【五升六年级数学】专题5：数学广角——找次品-2024年五升六年级数学暑假专项提升(人教版)5

专题5：数学广角——找次品
2024年五升六年级数学暑假专项提升（人教版）
知识点：找次品的方法和步骤
1、分组策略：
（1）尽量将所有待测物品均匀地分成3份。

（2）倘若无法被3整除，则依据余数做适度调整：若余数是1，把多出的那个物品放进其中一份；若余数为2，就把这两个多出的物品分别放进前两份。

2、称重策略：借助天平来称重。

对两组数量相同的物品进行称重。

要是天平平衡，表明次品在未称重的那组物品里。

要是天平不平衡，意味着次品在偏重或者偏轻的那组物品中。

3、递归查找：
明确含有次品的组之后，再次重复上述的分组和称重步骤，一直到找出次品为止。

4、用天平找次品时，所测物品数目与至少需要称的次数有以下关系：
1、要在8个外观完全一样的红球中，找出质量稍重的1个次品。

用天平称，要保证2次能找出次品。

第一次分，比较合适的分法是（）。

A. 分成3份，分别是3，3，2
B. 分成3份，分别是2，2，4
C. 分成4份，分别是1，1，2，4
D. 分成3份，分别是1，1，6
2、有12个零件，其中一个是略轻些的次品，用天平找次品时，（）分法比较合理。

A. （4, 4, 4）
B. （3, 3, 6）
C. （5, 5, 2）
D. （2, 2, 8）
3、在一批外观相同的糖果里混入了一颗次品（次品轻一些），如果能用天平称量的方法找这个次品，最好的方法是先把这批糖果平均分成（）份，然后再称。

A．2 B．3 C．4 D．5
4、有10个乒乓球，其中9个质量相同，另有1个轻了一些（比其他的乒乓球略轻一些）。

如果用天平称，至少称（）次才能保证找出这个较轻的乒乓球。

A．2 B．3 C．5 D．6
5、从只有1件次品的13件物品中找次品（次品比正品重一些），用天平称至少称（）次就一定能找到次品。

A．1 B．2 C．3 D．4
6、一箱水果有12个，其中11个质量相同，另外1个质量不足，轻一些。

如果用天平称，至少称（）次才能保证找出这个水果。

7、在11个乒乓球中，有1个质量较轻的乒乓球（次品）。

如果用天平称，最少称（）次能保证找出这个次品。

8、这里有5袋糖果，其中1袋少了5颗，设法把它找出来。

可以用（）称，把5袋糖果分成2袋、2袋、1袋。

天平两边各放（）袋，如果天平平衡，剩余的1袋就是（）；如果不平衡，那么次品一定在轻的那边。

将轻的那边的2袋分别放在天平两边，轻的就是次品。

9、有10个乒乓球，其中1个质量较轻，是次品，小明说“我用天平称3次，就一定能找出次品。

”他用的方法是（）。

A. 分成2份（5，5）
B. 分成3份（3，3，4）
C. 分成5份（2，2，2，2，2）
10、有30个乒乓球，其中29个质量相同，另有1个是次品，比其他的乒乓球略轻一些。

假如用天平称，至少称（）次能保证找出这个次品。

A. 3
B. 4
C. 5
11、有8个苹果，其中一个苹果被虫子咬过，它比其余7个略轻一些。

用哪种方法称一次，就可以将被虫子咬过的苹果确定在最小的范围内。

A. （3, 3, 2）
B. （1, 1, 6）
C. （4, 4）
D. （2, 2, 4）
12、有30个1元的硬币，其中有一枚是假币，它的质量比真币轻，如果用天平称，至少（）次才能找出这个假币。

13、学校运动会，老师准备了八个奖牌分别编上了数字序号1号至8号奖励给八位运动员。

其中有6个奖牌都是重500克，另外两个奖牌都是重498克。

老师用天平称了三次，结果第一次1号＋2号比3号＋4号重；第二次5号＋6号比7号＋8号轻；第三次1号＋5号＋7号和2号＋3号＋8号一样重，那么重498克的两个奖牌的数字编号分别为（）号和（）号。

14、体育老师买来4个篮球，其中一个为次品（可能比其他三个轻一些，也可能比其他三个重一些），体育老师说：“我用天平称，至少称两次就能保证找出这个次品。

”体育老师说得对不对？
15、有27个外观相同的零件，其中有一个是次品，且比正品轻一些。

用天平至少称几次能保证把次品找出来？
16、有甲、乙、丙三个木块，它们的重量：甲＞乙＞丙，另外还有一个木块丁。

试用无砝码的天平称两次，你能确定丁木块重量排在第几位吗？
17、有几箱水果，其中1箱被少放了几个，其余的质量相等。

如果用天平称5次就能保证找到那箱被少放了几个的，那么这些水果最多有几箱？
1、【答案】A；
【解析】要保证2次能找出次品，第一次分组需要尽量平均。

选项A，分成3份，分别是3，3，2。

称两个3，如果平衡，次品在2 里面，再称一次就能找出；如果不平衡，次品在重的3里面，再把这
3个中的任意2个称一次就能找出。

选项B，分成3份，分别是2，2，4。

称两个2，如果平衡，次品在4 里面，还需要至少2次才能找出，不能保证2次找出。

选项C，分成4份，分别是1，1，2，4。

称1和1，如果不平衡能找出，但如果平衡，在2或4里面，不能保证2次找出。

选项D，分成3份，分别是1，1，6。

称1和1，如果不平衡能找出，但如果平衡，在6里面，还需要至少2次才能找出，不能保证2次找出。

2、【答案】A；
【解析】用天平找次品时，应尽量使每份数量平均，分的份数越少越好。

A 选项将 12 个零件平均分成 3 份，每份 4 个，通过两次称重就能找出次品。

B 选项中有一份 6 个，数量较多，称重较复杂。

C 选项两份 5 个，一份 2 个，不太平均。

D 选项一份 8 个，数量过多，称重次数多。

所以A选项分法合理。

3、【答案】B；
【解析】找次品时，平均分成3份是最优策略。

因为这样能在最少的称重次数内确定次品所在范围。

分成2份时，一次称重最多判断出次品在其中一份；分成3份，一次称重可确定次品在某一份中，再次称重范围更小；分成4份或5份，称重次数可能增多，效率降低。

4、【答案】B；
【解析】将物品平均分成三组，尽量让每组数量接近。

然后通过天平称重比较，逐步缩小范围，找出不同的那一个。

第一次称：把 10 个乒乓球分成（3，3，4）三组，把两个3个一组的放在天平上称，如果平衡，则较轻的在4个的那组里，如果不平衡，则较轻的在天平上升的那3个里。

第二次称：如果较轻的在3个的那组里，任意拿出2个放在天平上称，如果平衡，没称的那个就是较轻的，如果不平衡，上升一方就是较轻的；如果较轻的在4个的那组里，把4个分成（2，2），放在天平上称，上升一方有较轻的，再称一次就能找出。

所以至少称3次才能保证找出这个较轻的乒乓球。

5、【答案】C；
【解析】首先将物品尽量平均分成三组。

第一次称，把13件物品分成4 件、4 件、5 件三组。

先把两个4件的分别放在天平两端，如果天平平衡，次品就在5件那组；如果天平不平衡，次品就在较重的那4件中。

如果次品在5件那组，第二次称，把5件分成2件、2件、1件。

把两个2件的分别放在天平两端，如果天平平衡，剩下的1件就是次品；如果天平不平衡，较重的那2件再称一次就能找出次品。

如果次品在4件那组，第二次称，把4件分成2件、2件，较重的那2件再称一次就能找出次品。

所以至少称3次就一定能找到次品。

6、【答案】3；
【解析】将物品平均分成三组，先称其中两组，如果平衡，则质量不足的在第三组；如果不平衡，则在轻的那一组。

然后再把有质量不足的那一组，继续平均分成三组（尽量平均分），重复上述步骤，直到
找出质量不足的那个物品。

第一次称：把12个水果平均分成三组，每组4个。

先称其中两组，如果天平平衡，则质量不足的在第三组；如果天平不平衡，则质量不足的在轻的那一组。

第二次称：把有质量不足的那一组4个，平均分成两组，每组2个，称一称，质量不足的在轻的那一组。

第三次称：再把轻的那一组的2个分别放在天平两端，轻的一端就是质量不足的那个水果。

所以至少称3次才能保证找出这个水果。

7、【答案】3；
【解析】将物品尽量平均分成三组来称。

第一次：把11个乒乓球分成4个、4个、3个三组。

先称4个的两组，如果天平平衡，则次品在3个的那组；如果不平衡，次品在轻的那4个当中。

第二次：如果次品在3个的那组，任取其中2个称，若平衡，没称的那个是次品；若不平衡，轻的是次品。

如果次品在4个的那组，将这4个平均分成2份，每份2个，称第二次，次品在轻的那2个当中。

第三次：把轻的那2个分别放在天平两端，轻的就是次品。

综上所述，最少称3次能保证找出这个次品。

8、【答案】天平；2；次品
【解析】首先，我们考虑用天平来找出少了5颗糖果的那袋。

把5袋糖果分成2袋、2袋、1袋三份。

天平两边各放2袋，如果天平平衡，说明剩下的那1袋就是次品。

如果天平不平衡，次品就在轻的那2袋
中。

然后再把这2袋分别放在天平两边，轻的那袋就是次品。

9、【答案】B；
【解析】称找次品时，平均分成三份是最优策略。

A选项分成两份（5，5），第一次称若不平衡，在较轻的5个中还需较多次数才能找出。

B选项分成3份（3，3，4），第一次称3和3平衡时，次品在4个那份中，再称2次可找出；不平衡时，在较轻的3个中再称1次可找出，最多3次能找出。

C选项分成5份（2，2，2，2，2），称的次数相对较多。

10、【答案】B；
【解析】把物品平均分成三份来称，能平均分的就平均分，不能平均分的，多的一份与少的一份要相差1。

第一次：把30个乒乓球分成10、10、10 三组，先称量其中两组，如果天平平衡，则次品在第三组；如果天平不平衡，则次品在较重的那一组。

第二次：把有次品的10个乒乓球分成3、3、4三组，称量3、3 这两组，如果天平平衡，则次品在4个的那一组；如果天平不平衡，则次品在较重的那3个中。

第三次：如果次品在3个中，把这3个分成1、1、1，任意称量两个，如果天平平衡，没称的那个是次品；如果天平不平衡，较重的那个是次品。

如果次品在4个中，把这4个分成1、1、2，先称量1、1，如果天平平衡，再称剩下的那2个，较重的那个是次品；如果天平不平衡，较重的那个是次品。

综上所述，至少称4次能保证找出这个次品。

11、【答案】A；
【解析】称一次要将有问题的物品确定在最小范围内，应尽量平均分组。

A选项将8个苹果分成（3, 3, 2），称3个的两组时，若平衡，问题苹果在2个那组；若不平衡，在轻的3个中，再称一次可确定，能将范围缩小。

B选项若平衡，在6个中确定范围大。

C选项称一次在4个中范围大。

D选项若平衡，在4个中范围大。

12、【答案】4；
【解析】将硬币平均分成三组。

每次称两组，如果平衡，则假币在没称的那组；如果不平衡，则在轻的那组。

第一次：将30个硬币平均分成三组，每组10个，任选两组放在天平两端称。

第二次：若第一次称平衡，把没称的那组10个平均分成三组（3，3，4），称两个3个一组的，如果平衡，假币在4个的那组；如果不平衡，在轻的那3个中。

若第一次称不平衡，把轻的那10个平均分成三组（3，3，4），称两个3个一组的，如果平衡，假币在4个的那组；如果不平衡，在轻的那3个中。

第三次：若假币在3个的那组，任选两个称，平衡则剩下的是假币，不平衡轻的是假币。

若假币在4个的那组，平均分成两组（2，2），称出轻的那组，再称一次就能找出假币。

综上所述，至少需要4次才能找出假币。

13、【答案】5；4；
【解析】由第一次称1号＋2号比3号＋4号重，可推断1号、2号是500克，3号、4号中有一个是498克。

由第二次称5号＋6号比7号＋8号轻，可推断7号、8号是500克，5号、6号中有一个是498克。

第三次称1号＋5号＋7号和2号＋3号＋8号一样重，因为1号、2号、7号、8号都是500克，所以5号和 8号一个是498克，一个是500克，结合第二次称的结果，5号是498克。

3号、4号中有一个是498克，结合第一次称的结果，4号是498克。

14、【解析】
将4个篮球分成三组，分别是1个、1个、2个。

先称两个1个的，如果天平平衡，则次品在剩下的2个中，再称一次就能找出次品；如果天平不平衡，轻或重的一端就是次品。

所以至少称两次就能保证找出次品。

【解答】把4个篮球分成 1个、1个、2个三组。

先测两个1个一组的，如果平衡，次品在2个那组，再称一次可找出；如果不平衡，轻或重的一端就是次品。

所以至少称两次能保证找出次品。

综上，体育老师说得对。

15、【解析】
每次将物品尽量平均分成三份来称。

第一次称可以确定次品在哪“9”个里面；第二次称可以确定次品在哪“3”个里面；第三次称就能确定次品是哪一个。

【解答】
把27个零件分成9个、9 个、9个三份。

第一次：天平两边各放9个，若天平平衡，则次品在未称的9个中；若天平不平衡，则次品在轻的一端 9个中。

第二次：把有次品的9个分成3个、3个、3个三份，天平两边各放3个，若天平平衡，则次品在未称的3个中；若天平不平衡，则次品在轻的一端的3个中。

第三次：把有次品的3个，天平两边各放1个，若天平平衡，则未称的那个是次品；若天平不平衡，则轻的一端的那个是次品。

所以至少称3次能保证把次品找出来。

16、【解析】
第一次称丁和乙，判断丁与乙的重量关系，第二次根据第一次的结果选择丁与甲或丁与丙称，从而确定丁的排位。

【解答】
能确定。

第一次，先将丁木块和乙木块分别放在天平的两端。

如果丁比乙重，那么丁至少排在第二位；如果丁比乙轻，那么丁至多排在第三位。

第二次，如果第一次称出丁比乙重，就把丁和甲放在天平两端称，如果丁比甲重，那么丁排在第一位；如果丁比甲轻，那么丁排在第二位。

如果第一次称出丁比乙轻，就把丁和丙放在天平两端称，如果丁比丙重，那么丁排在第三位；如果丁比丙轻，那么丁排在第四位。

17、【解析】
每次使用天平能将待找物品所在范围缩小到原来的三分之一。

称5次，每次最多能确定的数量依次为3、9、27、81、243箱。

【解答】
每次使用天平称重时，都可以将物品尽量平均地分成三组。

称一次可以确定物品在三组中的哪一组。

称第一次时，如果天平平衡，则被找的物品在没称的那组中；如果天平不平衡，则被找的物品在较轻的那组中。

每次称重都能将范围缩小到原来的三分之一。

称1次最多能从3箱中找到较轻的1箱；
称2次最多能从3×3＝9箱中找到；
称3次最多能从3×3×3＝27箱中找到；
称4次最多能从3×3×3×3＝81箱中找到；
称5次最多能从3×3×3×3×3＝243箱中找到。

综上，称5次就能保证找到的情况下，这些水果最多有243箱。