第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法.pdf

uuur
uuur
EF ＝(0，－1，－1)， EG ＝(0，－1，－1)，
设平面 EFG 的法向量是 n＝(x，y，z)，
uuur
uuur
则有 n⊥ EF ，n⊥ PA ，
∴
y x
+z= −y−
uuur
0, z=
0,
令
y＝1，得
z＝－1，x＝0，即
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n＝(0,1，－1)．
而显然 PA =（3，0，0）是平面 PBC 的一个法向量.
方法一 ∵△AMN，△BMN 为等腰三角形，
∴AG⊥MN，BG⊥MN.
∴∠AGB 为二面角的平面角或其补角．
∵AG=BG= 6 ,
uuur uuur 4uuur
uuur uuur
AB = AG + GB, ，设〈 AG ， GB 〉=θ， uuur uuur uuur uuur uuur
AB 2＝ AG 2＋2 AG ·GB ＋ GB 2，
系 C－xyz.
由题意知 C(0,0,0)，A(4,4,0)，
B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，
Fu(u2ur,4,0)，G(0,0,u2u)u．r
BE ＝(0,2,0)， BF ＝(－2,4,0)， uuuur
设向量
BM
⊥平面
GEF，垂足为
uuuur
M，则
uuur
Mu、uurG、E、uuFur
2 2
y − 2z
= 0,
−
2 x+ 2
2 y − 2z = 0, 2
取 z=
2 ，解得 uuur
n
=
(0,4,
2 ).设点 B 到平面 OCD 的距离为 d,
则 d 为 OB 在向量 n 上的投影的绝对值.
uuur
∵
uuur OB
=（1，0，
OB n − 2），∴d＝
= 2,
n3
∴点 B 到平面 OCD 的距离为 2 , 3
=
GA GB
−1 8
= −1 ,
3 3 3
88
故所求二面角的余弦值为 1 ． 3
学海无涯
方法三 建立如方法二的坐标系，
uuuur
∴
AM uuur
n1
=
0,
AN n1 = 0,
即
− −
1 2 1 2
x x
+ +
1 2 1 2
z y
= =
0, 0,
取
n1＝(1,1,1)．
同理可求得平面 BMN 的法向量 n2＝(1，－1，－1)．
2
2
=
1
uuuur ( D1 A1
−
uuuur D1D)
=
1
uuuur DA1
uuuur uuuur 2
2
∴ MN ∥ DA1 ，又∵MN⊄平面 A1BD.
∴MN∥平面 A1BD.
知识点三 利用向量方法证明垂直问题
在正棱锥 P—ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E、F 分别为 BC、PB 上的点，且 BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
1．已知 A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面 ABC 的一个单位法向量是( )
A． (
3，
3 ，－
3
)
33
3
B．
(
3 ，－
3，
3
)
3
33
C． (－
3，
3，
3
)
333
D． (－
3 ，－
3 ，－
3
)
3
3
3
答uu案ur D AB ＝(－1,1,0)，是平面 OAC 的一个法向量．
∴1＝( 6 )2＋2× 6 × 6 cosθ＋( 6 )2.
4
44
4
∴cosθ＝ 1 ，故所求二面角的余弦值为 1 ．
3
3
方法二 以 B 为坐标原点，BA，BE，BC 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间
直角坐标系 B－xyz
则 M( 1 ，0， 1 )，N ( 1 , 1 ,0)，
2
由 PD⊥面 ABCD 得∠PAD 为 PA 与平面 ABCD 所成的角．
∴∠PAD＝60°.
在 Rt△PAD 中，由 AD＝2，得 PD＝2 3 ．
∴P(0,0,2 3 )．
uuur
uuur
（2）∵ PA ＝(2,0，－2 3 )， BC =（ − 2， − 3，0）
∴
uuur uuur cos〈 PA , BC 〉=
学海无涯
§3.2 立体几何中的向量方法
知识点一 用向量方法判定线面位置关系
(1)设 a、b 分别是 l1、l2 的方向向量，判断 l1、l2 的位置关系： ①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)． ②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)． (2)设 u、v 分别是平面 α、β 的法向量，判断 α、β 的位置关系：
＝(－2y－4z,2x＋4y,2z)＝
2 11
,
2 11
,
6 11
uuuur ∴| BM |＝
( 2 )2 + ( 2 )2 + ( 6 )2 = 2 11
11 11 11 11
即点 B 到平面 GEF 的距离为 2 11 ． 11
(安徽高考)
考题赏析
如图所示，在四棱锥 O—ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∠ABC＝ ， 4
uuur
uuur
这样 n· PA = 0,∴n⊥ PA
即平面 PBC 的法向量与平面 EFG 的法向量互相垂直，
∴平面 EFG⊥平面 PBC.
uuur
uuur
uuur
（2）∵ EG =（1， − 1， − 1）， PG =（1，1，0）， BC =（0， − 3，3），
uuur uuur
uuur uuur
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，∴l⊂α 或 l∥α. ②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，
∴u＝－ 1 a，∴u∥a，∴l⊥α. 4
知识点二 利用向量方法证明平行问题
如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD. 证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、
2
22
中点 G( 1 ， 1 ， 1 )， 244
A(1,0,0)，B(0,0,0)，
由方法一知∠AGB 为二面角的平面角或其补角．
∴
uuur GA
＝(
1
，－
1
，－
1
)，
uuur GB
＝(
1
，－
1
，－
1
)，
244
244
∴
uuur cos< GA ,
uuur GB
>=
uuur uuur GA GB uuur uuur
即
(−2 (−2
y y
− −
4x, 4z,
2x 2x
+ +
4 y, 4 y,
2z) 2z)
(4, 2, −2) (−2, 2, 0)
= =
0, 0,
学海无涯
x − 5z = 0,
x
=
15 11
,
即
x
+
3y
+
2z
+
0,
，解得
x + y + z = 1,
y
=
−
7 11
,
z
=
3 11
,
∴
uuuur BM
OA⊥底面 ABCD，OA＝2，M 为 OA 的中点． (1)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； (2)求点 B 到平面 OCD 的距离．
解 作 AP⊥CD 于点 P.如图，分别以 AB、AP、AO 所在直线为 x、y、z 轴建立平面直
角坐标系．
A(0,0,0)，B(1,0,0)，
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①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2， − 1 )． 2
②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)． (3)设 u 是平面 α 的法向量，a 是直线 l 的方向向量，判断直线 l 与 α 的位置关系． ①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)． ②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)． 解 (1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，
=1 2
．∴θ＝ ． 3
∴AB 与 MD 所成角的大小为 ． 3
uuur （2）∵ OP =（0,
2 ， −2 ），
uuur OD
=（ −
2，
2 ， −2 ）,
2
22
∴设uu平ur 面 OCD 的uu法ur向量为 n = ( x, y , z ),则 n· OP =0， n· OD = 0.
得
四点共面，
故存在实数
uuuur
x，y，z，使
BM
= x BE
+ y BF
+ z BG ，
即 BM = x（0，2，0）+y（ − 2，4，0）+z（ − 4，0，2）
=（ − 2y − 4z，2x+4y，2z）. uuuur uuur uuuur uuur
由 BMuu⊥uur平u面uurGEF，得uuuBurMuu⊥ur GE , BM ⊥ EF ， 于是 BM ·GE ＝0， BM ·EF ＝0，
学海无涯
uuur
uuur
AC ＝(－1,0,1)， BC ＝(0，－1,1)
设平面 ABC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)
∴
−x − x
+ +
y z
= =
0, 0,
令 x＝1，则 y＝1，z＝1
∴n＝(1,1,1)
单位法向量为： n ＝±(
3
,
于是 PA uuur
＝uu(u3r,0,0)，
FG
＝(3,0,0)，
故 PA ＝3 FG ，∴PA∥FG.
而 PA⊥平面 PBC，∴FG⊥平面 PBC，
学海无涯
又 FG⊂平面 EFG，∴平面 EFG⊥平面 PBC.
方法二 同方法一，建立空间直角坐标系，则
E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)．
∴ EG · PG =1 − 1= 0， EG · BC =3 − 3 = 0，
∴EG⊥PG，EG⊥BC，
∴EG 是 PG 与 BC 的公垂线段.
知识点四 利用向量方法求角
四棱锥 P—ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，PA 与平面 ABCD 所成的角为 60°， 在四边形 ABCD 中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
＝0，得
x x
+ +
z y
= =
0, 0,
取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．
uuuur 又 MN ·n＝
( 1 ,0， 1 )·(1，－1，－1)＝0，
22
方法二 ∵
uuuur MN
=
uuuur uuuuur 1 uuuur 1 uuuur C1N − C1M = C B1 1 − C1C
P (0， 2 ，0)，D (－ 2 ， 2 ，0)，
2
22
O(0,0,2)，M(0,0,1)．
(1)设 AB 与 MD 所成角为 θ，
uuur ∵ AB ＝(1,0,0)，
uuuur MD ＝ (－
2，
2 ，－1)，
uu2ur uuuur2
∴cos
AB MD = uuur uuuur
AG MD
(1)建立适当的坐标系，并写出点 B，P 的坐标； (2)求异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值．
解 (1)如图所示，以 D 为原点，射线 DA，DC，DP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，
建立空间直角坐标系 D—xyz，
∵∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，
∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．
∴a＝－ 1 b，∴a∥b，∴l1∥l2. 3
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
(2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2， − 1 )， 2
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－ 3 v，∴u∥v，∴α∥β. 5
(1)求证：平面 GEF⊥平面 PBC； (2)求证：EG 是 PG 与 BC 的公垂线段． 证明 (1)方法一
如图所示，以三棱锥的顶点 P 为原点，以 PA、PB、PC 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z
轴建立空间直角坐标系．
令 PA＝PB＝PC＝3，则
A(3,0,0u)u、ur B(0,3,0)、Cu(0uu,r0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)．
uuur uuur
PA BC uuur uuur PA BC
=−
13 13
学海无涯
∴PA 与 BC 所成角的余弦值为 13 ． 13
正方体 ABEF－DCE′F′中，M、N 分别为 AC、BF 的中点(如图所示)，求 平面 MNA 与平面 MNB 所成二面角的余弦值．
解 取 MN 的中点 G，连结 BG，设正方体棱长为 1.
∴cos〈n1，n2〉＝ n1 n2 = −1 = − 1 , n1 n2 3 3 3
故所求二面角的余弦值为 1 3
知识点五 用向量方法求空间的距离
已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD， 且 GC＝2，求点 B 到平面 EFG 的距离．
解
如图所示，以 C 为原点，CB、CD、CG 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标
z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则可求得
学海无涯
M (0,1， 1 )，N ( 1 ,1,1)，
2
2
D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
uuuur 于是 MN
=（ 1 ，0， 1 ），
2
2
设平面 A1BD 的法向量是
n=（x，y，z）.
n＝(x，y，z)．
则
uuur n·DB