福建省宁德市2021届新高考适应性测试卷数学试题(3)含解析

福建省宁德市2021届新高考适应性测试卷数学试题（3）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数2(1)
i i+的模为（）．
A．1 2
B．1 C．2 D．22
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【详解】
解：2(1)22
i i i
+=-+
Q，
∴复数2(1)
i i+的模为22
(2)222
-+=．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．
2．已知数列{}n a的通项公式为22
n
a n
=+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记
n
b为数阵从左
至右的n列，从上到下的n行共2n个数的和，则数列
n
n
b
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
的前2020项和为（）
A．
1011
2020
B．
2019
2020
C．
2020
2021
D．
1010
2021
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，设每一行的和为i c，可得11
(21)
i i i n i
c a a a n n i
++-
=+++=++，继而可求解
2
12
...2(1)
n n
b c c c n n
=+++=+，表示
1
2(1)
n
n
b n n
=
+，裂项相消即可求解.
【详解】
故111()...(21)2
i n i i i i n i a a n
c a a a n n i +-++-+=+++=
=++
因此：2
12...[(3)(5)...(21)]2(1)n n b c c c n n n n n n n =+++=+++++++=+
1111()2(1)21
n n b n n n n ==-++ 故202011111111(1...)(1)22232020202122021S =-+-++-=-=10102021
故选：D 【点睛】
本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 3．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）
A ．22
n n
-
B ．212n -
C ．2
12n (-)
D ．22
n
【答案】B 【解析】 【分析】
直接代入检验，排除其中三个即可． 【详解】
由题意10a =，排除D ，34a =，排除A ，C ．同时B 也满足512a =，724a =，940a =， 故选：B ． 【点睛】
本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解． 4．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(],1-∞
【答案】A 【解析】 【分析】
构造函数()()1g x f x =-，通过分析()g x 的单调性和对称性，求得不等式()(32)2f x f x +-≤的解集. 【详解】
()g x 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到()()1
1x x h x g x e x e
=+=-+， ()h x 的定义域为R ，且()()1
x x h x e x h x e
-=
--=-， 所以()h x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 图像关于()1,0对称. 不等式()(32)2f x f x +-≤等价于()()13210f x f x -+--≤， 等价于()()320g x g x +-≤，注意到()10g =，
结合()g x 图像关于()1,0对称和()g x 单调递增可知3221x x x +-≤⇒≥. 所以不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是[
)1,+∞. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题. 5．设i 是虚数单位，若复数10
3m i
++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（ ） A ．3- B ．1-
C ．1
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m 的值. 【详解】
由复数的除法运算化简可得
10
33m m i i
+
=+-+， 因为是纯虚数，所以30m +=， ∴3m =-， 故选：A. 【点睛】
本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.
6．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ） A ．正方体 B ．球体
C ．圆锥
D ．长宽高互不相等的长方体
【答案】C
根据基本几何体的三视图确定． 【详解】
正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形． 故选：C ． 【点睛】
本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键．
7．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交
于A B ，两点，坐标原点为O ，若2
2215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ） A ．
152
B ．
102
C ．
153
D ．
103
【答案】B 【解析】 【分析】
由题可知121
2
OA c F F ==
，1290F AF ∠=︒，再结合双曲线第一定义，可得122AF AF a =+，对1Rt AF B V 有2
2
2
11AF AB BF +=，
即()(
)
()2
2
2
22235AF a
AF a
a +++=，解得2AF a =，再对12Rt AF F △，由勾股定理可得
()()2
2
232a a c +=，化简即可求解
【详解】
如图，因为15BF a =，所以2523BF a a a =-=.因为121
2
OA c F F ==所以1290F AF ∠=︒. 在1Rt AF B V 中，2
2
2
11AF AB BF +=，即()(
)
()2
2
2
22235AF a
AF a
a +++=，
得2AF a =，则123AF a a a =+=.在12Rt AF F △中，由()()2
2
232a a c +=得10
c e a =
=
.
本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题
8．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）
A ．
12
B ．
14
C
．
22
D ．
24
【答案】D 【解析】 【分析】
利用直线()3y k x =+与圆2
2
1x y +=相交求出实数k 的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得
所求事件的概率. 【详解】
由于直线()3y k x =+与圆2
2
1x y +=相交，则
2311
k
k <+，解得22k -<<.
因此，所求概率为
2
22424
P ⨯=
=. 故选：D. 【点睛】
本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题. 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
10
3
B ．3
C ．83
D ．
73
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，可得几何体，利用体积计算即可. 【详解】
该几何体的体积11110222222323
V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】
本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．
10．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2
243S a b c =+-，则sin 4C π⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
（ ） A ．1 B ．
22
C ．
62
4
D ．
62
4
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】
解：由()2
243S a b c =+-，
得222
143sin 22ab C a b c ab =+-+，
∵ 2222cos a b c ab C +-=， ∴ 23sin 2cos 2ab C ab C ab =+， 3cos 1C C -=
即2sin 16C π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
则1sin 62
C π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭， ∵ 0C π<<，
∴ 6
6
C π
π
-
=
，即3
C π
=
，
则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭321262
2+⨯+⨯=
， 故选D ． 【点睛】
本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．
11．已知i 是虚数单位，则复数2
4
(1)
i =-（ ） A ．2i B ．2i -
C ．2
D ．2-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的基本运算求解即可. 【详解】
22
4422(1)2i
i i i i
===---. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题. 12．函数cos ()cos x x
f x x x
+=
-在[2,2]ππ-的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
【详解】
因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1<<f x .故选A ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，点E 在BD 上，EA ＝EB ＝EC ＝ED ，BD 2=
CD ，△ACD 为正三角
形，点M ，N 分别在AE ，CD 上运动（不含端点），且AM ＝CN ，则当四面体C ﹣EMN 的体积取得最大值
2
3
时，三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积为_____.
【答案】32π 【解析】 【分析】
设ED ＝a ，根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE ⊥ED. AM ＝x ，根据三棱锥的体积公式，运用基本不等式，可以求出AM 的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即可. 【详解】
设ED ＝a ，则CD 2=
可得CE 2+DE 2＝CD 2，∴CE ⊥ED.
当平面ABD ⊥平面BCD 时，当四面体C ﹣EMN 的体积才有可能取得最大值，设AM ＝x. 则四面体C ﹣EMN 的体积13=
⨯（a ﹣x ）12⨯⨯a×x 22
212
⨯=ax （a ﹣x ）222()1223x a x a +-≤=，当且仅当x 2
a
=
时取等号. 解得a ＝2.
此时三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积＝4πa 2＝32π. 故答案为：32π 【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力. 14．已知数列{}n a 满足11a =，且1130n n n n a a a a +++-=恒成立，则6a 的值为____________. 1
易得
1113n n a a +-=，所以1
{}n
a 是等差数列，再利用等差数列的通项公式计算即可. 【详解】
由已知，0n a ≠，因1130n n n n a a a a +++-=，所以
1113n n a a +-=，所以数列1
{}n
a 是以 111a =为首项，3为公差的等差数列，故61
1(61)316a =+-⨯=，所以6a =116
.
故答案为：1
16
【点睛】
本题考查由递推数列求数列中的某项，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.
15．已知a ，b 均为正数，且1a b +=，21
12a ab
+-的最小值为________.
【解析】 【分析】
本题首先可以根据1a b +=将21
12a ab
+-化简为2a b b a +
，然后根据基本不等式即可求出最小值. 【详解】 因为1a b +=，
所以2221()11222a a a b a b ab ab b a +++-=-=+≥=
当且仅当
2a b
b a
=
，即1a =
、2b =
. 【点睛】
本题考查根据基本不等式求最值，
基本不等式公式为)0,0a b a b +?>，在使用基本不等式的时
候要注意“=”成立的情况，考查化归与转化思想，是中档题. 16．已知(2x-1)7=a o +a 1x+ a 2x 2+…+a 7x 7，则a 2=____. 【答案】84- 【解析】
解：(2x-1)7的展开式通式为：()()
71721r
r
r
r T C x -+=-
当=5r 时，()
()
2
5
52672184T C x x =-=-，
则284a =-. 故答案为：84- 【点睛】
本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在三棱柱ADE BCF -中，ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，CDEF 是矩形，1ED =，且平面CDEF ⊥平面ABCD ，P 点在线段BC 上移动（P 不与C 重合），H 是AE 的中点.
（1）当四面体EDPC 的外接球的表面积为5π时，证明：//HB .平面EDP
（2）当四面体EDPC 的体积最大时，求平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）78
【解析】 【分析】
（1）由题意，先求得P 为BC 的中点，再证明平面//HMB 平面EDP ，进而可得结论；
（2）由题意，当点P 位于点B 时，四面体EDPC 的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可. 【详解】
（1）证明：当四面体EDPC 的外接球的表面积为5π时. 5
. 因为ABCD 时边长为2的菱形，CDEF 是矩形.
1ED =，且平面CDEF ⊥平面ABCD .
则ED ABCD ⊥平面，5EC =
则EC 为四面体EDPC 外接球的直径. 所以90EPC ∠=︒，即CB EP ⊥.
记AD 的中点为M ，连接MH ，MB
.
则MB DP P ，MH DE P ，DE DP D ⋂=，所以平面//HMB 平面EDP .
因为HB ⊂平面HMB ，所以//HB 平面EDP .
（2）由题意，ED ⊥平面ABCD ，则三棱锥E DPC -的高不变.
当四面体EDPC 的体积最大时，DPC △的面积最大.
所以当点P 位于点B 时，四面体EDPC 的体积最大.
以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -
.
则()0,0,0D ，()0,0,1E ，)
3,1,0B ，311,22H ⎫-⎪⎝⎭，()0,2,0C . 所以)3,1,0DB =u u u r ，311,22DH ⎫=-⎪⎝
⎭u u u u r ，()0,2,1EC =-u u u r ，)
3,1,1EB =-u u u r . 设平面HDB 的法向量为()111,,m x y z =u r . 则1111130,3110,22DB m x y DH m x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
u u u v v u u u u v v 令11x =，得(1,3,23=--u u r m . 设平面EBC 的一个法向量为()222,,n x y z =r . 则2222220,30,
EC n y z EB n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u v v u u u v v 令23y =，得)
3,3,6n =r . 设平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角是ϕ，则7cos 8
ϕ⋅==u u r r u u r r m n m n . 所以当四面体EDPC 的体积最大时，平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角的余弦值为78
.
【点睛】
本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题．
18．在ABC V 中，A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，已知2a =，23c =，1cos 2C =-. （1）求A ；
（2）设M 为BC 中点，求AM 的长.
【答案】（1）30o ；（2）7.
【解析】
【分析】
（1）直接根据特殊角的三角函数值求出C ，结合正弦定理求出A ；
（2）结合第一问的结论以及余弦定理即可求解． 【详解】
解：（1）∵1cos 2C =-，且0C π<<，∴120C =︒，由正弦定理sin sin c a A A
= 223sin A =，∴1sin 2A =， ∵120C =︒
∴A 锐角，∴30A =︒
（2）∵30A =︒，120C =︒
∴30B =︒
∴2b a ==
∴在AMC V 中，由余弦定理得2222cos AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅
1142212⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭
7=
∴7AM =
【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．
19．设函数()222ln ()f x x x a x a R =-+∈.
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点,m n ，求证：
()()41f m f n mn m n
->--. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】 （Ⅰ）求导得到2222()x x a f x x
-+'=，讨论14a ≥，104a <<，0a ≤三种情况得到单调区间. （Ⅱ）设m n >，要证
()()41f m f n mn m n
->--，即证()()(4-1)()f m f n mn m n ->-，1,m n mn a +==，设1()ln ln(1)42(1)2g m m m m m =---+<<，根据函数单调性得到证明. 【详解】
（Ⅰ） 22222()22a x x a f x x x x
-+'=-+=(0)x >， 令2
()222g x x x a =-+，4(14)a ∆=-， （1）当0∆≤，即14
a ≥
时，()0g x ≥，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当>0∆，即14a <时，设()0g x =的两根为12,x x （12x x <），
12x x ==， ①若104
a <<，120x x <<，12(0,)(,)x x x ∈+∞U 时，()0f x '>， 所以()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递增，
12(,)x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在12(,)x x 上单调递减，
②若0a ≤，120x x ≤<，2(0,)x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在2(0,)x 上单调递减， 2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在2(,)x +∞上单调递增. 综上，当14a ≥
时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；
当104a <<时， ()f x 在和)+∞上单调递增，
在上单调递减；
当0a ≤时，()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增.
（Ⅱ）不妨设m n >，要证()()41f m f n mn m n ->--， 即证()()(4-1)()f m f n mn m n ->-，
即证()()(4-1)()0f m f n mn m n --->，
由（Ⅰ）可知，1,m n mn a +==，104
a <<，可得1012n m <<<<， ()()()()2()2(ln ln )f m f n m n m n m n a m n -=-+--+-，
所以有()()(41)()2[ln ln(1)42]f m f n mn m n a m m m ----=---+，
令1()ln ln(1)42(1)2
g m m m m m =---+<<， 22
11441(21)()401(1)(1)
m m m g m m m m m m m -+-'=+-==>---， 所以()g m 在1(,1)2
单调递增， 所以1
()()02g m g >=，
因为104a <<，所以2[ln ln(1)42]0a m m m ---+>，所以()()41f m f n mn m n ->--. 【点睛】
本题考查了函数单调性，证明不等式，意在考查学生的分类讨论能力和计算能力.
20．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且12PF F △的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q ，直线2,AP QF 交于点M .
（1）求椭圆方程；
（2）若直线2PF 与椭圆交于另一点N ，且224AF M AF N S S =△△，求点P 的坐标.
【答案】（1）22
143x y +=；（2）135,24⎛ ⎝⎭或135,24⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 【解析】
【分析】
（1）根据12PF F △的周长为22a c +，结合离心率，求出,a c ，即可求出方程；
（2）设(,)P m n ，则(,)Q m n --，求出直线AM 方程，若2QF 斜率不存在，求出,,M P N 坐标，直接验
证是否满足题意，若2QF 斜率存在，求出其方程，与直线AM 方程联立，求出点M 坐标，根据224AF M AF N S S =△△和2,,P F N 三点共线，将点N 坐标用,m n 表示，,P N 坐标代入椭圆方程，即可求解.
【详解】
（1）因为椭圆的离心率为12
，12PF F △的周长为6， 设椭圆的焦距为2c ，则222226,1,2,a c c a b c a +=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩
解得2a =，1c =
，b = 所以椭圆方程为22
143
x y +=. （2）设(,)P m n ，则22
143
m n +=，且(,)Q m n --， 所以AP 的方程为(2)2
n y x m =++①. 若1m =-，则2QF 的方程为1x =②，由对称性不妨令点P 在x 轴上方， 则31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立①，②解得1,9,2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即91,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 2PF 的方程为3
(1)4
y x =--，代入椭圆方程得 2293(1)124
x x +-=，整理得276130x x --=， 1x =-或137x =，139,714N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭. 222219|227419|21||4
AF M AF N AF S S AF ⨯⨯==≠⨯⨯△△，不符合条件. 若1m ≠-，则2QF 的方程为(1)1
n y x m -=---， 即(1)1
n y x m =-+③. 联立①，③可解得34,3,x m y n =+⎧⎨=⎩
所以(34,3)M m n +. 因为224AF M AF N S S =△△，设(,)N N N x y
所以2211|42|||2M N AF y AF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，即4M
N y y =.
又因为,M N 位于x 轴异侧，所以34
N n y =-. 因为2,,P F N 三点共线，即2F P uuu u r 应与2F N u u u u r 共线， 223(1,),(1,)4
N n F P m n F N x =-=--u u u u r u u u u r 所以()31(1)4N n n x m -=--，即734
N m x -=， 所以22
73344143m n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又22143m n +=， 所以2
272839m m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得12m =，所以354n =±， 所以点P 的坐标为135,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或135,24⎛⎫- ⎪⎝
⎭. 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.
21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AB BB ⊥，1AC BC BB ==，D 为AB 的中点，且1CD DA ⊥.
（1）求证：1BB ⊥平面ABC ；
（2）求锐二面角11C DA C --的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
155
. 【解析】
【分析】 （1）证明CD AB ⊥后可得CD ⊥平面11BB A A ，从而得1CD BB ⊥，结合已知得线面垂直； （2）以C 为坐标原点，以CB 为x 轴，1CC 为y 轴，CA 为z 建立空间直角坐标系，设12CC =，写出各
点坐标，求出二面角的面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值．
【详解】
（1）证明：因为AC BC =，D 为BC 中点，
所以CD AB ⊥，又1CD DA ⊥，1AB A D D =I ，
所以CD ⊥平面11AA B B ，又1BB ⊂平面11AA B B ，
所以1CD B B ⊥，又1B B AB ⊥，AB CD D =I ，
所以1B B ⊥平面ABC .
（2）由已知及（1）可知CB ，1CC ，CA 两两垂直，所以以C 为坐标原点，以CB 为x 轴，1CC 为y 轴，CA 为z 建立空间直角坐标系，设12CC =，则
()0,0,0C ，()2,0,0B ，()0,0,2A ，()10,2,0C ，()10,2,2A ，()1,0,1D .
设平面1DCA 的法向量()1111,,n x y z =u r ，则
11100
n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，即11110220x z y z +=⎧⎨+=⎩，令11z =-，则()11,1,1n =-u r ； 设平面11DC A 的法向量()2222,,n x y z =u u r ，则
2121100
n C D n C A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u u v u u v u u u u v ，即22222020x y z z -+=⎧⎨=⎩，令21y =，则()22,1,0n =u u r ，
所以121212
s ,5c o n n n n n n ==⋅=u r u u r u r u u r u r u u r . 故锐二面角11C DA C --
的余弦值为
5. 【点睛】
本题考查证明线面垂直，解题时注意 线面垂直与线线垂直的相互转化．考查求二面角，求空间角一般是建立空间直角坐标系，用向量法易得结论．
22．设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11a =，若1a ，2a ，5a 成等比数列． （1）求n a 及n S ；
（2）设211
(*)1n n b n N a +=∈-，设数列{}n b 的前n 项和n T ，证明：14n T <． 【答案】（1）21n a n =-，2n S n =；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题中条件求出等差数列{}n a 的首项和公差，然后根据首项和公差即可求出数列{}n a 的通项和前n 项和；
（2）根据裂项求和求出n T ，根据n T 的表达式即可证明14n T <. 【详解】 （1）设{}n a 的公差为d
， 由题意有122151a a a a =⎧⎨=⋅⎩()121
111(4)a a d a a d =⎧⎪⇒⎨+=⋅+⎪⎩， 且0d ≠112
a d =⎧⇒⎨=⎩， 所以()12121n a n n =+-=-，
()122
n n n a a S n +==； （2）因为()211
111114141n n b a n n n n +⎛⎫===- ⎪-++⎝⎭
， 所以1111111...42231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()111111414414
n T n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查了等差数列基本量的求解，裂项求和法，属于基础题.
23．如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，∠ABD=30°，AB ＝2CD ＝2AD ＝2，DE ⊥平面ABCD ，EF//BD ，且BD ＝2EF ．
（Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面BDEF ；
（Ⅱ）若二面角C -BF -D 的大小为60°，求CF 与平面ABCD 所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）3311
【解析】 分析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE ⊥平面BDEF ；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求CF 与平面ABCD 所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角，放在三角形当中来求解.
详解：（Ⅰ）在△ABD 中，∠ABD ＝30°，由AO 2＝AB 2+BD 2－2AB·BDcos30°，
解得BD ＝，所以AB 2+BD 2=AB 2，根据勾股定理得∠ADB ＝90°
∴AD ⊥BD. 又因为DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥DE.
又因为BD I DE ＝D ，所以AD ⊥平面BDEF ，又AD 平面ABCD ，
∴平面ADE ⊥平面BDEF ，
（Ⅱ）方法一：
如图，由已知可得90ADB ∠=o ，30ABD ∠=o ，则 30BDC ∠=o ，则三角形BCD 为锐角为30°
的等腰三角形. 1,CD CB == 则12CG =. 过点C 做//CH DA ，交DB 、AB 于点G ，H ，则点G 为点F 在面ABCD 上的投影.连接FG ，则
CG BD ⊥，DE ⊥平面ABCD ，则CG ⊥平面BDEF .
过G 做GI BF ⊥于点I ，则BF ⊥平面GCI ，即角GCI 为
二面角C -BF -D 的平面角，则=GCI ∠60°
. 则tan60CG CI o
=，12CG =，则23GI =在直角梯形BDEF 中，G 为BD 中点，3BD =GI BF ⊥，23GI =
设DE x = ，则GF x =，1122BGF S BG GF BF GI ∆=⋅⋅=⋅⋅，则6DE =. 6tan 4FG FCG GC ∠==，则33sin 11FCG ∠=，即CF 与平面ABCD 所成角的正弦值为3311
．
（Ⅱ）方法二：
可知DA 、DB 、DE 两两垂直，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
D-xyz.
设DE ＝h ，则D(0，0，0)，B(0，
，0)，C(－，－，h). ，. 设平面BCF 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，
则00m BC m BF u u u v v u u u v v ⎧⋅=⎨⋅=⎩所以30.502302x y y hz ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩取x=，所以m ＝(，-1，－)，
取平面BDEF 的法向量为n ＝(1，0，0)， 由cos cos60m n m n m n ⋅==⋅o v v v v v v ，，解得68h =，则68
DE =， 又,则22CF =，设CF 与平面ABCD 所成角为α， 则sin 62233=. 故直线CF 与平面ABCD 所成角的正弦值为
3311 点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法.。