号10台则乙型号10台．
（3）设总利润为w ，则由（2）可得：
()()()()14000.910008004520100720020w a m a m a m =⨯-+⨯--=-+-％， ∵（2）中方案利润要相同，
∴1000m -=，解得：100m =，
答：要使（2）中所有方案获利相同，则m 的值应为100．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组及不等式组的应用，熟练掌握二元一次方程组及不等式组的应用是解题的关键．
25．解不等式组2536x x +<⎧⎨-<⎩
，并把解集在数轴上表示出来．
解析：23x -<<，数轴见解析
【分析】
分别求解不等式，即可得到答案．
【详解】
解：不等式组得：32x x <⎧⎨>-⎩
， ∴不等式组的解集为23x -<<． ．
【点睛】
此题考查求不等式组的解集，利用数轴表示不等式组的解集，正确解不等式是解题的关键．
26．解不等式组：365(2)54312
3x x x x +-⎧⎪--⎨-<⎪⎩，并求出最小整数解与最大整数解的和． 解析：38x -<，6
【分析】
根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，即可求出答案．
【详解】
解：()3652543123x x x x ⎧+-⎪⎨---<⎪⎩
①②，
由①得：8x ，
由②得：3x >-，
∴不等式组的解集为38x -<， x 的最小整数为2-，最大整数为8， x 的最小整数解与最大整数解的和为6．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．
27．解下列不等式：
（1）()()212531x x -+<-+
（2）解不等式组 ()32421152x x x x ⎧--≥⎪⎨-+<⎪⎩
解析：（1）x ＜
25；（2）-7＜x≤1. 【分析】
（1）根据解不等式的步骤：去括号——移项——合并同类项——系数化为1，解之即可得出答案；
（2）求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【详解】
（1）解：去括号得：2x-2+2＜5-3x-3，
移项得：2x+3x ＜2，
合并同类项得：5x ＜2，
系数化为1得：x ＜25
（2）解：()32421152x x x x ⎧--≥⎪⎨-+<⎪⎩
①② 解不等式①得， x≤1，
解不等式②得， x ＞-7，
∴原不等式组的解集为：-7＜x≤1
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式，解题的关键是注意不等号的方向．
28．（1）解方程组26m n m n =⎧⎨+=⎩ （2）解不等式组26015a a +<⎧⎨-≤⎩
（3）计算：()33532a a a a ⋅⋅+ （4）计算：()()34++x x
解析：（1）42
n m =⎧⎨=⎩；（2）-43a ≤<-；（3）99a ；（4）2712x x ++； 【分析】
（1）根据代入消元法解方程组即可；
（2）解不等式组即可；
（3）根据幂的运算性质计算即可；
（4）根据多项式乘以多项式计算即可；
【详解】
（1）26
m n m n =⎧⎨+=⎩， 把2=m n 代入6+=m n 中，得到：
26m m +=，解得：2m =，
∴4n =，
∴方程组的解为42n m =⎧⎨=⎩
． （2）26015a a +<⎧⎨-≤⎩
， 由260a +<得：3a <-，
由15-≤a 得：4a ≥-，
∴不等式组的解集为：-43a ≤<-．
（3）原式99989a a a =
+=． （4）原式224312712x x x x x =
+++=++． 【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组求解，不等式组求解，整式乘法的应用，准确计算是解题的关键．。