高等代数中两道习题的问题变式

高等代数中两道习题的问题变式
余波
【摘要】通过对高等代数考研题中两组变式题组的变式分析以及问题解决的过程,可以看到:在进行考研复习的解题训练时,学生首先应立足于课本,熟练掌握课本习题提供的解题思想、方法和结论.其次应多关注题题之间的关系,从中抽取出问题表面特征以外的结构特征,建立起题目的数学结构.再次应学会对问题进行多层次变式分析(或构造),对问题解决过程及问题本身的结构有清晰的认识,从而积累问题解决的经验,提高解决问题的能力.
【期刊名称】《玉溪师范学院学报》
【年(卷),期】2016(032)012
【总页数】5页(P50-54)
【关键词】高等代数;考研复习;问题变式
【作者】余波
【作者单位】玉溪师范学院数学与信息技术学院数学系,云南玉溪653100
【正文语种】中文
【中图分类】O175.13
将源问题加以变化得到的新问题，称为变式题；将源问题加以变化，称为问题变式[1].本文以问题变式的形式，例举出高等代数考研题中的习题为源问题的两组变式题[2]，并以此给出考研复习的一点建议.
源题目设f1(x),f2(x)是复数域上的两个多项式，如果(x2+x+1)|f1(x3)+xf2(x3),那
么(x-1)|f1(x),(x-1)|f2(x).(课本第46页第25题[1])
证明因为x3-1=(x-1)(x2+x+1).
设x3-1的3个根为1,ε,ε2,其中ε,且ε3=1.于是
其中ε,ε2互不相同.由已知得:
因为ε2-ε≠0,故方程组只有零解，所以f1(1)=0,f2(1)=0.即
变式题1[3](上海交大)设fi(x)(i=1,2,3,4)是复数域上的多项式，若
求证：
证明因为x5-1=(x-1)(x4+x3+x2+x+1).
设x4-1的5个根为1,ε,ε2,ε3,ε4,其中ε,且ε5=1.于是
其中ε,ε2,ε3,ε4互不相同.为方便表述，令ε1=ε，ε2=ε2，ε3=ε3，ε4=ε4这样由已知得
由范德蒙行列式可知方程组的系数行列式不等于零，所以fi(1)=0(i=1,2,3,4).
变式题2[4](西安电子科学大学)设f1(x),f2(x),…,fn-1(x)是n-1个(n≥2)复数域上的多项式，证明：如果多项式f1(xn)+xf2(xn)+…+xn-2fn-1(xn)能被1+x+…+xn-1整除，则每个fi(x)(i=1,2,…,n-1)的所有系数之和为零.
证明由xn-1(x-1)(xn-1+…+x+1),知多项式xn-1+…+x+1的n-1个互不相同的根为
其中ε，且εn=1.由已知得方程组
由于方程组的系数行列式是个范德蒙行列式，由ε1,ε2,…,εn-1互不相同知它不为零，故方程组只有零解，于是fi(1)=0(i=1,2,…,n-1).
变式题3[4](上海大学)设f1(x),f2(x),…,fn-1(x)是n-1个(n≥2)复数域上的多项式，已知(xn-1)|(x-1)(f1(xn)+xf2(xn)+…+xn-2fn-1(xn)),求证：
分析由已知条件可知f1(xn)+xf2(xn)+…+xn-2fn-1(xn)能被1+x+…+xn-1整除，这与上题一样.此处略证明.
变式题4[4](中国科学院)设p(x),pi(x)(i=0,1,2,…,n-1)均是复数域上的多项式，已知∑,且(x-1)|p(x),证明：
证明由(x-1)|p(x)，知(xn-1)|p(xn)，且p(1)=0.
将xn-1的n个互不相同的根ε1=1,ε2=ε,ε3=ε2,…,εn=εn-1依次代入p(xn)，其
中ε，且εn=1.可得方程组
由于方程组的系数行列式是个范德蒙行列式，由ε1,ε2,…,εn互不相同知它不为零，故方程组只有零解，于是pi(1)=0(i=1,2,…,n-1).
每个数学问题可分解为表面形式特征和深层数学结构特征：表面形式特征是指问题呈现的表述方式的浅层特征；数学结构特征是指涉及问题本质的概念、关系与原则等的深层特征[1].在变式题组一中，问题呈现的内容逐步由简单到复杂，由具体到
一般化，问题的表面形式特征发生了较大变化.但是，通过问题解决的过程，我们
看到每个问题的深层数学结构却没有发生“质”的改变，即不同的问题重复做着同一件事情(同一过程，同一方法).因此，解决此类问题时，只需通过源问题就可以提供问题解决的正确方法.
源题目设V1,V2都是线性空间V的子空间，且V1⊂V2，证明：如果V1的维数与V2的维数相等，那么V1=V2.(课本第269页第10题[1])
证明设V1的维数为r，α1,α2,…,αr是V1的一个基.因为V1⊂V2，故α1,α2,…,αr 可以扩充成为V2的一个基.又因V1的维数与V2的维数相等，故α1,α2,…,αr也
是V2的一个基，因此V1=V2.
变式题1[4](重庆大学)已知同维数的两个向量组有相同的秩，且其中之一可用另外一个线性表出，则这两个向量组等价.
证明设同维数的两个向量组分别为α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt，且它们有相同的秩，不妨设β1,β2,…,βt可由α1,α2,…,αs线性表出.令
U=L(α1,α2,…,αs),V=L(β1,β2,β3),则V⊂U.又因α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt有相同
的秩，所以V的维数与U的维数相等，从而V=U，即可得α1,α2,…,αs和
β1,β2,…,βt等价.
变式题2[4](北京邮电大学)设Ax=0与Bx=0均为n元齐次线性方程组，
r(A)=r(B)，且方程组Ax=0的解为方程组Bx=0的解.则方程组Ax=0与Bx=0同解.
证明设W1,W2分别是Ax=0与Bx=0的解空间，因方程组Ax=0的解为方程组Bx=0的解，故W1⊂W2.又r(A)=r(B)，故
所以，W1=W2，此即方程组Ax=0与Bx=0同解.
变式题3[3]设A,B都是n级方阵，若r(AB)=r(B)，则方程组(AB)x=0与Bx=0同解.
证明设W1,W2分别是(AB)x=0与Bx=0的解空间.设β∈W2，则Bβ=0，从而(AB)β=A(Bβ)=A0=0，故β∈W1，所以W2⊂W1.又r(AB)=r(B)，故
所以，W1=W2，此即方程组(AB)x=0与Bx=0同解.
变式题4[4](上海交通大学)设A为数域P上的n级可逆矩阵.任意将A分为两个子块，证明线性空间Pn是齐次线性方程组A1x=0的解空间V1与A2x=0的解空间V2的直和.
证明由于A是n级可逆矩阵，那么A的所有行向量线性无关，不妨设r(A1)=k，则r(A2)=n-k.对于任意的x0∈V1∩V2，有A1x0=0，A2x0=0，所以，由于A是可逆矩阵，故x0=0，所以V1∩V2={0}.又因V1+V2⊂Pn，且
维(V1+V2)=维(V1)+维(V2)-维(V1∩V2) =n-r(A1)+n-r(A2)=n-k+k=n=维(Pn) 故Pn=V1⨁V2.
变式题5[3](华中师范大学)设P是数域，m<n，A∈Pm×n，B∈P(n-m)×n，
W1,W2分别是Ax=0与Bx=0的解空间，则Pn=W1⨁W2的充要条件是只有零解.
证明充分性:由已知得∈Pn×n，如果只有零解，则，于是r(A)=m,r(B)=n-m.对于任意的x0∈W1∩W2，有Ax0=0，Bx0=0，即，所以x0=0，故W1∩W2={0}.又因W1+W2⊂Pn，且
维(W1+W2)=维(W1)+维(W2)-维(W1∩W2) =n-r(A)+n-r(B)=n-m+m=n=维(Pn)
故Pn=W1⨁W2.
必要性:用反证法.若有非零解x1，则Ax1=0,Bx1=0，即x1∈W1∩W2，这与
Pn=W1⨁W2矛盾，从而只有零解.
问题变式分为水平变式和垂直变式.水平变式是指新问题相对源问题来说，学习者能区分问题表面形式特征变化背后的结构特征变化，不带来认知负荷的变化；垂直变式是指学习者不能区分问题表面形式特征变化背后的结构特征变化[1].
在变式题组二中，问题的表面形式特征和深层数学结构特征都逐步发生了较大变化.在变式题1中我们令同维数的两个向量组生成两个子空间，根据已知条件进行相应变化就可得到与源题目相同的数学结构，这时认知负荷没有发生变化，它是源题目的水平变式.在变式题2中，涉及到齐次线性方程组的解空间，解空间的维数等知识，问题的表面形式特征已发生变化，增加了认知负荷，但问题的深层数学结构特征没有发生变化，它是源题目的低层次垂直变式.同时变式题3又是变式题2的水平变式题，将“方程组Ax=0的解为方程组Bx=0的解”这一条件，隐含在方程组(AB)x=0与Bx=0结构特点上，逐步增加认知负荷.在变式题4中，涉及到分块矩阵、齐次线性方程组的解空间、子空间的和、子空间的直和等概念，问题的表面形式特征发生了较大变化，已不能容易地区分对数学结构特征所带来的变化，随之加大了认知负荷，它是源题目的高层次垂直变式.这时我们应逐步区分题目中的数学结构元素，发现“变中的不变”，逐步区分表面形式特征，提取与源题目相同的数学结构元素.同时变式题5又是变式题4的水平变式题，将“A为数域上P的
n级可逆矩阵”这一条件，隐含在“只有零解”这一条件中，并将这一条件增加为充分必要条件.
通过对变式题组二的变式分析，我们看到每个问题解决所涉及到的知识和方法虽然不一样，但是源问题提供的结论却是每一个问题解决的关键.即同一结论运用到不
同的问题解决中(一题多变).
(1)课本是学习者获取知识资源的依据，课本中的习题是教学内容的补充和拓展.课
本中的习题体现了某种解题思想和方法，具有基础性和示范性.文中的两个变式题
组是以课本中的习题为源问题这一事实，就足以能说明课本习题的重要性.因此，
学习者在进行解题训练时，首先应立足于课本，熟练掌握课本习题提供的解题思想、方法及其习题提供的结论.
(2)学习者在进行解题训练时，应多关注题与题之间的关系，从题与题之间不变的
关系中抽取出问题表面特征以外的结构特征，不受其表面特征的干扰，建立起题目的数学结构，进而把问题分类，使题目类型化.这样，学习者经过表面相似问题的
解决，经过有变化的重复学习，可以形成一种心理定势，建立起此类问题的数学结构，进而找出解决问题的思路和方法.
(3)在进行解题训练时，学习者应学会对问题进行多层次变式分析(或构造)，通过变式分析(或构造)，可以对问题解决过程及问题本身的结构有一个清晰的认识，是学习者积累问题解决经验、提高解决问题能力的一条有效途径[5].
【相关文献】
[1]孙旭花，黄毅英，林智中，等.问题变式：结构与功能的统一[J].课程·教材·教法，2006，26(5)：38—42.
[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数[M]．王萼芳，石生明，修订．北京：
高等教育出版社，2003．
[3]徐仲，陆全，张凯院，等.高等代数考研教案[M]．西安：西北工业大学出版社，2006.
[4]研究生入学考试试题研究组.研究生入学考试考点解析与真题详解——高等代数[M]．北京：电子工业出版社，2008.
[5]鲍建生，黄荣金，易凌峰，等.变式教学研究[J].数学教学，2003(1-3)：6-11.。