4.4.3 不同函数增长的差异(教材完美复刻)课件 人教A版2019版必修一 原创精品

(1) y g( x)表示该学校男生体重为x kg时平均身高为y cm.
(2) f (170) 55, g(55) 170, 其实际意义是男生体重为55 kg时的平均身高为170 cm
9．某地由于人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每 年15%的比例降低．要将当前的患病率降低一半，需要多少年？
a
y log1 x (a 0, 且a 1)的图象
a
与y loga x(a 0, 且a 1)的图象关于轴对称, 它们的单调性相反.
5. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000m, 游回产地产卵, 研究鲑鱼的科
学家发现鲑鱼的游速v(单位：m
/
s)可以表示为v
1 2
log3
O 100
,
其中O表
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2024/11/18
高中数学/人教A版/必修1一
在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差 异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因 此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长 情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数 函数和对数函数增长方式的差异．
4x
3 ≤ 1, 解得
3 4
x
≤ 1,
故函数的定义域为
3 4
,1
2.比较满足下列条件的两个正数m, n的大小： (1) log3 m log3 n
(1) m n
(2) log0.3 m log0.3 n;
(2) m n
(3) loga m loga n(0 a 1)
(3) m n
(4) loga m loga n(a 1)
10
利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表 （表4.4-5），并在同一直角坐标系中画出它们的图象（图4.4-7）．
表4.4-5
x y=lgx y=x/10
0 不存在 0
10
1
1
20 1.301
2
30 1.477
3
40 1.602
4
50 1.699
5
60 1.778
6
…
…
…
可以看到, 虽然它们在[0, )上都单调递增, 但增长速度存在着明显的
（3）从（2）的图中你发现了什么？
(3) 从(2)的图中发现, y log2 x, y log5 x, y lg x的图象分别与
y log1 x, y log1 x, y log 1 x的图象关于x轴对称.
2
5
10
可推广到一般情况, log1 x loga x (a 0, 且a 1),
(4) m n
3. 在不考虑空气阻力的条件下, 火箭的最大速度v(单位：km / s)和燃料 的质量M (单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系
是v
2000
ln
1
M m
.当燃料质量是火箭质量的百分之几时,
火箭的最
大速度可达到12 km / s?
若火箭的最大速度v
12
km
log3
O 100
0,
解得O
100,
一条鱼静止时耗氧量为100个单位
6．在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中药 物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰 减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（ B ）
7. 判断下列各对函数是否互为反函数. 若是, 则求出它们的定义域和值域：
根据f (2) 1, f (3) 1, 可知y ln x满足
习题4.4（第140页）
1. 求下列函数的定义域：
(1) y 3 log2 x;
(2) y log0.5(4x 3)
(1)由题意知x 0, 所以函数的定义域为(0, ).
(2)由 l4oxg0.53(4x0
3)≥ 0, 得0
b
k b
lg 2 lg
2
,
f ( x) x lg 2 lg 2
4. 函数y f ( x)的图象如图所示, 则y f ( x)可能是( C )
A. y 1 x1, x (0, )
B.
y
3 2
1 2
x
,
x (0, )
C. y ln x
D. y x 1, x (0, )
示鱼的耗氧量的单位数.
(1) 当一条鱼的耗氧量为2 700个单位时, 它的游速是多少?
(2) 计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.
(1) 令O 2700, 则v
1 2 log3
2700 100
1.5
(m / s).
∴当一条鱼的耗氧量为2 700个单位时，它的游速是1.5 m/s
(2)
令v
0,
则
1 2
(1) ①对应函数y lg x, ②对应函数y log5 x, ③对应函数y log2 x, 图象在x 1的右侧,底数越大的图象越靠近x轴
(2) 以已有图象为基础, 在同一直角坐标系中画出y log1 x, y log1 x,
2
5
y log 1 x的图象;
10
(3) 从(2)的图中你发现了什么?
一般地, 指数函数y a x (a 1)与一次函数y kx (k 0)的增长差异都 与上述情况类似. 即使k的值远远大于a的值, y a x (a 1)的增长速度 最终都会大大超过y kx (k 0)的增长速度.
指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆 炸性增长．
探究 选取适当的对数函数与一次函数, 探索它们在区间[0, )上的增长差异, 你能描述一下对数函数增长的特点吗 ? 不妨以函数y lg x和y 1 x为例,
对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律
探究
类比上述过程,
8
(1) 画出一次函数y 2x, 对数函数y lg x和指数函数y 2x的图象, 7
并
3
2
1 y 2x
y lg x
4
2
O
2
4
6
8
10
12
1
(2) 试着概括一次函数y kx (k 0), 对数函数y loga x(a 1)和指数 函数y bx (b 1)的增长差异;
差异, 函数y 1 x的增长速度保持不变, 而y lg x的增长速度在变化. 10
随着x的增大,函数y 1 x的图象离x轴越来越远, 而函数y lg x的图象 10
越来越平缓,就像与x轴平行一样. 例如lg10 1, lg100 2, lg1000 3,
lg10000 4; 而 1 10 1, 1 100 10, 1 1000 100, 1 10000 1000.
疾病的患病率与经过的年数x的函数关系式为
f ( x) (1 15%)x , 依题意得(1 15%)x 50%,
即0.85x
0.5,
x
log0.85
0.5
lg 0.5 lg 0.85
4.265
所以要将当前的患病率降低一半，大约需要5年．
10.
声强级L1 (单位：dB)由公式L1
10
lg
I 1012
x y=2x y=2x 010 244 4 16 8 6 64 12 8 256 16 10 1 024 20 12 4 096 24
综上所述, 虽然函数y 2x 与y 2x在区间[0, )上都单调递增, 但它们 的增长速度不同, 而且不在同一个“档次”上. 随着x的增大, y 2x的 增长速度越来越快, 会超过并远远大于y 2x的增长速度. 尽管在x的 一定变化范围内, 2x 会小于2x, 但由于y 2x的增长最终会快于y 2 x 的增长,因此,总会存在一个x0 , 当x x0时,恒有2x 2x.
（3）讨论交流“直线上升”“ 对数增长”“ 指数爆炸”的含义．
练习（第139页） 1．三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
x 0 5 10 15
20
25
y1 5 130 505 1130 2005 3130 y2 5 90 1620 29 160 524 880 9 447 840
y3 5 30 55 80
(2.17, )
3. 如图, 对数函数y lg x的图象与一次函数y f ( x)的图象有A, B两个 公共点, 求一次函数y f ( x)的解析式.
由题图可知A(1, 0), B(2, lg 2), 设一次函数的解析式为f ( x) kx b (k 0),
则
0 lg 2
k
b 2k
1 a
x
y loga x的定义域是(0, ), 值域为R,
y
1 a
x
的定义域为R,
值域为(0,
)
8. 设y f ( x)表示某学校男生身高为 x cm时平均体重为y kg. (1) 如果函数y f ( x)的反函数是y g( x),那么y g( x)表示什么? (2) 如果f (170) 55, 那么求g(55), 并说明其实际意义.
105
130
其中关于x呈指数增长的变量是 y2 ．
30 4505 170 061 120 155
2. (1)(2)(3)分别是函数y 3x 和y 5x在不同范围的图象, 借助计算工具估算出使3x 5x的x的取值范围(精确到0.01)
由题图(1)知x 0.27时, 3x 5 x, 由题图(2)(3)值, x 2.17时, 3x 5 x, 使3x 5x的x的取值范围是(, 0.27)
给出,
其中I为声强(单位：W
/
m2 ).
(1) 一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W / m2 , 能听到的最低声强
为1012 W / m2 , 求人听觉的声强级范围.
(2) 平时常人交谈时的声强约为106 W / m2 , 求其声强级.
x
y=2x y=2x
0
1
0
0.5 1.414 1
1
2
2
1.5 2.828 3
2
4
4
2.5 5.657 5
3
8
6
在区间[0, 1)上,函数y 2x的图象位于y 2x的图象之上, 2x 2 x; 在区间(1, 2)上,函数y 2x的图象位于y 2 x的图象之下, 2x 2 x; 在区间(2, 3)上,函数y 2x的图象位于y 2x的图象之上, 2x 2 x.
/
s,
则2000
ln
1
M m
12,
则
ln
1
M m
3 , 即1 500
M m
e
3 500
,
所以
M
m
0.006
所以当燃料质量是火箭质量的0.6%时，火箭的最大速度可达到12 km/s？
4. 函数y log2 x, y log5 x, y lg x的图象如图所示, (1) 试说明哪个函数对应于哪个图象, 并解释为什么;
探究 选取适当的指数函数与一次函数, 探索它们在区间[0, )上的增长差异, 你能描述一下指数函数增长的特点吗 ?
不妨以函数y 2x 和y 2x为例.
利用信息技术, 列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表, 并
在同一直角坐标系中画出它们的图象, 可以看到, 函数y 2x 和y 2x 的图象有两个交点(1, 2), (2, 4).
(1) y ln x, y e x;
(2)
y
loga
x,
y
1 a
x
.
(1) 互为反函数, y ln x的定义域为(0, ), 值域为R;
y ex的定义域为R, 值域为(0, ).
(2) 互为反函数,由y loga x, 得 loga x y,
x
a y
1 a
y
,
y
loga
x的反函数是y
10
10
10
10
这说明,当x 10, 即y lg x 1时, y lg x与y 1 x相比增长得就很慢了 10
思考
如果将 lg x放大1000倍, 再对对数函数y 1000 lg x和y 1 x的增长情况 10
进行比较, 那么仍有上述规律吗?
一般地,虽然对数函数y loga x (a 1)与一次函数y kx(k 0)在区间 (0, )上都单调递增, 但它们的增长速度不同, 随着 x 的增大, 一次函数 y kx (k 0)保持固定的增长速度, 而对数函数y loga x(a 1)的增长 速度越来越慢.不论a的值比x的值大多少, 在一定范围内, loga x可能会大 于kx, 但由于 loga x的增长慢于kx的增长,因此总会存在一个x0 ,当x x0时, 恒有 loga x kx
这表明, 虽然这两个函数在[0, )上都单调 递增, 但它们的增长速度不同, 函数y 2x的 增长速度保持不变,而函数y 2x的增长速度 在变化
从表4.4 4和图4.4 6可以看到, 当自变量x越来越大时, y 2x的图象 就像与x轴垂直一样, 2x的值快速增长;而函数y 2x的增长速度依然 保持不变, 与函数y 2x的增长速度相比几乎微不足道.