北京市丰台区第十二中学2024届数学高一下期末教学质量检测试题含解析

北京市丰台区第十二中学2024届数学高一下期末教学质量检测
试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．215是（ ） A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
2．若向量()()1,3,3,MN NP m =-=，且//MN NP ，则MP 等于（ ） A ．()1,3
B ．()2,6-
C ．()3,2-
D ．()3,2
3．有穷数列1232015,,,
a a a a 中的每一项都是-1，0，1这三个数中的某一个数，
1232015425a a a a +++⋯+=，且
()
2
11a ++()221a +()()2
2
32015113870a a +++
++=，则有穷数列
1232015,,,
a a a a 中值为0的项数是（ ）
A ．1000
B ．1010
C ．1015
D ．1030
4．直线3490x y --=与圆2
2
4x y +=的位置关系是（ ） A ．相切
B ．相离
C ．相交但不过圆心
D ．相交且过圆心
5．设,m n 是两条不同的直线，αβ，
是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为 ①若αβ⊥，,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥ ②若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则n m ∥ ③若,
,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥
④若,,m n m n αβ⊥∥∥，则αβ⊥ A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．已知集合A ＝｛x
｜0≤x≤3｝，B ＝｛x
R ｜－2＜x ＜2｝则A ∩B =( )
A ．{0,1}
B ．{1}
C ．[0,1]
D ．[0,2)
7．在等差数列{}n a 中，若32a =，64a =，则1a =（ ） A ．
43
B ．1
C ．
23
D ．
13
8．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）. A ．1-
B ．1
C ．3
D ．7
9．下面四个命题：
①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；
③“直线a 、b 为异面直线”的必要不充分条件是“直线a 、b 不相交”；
④“平面α∥平面β”的充分不必要条件是“α内存在不共线的三点到β的距离相等”； 其中正确命题的序号是( ) A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④
10．已知圆C ：()()2
2
24x a y -+-=及直线l ：30x y -+=，当直线l 被C 截得的
弦长为a 等于（ ）
A ．
B ．2
C ．1
D 1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5 ，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 12．函数216
log ()y x x
=+（0x >）的值域是__________. 13．已知函数()arcsin(2)2f x x π
=
+，则13f π-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
______. 14．直线30x y -+=的倾斜角为__________．
15．已知()()24C 13AB A ==，
，，，则AB BC ⋅=________． 16．已知角α的终边上一点P 落在直线2y x =上，则2=sin a ______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．如图，在三棱柱ABC DEF -中，侧面ADFC 是边长为2的正方形，点M 是棱EF 的中点.
（1）证明：//AF 平面BDM .
（2）若三棱锥B DEF -的体积为4，求点B 到平面ADFC 的距离.
18．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 2
2:12
x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足
为N ，点P 满足2NP NM =
.
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线
l 过C 的左焦点F .
19．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.
（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（2）试估计该公司在若干地区各投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入x （单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益y （单位：万元）
2 3
3
7
由表中的数据显示，x 与y 之间存在着线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，
并求出y 关于x 的回归直线方程.（参考公式：1221ˆˆˆn
i i i n
i
i x y nxy b x nx a
y bx ==⎧
-⎪
⎪=⎪⎨-⎪⎪
=-⎪⎩∑∑） 20．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足：对于任意n *∈N ，有()11122122n n n a b a b a b n +++
+=-+.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n b 的通项公式，若在数列{}n b 的两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列{}n c ：n b 和1n b +两项之间插入n 个数，使这2n +个数构成等差数列，求
2017c ；
（3）若不等式16
25n n
p b a ≤-成立的自然数n 恰有3个，求正整数p 的值．
21．已知等差数列{}n a 满足37a =，5726a a +=，其前n 项和为n S . （1）求{}n a 的通项公式及n S ； （2）令1
()n n b n S n
*=
∈-N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求lim n n T →∞的值.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C 【解题分析】
本题首先要明确平面直角坐标系中每一象限所对应的角的范围，然后即可判断出215在哪一象限中． 【题目详解】
第一象限所对应的角为π
2π,
2π2
k k k Z ；
第二象限所对应的角为
π
2π,π2π2
k k k Z ；
第三象限所对应的角为3π
π2π,2π2
k k k Z ；
第四象限所对应的角为
3π
2π,2π2π2
k k k Z ；
因为3π
215π2π,
2π2
k k k
Z ，
所以215位于第三象限，故选C ． 【题目点拨】
本题考查如何判断角所在象限，能否明确每一象限所对应的角的范围是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题． 2、B 【解题分析】
根据坐标形式下向量的平行对应的等量关系，即可计算出m 的值，再根据坐标形式下向量的加法即可求解出MP 的坐标表示. 【题目详解】
因为()()1,3,3,MN NP m =-=且//MN NP ，所以()1330m -⨯-⨯=， 所以9m =-，所以()()()1,33,92,6MN NP MP ==-++-=-. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查根据坐标形式下向量的平行求解参数以及向量加法的坐标运算，难度较易.已知()()1122,,,a x y b x y ==，若//a b 则有12210x y x y -=. 3、B 【解题分析】
把（a 1+1）2+（a 2+1）2+（a 3+1）2+…+（a 2015+1）2＝3870展开，将a 1+a 2+a 3+…+a 2015
＝425，代入化简得：22
2122015a a a ++
+＝1005，由于数列a 1，a 2，a 3，…，a 2015中的
每一项都是﹣1，0，1这三个数中的某一个数，即可得出．
【题目详解】
（a 1+1）2+（a 2+1）2+（a 3+1）2+…+（a 2015+1）2＝3870，
展开可得：22
2122015a a a ++
++2（a 1+a 2+…+a 2015）+2015＝3870，
把a 1+a 2+a 3+…+a 2015＝425，代入化简可得：22
2
122015a a a ++
+＝1005，
∵数列a 1，a 2，a 3，…，a 2015中的每一项都是﹣1，0，1这三个数中的某一个数， ∴有穷数列a 1，a 2，a 3，…，a 2015中值为0的项数等于2015﹣1005＝1． 故选B ． 【题目点拨】
本题考查了乘法公式化简求值、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4、C 【解题分析】 圆心到直线的距离
()9
0,25
d =
=∈， 据此可知直线与圆的位置关系为相交但不过圆心. 本题选择C 选项. 5、A 【解题分析】
根据面面垂直的定义判断①③错误，由面面平行的性质判断②错误，由线面垂直性质、面面垂直的判定定理判定④正确． 【题目详解】
如图正方体1111ABCD A B C D -，
平面ABCD 是平面α，平面11BCC B 是平面β，但两直线BC 与1B C 不垂直，①错； 平面ABCD 是平面α，平面1111D C B A 是平面β，但两直线11B C 与AB 不平行，②错； 直线11A B 是直线m ，直线BC 是直线n ，满足m n ⊥，但平面11A B CD 与平面ABCD 不垂直，③错；
由,m n m α⊥∥得n α⊥，∵n β，过n 作平面γ与平面β交于直线l ，则//n l ，于是l α⊥，∴αβ⊥，④正确． ∴只有一个命题正确． 故选A ．
【题目点拨】
本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系．对一个命题不正确，可只举一例说明即可．对正确的命题一般需要证明． 6、A 【解题分析】
可解出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【题目详解】
A ＝{0，1，2，3}，
B ＝{x ∈R|﹣2＜x ＜2}； ∴A∩B ＝{0，1}． 故选：A ． 【题目点拨】
本题考查交集的运算，是基础题，注意A 中x .
7、C 【解题分析】
运用等差数列的性质求得公差d ，再运用通项公式解得首项即可． 【题目详解】 由题意知634226333a a d --===-，所以1342
2233
a a d =-=-=. 故选C. 【题目点拨】
本题考查等差数列的通项公式的运用，等差数列的性质，考查运算能力，属于基础题． 8、B 【解题分析】
利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出20a ． 【题目详解】 解：
{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，
13533105a a a a ∴++==，2464399a a a a ++==，
335a ∴=，433a =，4333352d a a =-=-=-， 13235439a a d =-=+=， 20139391921a a d ∴=+=-⨯=．
故选：B 【题目点拨】
本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 9、B 【解题分析】 逐项分析见详解. 【题目详解】
① “a 平行于b 所在的平面”不能推出 “直线a ∥直线b ”，如：正方体上底面一条对角线平行于下底面，但上底面的一条对角线却不平行于下底面非对应位置的另一条对角线，故错误；
②“直线l ⊥平面α内所有直线”是“l ⊥平面α”的定义，故正确；
③“直线a 、b 不相交”不能推出“直线a 、b 为异面直线”，这里可能平行；“直线a 、b 为异面直线”可以推出“直线a 、b 不相交”，所以是必要不充分条件，故正确； ④“α内存在不共线的三点到β的距离相等”不能推出“平面α∥平面β”，这里包含了平面相交的情况，“平面α∥平面β”能推出“α内存在不共线的三点到β的距离相等”，所以是必要不充分条件，故错误. 故选B. 【题目点拨】
本题考查空间中平行与垂直关系的判断，难度一般.对可以利用判定定理和性质定理直接分析的问题，可直接判断；若无法直接判断的问题可采用作图法或者排除法判断. 10、C 【解题分析】
求出圆心到直线的距离，由垂径定理计算弦长可解得a ． 【题目详解】
由题意，圆心为(,2)C a ，半径为2，圆心C 到直线的距离为d =
=
所以2222+=，解得1a =-±
故选：C. 【题目点拨】
本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法由垂径定理得垂直，由勾股定理列式计算．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、50π 【解题分析】
利用长方体的体对角线是长方体外接球的直径,求出球的半径，从而可得结果. 【题目详解】
本题主要考查空间几何体的表面积与体积． 长方体的体对角线是长方体外接球的直径, 设球的半径为R ，则2
2
2
2
(2)34550R =++=,
可得2
R =
，球的表面积2450R ππ= 故答案为50π. 【题目点拨】
本题主要考查长方体与球的几何性质，以及球的表面积公式，属于基础题. 12、[
)3,+∞ 【解题分析】
由0x >，根据基本不等式即可得出16
8x x
+，然后根据对数函数的单调性即可得出216
()3log x x
+
，即求出原函数的值域． 【题目详解】 解：
0x ，
∴168x x +
≥当且仅当16x x
=，4x =时取等号， ∴221683log x log x ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭；
∴原函数的值域是[)3,+∞．
故答案为：[
)3,+∞． 【题目点拨】
考查函数的值域的定义及求法，基本不等式的应用，以及对数函数的单调性，增函数的定义． 13、14
-
【解题分析】 根据题意令f （x ）＝3π，求出x 的值，即可得出f ﹣1（3
π
）的值． 【题目详解】
令f （x ）＝2π+arcsin （2x ）＝3π，得arcsin （2x ）＝﹣6π
，∴2x ＝﹣12
，
解得x ＝﹣14，∴f ﹣1（3π
）＝﹣14
．
故答案为：﹣1
4
．
【题目点拨】
本题考查了反函数以及反正弦函数的应用问题，属于基础题． 14、
4
π 【解题分析】
试题分析：由直线方程可知斜率1tan 14
k π
αα=∴=∴=
考点：直线倾斜角与斜率 15、6- 【解题分析】
利用向量内积的坐标运算以及向量模的坐标表示，准确运算，即可求解． 【题目详解】
由题意，向量()()24C 13AB A ==，，，，
则214314AB AC ⋅=⨯+⨯=，2
222420AB =+=，
所以()
2
14206AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=-． 故答案为6- 【题目点拨】
本题主要考查了向量内积的坐标运算，以及向量模的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 16、
4
5
【解题分析】
由于角α的终边上一点P 落在直线2y x =上，可得tan 2α=，根据二倍角公式以及三角函数基本关系，可得22tan sin 2tan 1ααα=
+，代入tan 2α=，可求得结果. 【题目详解】
因为角α的终边上一点P 落在直线2y x =上，所以tan 2y x
α==， 2222sin cos 2sin cos 2tan 4sin 21sin cos tan 15
ααααααααα∴====++. 故答案为：45
【题目点拨】
本题考查同角三角函数的基本关系，巧用“1”是解决本题的关键.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析（2）6
【解题分析】
（1）由平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行可判定
//AF 平面BDM ；
（2）由三棱锥B DEF -的体积为4，可知四棱锥B ADFC -的体积，再由三棱锥的体积公式即可求得高．
【题目详解】
（1）证明：连接AE ，与BD 交于点N ，连接MN .
因为侧面ABED 是平行四边形，所以点N 是AE 的中点.
因为点M 是棱EF 的中点，所以//MN AF .
因为AF ⊄平面BDM ，MN ⊂平面BDM ，所以//AF 平面BDM .
（2）解：因为三棱锥B DEF -的体积为4，所以三棱柱ABC DEF -的体积为12， 则四棱锥B ADFC -的体积为1248-=.
因为侧面ADFC 是边长为2的正方形，
所以侧面ADFC 的面积为224⨯=.
设点B 到平面ADFC 的距离为h ，则1483h ⨯=，解得6h =.
故点B 到平面ADFC 的距离为6.
【题目点拨】
本题考查直线平行平面的判定和用三棱锥体积公式求点到平面的距离．
18、（1）222x y +=；（2）见解析.
【解题分析】
试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点
问题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ⋅=，先设 P （m ，n ），则需证330m tn +-=，
即根据条件1OP PQ ⋅=可得2231m m tn n --+-=，而222m n +=，代入即得330m tn +-=.
试题解析：解：（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP (x ,),MN 0,x y y =-=（）
由NP 2NM =得0002
x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22
x 122
y +=. 因此点P 的轨迹为22
2x y +=.
由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则 OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---⋅=+-，，，，，
OP m n PQ 3m t n ==---，，（，）
. 由OP PQ 1⋅=得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0.
所以OQ PF 0⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.
点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
19、（1）2；（2）5；（3）空白栏中填5， 1.20.2y x =+
【解题分析】
（1）根据频率等于小长方形的面积以及频率和为1，得到关于m 的等式，求解出m 即可；
（2）根据各组数据的组中值与频率的乘积之和得到对应的销售收益的平均值； （3）先填写空白栏数据，然后根据所给数据计算出,b a ，即可求解出回归直线方程.
【题目详解】
（1）设各小长方形的宽度为m .
由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知
()0.080.10.140.120.040.020.51m m ++++=⋅+=，
解得2m =.故图中各小长方形的宽度为2.
（2）由（1）知各小组依次是[)[)[)[)[)[]0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12，
其中点分别为1,3,5,7,9,11对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04 故可估计平均值为10.1630.250.2870.2490.08110.045⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由（2）可知空白栏中填5. 由题意可知12345232573, 3.855
x y ++++++++====， 51122332455769i
i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，52223221
1234555i i x ==++++=∑， 根据公式，可求得26953 3.812 1.2555310
ˆb -⨯⨯===-⨯， 3.8 1.230ˆ.2a =-⨯=. 所以所求的回归直线方程为 1.20.2y x =+.
【题目点拨】
本题考查频率分布直方图的实际应用以及回归直线方程的求法，难度一般.（1）频率分布直方图中，小矩形的面积代表该组数据的频率，所有小矩形面积之和为1；（2）求解回归直线方程时，先求解出b ，然后根据回归直线方程过样本点的中心再求解出a .
20、（1）2n n a =；n b n =，2017409764
c =；（3）3. 【解题分析】
（1）令1n =求出11a =，然后令2n ≥，由22n n S a =-得出1122n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列{}n a 的通
项公式；
（2）令1n =可计算出1b ，再令2n ≥，由
()1112211122n n n n n a b a b a b a b n +--++
++=-+可得出()112211222n n n a b a b a b n --+++=-+，两式相减求出n n a b ，求出n b ，再检验1b 是否满足()2n b n ≥的表达式，由此可得出数列{}n b 的通项公式，求出
1111
n n n b b d n n +-=
=++， 由63646465201722⨯⨯≤<，以及6364201712⨯=+可得出201764164
c b =+的值； （3）化简可得16252n p n ≤-，分类讨论，当1n =、2时，不等式成立，当3n ≥时，4252n n p --≤，利用判断数列4252n n --⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的单调性，得出该数列的最大项，可知4n =满足不等式4252n n p --≤
，且3n =和5n =不满足该不等式，由此可得出实数p 的取值范围，进而求出正整数p 的值.
【题目详解】
（1）对任意的n *∈N ，22n n S a =-.
当1n =时，1122S a =-，解得12a =；
当2n ≥时，由22n n S a =-得出1122n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-， 化简得12n n a a -=，即
1
2n n a a -=，所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，
因此，1222n n n a -=⨯=； （2）对于任意n *∈N ，有()11122122n n n a b a b a b n +++
+=-+. 当1n =时，112a b =，1121b a ∴=
=； 当2n ≥时，由()1112211122n n n n n a b a b a b a b n +--++
++=-+， 可得()112211222n n n a b a b a b n --++
+=-+，
上述两式相减得()()()()112222221222n n n n n n a b n n n n n +⎡⎤=-⋅+--⋅-=---⋅=⋅⎣⎦
，
2n
n n
n b n a ⋅∴==. 11b =适合上式，因此，n b n =.
由于n b 和1n b +两项之间插入n 个数，使得这2n +个数成等差数列，这个数列的公差为
1111
n n n b b d n n +-=
=++. 63646465201722⨯⨯≤<，且6364201712
⨯=+， 所以，20176411409764646464c b =+=+=； （3）由1625n n p b a ≤-，得41252
n p n -≤-. 当1n =、2，该不等式显然成立；
当3n ≥时，250n ->，由1625n n p b a ≤-，得4252n n p --≤，设4252
n n n x --=， ()13433232252325722222
n n n n n n n n n n n x x +-----------=-==， 当3n =时，430x x ->，即43x x >
当4n ≥时，10n n x x +-<，即1n n x x +<，则45n x x x >>
>>. 所以，数列{}n x 的最大项为43x =，又32x =，552x =
. 由题意可中，4n =满足不等式4252n n p --≤，3n =和5n =不满足不等式4252n n p --≤. 3252p p p ⎧⎪≤⎪∴>⎨⎪⎪>⎩
，则532p <≤，因此正整数p 的值为3. 【题目点拨】
本题考查利用n S 求数列{}n a 的通项公式、等差数列定义的应用，同时也考查了数列不等式的求解，涉及数列单调性的应用，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
21、（1）21n a n =+，22n S n n =+；（2）111
n
T n =-+，1lim n n T →∞= 【解题分析】
（1）利用等差数列的通项公式及前n 项的和公式可得答案；
（2）利用“裂项求和”法可得答案.
【题目详解】
解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
由5726a a +=，得613a =，
又6336a a d -==，解得2d =.
所以3(3)72(3)21n a a n d n n =+-=+-=+. 所以21321222
n n a a n S n n n n +++=⨯=⨯=+. （2）由1n n b S n =
-，得21111(1)1n b n n n n n n ===-+++. 设{}n b 的前n 项和为n T ， 则11111111223341n T n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
111n =-+ 1lim n n T →∞
=. 【题目点拨】
本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项的和，及数列求和的“裂项相消法”，属于中档题.。