九年级数学上册 第三章 圆的基本性质 3.3 垂径定理(第2课时)b课件 (新版)浙教版
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如图，连结OM，设DE＝x.
在Rt△MOE中，ME＝16，OE＝34－x，由勾股定理得OM2 ＝ME2＋OE2， 即342＝162＋(34－x)2＝162＋342－68x＋x2， 即x2－68x＋256＝0， 解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)， ∴DE＝4.∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．
。
巩教固学提目升
标
6、已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD
＝10 cm，求AB，CD之间的距离
解：当AB，CD如图(1)所示时，过点O作OE⊥CD于点E，交AB 于点F，连结OA，OC. 因为AB∥CD，OE⊥CD，所以OF⊥AB.
巩教固学提目升
标
当AB，CD如图(2)所示时，过点O作OE⊥CD于点E，交AB 于点F，连结OA，OC， 可得OE＝12，OF＝5， 故EF＝OE＋OF＝12＋5＝17， 所以AB，CD之间的距离为17 cm或7 cm.
逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
新教课学讲目 解
标
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP. ⌒⌒
求证：CD⊥AB，AC=BC
证明：连结OA，OB，则AO=BO
∴△AOB是等腰三角形 ∵AP=BP ∴CD⊥AB
⌒⌒ ∴AC=BC (垂直于弦的直径平分弦所对的弧)
新教课学讲目 解
∴CD⊥AB
新教课学讲目 解
标
归纳 ：
定理2
平分弧的直径垂直于弧所对的弦 。
新教课学讲目 解
标
如图, 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.
如果在下列五个条件中: ① CD是直径, ② CD⊥AB,
③ AM=BM,
⌒⌒ ④AC=BC,
⌒⌒ ⑤AD=BD.
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论. C
答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.
新教课学讲目 解
标
探究活动
某一条公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面 2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利 通过这个隧道吗？如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大 货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离， 半圆拱的半径至少为多少米？
②③ ⑤
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分 弦所对的另一条弧.
① ②③
新教课学讲目 解
标
条 结论
命题
件
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对
的两条弧.
② ①④ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆
③ ⑤ 心,并且平分弦和所对的另一条弧.
② ①③ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 ④ ⑤ ,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
新教课学讲目 解
标
解：如图，连结OC，过A点作AB⊥OC
新教课学讲目 解
标
解：如图，连结OC，过A点作AB⊥OC
半圆拱的半径至少为2米
新教课学讲目 解
标
总结：
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦 的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
新教课学讲目 解
标
拓展提升
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米, 拱顶高出 水面2.4米. 现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米 的货船要经过这里, 此货船能顺利通过这座拱桥吗？
2019/10/17
30
谢谢欣赏！
2019/10/17
31
课教堂学小目结
标
垂径定理推论
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对 的弧.
定理2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
编后语
折叠课件作用 ①向学习者提示的各种教学信息; ②用于对学习过程进行诊断、评价、处方和学习引导的各种信息和信息处理; ③为了提高学习积极性，制造学习动机，用于强化学习刺激的学习评价信息; ④用于更新学习数据、实现学习过程控制的教学策略和学习过程的控制方法。 对于课件理论、技术上都刚起步的老师来说，POWERPOINT是个最佳的选择。因为操作上非常简单，大部分人半天就可以基本掌握。所以，就可以花
解：AB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为
AB的中⌒点，连结OC，交AB于点D.
C
∵C是AB的中点,
∴OC就是拱高. A
∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51,
OD=OC-DC=（R-7.23）.
D B
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2
∴R2=18.512+(R-7.23)2, 解得R≈27.31.
3.3.2 垂径定理
导教入学新目课
标
问题： 谁能说出垂径定理的内容？并说出这个定理的题设和结论
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
题设 ①CD为直径 ②CD⊥AB
结论 ③CD平分弦AB
④CD平分弧AB ⑤CD平分弧ADB
新教课学讲目 解
标
想一想
垂径定理的逆命题是什么？
逆命题1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 弧。
心思在如何在课件中贯彻案例的设计意图上、如何增强课件的实效性上，既是技术上的进步，也是理论上的深化，通过几个相关案例的制作，课件的概 念就会入心入脑了。 折叠多媒体课件 多媒体教学课件是指根据教师的教案，把需要讲述的教学内容通过计算机多媒体(视频、音频、动画)图片、文字来表述并构成的课堂要件。它可以生动、 形象地描述各种教学问题，增加课堂教学气氛，提高学生的学习兴趣，拓宽学生的知识视野，10年来被广泛应用于中小学教学中的手段，是现代教学发 展的必然趋势。
标
归 纳：
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦 所对的弧.
新教课学讲目 解
标
探索 平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
⌒⌒
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AC=BC
求证：CD⊥AB
证明：连结OA，OB，则AO=BO
∴△AOB是等腰三角形 ⌒⌒ ∵AC=BC
∴∠AOC=∠BOC
巩教固学提目升
标
A
A
︵︵
︵︵
巩教固学提目升
标
4、如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求 出弧AB所在圆O的半径 1.625 m ．
巩教固学提目升
标
5、如图，⊙O过点B，C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，
∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直
② ①③ 平分弦.
新教课学讲目 解
标
辨一辨
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧 ( × )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心 ( )√
（3）不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 ( × )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ( )×
巩教固学提目升
标
7、有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图14所示，正常水位下水 面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时 ，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN ＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
巩教固学提目升
标
解：不需要采取紧急措施． 理由如下∶ 设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，OC＝R－18，由勾股定理 得OA2＝AC2＋OC2， 即R2＝302＋(R－18)2＝900＋R2－36R＋324， 解得R＝34.
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
新教课学讲目 解
标
例3、1300多年前, 我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是 圆弧形, 它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02 m,拱高(弧的中点 到弦的距离, 也叫弓形高)为7.23m, 求课学讲目 解
标
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为
Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交
于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD
就是拱高.
新教课学讲目 解
标
解得 R≈3.9（m）.
∴DH=3.6-1.5=2.1>2 ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗?
D
新教课学讲目 解
标
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧
条 结论
命题
件
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
① ③④
② ⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所 ① ②④ 对的两条弧.
③⑤
① ④
巩教固学提目升
标
1．下列命题中，正确的是( C )
A． 过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B．过弦的中点的直线必过圆心
C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心
D．弦的垂线平分弦所对的弧
2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，
则⊙O的半径等于( D )
A．8 B．2 C．10
D．5
在Rt△MOE中，ME＝16，OE＝34－x，由勾股定理得OM2 ＝ME2＋OE2， 即342＝162＋(34－x)2＝162＋342－68x＋x2， 即x2－68x＋256＝0， 解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)， ∴DE＝4.∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．
。
巩教固学提目升
标
6、已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD
＝10 cm，求AB，CD之间的距离
解：当AB，CD如图(1)所示时，过点O作OE⊥CD于点E，交AB 于点F，连结OA，OC. 因为AB∥CD，OE⊥CD，所以OF⊥AB.
巩教固学提目升
标
当AB，CD如图(2)所示时，过点O作OE⊥CD于点E，交AB 于点F，连结OA，OC， 可得OE＝12，OF＝5， 故EF＝OE＋OF＝12＋5＝17， 所以AB，CD之间的距离为17 cm或7 cm.
逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
新教课学讲目 解
标
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP. ⌒⌒
求证：CD⊥AB，AC=BC
证明：连结OA，OB，则AO=BO
∴△AOB是等腰三角形 ∵AP=BP ∴CD⊥AB
⌒⌒ ∴AC=BC (垂直于弦的直径平分弦所对的弧)
新教课学讲目 解
∴CD⊥AB
新教课学讲目 解
标
归纳 ：
定理2
平分弧的直径垂直于弧所对的弦 。
新教课学讲目 解
标
如图, 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.
如果在下列五个条件中: ① CD是直径, ② CD⊥AB,
③ AM=BM,
⌒⌒ ④AC=BC,
⌒⌒ ⑤AD=BD.
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论. C
答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.
新教课学讲目 解
标
探究活动
某一条公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面 2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利 通过这个隧道吗？如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大 货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离， 半圆拱的半径至少为多少米？
②③ ⑤
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分 弦所对的另一条弧.
① ②③
新教课学讲目 解
标
条 结论
命题
件
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对
的两条弧.
② ①④ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆
③ ⑤ 心,并且平分弦和所对的另一条弧.
② ①③ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 ④ ⑤ ,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
新教课学讲目 解
标
解：如图，连结OC，过A点作AB⊥OC
新教课学讲目 解
标
解：如图，连结OC，过A点作AB⊥OC
半圆拱的半径至少为2米
新教课学讲目 解
标
总结：
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦 的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
新教课学讲目 解
标
拓展提升
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米, 拱顶高出 水面2.4米. 现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米 的货船要经过这里, 此货船能顺利通过这座拱桥吗？
2019/10/17
30
谢谢欣赏！
2019/10/17
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课教堂学小目结
标
垂径定理推论
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对 的弧.
定理2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
编后语
折叠课件作用 ①向学习者提示的各种教学信息; ②用于对学习过程进行诊断、评价、处方和学习引导的各种信息和信息处理; ③为了提高学习积极性，制造学习动机，用于强化学习刺激的学习评价信息; ④用于更新学习数据、实现学习过程控制的教学策略和学习过程的控制方法。 对于课件理论、技术上都刚起步的老师来说，POWERPOINT是个最佳的选择。因为操作上非常简单，大部分人半天就可以基本掌握。所以，就可以花
解：AB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为
AB的中⌒点，连结OC，交AB于点D.
C
∵C是AB的中点,
∴OC就是拱高. A
∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51,
OD=OC-DC=（R-7.23）.
D B
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2
∴R2=18.512+(R-7.23)2, 解得R≈27.31.
3.3.2 垂径定理
导教入学新目课
标
问题： 谁能说出垂径定理的内容？并说出这个定理的题设和结论
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
题设 ①CD为直径 ②CD⊥AB
结论 ③CD平分弦AB
④CD平分弧AB ⑤CD平分弧ADB
新教课学讲目 解
标
想一想
垂径定理的逆命题是什么？
逆命题1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 弧。
心思在如何在课件中贯彻案例的设计意图上、如何增强课件的实效性上，既是技术上的进步，也是理论上的深化，通过几个相关案例的制作，课件的概 念就会入心入脑了。 折叠多媒体课件 多媒体教学课件是指根据教师的教案，把需要讲述的教学内容通过计算机多媒体(视频、音频、动画)图片、文字来表述并构成的课堂要件。它可以生动、 形象地描述各种教学问题，增加课堂教学气氛，提高学生的学习兴趣，拓宽学生的知识视野，10年来被广泛应用于中小学教学中的手段，是现代教学发 展的必然趋势。
标
归 纳：
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦 所对的弧.
新教课学讲目 解
标
探索 平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
⌒⌒
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AC=BC
求证：CD⊥AB
证明：连结OA，OB，则AO=BO
∴△AOB是等腰三角形 ⌒⌒ ∵AC=BC
∴∠AOC=∠BOC
巩教固学提目升
标
A
A
︵︵
︵︵
巩教固学提目升
标
4、如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求 出弧AB所在圆O的半径 1.625 m ．
巩教固学提目升
标
5、如图，⊙O过点B，C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，
∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直
② ①③ 平分弦.
新教课学讲目 解
标
辨一辨
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧 ( × )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心 ( )√
（3）不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 ( × )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ( )×
巩教固学提目升
标
7、有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图14所示，正常水位下水 面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时 ，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN ＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
巩教固学提目升
标
解：不需要采取紧急措施． 理由如下∶ 设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，OC＝R－18，由勾股定理 得OA2＝AC2＋OC2， 即R2＝302＋(R－18)2＝900＋R2－36R＋324， 解得R＝34.
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
新教课学讲目 解
标
例3、1300多年前, 我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是 圆弧形, 它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02 m,拱高(弧的中点 到弦的距离, 也叫弓形高)为7.23m, 求课学讲目 解
标
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为
Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交
于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD
就是拱高.
新教课学讲目 解
标
解得 R≈3.9（m）.
∴DH=3.6-1.5=2.1>2 ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗?
D
新教课学讲目 解
标
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧
条 结论
命题
件
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
① ③④
② ⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所 ① ②④ 对的两条弧.
③⑤
① ④
巩教固学提目升
标
1．下列命题中，正确的是( C )
A． 过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B．过弦的中点的直线必过圆心
C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心
D．弦的垂线平分弦所对的弧
2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，
则⊙O的半径等于( D )
A．8 B．2 C．10
D．5