2017年安徽省“江南十校”高三联考(理科)

2017年安徽省“江南十校”高三联考（理科）
数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若22i
z i
-=+，则z =( ) A ．
1
5
B.1 C ．5 D ．25 2. 设集合{}
2A x Z x =∈≤，312B x
x ⎧⎫
=≤⎨⎬⎩⎭
，则A B ( )
A.{1,2} B ．{-1,-2} C ．{-2,-1,2} D ．{-2,-1,0,2}
3. 已知平面向量(1,),(2,5),(,3)a m b c m ===，且()//()a c a b +-，则m =( )
A ．
3172-+ B ．3172- C.3172-± D ．317
2
± 4.已知3
tan 4
α=-
，则sin (cos )sian ααα-=( ) A ．2125 B ．2521
C.45
D.54
5. 已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为(,)MOD n m ，其结果为n 除以m 的余数，例如(8,3)2MOD =.下面是一个算法的程序框图，当输入n 的值为36时，则输出的结果为( )
A ．4
B ．5 C.6 D ．7
6.质地均匀的正四面体表明分别印有0,1,2,3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2
次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为,m n ，且两次结果相互独立，互不影响.记
224m n +≤为事件A ，则事件A 发生的概率为( )
A ．
38 B ．316 C.8
π D ．16π 7.《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各德几何.”其意思为“已知A B C D E 、、、、五人分5钱，
A B 、两人所得与C D E 、、三人所得相同，且A B C D E 、、、、每人所得依次成等差数
列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中，E 所得为( ) A ．
23钱 B ．43钱 C.56钱 D.32
钱 8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )
A ．20
B ．22 C.24 D ．26
9.设ABC ∆的面积为1S ，它的外接圆面积为2S ，若ABC ∆的三个内角大小满足
3:4:5A B C =：：，则
1
2
S S 的值为( ) A ．
2512π B ．2524π C.332π+ D ．33
4π
+ 10.若函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是（ )
A ．21()1x e f x x -=-
B ．2()1x e f x x =- C.32
1()1x x f x x ++=- D ．421
()1
x x f x x ++=-
11.已知球的直径6,SC A B =、是该球球面上的两点，且3AB SA SB ===，则棱锥
S ABC -的体积为( )
A ．
324 B ．924 C.322 D ．92
2
12.设x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，如 2.63, 3.53=-=-⎡
⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥.已知函数2
()2f x x x =-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥，若函数()()(2)2F x f x k x =--+在（-1，4]上有2个零点，则的
取值范围是( )
A ．5,1[2,5)2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭
B ．21,[5,10)3⎡⎫--
⎪⎢⎣⎭ C.4,1[5,10)3⎛⎤
-- ⎥⎝⎦
D ．4,1[5,10)3⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知实,x y 数满足关系20
400x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，则22x y -+的最大值是．
14.若3
5
()(2)x y x y a +-+的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中只含字母x 且x 的次数为1的项的系数为．
15.已知双曲线2211630
x y -=上一点(,)P x y 到双曲线一个交点的距离是9，则22
x y +的值是． 16.将函数2
2
sin cos y x x =-的函数图像向右平移m
个单位以后得到的图像与
sin cos (0)y k x x k =>的图像关于(,0)3
π
对称，则k m +的最小正值是．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足24n n S a n -=-. （Ⅰ）证明{}2n S n -+为等比数列； （Ⅱ）求数列{}n S 的前n 项和n T .
18.美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：
（Ⅰ）求百度外卖公司的“骑手”一日工资y （单位：元）与送餐单数n 的函数关系； （Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：
①记百度外卖的“骑手”日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望； ②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.
19. 如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，CG ⊥平面ABCD ，////DE BF CG ，
3
5
DE BF CG ==.P 为线段EF 的中点，AP 与平面ABCD 所成角为60°.在线段CG 上
取一点H ，使得3
5
GH CG =.
（Ⅰ）求证：PH ⊥平面AEF ； （Ⅱ）求多面体A EF G --的余弦值.
20. 在平面直角坐标系中，直线20x y m -+=不过原点，且与椭圆22
142
y x +=有两个不同的公共点,A B .
（Ⅰ）求实数m 取值所组成的集合M ；
（Ⅱ）是否存在定点P 使得任意的m M ∈，都有直线,PA PB 的倾斜角互补.若存在，求出所有定点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
21. 已知函数1()x f x e a -=+，函数()ln ,g x ax x a R =+∈. （Ⅰ）若曲线()y f x =与直线y x =相切，求a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：()()1f x g x ≥+；
（Ⅲ）若函数()f x 与函数()g x 的图像有且仅有一个公共点00(,)P x y ，证明：02x <. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知P 为曲线221:
1124x y C +=上的动点，直线2C 的参数方程为332132
x t y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）求点P 到直线2C 距离的最大值，并求出点P 的坐标. 23.选修4-5：不等式选讲
已知关于x 的方程2
2log (25)210x x a -+--=在[0,3]x ∈上有解. （Ⅰ）求正实数a 取值所组成的集合A ；
（Ⅱ）若2
30t at --≥对任意a A ∈恒成立，求实数t 的取值范围
.
试卷答案一、选择题
1.B 34
,155
z i z =
-= 2.C {}2332,1,0,1,2,0{22x A B x
x x x -⎧⎫
=--=≥=≥⎨⎬⎩⎭
或}0x < 3.C (1,3),(1,5)a c m m a b m +=++-=-- 由条件：2317
3202
m m m ±--=⇒=
4.A 22222sin sin cos tan tan 21
sin (sin cos )sin cos tan 125
ααααααααααα---===++
5.D
6.A （1,1），（0,1），（1,0）3
16
P =
7.A 设4,3,2,,A a d B a d C a d D a d E a =-=-=-=-=则
51053
27332a d a a d a d -=⎧⇒=⎨
-=-⎩
8.C
9.D 345::3:4:5,,121212A B C A B C πππ=⇒===由正弦定理知，1233
4S S π
+= 10.B
11.D 由条件：S OAB -为棱长为3的正四面体其体积为
924，92
4
O ABC V -=，故92
4
V =
12.C 作出图像，由数形结合可知：C 满足题意 二、填空题
13.5 由条件可知：22z x y =-+过点(1,3)M -时5z =-max 5z = 14.-7 51(1)321x y a a ==⇒+=⇒=，故x 的系数为
1
3
1
3
335(1)27C C C +-∙=- 15.133 不妨设点P 在右支上，由条件可知P 点到右焦点距离为9， 解出22221381133p p x y x y =⇒=⇒+= 16.
cos2cos(22)y x y x m =-−−−−→=--右m 个单位
关于点(
,0)3
π
对称，设点
00(,)P x y 为其上任意一点，关于(,0)3π对称点为002(
,)3Q x y π--，004sin(2)23k y x π
-=-，展开得：sin 2243cos 22124
k
m k n m m k ππ⎧
==⎧
⎪⎪
⎪
⇒⎨
⎨=-⎪⎪=-⎩⎪⎩
三、解答题
17.解：（1）原式转化为：12()4(2)n n n S S S n n -=-=-≥， 即124n n S S n -=-+，
所以122[(1)2]n n S n S n --+=--+
注意到1124S -+=，所以{}2n S n -+为首项为4，公比为2等比数列. （2）由（1）知：122n n S n +-+=， 所以122n n S n +=+-，
于是231(22...2)(12...)2n n T n n +=+++++++-
4(12)(1)2122n n n n -+=+--
322382
n n n ++--=.
18.解：（1）100(45,)
6170(45,)
n n N y n n n N **
⎧≤∈=⎨->∈⎩ （2）
X
100 106 118 130 P
0.2
0.3
0.4
0.1
()1000.21060.31180.41300.1112E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）‚美团外卖“骑手”日平均
送餐单数为：420.2440.4460.2480.1500.145⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以美团外卖“骑手”日平均工资为：70451115+⨯=（元）
由 知，百度外卖“骑手”日平均工资为112元. 故推荐小明去美团外卖应聘. 19.解：（1）连接,AC BD 交于点O ，连接OP ，则O 为BD 中点，
∴//OP DE ，∴OP ⊥面ABCD .
∴POA ∠为AP 余面所成角ABCD ∴60POA ∠=︒.
Rt AOP ∆中，5323
1,3,,33
AO OP CG CH ===
=
. Rt AHC ∆中,2243
3
AH AC CH =+=
. 梯形OPHC 中，23
3
PH =
. ∴222
AP PH AH +=∴AP PH ⊥，
又EH FH PH EF =∴⊥， 又AP EF P PH =∴⊥ 面AEF .
（2）∵CG 面ABCD ，ABCD 为正方形， ∴如图所示建立空间直角坐标系.
面AEF 的法向量为223,,223HP ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭ ，
面EFG 法向量为323,3,2n ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝
⎭ ， 故二面角A EF G --的余弦值321
4
-
. 20.解：（1）因为直线20x y m -+=不过原点，所以0m ≠，
将20x y m -+=与22
142
y x +=联立，消去y 得： 2242240x mx m ++-=，
因为直线与椭圆有两个不同的公共点,A B ，
所以22816(4)0m m ∆=-->，解得2222m -<<， 所以实数m 的范围组成的集合M 是()()
22,00,22- ；
（2）假设存在定点00(,)P x y 使得任意的m M ∈,都有直线,PA PB 的倾斜角互补， 即0PA PB k k +=，令1122(,2),(,2)A x x m B x x m ++, 所以
10201020
220x m y x m y x x x x +-+-+=--，
整理得：
1200120022(2)()2()0x x m x y x x x y m *
+--+-=，
由（1）知12,x x 是2
2
42240x mx m ++-=的两个根，
所以2121224
,24
m m x x x x -+=-=
， 代入()*化简得00002
(
)2(2)02
y x m x y -+-=， 由题意0000
2
0220y x x y ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩解得0012x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或001
2
x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
所以定点
的坐标为(1,2)P 或(1,2)P --，
经检验，满足题意，
所以存在定点P 使得任意的m M ∈,都有直线,PA PB 的倾斜角互补， 坐标为(1,2)P 或(1,2)P --.
21.解：（Ⅰ）设曲线()y f x =在11(,)Q x y 点处切线是y x =，则11
1()1
y x f x =⎧⎨
'=⎩
由于111()x f x e -'=所以111,1x y ==，
由题意知：111x y e a -=-，于是0a =. （Ⅱ）令111()()()ln ,()(0)x x F x f x g x e x F x e x x
--'=-=-=->， 当(0,1)x ∈时，101x e -<<，所以1101x e
x -<<<， 即11()0x F x e x -'=-
<，当(1,)x ∈+∞时，11x e -<，所以111x e x
->>， 即11()0x F x e x -'=->，于是1()()()ln x F x f x g x e x -=-=- 在（0,1）单调递减，(1,)+∞单调递增，
其最小值是(1)1F =，所以()()()1F x f x g x =-≥，于是原不等式成立.
（Ⅲ）令1()ln (0)x G x e x ax a x -=--+>，
则函数()f x 与函数()g x 的图像有且仅有一个公共点00(,)P x y 等价于函数()G x 有且只有一个零点0x ，11()x G x e
a x -'=--， 注意到11()x G x e
a x -'=--为(0,)+∞上的增函数且值域为R ， 所以11()x G x e a x
-'=--在(0,)+∞上有唯一零点1x ， 且()G x '在1(0,)x 上为负，1(,)x +∞上为正，所以1()G x 为极小值，
又函数()G x 有唯一零点0x ，结合()G x 的单调性知10x x =，
所以00()0()0G x G x '=⎧⎨=⎩，即001010010ln 0x x e a x e x ax a --⎧--=⎪⎨⎪--+=⎩
， 即0001110000
11()ln ()0x x x e e x x e x x ------+-=， 即0100001(2)ln 0x x x e x x ---+
-=.令11()(2)ln x x H x x e x x --=-+-， 显然，0x 是()H x 的零点，
112211()(1)(1)(0)x x x H x x e x e x x x ---⎡⎤'=-+=-+>⎢⎥⎣
⎦，
()H x '在（0,1）上为正，(1,)+∞上为负，于是()H x 在(1,)+∞上单调递减， 注意到11(1)10,(2)ln 2(1ln 4)022
H H =>=-=-< , 所以()H x 在（1,2）内有一个零点，在[)2,+∞内无零点，
所以()H x 的零点一定小于，从而函数()f x 与函数()g x 的图像有且仅有一个公共点00(,)P x y 时一定有02x <.
22.解：由条件：231:36033
y C x y x -=-⇒+-=- 设点(23cos ,2sin )P θθ，点P 到2C 之距离，
23cos 23sin 6
6sin()324d θθπ
θ--==+-， max 63d =+. 此时点(6,2)P --.
23.（1）当[0,3]x ∈时[]22
22log (25)log (1)42,3x x x ⎡⎤-+=-+∈⎣⎦ 2213a ≤-≤且3302,|222a a A a a ⎧⎫>⇒≤≤∴=≤≤⎨⎬⎩⎭
. （2）由（1）知：322a ≤≤，设2()3g a t a t =∙+-，则3573()024(2)913
g t g t t ⎧⎧-≥≥⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪≥≥≤-⎩⎩或或5734
t -≤ 5734t -≤
或3t ≥.
1.
1.B
2.C
3.C
4.A
5.D
6.A ，，
7.A 设
则
8.C
9.D
由正弦定理知，
10.B
11.D
12.C 作出图像，由数形结合可知：C满足题意
13.5 由条件可知：
14.-7
15.133 不妨设点P在右支上，由条件可知P点到右焦点距离为9，
解出
16.
,
17.证明：原式转化为：，
即，
所以
注意到，所以为首项为4，公比为2等比数列. ……6分（2）由（1）知：，
所以，
于是。

……12分
18.（1） .......4分
（2）
X 100 106 118 130
P 0.2 0.3 0.4 0.1
6分
（元） ....... 8分
‚美团外卖“骑手”日平均送餐单数为：42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45 所以美团外卖“骑手”日平均工资为：70+45×1=115（元） ....... 10分
由 知，百度外卖“骑手”日平均工资为112元
故推荐小明去美团外卖应聘 ....... 12分
19.（1）连接交于点，连接，则为中点
面
为与面所成角....................2分
中，
中，
梯形中，......................4分
又
又面.....................6分
（2）面，为正方形
如图所示建立空间直角坐标系...............................7分
面的法向量为..............8分
面法向量为...................10分
故二面角的余弦值.................12分
20.解：（1）因为直线不过原点，所以，
将与联立，消去得：
，
因为直线与椭圆有两个不同的公共点，
所以，解得，
所以实数的范围组成的集合是；……4分（2）假设存在定点使得任意的,都有直线的倾斜角互补，即，令,
所以，
整理得：，
由（1）知是的两个根，
所以，
代入化简得，
由题意解得或
所以定点的坐标为或，
经检验，满足题意，
所以存在定点使得任意的,都有直线的倾斜角互补，
坐标为或。

……12分21.证明：（Ⅰ）设曲线在点处切线是，则
由于所以，
由题意知：，于是.................................2分
（Ⅱ）令，
当时，，所以，
即，当时，，所以，
即，于是
在单调递减，单调递增，
其最小值是，所以，于是原不等式成立。

.................7分
（Ⅲ）令，
则函数与函数的图像有且仅有一个公共点等价于函数有且只有一个零点，，
注意到为上的增函数且值域为，
所以在上有唯一零点，
且在上为负，上为正，所以为极小值，
又函数有唯一零点，结合的单调性知，..................10分
所以，即，
即，
即.令，
显然，是的零点，
，
在上为正，上为负，于是在上单调递减，
注意到,,
所以在内有一个零点，在内无零点，
所以的零点一定小于，从而函数与函数的图像有且仅有一个公共点时一定有. ...................................12分
22.解：由条件：.......2分
.......6分
…………8分
…………10分
23.当时..........2分
.......6分
.......10分
（若其他解法正确，可酌情赋分）。