2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.5.1 离散型随机变量的均值-缺答案

_2.5随机变量的均值和方差
2．5.1离散型随机变量的均值
[对应学生用书P38]
设有12个西瓜，其中4个重5 kg,3个重6 kg,5个重7 kg.
问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X的取值是多少？
提示：x＝5,6,7.
问题2：x取上述值时，对应的概率分别是多少？
提示：4
12
，3
12
，5
12.
问题3：试想西瓜的平均质量该如何表示？
提示：5×4
12
＋6×3
12
＋7×5
12.
1．离散型随机变量的均值(或数学期望)
(1)定义：若离散型随机变量X的概率分布为
则称x1p1＋x2p2＋…＋x n p n为离散型随机变量X的均值或数学期望，也称为X的概率分布的均值，记为E(X)或μ，即E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n.其中，x i是随机变量X的可能取值，p i是概率，p i≥0，i＝0,1,2，…，n，p1＋p2＋…＋p n＝1.
(2)意义：刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度．
2．两种常见概率分布的均值
(1)超几何分布：若X～H(n，M，N)，则E(X)＝nM N.
(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
1．随机变量的均值表示随机变量在随机试验中取值的平均水平，又常称随机变量的平均数，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．
2．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，它是一个常数，是随机变量的多次独立观测值的算术平均值的稳定性，即由独立观测组成的随机样本的均值的稳定值．而样本的平均值是一个随机变量，它随着观测次数的增加而趋于随机变量的均值．
[对应学生用书P38]
[例1] 2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
(1)求取出的4个球均为黑球的概率； (2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
(3)设X 为取出的4个球中红球的个数，求X 的分布列和数学期望．
[思路点拨] 首先确定X 的取值及其对应的概率，然后确定随机变量的概率分布及数学期望．
[精解详析] (1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B .
由于事件A ，B 相互独立，且P (A )＝C 23C 24＝12，
P (B )＝C 24
C 26＝25
.
故取出的4个球均为黑球的概率为 P (AB )＝P (A )P (B )＝12×25＝1
5
.
(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，
“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D .
由于事件C ，D 互斥，且P (C )＝C 23C 24·C 1
2·C 14
C 26＝415，
P (D )＝C 13C 24·C 2
4
C 26＝15
.
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为 P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝
415＋15＝715
.
(3)X 可能的取值为0,1,2,3.
由(1)，(2)得P (X ＝0)＝15，P (X ＝1)＝7
15，
P (X ＝3)＝C 13C 24·1
C 26＝130
.
从而P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)＝310
. 所以X 的分布列为
故X 的数学期望
E (X )＝0×15＋1×715＋2×310＋3×130＝7
6.
[一点通] 求离散型随机变量X 的均值的步骤： (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率；
(3)写出X 的概率分布表(有时可以省略)；
(4)利用定义公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求出均值．
1．(广东高考)已知离散型随机变量X 的分布列为
则X 的数学期望E (X )＝________. 解析：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝3
2.
答案：3
2
2．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为2
3，乙解出该题
的概率为4
5
，设解出该题的人数为X, 求E (X )．
解：记“甲解出该题”为事件A ，“乙解出该题”为事件B ，X 可能取值为0,1,2.
P (X ＝0)＝P (A B )＝P (A )·P (B ) ＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－45＝115， P (X ＝1)＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝2
3×⎝⎛⎭⎫1－45＋⎝⎛⎭⎫1－23×45＝25， P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝23×45＝815.
所以，X 的分布列如下表：
故E (X )＝0×
115＋1×25＋2×815＝2215
.
[例2] 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为1
2，乙每次击中目标的
概率为2
3
，记甲击中目标的次数为X ，乙击中目标的次数为Y .
(1)求X 的概率分布； (2)求X 和Y 的数学期望．
[思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．
[精解详析] (1)P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫123＝18
； P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫123＝38； P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫123＝38
； P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫123＝18
. 所以X 的概率分布如下表：
(2)由(1)知E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×1
8＝1.5，
或由题意X ～B ⎝⎛⎭⎫3，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，23， 所以E (X )＝3×12＝1.5，E (Y )＝3×2
3
＝2.
[一点通] 超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的分布列，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接利用规律写出分布列，求出均值．
3．某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求一次投篮时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望． 解：(1)投篮一次，命中次数X 的概率分布如下表：
则E (X )＝p ＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)． 则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.
4．一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球．现从箱子中一次性摸出3个球，每个球是否被摸出是等可能的．
(1)求至少摸出一个白球的概率；
(2)用X 表示摸出的黑球数，写出X 的概率分布并求X 的数学期望．
解：记“至少摸出一个白球”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为“摸出的3个球中没有白球”，
则P (A )＝C 34C 36＝1
5，
P (A )＝1－P (A )＝4
5
，
即至少摸出一个白球的概率等于4
5.
(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3.
P (X ＝0)＝C 33C 36＝120，P (X ＝1)＝C 13·C 23
C 36＝920
，
P (X ＝2)＝C 23·C 13C 36＝920，P (X ＝3)＝C 33
C 36＝120.
X 的概率分布为
所以E (X )＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32，即X 的数学期望为3
2
.
[例3] (判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为1
2，各局比
赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．
[思路点拨] (1)第4局甲当裁判的前提是第2局甲胜，第3局甲参加比赛且负． (2)X 的取值为0,1,2.
[精解详析] (1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，
A 表示事件“第4局甲当裁判”． 则A ＝A 1·A 2.
P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.
(2)X 的可能取值为0,1,2.
记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．
则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B －1·B 3)＝P (B －
1)P (B 3)＝14，
P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝5
8，
E (X )＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝9
8
.
[一点通] 解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及
数学期望．
5．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元，设一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的10%，公司应要求投保人交多少保险金？
解：设保险公司要求投保人交x 元保险金，以保险公司的收益额X 作为随机变量，则不难得出其概率分布表如下：
E (X )＝x (1－p )＋(x －a )p ＝x －ap ，
由题意可知x －ap ＝0.1a ，解得x ＝(0.1＋p )a .
即投保人交(0.1＋p )a 元保险金时，可使保险公司收益的期望值为0.1a .
6．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为3
4，每命中一次得1
分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为2
3，命中得2分，没有命中得0分．该
射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中两次的概率；
(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望．
解：(1)记“该射手恰好命中两次”为事件A ，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ，“该射手射击乙靶命中”为事件D .
由题意知，P (B )＝P (C )＝34，P (D )＝23，
所以P (A )＝P (BC D －)＋P (B C －D )＋P (B －
CD ) ＝P (B )P (C )P (D －)＋P (B )P (C －)P (D )＋P (B －
)P (C )P (D ) ＝34×3
4×⎝⎛⎭⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎫1－34×23＋⎝⎛⎭⎫1－34×34×23＝716. (2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.
P (X ＝0)＝P (B －C －D －
)＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23＝148
，
P (X ＝1)＝P (B C －D －)＋P (B －C D －)＝3
4×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×34×⎝⎛⎭⎫1－23＝18. P (X ＝2)＝P (BC D －)＋P (B －C －
D )＝34×34×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－34×23＝1148， P (X ＝3)＝P (B C －D )＋P (B －
CD )＝34×⎝⎛⎭⎫1－34×23＋⎝⎛⎭⎫1－34×34×23＝14， P (X ＝4)＝P (BCD )＝34×34×23＝3
8.
故X 的分布列是
所以E (X )＝0×148＋1×18＋2×1148＋3×14＋4×38＝17
6
.
1．求随机变量X 的数学期望，关键是正确求出X 的分布列，在求X 取每一个值的概率时，要联系概率的有关知识，如古典概型、互斥事件的概率、独立事件的概率等．
2．对于aX ＋b 型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；也可以先列出aX ＋b 的概率分布表，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．
[对应课时跟踪训练(十五)]
一、填空题
1．已知随机变量X 的概率分布为
则E (X )＝________.
解析：由随机变量分布列的性质得，14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝1
6，
于是，X 的概率分布为
所以E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－17
30.
答案：－17
30
2．若随机变量X ～B (n,0.6)，且E (X )＝3，则P (X ＝1)＝________. 解析：∵X ～B (n,0.6)，E (X )＝3， ∴0.6n ＝3，即n ＝5.
∴P (X ＝1)＝C 1
5×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44＝0.076 8.
答案：0.076 8
3．考察一种耐高温材料的一个重要指标是看其是否能够承受600度的高温．现有一种这样的材料，已知其能够承受600度高温的概率是0.7，若令随机变量X ＝
⎩⎪⎨⎪⎧
1，能够承受600度高温，0，不能够承受600度高温，
则X 的数学期望为________． 解析：依题意X 服从两点分布，其概率分布为
所以X 的数学期望是E (X )＝0.7. 答案：0.7
4．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的数学期望为________．
解析：设取得次品数为X (X ＝0,1,2)，
则P (X ＝0)＝C 03C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 13C 1
7C 210＝7
15
，
P (X ＝2)＝C 23
C 210＝115，
∴E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35
. 答案：3
5
5．(湖北高考改编)如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝________.
解析：X 的取值为0,1,2,3且P (X ＝0)＝27
125，
P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8
125，
故E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6
5.
答案：6
5
二、解答题
6．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分，2分，3分的概率分别为0.4,0.1,0.5；战士乙得1分，2分，3分的概率分别为0.1,0.6,0.3，那么两名战士中获胜希望较大的是哪一个？
解：设这次射击比赛中战士甲得X 分，战士乙得Y 分，则它们的概率分布如下：
根据数学期望公式，得
E (X )＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1， E (Y )＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2. ∵E (Y )＞E (X )，
∴这次射击中战士乙得分的数学期望较大，即获胜的希望也较大．
7．一接待中心有A ，B ，C ，D 四部热线电话，已知某一时刻电话A ，B 占线的概率均为0.5，电话C ，D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互间没有影响，假设该时刻有X 部电话占线，试求随机变量X 的概率分布和它的数学期望．
解：P (X ＝0)＝0.52×0.62＝0.09，
P (X ＝1)＝C 12×0.52×0.62＋C 12×0.52×0.4×0.6＝0.3，
P (X ＝2)＝C 22×0.52×0.62＋C 12C 12×0.52×0.4×0.6＋C 22×0.52×0.42＝0.37，
P (X ＝3)＝C 12×0.52×0.4×0.6＋C 12C 22×0.52×0.42＝0.2，
P (X ＝4)＝0.52×0.42＝0.04.
于是得到X 的概率分布列为
所以E (X )＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.
8．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100 m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150 m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200 m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且比赛结束．已知射手甲
在100 m 处击中目标的概率为12
，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．
(1)求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率；
(2)求射手甲在这次射击比赛中得分的数学期望．
解：记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A ，B ，C ，三次都未击中目标为事件
D ，依题意P (A )＝12， 设在x m 处击中目标的概率为P (x )，
则P (x )＝k x 2，且12＝k 1002
， ∴k ＝5 000，即P (x )＝5 000x
2， ∴P (B )＝5 0001502＝29
， P (C )＝5 0002002＝18
， P (D )＝12×79×78＝49144
. 由于各次射击都是相互独立的，
∴该射手在三次射击中击中目标的概率
P ＝P (A )＋P (A －·B )＋P (A －·B －·C )
＝P (A )＋P (A －)·P (B )＋P (A －)·P (B －)·P (C )
＝12＋⎝⎛⎭⎫1－12·29＋⎝⎛⎭⎫1－12·⎝⎛⎭⎫1－29·18＝95144
. (2)依题意，设射手甲得分为X ，则P (X ＝3)＝12
， P (X ＝2)＝12×29＝19，P (X ＝1)＝12×79×18＝7144
， P (X ＝0)＝49144
. 所以E (X )＝3×12＋2×19＋1×7144＋0×49144＝255144＝8548
.。