人教版高数必修五第4讲：等差数列的概念、性质(学生版)

等差数列的概念、性质
教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系； 教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。

1. 等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于___________，那么这个数列就叫做___________，这个常数叫做等差数列的______，公差通常用字母d 来表示。

用递推关系系表示为_________________
或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式
若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则________________
3. 等差中项
如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项
4. 通项公式的变形
对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有：
()11p a a p d =+-
()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>=
5. 等差数列与函数的关系
由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。

6. 等差数列的性质及应用
（1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+=
（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数）
（3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数）
（4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数）
（5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈
（6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列
（7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列
类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解
例1.数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n =
A.672
B.673
C.662
D.663 练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n =
A.669
B.673
C.662
D.663 练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n =
A.669
B.668
C.662
D.663 例2.一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（）
A.-2
B.-3
C.-4
D.-6 练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（）
A.-2
B.-3
C.-4
D.-5 练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 例3.已知数列{}n a 满足1111,1,4n n a a a +==-
其中n N +∈设221n n b a =- （1） 求证：数列{}n b 是等差数列
（2） 求数列{}n a 的通项公式
练习5.已知数列{}n a 满足()1114,21n n n a a a n a --==
≥+令1n n
b a = （1） 求证：数列{}n b 是等差数列
（2） 求数列{}n b 与{}n a 的通项公式
练习6.在等差数列{}n a 中，已知581,2,a a =-= 求1,a d
例4.已知数列8,,2,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________
练习7. 已知数列8,,2,,a b 是等差数列，则,a b 的值分别为____________
练习8. 已知数列2,,8,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________
类型二：等差数列的性质及与函数的关系
例5.等差数列{}n a 中，已知100110142015a a +=，则12014a a +=（）
A.2014
B.2015
C.2013
D.2016
练习9.在等差数列{}n a 中，若4681012120,a a a a a ++++=则10122a a -的值为 （）
A.24
B.22
C.20
D.18
练习10.已知等差数列{}n a 中，1007100812015,1,a a a +==-则2014a = _____
例6.已知数列{}n a 中，220132013,2a a ==且n a 是n 的一次函数，则 2015a =________
练习11.若,,a b c 成等差数列，则二次函数()2
2f x ax bx c =-+的零点个数为（） A.0 B.1 C.2 D.1或2
练习12.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13,a = 公差5d =-，依次取出序号被4除余3的项组成数列{}n b
（1） 求1b 和2b
（2） 求{}n b 的通项公式
（3）
{}n b 中的第503项是{}n a 的第几项
1. 在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( )
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
2. 在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值为( )
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52
3. 如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )
A ．14
B ．21
C ．28
D ．35
4. 已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )
A ．a 1＋a 101>0
B ．a 2＋a 100<0
C ．a 3＋a 100≤0
D ．a 51＝0
5. 等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为( )
A ．30
B ．27
C ．24
D ．21
6. 等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的第( )项( )
A ．60
B ．61
C ．62
D ．63
_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________
基础巩固
1. 在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝( )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
2. 若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( )
A ．24
B ．27
C ．30
D ．33
3. 已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12等于( )
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
4. 等差数列中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝420，则a 2＋a 10等于( )
A ．100
B ．120
C ．140
D ．160
5. 已知a ＝13＋2，b ＝13－2
，则a ，b 的等差中项为( ) A.3 B.2 C.
13 D.12 6. 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.
7. 等差数列{a n }中，公差为12
，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝_______. 8. 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13
a 11的值为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17
9. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________.
10. 等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________． 11. 已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项．
能力提升
12. 等差数列的首项为125
，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( ) A ．d >875 B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤325
13. 设等差数列{a n }中，已知a 1＝13
，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( ) A ．48 B ．49 C ．50 D ．51
14. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1
}是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23
D ．－1 15. 若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2
等于( ) A.32 B.23 C.43 D.34
16. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
17. 等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( )
A ．无实根
B ．有两个相等实根
C ．有两个不等实根
D ．不能确定有无实根
18. 在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( )
A.b －a n
B.a －b n ＋1
C.b －a n ＋1
D.b －a n －1
19. 在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________.
20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________．
21. 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.
22. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝11，a 2＝8.
(1)求a 13的值；
(2)判断－101是不是数列中的项；
(3)从第几项开始出现负数？
(4)在区间(－31,0)中有几项？
23. 已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
24. 已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定． (1)求证：{1x n
}是等差数列； (2)当x 1＝12
时，求x 100的值． 25. 四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，
求此四个数．
26.已知等差数列{a n}中，a2＋a6＋a10＝1，求a3＋a9.
27.在△ABC中，若lgsin A，lgsin B，lgsin C成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，试判断三角形的形状．。