初三数学相似三角形的性质例题解析浙江试题

初三数学相似三角形的性质例题解析
一.
二.本周教学内容：
相似三角形的性质
三.重点、难点：
应用相似三角形的性质进展有关的计算与证明是本周的重点。

应用相似三角形的知识时，由于知识的综合程度较高，对分析思维的才能有一定的要求。

所以是学习的难点所在。

【知识回忆】
一. 相似三角形的性质。

1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2．相似三角形的对应的高，中线和对应的角平分线以及周长之比都等
于相似比。

3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方。

二. 与相似三角形有关的辅助线
主要是掌握如何根据线段的比例式作平行辅助线。

例1. 如图，AB⊥BC ， CD⊥BC， B，C是垂足，AC，BD交于P。

过P作PQ⊥BC于Q。

求证：∠AQP=∠PQD
分析：由AB ⊥BC ， CD ⊥BC ，PQ ⊥BC ，那么AB ‖PQ ‖DC
∴ ∠AQP=∠QAB ， ∠PQD=∠QDC
又Rt ∆ABQ 和Rt ∆DCQ
∴只须证明Rt ∆ABQ ∽Rt ∆DCQ 即可
证明： AB ‖PQ ‖DC
∴ AB PQ ==BC QC ，BC BQ =CD
PQ ∴PQ ·BC=AB ·CQ=CD ·BQ
∴AB ·CQ=CD ·BQ 即 CQ
BQ CD AB = 又ΔABQ ，ΔDCQ 均为直角三角形
∴Rt ΔABQ ∽Rt ΔDCQ
∴∠BAQ=∠CDQ ∴∠AQP=∠PQD
例2. 如图，ΔACB 中，∠ACB=90º，D 在BC 边上，连AD ，过B 作BE ⊥AB ，∠BAE=∠CAD ，过E 作EF ⊥CB 于F
求证：BF=CD
分析：∠C=∠EBA=90º，∠BAE=∠CAD
∴Rt ΔACD ∽Rt ΔABE
又易知∠ABC 与∠FBE 互余，且∠C=∠F=90º
∴Rt ΔACB ∽Rt ΔBEF ∴只须寻找与线段AB ，BE “相关〞的比例式即可
证明：Rt ΔACD 与Rt ΔABE 中，
∵∠CAD=∠BAE
∴Rt ΔACD ∽Rt ΔABE
∴BE
AB CD AC = ∴CD=AB
BE AC • … ① 又BE ⊥AB ，BF ⊥AC ∵∠FBE=∠CAB
∴Rt ΔACB ∽Rt ΔBFE
∴AB AC BE BF = ∴BF=AB
BE AC • … ② ∴由①②知：BF=CD
例3. 如图，梯形ABCD 中，AD//CB 对角线AC ，BD 相交于点O ，设梯形ABCD 的面积为S ，ΔAOD ，ΔBOC ，ΔAOB 的面积分别为S 1，S 2和S 3 证明：1S ，2S 是方程X 2-S X+ S 3=0的两实数根
A
B D
C O
S1
S3S2
分析：此题本质上是证明1S +2S =S 且21S S = S 3，即S 1，S 2，求S 3和S ，由相似三角形和同底上三角形的面积比的性质，将面积比转换为线段之比即可
证明： ∵31S S =OB OD ，=32S S AO
OC ∴OA OB OC OD S S S ••=23
21 ∵AD//BC ∴
ΔAOD ∽ΔCOB ∴OC
OA OB OD = ∴23
21S S S =1 ∴S 1S 2=23S ，即21S S = S 3 … ①
又S= S 1+S 2+2S 3= S 1+221S S + S 2=〔1S +2S 〕2
∴1S +2S =S … ② ∴由①②可知，1S ，2S 是方程X 2-S X+ S 3=0的两个实数根
〔答题时间是：25分钟〕
1. ΔABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，连DE 那么ΔADE 与ΔABC 的周长之比为________; 它们的面积之比为________
2. 两个相似三角形的面积之比为9：4，假设较大三角形的一个内角的平分线长6cm ，那么另一个三角形对应角的平分线长为_________
3. 如图，平行四边形ABCD 中，E 在CD 上，DE ：CE=2：3连AE 、BE 、BD 且AE 、BD 相交于点F ，那么S ΔDEF:S ΔEBF:S ΔABF 为〔 〕
Ａ. ４∶10∶25 B. 4∶9∶25 C. 2∶3∶5 D. 2∶5∶25
4. 正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 在BC 上，且CF ∶BC=1∶4，求证：CE AD EF AE
5. 如图平行四边形ABCD 中，过A 作直线交BD 于P ，交BC 于Q ，交DC 的延长线于R ，求证：AP 2=PQ ·PR
6. 如图AB 、CD 表示垂直于地面L 的两根标杆，AD 、BC 为两根绳索，P 为绳索的交点，如今假设沿地面L 任意平行挪动标杆AB 或者CD ，那么点P 的高度会否发生变化？说明你的理由
[参考答案]
1. 1：2， 1：4
2. 4cm
3. A
4. 由21==AD CE DE CF ，∠C=∠D 可知ΔCEF ∽ΔDAE ∴CE
AD EF AE = 5. 提示：由ΔAPB ∽ΔDPR ，得PD
BP PR AP = … ① 由ΔBPQ ∽ΔDAP ，得PD
BP AP PQ = … ② ∴由①②知，AP PQ PR AP =，即AP 2=PQ ·PR 6. 不会。

提示：不妨设AB=a ，CD=b ，BD=x 且过P 作PE ⊥BD 于E 易证ΔABD ∽ΔPED
∴
x a ED PE ＝ 同理x
b BE PE ＝ ∴＋a PE b PE =1x
x x ＝＝ED BE + ∴PE=b a ab ＋为定值
创 作人：
历恰面 日 期： 2020年1月1日。