北师大数学必修二新素养应用案巩固提升：第一章661 垂直关系的判定 含解析

§6 垂直关系 6．1 垂直关系的判定
1．直线与平面垂直的判定
(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直
⎭
⎪⎬⎪
⎫l ⊥a l ⊥b a ∩b ＝A a
α，b
α⇒l ⊥α (1)二面角及其平面角
①半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．
③二面角的记法
以直线AB 为棱，半平面α、β为面的二面角，如图，记作：二面角α-AB -β．
④二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．
⑤直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角． (2)平面与平面的垂直
①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②画法：把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直(如图)，
记作：
α⊥β．
③两个平面互相垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果一个平面经过另一个平面的一条垂
线，那么这两个平面互相垂直
⎭
⎬⎫a ⊥βa
α⇒α⊥β
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面．(
) (2)如果一条直线不垂直于一个平面，那么这条直线不垂直于这个平面内的任意直线．( )
(3)两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×
2．直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线l 与平面α的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．在平面α内 D ．无法确定
答案：D
3．已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面(如图)，则图中互相垂直的平面有( )
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．5对
解析：选D.因为DA ⊥AB ，DA ⊥P A ，所以DA ⊥平面P AB ，同理BC ⊥平面P AB ，又AB ⊥平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD ，所以平面P AD ⊥平面AC ，平面P AB ⊥平面AC ，平面PBC ⊥平面P AB ，平面P AB ⊥平面P AD ，平面PDC ⊥平面P AD ，共5对．故选D.
4．如图P 是二面角α-l -β内的点，P A ⊥α，PB ⊥β，垂足分别为A ，B .若∠APB ＝80°，则二面角α-l ­β的大小为________．
答案：100°
1．对直线与平面垂直的判定定理的三点说明
(1)定理可表述为“线线垂直，则线面垂直”．
(2)“两条相交直线”是关键词，一定不要忽视这个条件，否则将导致结论错误．即“线不在多，相交就行”．
(3)要证一条直线与一个平面垂直，只需在平面内找到两条相交直线都和该直线垂直即可，不必找所有的直线，至于这两条相交直线与已知直线是否有公共点无关紧要．2．对面面垂直的判定定理的两点说明
(1)定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”，因此要证明平面与平面垂直，只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线，即证“线面垂直”．
(2)两个平面垂直的判定定理，不仅仅是判定两个平面垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．
直线与平面垂直的判定
如图，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
[证明](1)因为AB为⊙O的直径，
所以AM⊥BM.
又P A⊥平面ABM，所以P A⊥BM.
又因为P A∩AM＝A，所以BM⊥平面P AM.
又AN平面P AM，所以BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB平面PBM，所以AN⊥PB.
又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.
又NQ平面ANQ，所以PB⊥NQ.
(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的“三个步骤”
①寻找：在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直．
②确定：确定这个平面内的两条直线是相交的直线．
③判定：根据判定定理得出结论．
(2)线面垂直的三种判定方法
①用定义：证明l和平面α内任意一条直线都垂直．
②用定理：证明l与平面α内“两条相交”的直线都垂直，即线线垂直⇒线面垂直．
③用推论：若m⊥α，证明l∥m，即可知l⊥α.
1.
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，
所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，
因为SD ∩AC ＝D ，所以BD ⊥平面SAC .
平面与平面垂直的判定
如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点．
(1)求证：DE ＝DA ；
(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA . [证明] (1)取EC 的中点F ，连接DF .
因为CE ⊥平面ABC ，
所以CE ⊥BC .易知DF ∥BC ，所以CE ⊥DF . 因为BD ∥CE ， 所以BD ⊥平面ABC . 在Rt △EFD 和Rt △DBA 中， EF ＝1
2CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ，
所以Rt △EFD ≌Rt △DBA . 故DE ＝DA .
(2)取AC 的中点N ，连接MN ，BN ，则MN ═∥CF . 因为BD ═∥CF ，所以MN ═
∥BD ，所以N ∈平面BDM . 因为EC ⊥平面ABC ，所以EC ⊥BN .又因为AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，所以BN ⊥平面ECA . 又因为BN
平面BDM ，所以平面BDM ⊥平面ECA .
若本例条件不变，如何证明平面DEA⊥平面ECA呢？
证明：因为DM∥BN，BN⊥平面ECA.所以DM⊥平面ECA.
又因为DM平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.
证明面面垂直的三种方法
(1)定义法．
(2)判定定理法：在一个平面内找(或作)出一条直线，再证明该直线与另一个平面垂直．
(3)利用结论：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．
2.(1)空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()
A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC
(2)
如图，四边形ABCD是菱形，P A⊥平面ABCD.
求证：平面PBD⊥平面P AC.
解：(1)选D.因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，
所以AD⊥平面BCD.
又因为AD平面ADC，
所以平面ADC⊥平面DBC.
(2)证明：因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC.
因为P A⊥底面ABCD，BD平面ABCD，
所以P A⊥BD.又P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC.
又因为BD平面PBD，所以平面PBD⊥平面P AC.
二面角的求解问题
已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，求二面角C1­BD­C的正切值．[解]如图，连接AC，与BD相交于点O，连接OC1.
由于ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，即OC⊥BD.
又因为C1B＝C1D，且O是BD的中点，所以C1O⊥BD.
因此∠C1OC就是二面角C1­BD­C的平面角．
在Rt△C1CO中，tan∠C1OC＝C1C
OC，
而C1C＝a，OC＝2
2a，
所以tan∠C1OC＝ 2.
求二面角平面角的常用方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
(3)垂线法：过二面角的一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通用于求二面角的所有题目，具体步骤为：一找，二证，三求．
3.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面P AC，求二面角P­AC­D的大小．
解：(1)证明：连接BD，设AC交BD于O，连接SO.由题意知SO⊥AC.在正方形ABCD 中，AC⊥BD，又SO∩BD＝O，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD.
(2)设正方形边长为a，则SD＝2a，又OD＝
2
2a，所以∠SDO＝60°.连接OP，由(1)
知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角．由SD⊥平面P AC，知SD⊥OP，所以∠POD＝30°，
即二面角P-AC-D的大小为30°.
易错警示对定理理解不透彻致误
设α，β为不重合的两个平面，给出下列说法：
①若α内的两条相交直线分别平行于平面β，则α平行于β；
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
④直线l与平面α垂直的条件是l与α内的两条直线垂直．
上面说法中正确的序号是______(写出所有的正确的序号)．
[解析]①平面α内的两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，正确．
②平面α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l平行于α，正确．
③如图所示，α∩β＝l，aα，a⊥l，但不一定有α⊥β，错误．
④直线l与α垂直的条件是l与α内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故错误．
综上所述，正确说法的序号为①②.
[答案]①②
本题易错选③④，错选③是由a⊥l，aα错误得出a垂直于平面β；错选④是忽视了“相交直线”这一前提条件．一些常见的定理要认真领会，抓住关键字或词，一些判断项中
往往不是直接考查的定理而是对定理的拓展，故要仔细分析、推导，以防出错．
1．如图，在立体图形D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是()
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
C．平面ABD⊥平面BDC
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析：选B.由AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，可得DE⊥AC，BE⊥AC，AC⊥平面BED，从而经过AC的面都与平面BED垂直．
2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
解析：选C.由于OA⊥OB，OA⊥OC，且OB∩OC＝O，所以OA⊥平面OBC.
3.
如图，P是二面角α-l-β的交线l上一定点，P A⊂α，PB⊂β，且P A⊥l，PB⊥l，∠BP A＝120°，若点C是半平面α上任意一点，则∠BPC的范围为()
A．(0°，120°)B．(0°，90°)
C．(90°，120°] D．[90°，120°]
解析：选D.当PC与l重合时，∠BPC＝90°，当PC与P A重合时，∠BPC＝120°.故∠BPC 的范围为[90°，120°]．
4.
如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，E 为BC 的中点，把△ABE 和△CDE 沿AE 、DE 折起，使点B 与点C 重合于点P .求证：平面PED ⊥平面P AD .
证明：由矩形ABCD 知折起前AB ⊥BE ， 所以折起后AP ⊥PE ，同理PD ⊥PE ， 因为PD ∩P A ＝P ，所以PE ⊥平面P AD ， 因为PE
平面PED ，
所以平面PED ⊥平面P AD .
, [学生用书P101(单独成册)])
[A 基础达标]
1．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( ) A ．垂直 B ．斜交 C ．平行
D ．不能确定
解析：选A.梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知选项A 正确． 2．以下命题正确的是( )
①
⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α；③
⎭⎪⎬⎪
⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α. A ．① B ．①③ C ．②③
D ．①②
解析：选A.①由线面垂直的判定定理可知结论正确；②中b ，α的关系可以线面平行或直线在平面内；③中直线可以与平面平行，相交或直线在平面内．
3．如图，α∩β＝l ，点A ，C ∈α，点B ∈β，且BA ⊥α，BC ⊥β，那么直线l 与直线AC 的关系是( )
A ．异面
B ．平行
C ．垂直
D ．不确定 解析：选C.因为BA ⊥α，α∩β＝l ，l
α，所以BA ⊥l .
同理BC ⊥l .又BA ∩BC ＝B ，所以l ⊥平面ABC .因为AC
平面ABC ，所以l ⊥AC .
4．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝23，CC 1＝2，则二面角C 1­BD ­C 的大小为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
解析：选A.
如图，连接AC 交BD 于O ，连接C 1O .因为AB ＝AD ，所以底面为正方形，所以AC ⊥BD . 又因为BC ＝CD ，
所以C 1D ＝C 1B ，O 为BD 的中点，所以C 1O ⊥BD .
所以∠C 1OC 就是二面角C 1­BD ­C 的平面角．
则在△C 1OC 中，CC 1＝2，
CO ＝12（23）2＋（23）2＝6，
tan ∠C 1OC ＝CC 1CO ＝26＝33
， 所以∠C 1OC ＝30°.
5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )
A ．线段
B 1C
B ．线段B
C 1
C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段
D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段
解析：选A.如图，由于BD 1⊥平面AB 1C ，故点P 一定位于B 1C 上．
6．已知P A 垂直于▱ABCD 所在平面，若PC ⊥BD ，则▱ABCD 的形状是________．
解析：因为P A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以P A⊥BD.又因为PC⊥BD，P A∩PC＝P，所以BD⊥平面P AC，所以BD⊥AC，所以▱ABCD一定是菱形．
答案：菱形
7.
如图，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．
解析：因为EA⊥α，CDα，
根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.
同样，因为EB⊥β，CDβ，则有EB⊥CD.
又EA∩EB＝E，
所以CD⊥平面AEB.
又因为AB平面AEB，所以CD⊥AB.
答案：CD⊥AB
8．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么给出下面四个结论：
①AH⊥平面EFH；②AG⊥平面EFH；③HF⊥平面AEF；④HG⊥平面AEF.
其中正确命题的序号是________．
解析：在这个空间图形中，AH⊥HF，AH⊥HE，HF∩HE＝H，所以AH⊥平面EFH.
答案：①
9.
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C1.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
证明：(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC.
因为EF⊆/平面ABC，BC平面ABC.
所以EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.
又A1D平面A1B1C1，
故CC1⊥A1D.
又因为A1D⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，
故A1D⊥平面BB1C1C，
又A1D平面A1FD，
所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
10．在△ABC中，∠BAC＝60°，P是△ABC所在平面外一点，P A＝PB＝PC，∠APB ＝∠APC＝90°.
(1)求证：PB⊥平面P AC；
(2)若H是△ABC的重心，求证：PH⊥平面ABC.
证明：(1)如图，由题设易得AB＝AC，
因为∠BAC＝60°，
所以△ABC为等边三角形，所以AB＝BC.
因为P A＝PB＝PC，
所以△P AB≌△PBC，
所以∠BPC＝∠APB＝90°，即PB⊥PC.
又PB⊥P A，P A∩PC＝P，
所以PB⊥平面P AC.
(2)取BC的中点D，连接AD，PD，因为PB＝PC，所以PD⊥BC.
同理可得AD⊥BC，PD∩AD＝D，
所以BC⊥平面P AD.
因为AD是△ABC的边BC上的中线，
所以△ABC的重心H在AD上，
所以BC⊥PH，同理可得AB⊥PH.
又AB∩BC＝B，所以PH⊥平面ABC.
[B能力提升]
11．已知三条相交于一点的线段P A、PB、PC两两垂直，且A、B、C在同一平面内，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于点H，则垂足H是△ABC的()
A．外心B．内心
C．垂心D．重心
解析：选C.易证AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB，故点H为△ABC的垂心．
12.
如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，P A⊥平面AC，且P A＝1，若BC 边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．
解析：因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥QD.
若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，
则有QD⊥平面P AQ，从而QD⊥AQ.
在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.
所以当a ≥2时，才存在点Q ，使得PQ ⊥QD .所以a 的最小值为2.
答案：2 13.
已知三棱锥P -ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝4，AB ＝20.D 为AB 的中点，且△PDB 为等边三角形，P A ⊥PC .
(1)求证：平面P AC ⊥平面ABC ；
(2)求二面角D -AP -C 的正弦值．
解：(1)证明：在Rt △ACB 中，D 是斜边AB 的中点，
所以BD ＝DA .
因为△PDB 是等边三角形，
所以BD ＝DP ＝BP ，则BD ＝DA ＝DP ，
因此△APB 为直角三角形，即P A ⊥BP .
又P A ⊥PC ，PC ∩BP ＝P ，
所以P A ⊥平面PCB .
因为BC 平面PCB ，所以P A ⊥BC .
又AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，
所以BC ⊥平面P AC .
因为BC 平面ABC ，
所以平面P AC ⊥平面ABC .
(2)由(1)知P A ⊥PB 及已知P A ⊥PC ，
故∠BPC 即为二面角D -AP -C 的平面角．
由(1)知BC ⊥平面P AC ，则BC ⊥PC .
在Rt △BPC 中，BC ＝4，BP ＝BD ＝10，
所以sin ∠BPC ＝BC BP ＝410＝25
，
即二面角D-AP-C的正弦值为2
5.
14．(选做题)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F 为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC.
又因为D E平面A1CB，BC平面A1CB，
所以DE∥平面A1CB.
(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC.
因为DE⊥A1D，DE⊥CD，
所以DE⊥平面A1DC.
而A1F平面A1DC，
所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD，
所以A1F⊥平面BCDE.
所以A1F⊥BE.
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.
理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，
则PQ∥BC.
又因为DE∥BC，
所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由第二问知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.
所以A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。