最新-2018年《新高考全案》高考总复习配套测评卷单元

2018年《新高考全案》高考总复习配套测评卷
单元检测卷(十三)计数原理(选修·理科)
时间：90分钟，满分：150分
一、选择题(共8小题，每小题7分，满分56分)
1．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有
( )
A ．72种
B ．48种
C ．24种
D ．12种
首先涂A 有C 14＝4(种)涂法，则涂B 有C 13＝3(种)涂法，C 有C 12＝2(种)涂法，D 有C 1
3＝3(种)涂法． 所以，共有4×3×2×3＝72(种)涂法，故选A. A
2．在某班学生中，选出3个组长的总方法数与只选出正、副班长的总方法数之比为14∶3，则该班学生的人数为
( )
A ．25人
B ．30人
C ．35人
D ．40人
设该班学生有n 人，则n (n －1)(n －2)
3！
∶n (n －1)＝14∶3，解得n ＝30.故选B.
B
3．(2018·广东省四会中学第三次质量检测)四名志愿者和他们帮助的两名老人排成一排照相，要求两名老人必须站在一起，则不同的排列方法为
( )
A ．A 44A 22
B ．A 55A 2
2 C ．A 55 D.A 66A 22
将两个老人看成一个元素，与其余4人一起进行全排列，有A 55种排法，又两个老人之间有A 2
2种排
法，故为A 55A 2
2种．
B
4．(2018·广东高考题)已知(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中，x 8的系数小于120，则k ＝________.
(1＋kx 2)6按二项式定理展开的通项为T r ＋1＝C r 6·(kx 2)r ＝C r 6k r x 2r ，我们知道x 8的系数为C 46k 4＝15k 4
，即15k 4＜120，也即k 4＜8，而k 是正整数，故k 只能取1.
1
5．设m ∈N *，n ∈N *，若f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋3x )n 的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为
( )
A ．31
B ．40
C ．31或40
D ．不确定
由已知，C 1m ·2＋C 1
n ·3＝13，即2m ＋3n ＝13. 其正整数解为m ＝2，n ＝3或m ＝5，n ＝1.
∴x 2的系数为C 22·22＋C 23·32
＝31或C 25·22＝40. C
6．设(5x 1
2－x 1
3)n 的展开式的各项系数之和为M ，而二项式系数之和为N ，且M －N ＝992，则展开式中x 2项的系数为
( )
A ．250
B ．－250
C ．150
D ．－150
令x ＝1得M ＝4n ，又N ＝2n ，
∵M －N ＝992，∴4n －2n ＝992， 令2n ＝k ，则k 2－k －992＝0，
∴k ＝32，∴n ＝5，T r ＋1＝C r 5(5x 12)5－r
·(－x 13)r
＝(－1)r ·C r 5·55－r ·x 15－r 6，令15－r 6＝2，得r ＝3， ∴x 2项系数为(－1)3C 35·52＝－250. B 7．若(1＋x )n
＋1
的展开式中含x n
－1
的系数为a n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1
a n
的值为
( )
A.n
n ＋1 B.2n n ＋1 C.n (n ＋1)2
D.n (n ＋3)2
由题意可得
a n ＝C n －1n ＋112＝C 2
n ＋1＝(n ＋1)·n 2， ∴1a n ＝2n (n ＋1)＝2·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝2⎝⎛⎭
⎫11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2
⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. B
8．(2018·重庆卷理)锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为
( )
A.891
B.2591
C.4891
D.6091
因为总的滔法C 4
15，而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆、豆沙馅汤圆，取得个数分别按1,1,2；1,2,1；2,1,1三类，故所求概率为
C 16×C 15×C 24＋C 16×C 25×C 14＋C 26×C 15×C 1
4
C 4
15＝4891
，选C. C
二、填空题(共6小题，每小题7分，满分42分)
9．若直线方程ax ＋by ＝0中的a 、b 可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线一共有________条．
分两类：第一类，a 、b 均不为零，a 、b 的取值共有A 24＝12种方法．
第二类：a 、b 中有一个为0，则不同的直线仅有两条x ＝0和y ＝0.∴共有不同直线14条． 14
10．某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，该学生不同的报考方法种数是________．(用数字作答)
由题意得C 34＋C 12·C 2
4＝16. 16
11．10双互不相同的鞋子混装在一个袋子中，从中任意取4只，4只鞋子中有两只成双，另两只不成双的取法数为________．
解法一：先从10双鞋子中选取一双，有C 110种选法，再从9双鞋子中选取2双，有C 2
9种选法，其中
从每双鞋子中各取一只分别有2种选法，故共有C 110C 2922
＝1440种选法．
解法二：先从10双鞋子中选一双，有C 110种选法，再从剩下的18只鞋子中取2只，有C 2
18种选法，其
中恰好成对的有9种选法，故共有C 110(C 2
18－9)＝1440种不同选法．
解法三：先从10双鞋子中选一双，有C 110种取法，再从剩下的18只鞋子中取一只，有C 1
18种选法，再从去掉与前次取的成双那只鞋子后余下的16只鞋子中取一只，有C 116种取法，但这里出现重复计数，故共
有C 110C 118C 1162
＝1440种不同选法．
1440种
12．(2018·广东省汕头市潮南区届高三期末质检)已知(x cos θ＋1)5的展开式中x 2的系数与(x ＋5
4
)4的展开
式中的x 3的系数相等，则cos θ＝________.
(x cos θ＋1)5的通项公式中为x 2的项为C 35x 2cos 2
θ·
1 (x ＋54)4的展开式中x 3的系数为C 14(54
)1x 3 即有C 35cos 2θ＝C 14·(54
) ∴10cos 2θ＝5，cos θ＝±2
2
.
±22
13．若(x －2)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________.(用数字作答) 令x ＝1得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝－1，令x ＝0得a 0＝－32，∴a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＝31. 31
14．关于二项式(x －1)2018有下列命题：
①该二项式中非常数项的所有各项系数的和为1.
②该二项式展开式的第5项是－C 5
2009x 2004. ③该二项式中系数最大的项是第1005项．
④当x ＝2018时，(x －1)2018除以2018的余数为2018.
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的都填上)
此二项展开式各项系数的和为0，其常数项为－1，故①正确；
其第5项T 5＝C 42009x
2018－4·(－1)4＝C 4
2009x 2005，故②错； 该二项展开式共有2018项，奇数项系数为正、偶数项系数为负，由二项式系数的性质知第1005项与1006项系数的绝对值最大，故③正确；
(x －1)2018＝(x 2018－C 12009x 2018＋C 22009x 2018－…＋C 20082009x )－1＝(x 2018－C 12009x 2018＋C 22009x 2006
－…＋C 20082009－1)x ＋x －1.当x ＝2018时，被2018除的余数为2018－1＝2018.故④正确．
①③④
三、解答题(共4小题，满分52分)
15．(本小题满分12分)已知f 是集合A ＝{a ，b ，c ，d }到集合B ＝{0,1,2}的映射． (1)不同的映射f 有多少个？
(2)若要求f (a )＋f (b )＋f (c )＋f (d )＝4，则不同的映射f 有多少个？
(1)A 中每个元素都可选0、1、2三者之一为像，由分步计数原理，共有34＝81(个)不同的映射． (2)根据a 、b 、c 、d 对应的像为2的个数来分类，可分为三类：
第1类：没有元素的像为2，其和又为4，故其像都为1，这样的映射只有1个；
第2类：一个元素的像是2，其余三个元素的像必为0、1、1，这样的映射有C 14C 1
3＝12(个)；
第3类：两个元素的像是2，另两个元素的像必为0，这样的映射有C 2
4＝6(个)． 由分类计数原理，共有1＋12＋6＝19(个)．
16．(本小题满分12分)有x 名棋手参加的单循环制象棋比赛，其中有2名选手各比赛了三场就退出比赛，这样到比赛全部结束时共赛了84场，问原来有多少人参加这项比赛．
x 名参赛棋手每两人赛一场共赛C 2x 场，其中2人各赛三场退出比赛． 若他俩之间没比赛，根据已知条件： C 2x －2(x －4)＋1＝84，
整理得(x －15)(x ＋10)＝0，又x ∈N *，则x ＝15； 若他俩之间已经比赛，根据已知条件： C 2x －2(x －4)＝84，
整理得x 2－5x －132＝0，又x ∈N *，方程无解． 因此原来共有15人参加比赛．
17．(本小题满分14分)已知(1
2
＋2x )n .
(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
(1)∵C 4n ＋C 6
n ＝2C 5n ， ∴n 2－21n ＋98＝0， ∴n ＝7或n ＝14.
当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，
∴T 4的系数＝C 37(12)423＝35
2
， T 5的系数＝C 47(12
)324
＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.
∴T 8的系数＝C 714(12
)727
＝3432. (2)由C 0n ＋C 1n ＋C 2
n ＝79，可得n ＝12，设T k ＋1项的系数最大． ∵(12＋2x )12＝(1
2)12(1＋4x )12， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
C k 124k ≥C k －1124k －1C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1. ∴9.4＜k ＜10.4，∴k ＝10， ∴展开式中系数最大的项为T 11.
T 11＝(12
)12C 1012410x 10＝16896x 10
. 18．(本小题满分14分)若数列{a n }的通项公式为a n ＝(1＋1
n
)n ，
试证：(1)数列{a n }为递增数列； (2)2≤a n ≤3.
(1)a n ＝(1＋1n )n ＝1＋C 1n 1n ＋C 2n (1n )2＋…＋C n n (1n )n
，a n ＋1＝(1＋1n ＋1
)n ＋1 ＝1＋C 1n ＋11n ＋1＋C 2n ＋1(1n ＋1)2＋…＋C n ＋1
n ＋1(1n ＋1
)n ＋1. 可观察C k n ＋1(1n ＋1
)k 与C k n (1n )k
，当k ＝0,1时， C k n ＋1(1n ＋1
)k ＝C k n (1n )k
；当k ＝2,3,4，…，n 时， C k n ＋1(1n ＋1
)k ＞C k n (1n )k
.∴a n ＜a n ＋1，即{a n }为递增数列． (2)∵a n ＝(1＋1
n )n
＝1＋C 1n 1n ＋C 2n (1n )2＋…＋C n n (1n )n ≥1＋C 1n 1n ＝2， 又a n ＝(1＋1n )n ＝1＋C 1n 1n ＋C 2n (1n )2＋…＋C n n
(1n )n
≤2＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n
＝3－1n ＜3.。