2020年高考数学(理)抢分秘籍05 平面解析几何(解析版)

秘籍05平面解析几何
1．已知直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,若l1∥l2,则实数a的值为( )
A.4±
B.-4
C.4
D.2±
【答案】B
解析:由2a-2×8=0,得a=±4.
当a=4时,l1:4x+2y-1=0,l2:8x+4y-2=0,l1与l2重合.
当a=-4时,l1:-4x+2y-1=0,l2:8x-4y+6=0,l1∥l2.
综上所述,a=-4.
故选:B
由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.
2.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）
A．2√3B．2
C．√6D．√3
【答案】A
【解析】：根据题意：直线方程为：y=√3x，
∵圆x2+y2﹣4y=0，
∴圆心为：（0，2），半径为：2，
圆心到直线的距离为：d=1，
∴弦长为2√4−1=2√3，
故选：A．
3．直线l 过点（﹣4，0）且与圆（x +1）2+（y ﹣2）2=25交于A 、B 两点，如果|AB|=8，那么直线l 的方程为（ ） A ．5x+12y+20=0 B ．5x ﹣12y+20=0或x+4=0
C ．5x ﹣12y+20=0
D ．5x+12y+20=0或x+4=0
【答案】D
解析：当切线的斜率不存在时，直线l 的方程为 x+4=0，经检验，此直线和圆相切，满足条件． 当切线的斜率存在时，设直线l 的方程为 y ﹣0=k （x+4 ），即 kx ﹣y+4k=0， 则圆心（﹣1，2）到直线l 的距离为 d=|−k−2+4k|√k 2+1
=
|3k−2|√k 2+1
．再由 d 2
+(AB
2)2=r 2
，
得
|3k−2|√k 2+1
=3，∴k=﹣5
12，∴直线l 的方程为 y ﹣0=﹣5
12（x+4），
即 5x+12y+20=0． 故选：D ．
1．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理2
22
()2
l
d r +=求解；二是若斜率为k 的直线l 与圆C 交于1122,,()()A x y B x y ，两点，则212||1||AB k x x =+-.
2．求两圆公共弦长一般有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.
4．己知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，
则椭圆C 的离心率为( ) A ．
12
B 2
C 2
D 6 【答案】D 解析：如图，
c =，则222b c =， 即2222()a c c -=，则2223a c =，
∴2223
c a =
，即c e a ==
故选：D ．
5．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123
F PF π
∠=，若△12F PF 的外接圆
和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为( ) A ．
45
B ．
23
C ．
12
D ．
25
【答案】B
【解析】：椭圆的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，12||2F F c =，
根据正弦定理可得1212||22sin sin 3
F F c R F PF π=
==
∠，
R ∴=
，14r R ==． 设1||PF m =，2||PF n =，则2m n a +=， 由余弦定理得，2222242cos
()3433
c m n mn m n mn a mn π
=+-=+-=-，
224()
3
a c mn -∴=
，
12
1sin 23F PF S mn π∴==
V
121(2)2F PF S m n c r =++V g ，
∴，即22230a c ac --=，故2320e e +-=， 解得：2
3
e =或1e =-（舍)．
故选：B ．
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： （1）求出a ,c ，代入公式c e a
=
. （2）只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ,c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）.
6．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6
π
，则双曲线的离心率为( )
A 23
B 26
C 3
D ．2
【答案】A
【解析】：双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6
π
，
则3tan
6
π
=
， 所以该条渐近线方程为3
y =； 23
， 解得6a
所以226222c a b =+=+， 所以双曲线的离心率为2223
6
c e a == 故选：A ．
7．双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与C 的公
共点为P ，若△12PF F 是直角三角形，则C 的离心率为( ) A 2-1
B 51
C 21
D 51+
【解析】：由题意知121||2||F F c PF ==，若△12PF F 是直角三角形，则122
PF F π
∠=，且2||22PF c =，
又由双曲线的定义，可得21||||2PF PF a -=， 可得2||2222PF a c c =+=，即2(222)a c
=
-， 由1
21
c e a =
=
-，解得21e =+， 故选：C ．
求双曲线的离心率一般有两种方法
（1）由条件寻找,a c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a b c ，，的关系222c a b =+将双曲线的离
心率公式变形，即2
22
2
11c b e a a
b
c ==+=
-，注意区分双曲线中a b c ，，的关系与椭圆中a b c ，，的关
系，在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.
（2）根据条件列含,a c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式c
e a
=转化为含e 或2e 的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,对解进行取舍.
8．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F ，过抛物线上一点A （3，y ）作准线l 作垂线，垂直为B ，若△ABF 为等边三角形，则抛物线的标准方程是（ ）
A ．y 2=1
2x
B ．y 2＝x
C ．y 2＝2x
D ．y 2＝4x
【解析】：设直线l交x轴于点C
∵AB⊥l，l⊥x轴，
∴AB∥x轴，可得∠BFC＝∠ABF＝60°，
Rt△BCF中，|CF|＝|BF|cos60°＝p，解得|BF|＝2p，
由AB⊥y轴，可得3+p
2
=2p，
∴p＝2，
∴抛物线的标准方程是y2＝4x．
故选：D．
9．已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(a,4)在抛物线C上，O为坐标原点，|PF|=5，且|OP|>5.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F，且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线l′交抛物线C于M，N 两点，求四边形AMBN的面积.
【解析】（1）将P(a,4)代入抛物线的方程y2=2px，得a=8
p ，所以P(
8
p
,4)，
因为|PF|=5，所以8
p +p
2
=5，整理得p2−10p+16=0，
解得p=2或p=8，
当p=2时，P(4,4)，满足|OP|>5；
当p=8时，P(1,4)，|OP|<5，不符合题意，舍去.
所以抛物线C的方程为y2=4x.
（2）因为l的方程为x=y+1，代入C：y2=4x，得y2−4y−4=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y1+y2=4，y1y2=−4，
故AB的中点为D(3,2)，
|AB|=√12+1√(y1+y2)2−4y1y2=8.
又因为l′的斜率为-1，所以l′的方程为y−2=−(x−3)，即x=−y+5.将上式代入C：y2=4x，并整理得y2+4y−20=0.
设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则y3+y4=−4，y3y4=−20，
故|MN|=√(−1)2+1√(y3+y4)2−4y3y4=8√3.
所以四边形AMBN的面积S=1
2|AB|⋅|MN|=1
2
×8×8√3=32√3.
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：
若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.
1．已知直线l1：x•sinα+y﹣1=0，直线l2：x﹣3y•cosα+1=0，若l1⊥l2，则sin2α=（）
A．2
3B．±3
5
C．﹣3
5D．3
5
【答案】D
【解析】：因为l1⊥l2，所以sinα﹣3cosα=0，所以tanα=3，
所以sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα
sin2α+cos2α=2tanα
1+tan2α
=3
5
．
故选：D．
两条直线的位置关系
斜截式→
111222
::l y k x b l y k x b =+=+
一般式→
11112222:0:0
l A x B y C l A x B y C ++=++=
1l 与2l 相交 12k k ≠
12210A B A B -≠ 1l 与2l 垂直
121k k =-
12120A A B B +=
1l 与2l 平行 12k k =且12b b ≠
1221122100A B A B B C B C -=⎧⎨
-≠⎩或12211
2210
A B A B AC A C -=⎧⎨-≠⎩ 1l 与2l 重合 12k k =且12b b =
1221122112210A B A B AC A C B C B C -=-=-=
2．圆x 2
+y 2
-4x=0在点P (1,√3)处的切线方程为( )
A.x +√3y-2=0 B .x +√3y-4=0 C .x-√3y +4=0 D .x-√3y +2=0 【答案】D
【解析】:∵点P (1,√3)在圆x 2
+y 2
-4x=0上,
∴点P 为切点.从而圆心与点P 的连线应与切线垂直. 又∵圆心为(2,0),设切线斜率为k ,
∴0−√32−1·k=-1,解得k=√3
3. ∴切线方程为x-√3y +2=0.
故选:D
3.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=相切，则a 等于( ) A ．1或3- B ．1-或3-
C ．1或3
D ．1-或3
【答案】A
【解析】：根据题意，圆22()2x a y -+=的圆心为(,0)a ，半径2r =， 若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=相切， 则圆心到直线的距离|1|22
a d +==，即|1|2a +=，
解可得：1a =或3-， 故选：A ．
1．求过圆上的一点00(,)x y 的切线方程：
先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则由图形可写出切线方程为0y y =;若0k =,则由图形可写出切线方程为0x x =;若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为1
k
-，由点斜式方程可求切线方程. 2．求过圆外一点00(,)x y 的圆的切线方程： （1）几何方法
当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程. （2）代数方法
当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+,代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=,求得k ,切线方程即可求出.
3．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
4．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线3y b =与双曲线C 的右支
相交于P ，若122
PF PF =，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．32y x =±
B ．23y x =±
C ．52
y x =±
D ．25
5
y x =±
【答案】C
【解析】由222231
y b x y a
b =-=⎧⎪
⎨⎪⎩，解得P(2a,√3b)，
根据双曲线的定义有|PF 1|−|PF 2|=|PF 2|=2a ，双曲线的焦点F 2(c,0)， 故|PF 2|=√(2a −c )2+(√3b)2=2a ，两边平方化简得4c 2−4ac −3a 2=0， 即4e 2−4e −3=0，解得e =3
2， 故(b a )2
=e 2−1=54
，
所以b a
=√52，
即双曲线的渐近线方程为y =±√5
2x .
故选C ．
对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式： （1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;
（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ,b 的关系，结合已知条件可解.
4．已知椭圆E : 22
221(0)x y a b a b
+=>>与y 轴的正半轴相交于点M ,点F 1,F 2为椭圆的焦点,且12△MF F 是边
长为2的等边三角形,若直线l :y =kx+2√3与椭圆E 交于不同的两点A ,B . (1)直线MA ,MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由; (2)求△ABM 的面积的最大值.
【解析】(1)因为12△MF F 是边长为2的等边三角形,所以2c =2,b =√3c ,a =2, 所以a =2,b =√3,
所以椭圆E :x 24
+y 2
3=1,点M (0,√3).
将直线l :y =kx+2√3代入椭圆E 的方程, 整理得(3+4k 2)x 2+16√3kx+36=0. (*) 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
则由(*)式可得Δ=(16√3k )2-4(3+4k 2)×36=48(4k 2-9)>0, 所以k ∈(-∞,-3
2)∪(3
2,+∞),x 1+x 2
=x 1x 2=23634k +. 则直线MA ,MB 的斜率之积为k MA ·
k MB
(
121212
kx kx x x
=()122123x x k x x ++=
+22
336
34k k ⋅+⎝⎭=++=k 2+9−36k 236=14
, 所以直线MA ,MB 的斜率之积是定值
14
. (2)记直线l :y =kx+2√3与y 轴的交点为N (0,2√3)， 则S △ABM =|S △ANM -S △BNM |=1
2|MN|·
|x 2-x 1|
= 6
12===
≤
当且仅当4k 2-9=12,即k
=±
2
∈(-∞,-32)∪(3
2,+∞)时等号成立,
所以△ABM 的面积的最大值为
32
. 5．已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，直线y =4与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，
且|QF|=2|PQ|.
（1）求p 的值；
（2）已知点T(t,−2)为C 上一点，M,N 是C 上异于点T 的两点，且满足直线TM 和直线TN 的斜率之和为−8
3，
证明直线MN 恒过定点，并求出定点的坐标.
【解析】（1）设()0,4Q x ，由抛物线的定义，得02
p
QF x =+， 又2QF PQ =，即0022p x x =+，解得02
p x =， 将点,42p Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
代入抛物线方程，解得4p =. （2）由（1）知C 的方程为2
8y x =，所以点T 的坐标为1,22⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 设直线MN 的方程为x my n =+，点22
1212,,,88y y M y N y ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 由2
8x my n
y x
=+=⎧⎨
⎩得2
880y my n --=，所以12128,8y y m y y n +==-，
所以1222
12122288
11228282
MT NT y y k k y y y y +++=
+=+---- ()()12121283264328
24
81643
y y m y y y y n m +--=
=
=--++--+，解得1n m =-，
所以直线MN 的方程为x +1=m(y +1)，恒过点(−1,−1).
定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参
数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.
1．与直线 3x −2y =0 平行，且过点 (−4,3) 的直线方程为 ( ) A. y −3=−32(x +4) B. y +3=3
2(x −4) C. y −3=3
2(x +4)
D. y +3=−3
2(x −4)
2． 已知直线 l ：y =x +b 与曲线 C ：y =3−√4x −x 2 有公共点，则 b 的取值范围为 ( ) A. [−3,3] B. [3,1+2√2] C. [1−2√2,3]
D. [1−2√2,1+2√2]
3．圆 C:(x −1)2+y 2=25，过点 P (2,−1) 作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是 ( ) A. 10√3 B. 9√21 C. 10√23 D. 9√11
4．若当方程 x 2+y 2+kx +2y +k 2=0 所表示的圆取得最大面积时，则直线 y =(k −1)x +2 的倾斜角 α= ( ) A.
3π
4 B. π
4
C.
3π
2
D.
5π4
5．已知A （3，﹣1），B （5，﹣2），点P 在直线x+y=0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则点P 的坐标是（ ） A ．（1，﹣1） B ．（﹣1，1）
C ．（13
5
，﹣13
5
）
D ．（﹣2，2）
6．已知过点M （﹣3，﹣3）的直线l 被圆x 2+y 2+12x +4y +15=0截得的弦长为8，则直线l 的方程为（ ） A ．y=﹣3或4x ﹣3y+3=0 B ．y=﹣3或4x+3y+21=0
C ．x=﹣3或4x ﹣3y+3=0
D ．x=﹣3或4x+3y+21=0
7．已知⊙C ：x 2
+y 2
﹣4x ﹣6y ﹣3=0，点 M （﹣2，0）是⊙C 外一点，则过点 M 的圆的切线的 方程是（ ）
A ．x+2=0，7x ﹣24y+14=0
B ．y+2=0，7x+24y+14=0
C ．x+2=0，7x+24y+14=0
D ．y+2=0，7x ﹣24y+14=0
8．平面内，已知点A 为定圆O 外的一个定点，点B 为圆O 上的一个动点，点A 关于点B 的对称点为点C ，若BD ⊥AC 且CD ∥OB ，则点D 的轨迹是（ ） A ．抛物线 B ．双曲线
C ．椭圆
D ．圆
9．若直线l:ax −by =2(a >0,b >0)平分圆x 2+y 2−2x +4y =0，则1
a
+1b
的最小值为 A ．2√2 B ．2 C ．1
2(3+2√2)
D ．3+2√2
10．圆x 2
+(y+1)2
=3绕直线kx-y-1=0旋转一周所得的几何体的表面积为( ) A.36π
B.12π
C.4√3π
D.4π
11．己知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，
则椭圆C 的离心率为( )
A ．
12
B C D
12．椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△12
AF F
的周长为6( )
A ．22
143x y +=
B ．22
132x y +=
C ．2
212x y +=
D ．2
214
x y +=
13．已知椭圆22
:186
x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，点P 为椭圆C 上不同于A 、B 两点的动点，若直
线PA 斜率的取值范围是[1，2]，则直线PB 斜率的取值范围是( ) A ．[2-，1]-
B ．3[2-，3
]4
-
C ．[1-，1
]2
-
D ．3[4-，3]8
-
14．已知双曲线22214x y b -=的右焦点与抛物线2
12
y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为(
)
A ．
B C ．3
D ．5
15．已知双曲线221(0)x y m n m n -=>>和椭圆22
154
x y +=有相同的焦点，则14m n +的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．9
16．已知双曲线2
2:1(0)3
x C y x -=>，点(2,0)F ，点M 是曲线C 上的一个动点，点N 满足0NM NF =u u u u r u u u r g ，则
点N 到原点的最短距离为( ) A
．2
B C D ．1
17．双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与C 的公
共点为P ，若△12PF F 是直角三角形，则C 的离心率为( ) A
B 1
C 1
D 1
18．设双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>，命题p ：双曲线E 离心率e =q ：双曲线E 的渐近线互
相垂直，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
19．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则||||PM PF +的最小值为( ) A ．3
B ．2
C ．4
D ．
20. 若直线 l 过抛物线 y 2=4x 的焦点，与抛物线交于 A ，B 两点，且线段 AB 中点的横坐标为 2，则弦
AB 的长为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
21.已知A ，B 为抛物线C ：y2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若AB →
=5FB →
，则|AB|＝（ ）
A ．25
2
B ．10
C ．25
4 D ．6
22.已知椭圆x 2+2y 2=4，则以（1，1）为中点的弦的长度是（ ）
A ．3√2
B ．2√3
C ．
√30
3
D ．
3√6
2
23．已知圆C 1:x 2+y 2-6x -7=0与圆C 2:x 2+y 2-6y -27=0相交于A,B 两点,则直线AB 的方程是 . 24．已知动圆C 与圆22(1)1x y ++=及圆22(1)25x y -+=都内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为 ．
25．与曲线2212449x y +=共焦点，而与曲线2213664
x y -=共渐近线的双曲线方程为
26．在椭圆x 216+y 2
4=1内以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为
27．过椭圆C ：x 225+y 2
9=1右焦点F 的直线l 交C 于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且A 不在x 轴上． （Ⅰ）求|y 1y 2|的最大值； （Ⅱ）若|AF||FB|=1
4，求直线l 的方程．
28． 已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线为 y =√3x ，右焦点 F (4,0)，左右顶点分别为 A 1，A 2，P 为双曲线上一点（不同于 A 1，A 2），直线 A 1P ，A 2P 分别与直线 x =1 交于 M ，N 两点；
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，并求此定值．
29．已知双曲线 x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0,b >0) 的离心率 e =2√3
3
，直线 l 过 A (a,0) 、 B (0,−b ) 两点，原点
O 到直线 l 的距离是
√3
2
． （1）求双曲线的方程；
（2）过点 B 作直线 m 交双曲线于 M 、 N 两点，若 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，求直线 m 的方程．
30． 已知椭圆 E 的方程是
x 24
+
y 23
=1，左、右焦点分别是 F 1，F 2，在椭圆 E 上有一动点 A ，过 A ，F 1 作
一个平行四边形，使顶点 A ，B ，C ，D 都在椭圆 E 上，如图所示．
（1）判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由．
（2）当四边形ABCD的面积取到最大值时，判断四边形ABCD的形状，并求出其最大值．
1.【答案】C
【解析】因为所求直线与直线3x−2y=0的斜率相等，即为k=3
2
，直线经过点(−4,3)，所以y−3=
3 2[x−(−4)]=3
2
(x+4)．
2. 【答案】C
3.【答案】C
【解析】提示：最长弦为过点P的直径，最短弦经过点P且与CP垂直.
4. 【答案】A
【解析】方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示的圆的半径r=√4−3k2
2
，当k=0时，r有最大值，这时
圆的面积也取得最大值，所以直线y=(k−1)x+2的斜率为−1，从而倾斜角为3π
4
．
5.【答案】C
【解析】：如下图所示：
点A （3，﹣1），关于直线l ：x+y=0的对称点为C （1，﹣3）点， 由BC 的方程为：
x−14
=
y+31
，即x ﹣4y ﹣13=0，
可得直线BC 与直线l 的交点坐标为：（13
5，﹣13
5）， 即P 点坐标为：（13
5，﹣13
5）时，|PA|+|PB|最小． 故选：C ． 6.【答案】C
【解析】：圆x 2+y 2+12x +4y +15=0的圆心C （﹣6，﹣2），半径r=5， 若过点M （﹣3，﹣3）的直线l 被圆x 2+y 2+12x +4y +15=0截得的弦长为8， 则圆心C 到直线l 的距离d=3， 由直线l 过点M （﹣3，﹣3），
当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x=﹣3满足要求；
当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y+3=k （x+3），即kx ﹣y+3k ﹣3=0， 则
2=3，解得：k=4
3
，
故直线l 的方程为4
3x ﹣y+1=0，即4x ﹣3y+3=0 故选：C ． 7.【答案】C
【解析】：⊙C ：x 2
+y 2
﹣4x ﹣6y ﹣3=0， 即（x ﹣2）2
+（y ﹣3）2
=16，
故圆心是（2，3），半径是4， 点 M （﹣2，0）是⊙C 外一点， 显然x+2=0是过点 M 的圆的一条切线， 设另一条切线和圆相切于P （a ，b ）， 则MP 的斜率是b
a+2，
直线直线MP 的方程是：bx ﹣（a+2）y+2b=0， 故{3−b
2−a ⋅b
a+2
=−1√b 2+(a+2)2
=4，
解得：{a =−26
b =7
，
故切线方程是7x+24y+14=0， 故选：C ． 8.【答案】B
【解析】：如图：延长DC ，交直线OA 与A ′，
因为点A 关于点B 的对称点为点C ，若BD ⊥AC 且CD ∥OB ，所以OB ∥CA ′，BC=1
2CA ′， CD=DA ，
所以DA ′﹣DA=CA ′=2OB 定值．2OB ＜AA ′，所求的D 轨迹是双曲线． 故选：B ．
9．【答案】C
【解析】将x 2+y 2−2x +4y =0化为(x −1)2+(y +2)2=5， 因为直线l:ax −by =2平分圆x 2+y 2−2x +4y =0， 所以a +2b =2，又a >0,b >0，
则1a
+1b
=12
(a +2b)(1a
+1b
)=12
（3+
2b a
+a
b
)≥
3+2√2
2
， 当且仅当2b
a =a
b ，即a =√2b 时取等号. 故选C ．
【名师点睛】本题考查直线和圆的位置关系、基本不等式等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力． 10.【答案】B
【解析】由题意,圆心为(0,-1).又直线kx-y-1=0恒过点(0,-1),
所以旋转一周所得的几何体为球,球心即为圆心,球的半径即是圆的半径,
所以S=4π(√3)2
=12π. 故选：B ． 11.【答案】D 【解答】：如图，
c =，则222b c =， 即2222()a c c -=，则2223a c =，
∴2223
c a =，即c e a ==
故选：D ． 12.【答案】A
【解答】：由椭圆的定义可得2()6a c +=， 所以3a c +=①，
当A 在上（或下）顶点时，△12AF F 的面积取得最大值，
即最大值为bc =，
由①②及222a c b =+联立求得2a =，b =1c =，
可得椭圆方程为22
143
x y +=，
故选：A ． 13.【答案】D
【解答】：设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，
0(P x ，0)y 为椭圆上不同于A ，B 的任意一点，
则00PA y k x a =
+，00PB y k x a
=-， ∴2
02
2
0PA PB
y k k x a =-g ，由P 在椭圆上，得2200221x y a b
+=， 则22
02220y b x a a
=--． 由椭圆22:186x y C +=，得6384
PA PB k k =-=-g ，
[1PA k ∈Q ，2]，
∴33[44PB PA k k =-
∈-，3]8
-． 故选：D ． 14.【答案】B
【解析】：Q 抛物线212y x =的焦点坐标为(3,0)， 依题意，249b +=， 25b ∴=．
∴双曲线的方程为：22
145
x y -=，
∴
其渐近线方程为：y =， ∴双曲线的一个焦点(3,0)F
到其渐近线的距离等于d =
=
故选：B ． 15.【答案】D
【解析】：椭圆22
154x y +
=是焦点在x 轴上的椭圆，且2541c =-=． Q 双曲线221(0)x y m n m n -=>>和椭圆22
154
x y +=有相同的焦点，
1(0)m n m n ∴+=>>，
∴
14144()()559n m m n m n m n m n +=++=+++=…． 当且仅当
4n m
m n
=，即13m =，23n =时取等号．
∴
14
m n
+的最小值为9． 故选：D ． 16.【答案】B
【解析】：由0NM NF =u u u u r u u u r
g ，得点N 的轨迹是以MF 为直径的圆，
设||2MF r =，1O 为MF 的中点，(2,0)F '-，
则点N 到原点的最短距离为1111
||||||2222
O O r MF MF a a '-=-=⨯==， 故选：B ．
17.【答案】C
【解析】：由题意知121||2||F F c PF ==，若△12PF F 是直角三角形，则122
PF F π
∠=，且2||PF =，
又由双曲线的定义，可得21||||2PF PF a -=，
可得2||22PF a c =+=，即22)a c =，
由
c e a =
=，解得1e ， 故选：C ． 18.【答案】C
【解析】：双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>的渐近线方程为b y x a =±，
离心率为c
e a
=，
由e c =，即有22222c a a b ==+，可得a b =， 即有渐近线方程为y x =±，可得两渐近线垂直；
若两渐近线垂直，可得a b =，可得e
即有p 是q 的充要条件， 故选：C ． 19.【答案】A
【解析】：抛物线标准方程24x y =，2p =，焦点(0,1)F ， 准线方程为1y =-．
设p 到准线的距离为PA ，（即PA 垂直于准线，A 为垂足）， 则||||||||||3PM PF PA PM AM +=+=…， （当且仅当P 、A 、M 共线时取等号）， 故选：A ． 20.【答案】C
【解析】因为抛物线为 y 2=4x ，所以 p =2， 设 A ，B 两点横坐标分别为 x 1，x 2， 因为线段 AB 中点的横坐标为 2，则 x 1+x 22
=2，即 x 1+x 2=4，
故 ∣AB ∣=x 1+x 2+p =4+2=6． 故选：C 21.【答案】C
【解析】：设A （x1，y1），B （x2，y2），则|AB|＝（x2﹣x1，y2﹣y1）， 又F （1，0），∴FB →
=(x 2−1，y 2)，∴x2﹣x1＝5x2﹣5，y2﹣y1＝5y2， ∴{x 1=5−4x 2y 1=−4y 2，由{y 22=4x 2(−4y 2)2=4(5−4x 2)，得x 2=14，x 1=4， ∴|AB|=x 1+x 2+2=254
．
故选：C ． 22.【答案】C
【解析】：设弦的两端的端点为（a ，b ）和（2﹣a ，2﹣b ） 列方程组{a 2+2b 2=4(2−a)2+2(2−b)2=4
解得a=1+√6
3，b=1﹣√6
6或a=1﹣√6
3，b=1+√6
6
两端点的坐标为（1﹣√6
3，1+√6
6）和（1+√6
3，1﹣√6
6）
弦长为√63)√63)]√66√66)]=√30
3．
故选：C ．
23.【答案】:3x -3y -10=0
解析:两圆的方程相减得-6x+6y+20=0,即3x -3y -10=0.
24.【答案】.22
143
x y +=
【解析】：设圆22(1)1x y ++=的圆心1(1,0)O -，半径11r =；圆22(1)25x y -+=的圆心2(1,0)O ，半径25r =． 设动圆C 的圆心(,)C x y ，半径R ．
Q 动圆C 与圆22(1)1x y ++=及圆22(1)25x y -+=都内切，
1||1O C R ∴=-，2||5O C R =-． 1212||||514||2O C O C O O ∴+=-=>=，
因此动点C 的轨迹是椭圆，设其标准方程为：22
221x y a b
+=．
则24a =，22c =，解得2a =，1c =，2223b a c ∴=-=．
因此动圆圆心C 的轨迹方程是22
143x y +=．
故答案为：22
143x y +=．
25.【答案】22
1169
y x -=
【解析】：由题意得，曲线
22
1
2449
x y +=是焦点在y 轴上的椭圆，且5c ===， 所以双曲线焦点的坐标是(0、5)、(0,5)-，
因为双曲线与曲线2213664x y -
=共渐近线，所以设双曲线方程为22
(0)3664
x y λλ-=<， 即
22
16436y x λλ-=--，则643625λλ--=，解得14λ=-， 所以双曲线方程为
22
1169
y x -=. 26.【答案】x ﹣2y+4=0
【解析】：设以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆x 216+y 2
4=1交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵点P （﹣2，1）是线段AB 的中点， ∴{x 1+x 2=−4y 1+y 2=2
， 把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入椭圆x 2
+4y 2
=16，
得{x 12+4y 12=16①x 22+4y 22
=16②
，
①﹣②得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+4（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=0， ∴﹣4（x 1﹣x 2）+8（y 1﹣y 2）=0， k=y 1−y 2x 1
−x 2
=1
2，
∴以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为y −1=1
2(x +2)， 整理，得x ﹣2y+4=0． 故答案为：x ﹣2y+4=0．
27.【解析】：（Ⅰ）椭圆C ：x 225+y 2
9=1右焦点F 为（4，0），
设AB 的直线方程为x=ky+4，
由{x 2
25+y 2
9=1x =ky +4，消x 可得（9k 2+25）y 2+72ky ﹣81=0， ∴|y 1y 2|=
819k 2+25
，
当k=0时，|y 1y 2|有最大值，最大值为8125
， （Ⅱ）∵|AF||FB|=1
4， ∴|FB|=4|AF|， ∴FB →=4AF →
， ∴y 2=﹣4y 1， 由（Ⅰ）可得y 1y 2=﹣81
9k 2+25
=﹣4y 12
，y 1+y 2=﹣
72k
9k 2+25
=﹣3y 1，
∴
(24k)2
(9k 2+25)2=
81
4(9k 2+25)
，
解得k=±
3√7
7
， ∴直线方程为x=±
3√7
7
y+4，∴√7x ±3y ﹣4√7=0． 28. 【解析】（1） 由已知可得{c =4,
b
a =√3,
c 2=a 2+b 2,
⇒{a =2,b =2√3. 故双曲线方程为 x 24−y 2
12=1．
（2） 设 P (x 0,y 0)，则 A 1P:y =y 0
x 0+2
(x +2)，A 2P:y =
y 0x 0−2
(x −2)，所以 M (1,
3y 0x 0
+2
)，N (1,−y 0
x 0−2
)，
所以
FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN
⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3y 0x 0
+2
)⋅(−3,−y 0
x
0−2
)=9−3y 0
2
x 0
2−4
=9−3y 0
2y 023
=0.
即 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN
⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值 0． 29.【解析】 （1） 依题意，l 的方程为 x
a +y
−b =1，即 bx −ay −ab =0， 由原点 O 到直线 l 的距离为 √3
2，得 √a 2+b
2=
ab c
=
√3
2
， 又 e =c
a =
2√33
，所以 b =1，a =√3．
故所求双曲线方程为
x 23
−y 2=1．
（2） 显然直线 m 不与 x 轴垂直，设 m 方程为 y =kx −1，则点 M 、 N 坐标 (x 1,y 1) 、 (x 2,y 2) 是方程组 {y =kx −1
x 23−y 2
=1 的解，消去 y ，得(1−3k 2)x 2+6kx −6=0 ⋯⋯① 依题意，1−3k 2≠0，由根与系数关系知x 1+x 2=6k 3k 2−1
,x 1x 2=
6
3k 2−1
.
OM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)⋅(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1−1)(kx 2−1)=(1+k 2)x 1x 2−k (x 1+x 2)+1
=6(1+k 2)3k 2−1−6k 2
3k 2−1+1
=
63k 2−1
+1.
因为 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，所以 63k −1+1=−23，k =±1
2
． 当 k =±1
2 时，方程 ① 有两个不等的实数根． 故直线 m 的方程为 x −2y −2=0 或 x +2y +2=0． 30. 【解析】（1） 由椭圆方程：x 2
4+
y 23
=1，F 1(−1,0)，
如图，直线 AB 的斜率存在且不为 0，
设直线 AB 的方程为 x =my −1，点 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 联立方程，{3x 2+4y 2−12=0,
x =my −1, 得 (3m 2+4)y 2−6my −9=0，
所以 y 1+y 2=6m
3m 2+4，y 1y 2=−9
3m 2+4， 若四边形 ABCD 为菱形，则 OA ⊥OB ，
即 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB
⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以 x 1x 2+y 1y 2=0， 又 x 1x 2=(my 1−1)(my 2−1)=m 2y 1y 2−m (y 1+y 2)+1， 所以 (m 2+1)y 1y 2−m (y 1+y 2)+1=0，得到 −12m 2−53m +4
=0，显然这个方程没有实数解，故四边形 ABCD 不
能是菱形．
（2） 由题 S ABCD =4S △AOB ，而 S △AOB =1
2∣OF 1∣∣y 1−y 2∣， 又 ∣OF 1∣=1，
即 S ABCD =2∣OF 1∣∣y 1−y 2∣=2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2， 由（1）知 y 1+y 2=6m
3m 2+4，y 1y 2=−9
3m 2+4， 所以
S ABCD =2√36m 2+36(3m 2+4)
(3m 2+4)2
=24√m 2+1
3m +4=24√1
9(m 2
+1)+
1
m 2+1
+6,
因为函数 f (t )=9t +1t ，t ∈[1,+∞)，在 t =1 时，f (t )min =10， 所以 S ABCD 的最大值为 6，此时 m 2+1=1，即 m =0 时， 此时直线 AB ⊥x 轴，即四边形 ABCD 是矩形．。