湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2017-2018学年高三9月适应性考试文数试题 Word版含解析

2017-2018学年 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =，集合{3,4}B =，则()U C A B =（ ）
A ．{4}
B ．{2,3,4,5}
C ．{3,4,5}
D ．{2,3,4} 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意，得(){4,5}{3,4}{3,4,5}U C A B ==；故选C ．
考点：集合的运算．
2.计算0
sin 47cos17cos 47cos107+的结果等于（ ）
A ．1
2
-
B C D ．12
【答案】D
考点：1.诱导公式；2.两角差的正弦公式． 3.已知复数10
23z i i
=
-+（其中i 是虚数单位），则||z =（ ）
A ．．．．【答案】C 【解析】
试题分析：因为1010(3)
22333(3)(3)
i z i i i i i i -=
-=-=-++-，所以||z =C ．
考点：1.复数的运算；2.复数的模．
4.已知五个数2,,,,8a m b 构成一个等比数列，则圆锥曲线
22
12
x y m +=的离心率为（ ）
A ．
2 B ．2．2
或2【答案】A
考点：1.等比中项；2.圆锥曲线的离心率．
【易错点睛】本题考查等比中项的应用和圆锥曲线的标准方程和离心率，属于基础题；本题的易错之处在于：利用等比中项求m 值，片面考虑162
=m ，而忽视082
>=m b ，导致得到错误答案（4±=m ，圆锥曲线为椭圆或双曲线），因此在研究等比数列时，要注意奇数项一定同号，偶数项也一定同号.
5.若()x
x
f x e ae -=+为偶函数，则21
(1)e f x e
+-<的解集为（ ）
A ．(2,)+∞
B ．(0,2)
C ．(,2)-∞
D ．(,0)(2,)-∞+∞
【答案】B 【解析】
试题分析：由()x x f x e ae -=+为偶函数，得0))(1()()(=--=---x
x e e a x f x f 恒成立，则
1=a ，即x x e e x f -+=)(，则x x e e x f --=)('，且当),0(+∞∈x 时，0)('>x f ，即)(x f 在
)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递增，且图象关于y 轴对称，则由
21
(1)(1)e f x f e
+-<=，得1|1|<-x ，解得20<<x ，即21(1)e f x e +-<的解集为(0,2)；
故选B ．
考点：1.函数的奇偶性；2.导数与函数的单调性．
6. ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为2，OA AB AC ++为零向量，且||||OA AB =，则CA 在BC 方向上的投影为（ ）
A ．3-
B ．．3 D 【答案】B
考点：1.平面向量的运算；2.投影的概念．
7.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>，()()062
f f ππ
+=，()f x 在区间(
,)62
ππ上单调，则ω=（ ） A ．2 B ．3 C ．1 D ．5 【答案】A 【解析】
试题分析：因为)3
sin(2cos 3sin )(π
ωωω+
=+=x x x x f 满足()()062f f ππ
+=且在区间
(,)62
ππ
上单调，所以0)3(=πf 且3622πππωπ=-≥=T ，即)(33Z k k ∈=+ππωπ且3≤ω，
即2=ω；故选A ．
考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质．
8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面中，面积最小值为（ ）
A B D ．1
2
【答案】D
考点：1.三视图；2.几何体的侧面积．
9.阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为（ ）
A ．
18 B ．12 C ．16 D ．116
【解析】
试题分析：由程序框图，得9
cos
,1π
==s n ，9
2cos
9
cos
,2π
π
==s n ，93cos 92cos
9cos
,3πππ
==s n ，94cos 93cos 92cos 9cos ,4ππππ==s n ，则
94c o s
92c o s 9c o s 9s i n 29
s i n 41πππππ=s 1619
sin 169sin
9sin 1698sin 94cos 94sin 29sin 16194cos 92cos 92sin 29sin 81===⋅==πππππππππππ；故选D ．
考点：1.程序框图；2.二倍角公式．
10.直线y a =分别与曲线2
ln y x x =-，2y x =-交于点,P Q ，则||PQ 的最小值为（ ）
A ．2 B
．1 D
【答案】
A
考点：函数的最值与导数．
11.如图，AB 是平面α外固定的斜线段，B 为斜足，若点C 在平面α内运动，且CAB ∠等于直线AB 与平面α所成的角，则动点C 的轨迹为（ ）
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
【解析】
试题分析：如图所示，作α⊥AO ，垂足为O ，连接OB ，在面α内过O 作OB 的垂线，建立空间直角坐标系，由题意，设θ=∠=∠CAB ABO ，)0,,(,||y x C a AB =，则
)0,c o s ,0(),sin ,0,0(θθa B a A ，所以(,,sin ),(0,cos ,sin )AC x y a AB a a θθθ=-=-，所以a
a y x a ay ⋅+++=
θθθθ2
2
2
2
22sin sin cos cos ，即
θθ
θθθ222
4222
sin cos sin cos sin 2a a y a x -+=，所以点C 的轨迹是抛物线；故选D ．
考点：1.直线与平面所成的角；2.动点的轨迹问题．
【方法点睛】本题考查空间坐标系的应用、三角函数、空间向量的数量积以及点的轨迹方程，属于难题；因为本题涉及直线与平面所成的角，先作出平面的准线，建立空间直角坐标系，利用角θ写出点的坐标，利用空间向量的夹角公式研究点),(y x 满足的方程，再通过点的轨迹方程研究其轨迹形状.
12.定义在R 上的函数()f x 是减函数，且函数()y f x =的图象关于原点中心对称，若,s t 满
足不等式22
(2)(2)f s s f t t -≤--，其中t k s =∙，则当24s <<时，k 的取值范围是
（ ） A ．1[,1]2-
B ．(,0)[1,)-∞+∞
C ．1
(,1]2
- D ．(,0][1,)-∞+∞ 【答案】C
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性．
【方法点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用、函数的最值问题以及数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题；解决本题的关键在于利用函数的奇偶性将不等式转化为
)()(y f x f <的形式，再利用函数的单调性将问题转化成y x >的形式，再利用不等式的性质
进行求解.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若幂函数2
22
()(33)m m f x m m x --=-+的图象不过原点，则m 的值为 .
【答案】1或 2 【解析】
试题分析：由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≤--=+-0
21
3322m m m m ，即⎩⎨⎧≤+-=--0)1)(2(0)1)(2(m m m m ，解得1=m 或2=m ；故
填1或 2 ． 考点：幂函数．
14.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{
1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b a >的概率
是 . 【答案】
1
5
考点：古典概型．
15.在ABC ∆中，1tan ,cos 2A B ==1，则最短边的长为 .
【解析】
试题分析：因为1tan ,cos 2A B =
=π<<B A ,0，所以5
52cos ,55sin ==A A ， 10
10
sin =
B ，则
5
2
s i n
c o s c o s s i n )s i n (s i n =+=+=B A B A B A C ，因为
C A B sin sin sin <<，所以最长边为1=AB ，最短边为AC ，则
10
10521AC =，解得
5
5=
AC
考点：1.两角和的正弦公式；2.正弦定理．
【易错点睛】本题考查同角三角函数基本关系式、两角和的正弦公式、正弦定理的应用，属于中档题；本题的易错之处有二：一是通过同角三角函数基本关系式（尤其是
1cos sin 22=+αα）不要忽视角的范围确定符号，二是再判定最长边或最短边时，不要忽视
利用正弦定理（边角关系）确定三角形的最长边和最短边. 16.定义在R 上的函数()f x 对任意两个不等的实数12,x x 都有
11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“Z 函数”，以下函数中“Z 函数”的序号为 .
①3
1y x =-+；②32sin 2cos y x x x =--；③ln ||,0
0,0x x y x ≠⎧=⎨=⎩；④224,0,0x x x y x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩
.
【答案】②④
考点：1.新定义函数；2.函数的单调性．
【方法点睛】本题以新定义函数为载体考查函数的单调性、导数与函数的单调性的关系、分段函数的单调性属于中档题；判定函数的单调性的常用方法有：（1）定义法，利用函数的单调性的定义进行判定其单调性（如：本题中对新定义函数的理解）；（2）基本函数法（熟记基本函数的单调性，如本题①）；（3）导数法：利用导数的符号判定函数的单调性（如本题中②）；
（4）图象法（如本题中③）.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5624a a +=，11143S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足1
*12
()n a n T a n N -=-∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式及数列1
1
{
}n n a a +的前n 项和； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列？并说明理由. 【答案】（1）21n a n =+，
69
n
n +；（2）不是．
考点：1.等差数列；2.等比数列；3.数列的通项与前n 项和的关系；4.裂项抵消法．
【方法点睛】本题考查数列的通项与前n 项和的关系、等差数列与等比数列的综合应用、等比数列的定义以及裂项抵消法求和，属于中档题；判定一个数列为等比数列，一般有以下几种方法：（1）定义法：利用
q a a n
n =+1
（q 为非零常数）
；（2）通项公式法：若数列的通项公式为n n q p a ⋅=（q p ,为非零常数），则该数列为等比数列；（3）等比中项法：若非零实数b G a ,,满足2
G ab =，则b G a ,,成等比数列. 18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，PD ⊥底面ABCD ，
90ADC ∠=，2AD BC =，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 的中点.
（1）证明：//PA 平面BMQ ；
（2）已知2PD DC AD ===，求点P 到平面BMQ 的距离.
【答案】（1）证明略；（2）
2
2．
(II)解 由(1)可知，PA ∥平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，
所以P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==，……………………………………9分
考点：1.线面平行的判定定理；2.点到平面的距离．
19. （本小题满分12分）
某校高中三个年级共有学生1800名，各年级男生、女生的人数如下表：
已知在高中学生中随机抽取一名同学时，抽到高三年级女生的概率为0.17. （1）求a 的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生，则在高二年级应抽取多少名学生？ （3）已知260,200b c ≥≥，求高二年级男生比女生多的概率. 【答案】（1）306；（2）20；（3）141
100
． 【解析】
试题分析：（1）利用高三年级女生抽到的概率公式进行求解；（2）利用分层抽样的特点（等比例）进行求解；（3）列出基本事件数，利用古典概型的概率公式进行求解． 试题解析：（I ）根据题意得高三年级女生抽到的概率为
1800
a
，所以
17.01800=a 所以30617.01800=⨯=a （人） ………………3分 (II)由表格知高二年级的总人数为600)306344()290260(1800=+-+-人， 所以高二年级应抽取的人数为201800
600
60=⨯
（人） ……………………6分 （III ）设事件A=“高二年级男生比女生多”，求概率)(A P
用b 表示高二年级男生的人数，用c 表示高二年级女生的人数，且600=+c b 则满足
200,260≥≥c b 的),(c b 配对的情况为)200,400()339,261(),340,260( ，
共有141种情况，而事件A 发生的),(c b 配对的情况为)298,302(),299,301(，)200,400(, 共有100种情况，所以高二年级男生比女生多的概率为
141
100
)(=
A P …………………………12分 考点：1.分层抽样；2.古典概型． 20. （本小题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1
2
，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆
C 相交于,M N 两点，且||3MN =.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 经过点F 且斜率为k ，l 与椭圆C 相交于,A B 两点，与以椭圆C 的右顶点E 为圆心的圆相交于,P Q 两点（,,,A P B Q 自下至上排列），O 为坐标原点，若9
5
OA OB ∙=-，且||||AP BQ =，求直线l 和圆E 的方程.
【答案】（1）221y x +=；
（20y -=0y +，()223312100x y -+=．
∴椭圆C 的方程为
2
2143
y x +=．………………………………………………………………………4分
考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系． 21. （本小题满分12分） 设函数()ln ,m
f x x m R x
=+
∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；
（2）讨论函数'
()()3
x
g x f x =-
的零点的个数； （3）若对任意0b a >>，
()()
1f b f a b a -<-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2；（2）当32>m 时，函数)(x g 无零点；当3
2
=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且
仅有一个零点，
当320<
<m 时，函数)(x g 有两个零点；（3）⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,41．
当32
>
m 时，函数m y =和函数)(x h y =无交点； 当32
=m 时，函数m y =和函数)(x h y =有且仅有一个交点；
当3
2
0<<m 时，函数m y =和函数)(x h y =有两个交点；
④当0≤m 时，函数m y =和函数)(x h y =有且仅有一个交点。

综上所述，当3
2
>m 时，函数)(x g 无零点； 当32
=
m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有一个零点， 当3
2
0<<m 时，函数)(x g 有两个零点……………………………………………………8分
（III ）对任意1)
()(,
0<-->>a b a f b f a b 恒成立，等价于a a f b b f -<-)()(恒成立，设),0(ln )()(>-+=-=x x x
m
x x x f x ϕ则)(x ϕ在),0(+∞上单调递减，
所以011)(2
≤--='x m
x x ϕ在),0(+∞上恒成立， 所以4
1)21(22
+--=+-≥x x x m 在),0(+∞上恒成立，因为41,02≤+->x x x ，所以41≥m ，
当且仅当21=
x 时，41=m ，所以实数m 的取值范围是⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞,41 …………12分
考点：1.导数在研究函数的单调性中的应用；2.导数在研究不等式恒成立中的应用． 【技巧点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值或零点间的关系、导数在研究不等式恒成立问题中的应用，属于难题；在处理含参数的函数的零点个数问题时，往往先分离参数，将其转化为求函数的最值问题，再利用数形结合思想进行求解；处理不等式恒成立问题，往往先分离参数，将其转化为求函数的最值问题.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，已知圆1O 和圆2O 相交于,A B 两点，过A 点作圆1O 的切线交圆2O 于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交圆1O 和圆2O 于点,D E ，DE 与AC 相交于点P . （1）求证：//AD EC ；
（2）若AD 是圆2O 的切线，且6PA =，2PC =，9BD =，求AD 的长.
【答案】（1）证明略；（2）12．
由①②可得34x y =⎧⎨=⎩或12
1x y =-⎧⎨=-⎩（舍去）. ………………………………………………8分
916DE x y ∴=++=,
AD 是⊙2O 的切线，2916144AD DB DE ∴=⋅=⋅=，
12AD ∴=………………………………………………………………………………10分
考点：1圆内接四边形.；2.切割线定理．
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθ
θ
=+⎧⎨
=⎩（θ为参数），若以该直角坐
标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为
sin()4
2
πρθ+=（其中t 为常数）.
（1）若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围； （2）当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上的点的最小距离.
【答案】（1）11t <或5
4t =-
；（2．
综上，可得t 的取值范围是11t <≤或5
4
t =-
．…………………………5分
（2）当2t =-时，直线:2N x y +=-，设M 上的点为2
000(,1),||x x x -
则曲线M上的点到直线N
的距离为
2
20
13
()
x
d
++
=≥，
当
01 2
x=-
时取等号，满足
||
x
．…………10分
考点：1.曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的转化；2.直线与抛物线的位置关系．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()
f x=的定义域为R.
（1）求实数m的取值范围；
（2）若实数m的最大值为n，正数,a b满足
82
32
n
a b a b
+=
++
，求
3
2
2
a b
+的最小值.
【答案】（1）(],8
-∞；（2）9
8
．
考点：1.绝对值不等式；2.基本不等式．。