2016-2017学年安徽省安庆市枞阳县振阳公学高三(上)第四次月考数学试卷(理科)

2016-2017学年安徽省安庆市枞阳县振阳公学高三（上）第四次
月考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A=x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B={x|0＜x＜4}，则（∁R A）∩B=（）
A．（0，3]B．[﹣1，0）C．[﹣1，3]D．（3，4）
2．（5分）已知复数z满足i•z=1+2i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．5
3．（5分）已知向量=（2，1），=（1，x），若+与平行，则实数x的值是（）
A．﹣2 B．C．1 D．2
4．（5分）已知a，b都是实数，那么“0＜a＜b”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）=3的x的值是
（）
A．log23 B．8 C．log23或8 D．8或6
6．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a2018=（）A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
7．（5分）在△ABC中，a=2，b=，∠A=，则∠B=（）
A．B．C．或D．或
8．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．
9．（5分）函数y=ln|x|﹣x2+1的图象大致为（）
A．B．C．
D．
10．（5分）已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=（）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
11．（5分）已知正实数a，b满足a+b=3，则的最小值为（）
A．1 B．C．D．2
12．（5分）设点M（x1，f（x1））和点N（x2，f（x2））分别是函数f（x）=sinx+x3和g（x）=x﹣1图象上的点，且x1≥0，x2≥0，若直线MN∥x轴，则M，N两点间的距离的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13．（5分）（x2+）dx=．
14．（5分）设x、y满足约束条件，则z=22x﹣y的最小值为．
15．（5分）第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如下图会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么=．
16．（5分）若函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a﹣x）=2b（其中a，b不同时为0），则称函数y=f（x）为“准奇函数”，称点（a，b）为函数f（x）的“中心点”．现有如下命题：
①函数f（x）=sinx+1是准奇函数；
②若准奇函数y=f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），则函数F（x）=f（x+a）﹣f（a）为R上的奇函数；
③已知函数是准奇函数，则它的“中心点”为
④已知函数f（x）=x3﹣3x2+6x﹣2是准奇函数，则它的“中心点”为（1，2）；
其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数f（x）=asinx﹣cosx（a∈R）的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．
18．（12分）在公差不为0的等差数列{a n}中，已知a1=1，且a2，a5，a14成等比数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=2n•a n，求数列{b n}的前n项和T n．
19．（12分）设向量，
（Ⅰ）设函数，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，锐角A满足，，求△ABC的面积．20．（12分）设△A BC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC+c=2b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=1，求△A BC的周长的取值范围．
21．（12分）在等比数列{a n}中，公比q≠1，等差数列{b n}满足b1=a1=3，b4=a2，b13=a3．
（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；
（2）记c n=（﹣1）n•b n+a n，求数列{c n}的前n项和S n．
22．（12分）已知函数．
（I）求函数f（x）在处的切线方程为4x﹣y+m=0时，此时函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若，判断函数g（x）=x[f（x）+a+1]的零点的个数．
2016-2017学年安徽省安庆市枞阳县振阳公学高三（上）第四次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2016秋•湖北月考）已知集合A=x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B={x|0＜x ＜4}，则（∁R A）∩B=（）
A．（0，3]B．[﹣1，0）C．[﹣1，3]D．（3，4）
【解答】解：集合A=x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，
集合B={x|0＜x＜4}，
∴∁R A={x|﹣1≤x≤3}，
∴（∁R A）∩B={x|0＜x≤3}=（0，3]．
故选：A．
2．（5分）（2016秋•镜湖区校级期中）已知复数z满足i•z=1+2i（其中i为虚数单位），则|z|=（）
A．B．C．D．5
【解答】解：复数z满足i•z=1+2i，
可得|i•z|=|1+2i|
即|z|==．
故选：C．
3．（5分）（2016秋•枞阳县校级月考）已知向量=（2，1），=（1，x），若+与平行，则实数x的值是（）
A．﹣2 B．C．1 D．2
【解答】解：+=（3，1+x），=（3，2﹣x），
∵+与平行，
∴3（1+x）﹣3（2﹣x）=0，解得x=．
故选：B．
4．（5分）（2015•浦东新区二模）已知a，b都是实数，那么“0＜a＜b”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若，则，
若0＜a＜b，则成立，
当a＞0，b＜0时，满足，但0＜a＜b不成立，
故“0＜a＜b”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
5．（5分）（2016秋•枞阳县校级月考）设函数f（x）=，
则满足f（x）=3的x的值是（）
A．log23 B．8 C．log23或8 D．8或6
【解答】解：函数f（x）=，则满足f（x）=3，
当x≤2时，2x=3，可得x=log23＜2，
当x＞2时，log2x=3，解得x=8．
方程的解为：log23或8．
故选：C．
6．（5分）（2016秋•枞阳县校级月考）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，
则a2018=（）
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，
∴，
解得a1=﹣1，d=1，
a2018=a1+2017d=﹣1+2017=2016．
故选：B．
7．（5分）（2011•北京学业考试）在△ABC中，a=2，b=，∠A=，则∠B=（）
A．B．C．或D．或
【解答】解：由正弦定理可知=
∴sinB=•b=×=
∵b＜a
∴B＜A
∴B=
故选B
8．（5分）（2013•湖北）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．
【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），
∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，
∴m+=kπ+（k∈Z），
则m的最小值为．
故选B
9．（5分）（2016秋•枞阳县校级月考）函数y=ln|x|﹣x2+1的图象大致为（）
A．B．C．
D．
【解答】A 解：当x＞0时，y=f（x）=lnx﹣x2+1，
f′（x）=﹣x=，
当x＞1时，f′（x）＜0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，
故f（x）在x=1处取得最大值f（1）=，又f（x）为偶函数，
故选A．
10．（5分）（2015•江西校级二模）已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=（）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
【解答】解：曲线C：y=alnx恒过点B，则令x=1，可得y=0，
即B（1，0），又点A（0，1），设P（x，alnx），
则•=f（x）=x﹣alnx+1，
由于f（x）=x﹣alnx+1在（0，+∞）上有最小值2，
且f（1）=2，故x=1是f（x）的极值点，即最小值点．
f′（x）=1﹣=，
a＜0，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；
当a＞0，x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，a）是减函数，在（a，+∞）是增函数，有最小值为f（a）=2，即a﹣alna+1=2，解得a=1；
故选D．
11．（5分）（2016秋•枞阳县校级月考）已知正实数a，b满足a+b=3，则
的最小值为（）
A．1 B．C．D．2
【解答】解：方法一：∵a+b=3，
∴a+b+5=8，
∴=[a+（b+5）]（）=（1+4++）≥（5+2）
=，当且仅当a=，b=时取等号，
∴的最小值为，
方法二：∵a+b=3，
∴b=3﹣a＞0，
解得0＜a＜3，
∴=+，
设f（a）=+，0＜a＜3，
∴f′（a）=﹣+=，
令f′（a）=0，解得a=，
当f′（a）＞0时，解得0＜a＜，函数单调递增，
当f′（a）＜0时，解得＜a＜3，函数单调递减，
∴f（a）min=f（）=，
故选：C．
12．（5分）（2016秋•山西期末）设点M（x1，f（x1））和点N（x2，f（x2））分别是函数f（x）=sinx+x3和g（x）=x﹣1图象上的点，且x1≥0，x2≥0，若直线MN∥x轴，则M，N两点间的距离的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵当x≥0时，f'（x）=cosx+x2＞0，∴函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增．
∵点M（x1，f（x1））和点N（x2，g（x2））分别是函数f（x）=sinx+x3和g（x）=x﹣1图象上的点，
且x1≥0，x2＞0，若直线MN∥x轴，则f（x1）=g（x2），即f（x）=sinx1+x13=x2﹣1，
则M，N两点间的距离为x2﹣x1=sinx1+x13+1﹣x1．
令h（x）=sinx+x3+1﹣x，x≥0，则h′（x）=cosx+x2﹣1，h″（x）=﹣sinx+x≥0，故h′（x）在[0，+∞）上单调递增，故h′（x）=cosx+x2﹣1≥h′（0）=0，
故h（x）在[0，+∞）上单调递增，故h（x）的最小值为h（0）=1，
即M，N两点间的距离的最小值为1，
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上
13．（5分）（2016•石家庄二模）（x2+）dx=．
【解答】解：（x2+）dx=2x2dx+2dx=2×|+2××
π×12=．
故答案为：．
14．（5分）（2016秋•枞阳县校级月考）设x、y满足约束条件，则z=22x
﹣y的最小值为．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图
由图可知，最优解为C，
联立，解得B（﹣1，0）．
∴z=2x﹣y的最小值为﹣2．
则z=22x﹣y的最小值为：．
故答案为：．
15．（5分）（2016秋•枞阳县校级月考）第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如下图会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面
积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么=．
【解答】解：设直角三角形的边长为a，a+1，
则a2+（a+1）2=25，a＞0．
解得a=3．
∴sinθ=，cosθ=．
∴==．
故答案为．
16．（5分）（2016秋•枞阳县校级月考）若函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a﹣x）=2b（其中a，b不同时为0），则称函数y=f（x）为“准奇函数”，称点（a，b）为函数f（x）的“中心点”．现有如下命题：
①函数f（x）=sinx+1是准奇函数；
②若准奇函数y=f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），则函数F（x）=f（x+a）﹣f（a）为R上的奇函数；
③已知函数是准奇函数，则它的“中心点”为
④已知函数f（x）=x3﹣3x2+6x﹣2是准奇函数，则它的“中心点”为（1，2）；
其中正确的命题是①②④（写出所有正确命题的序号）
【解答】解：对于①，∵函数f（x）=sinx+1，∴f（0+x）+f（0﹣x）=2，∴a=0，b=1，满足“准奇函数”的定义，故①正确；
对于②，若F（x）=f（x+a）﹣f（a），则F（﹣x）+F（x）=f（x+a）﹣f（a）+f （﹣x+a）﹣f（a）=f（a﹣x）+f（a+x）﹣2f（a），
∵f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），∴f（a﹣x）+f（a+x）=2f（a），即F （﹣x）+F（x）=f（a﹣x）+f（a+x）﹣2f（a）=0，
∴F（﹣x）=﹣F（x），∴函数F（x）=f（x+a）﹣f（a）为R上的奇函数，∴故②正确；
对于③，f（+x）+f（﹣x）=2，得a=，b=1，故错
对于④，函数f（x）=x3﹣3x2+6x﹣2，∴f（1+x）+f（1﹣x）=（1+x）3﹣3（1+x）2+6（1+x）﹣2+（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2+6（1﹣x）﹣2=4，
∴点（1，2）为函数f（x）的“中心点”，故④正确．
故答案为：①②④
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）（2016秋•朝阳区期中）已知函数f（x）=asinx﹣cosx（a∈R）的图象经过点（，0）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数的图象经过点，
所以，
解得a=1；…（3分）
所以，
所以f（x）最小正周期为T=2π；…（6分）
（Ⅱ）因为，所以；
所以当，即时，f（x）取得最大值，最大值是2；
当，即时，f（x）取得最小值，最小值是﹣1；
所以f（x）的取值范围是[﹣1，2]．…（13分）
18．（12分）（2016秋•枞阳县校级月考）在公差不为0的等差数列{a n}中，已知a1=1，且a2，a5，a14成等比数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=2n•a n，求数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，
由题知，，…（1分）
∵a1=1，∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），…（2分）
即d2﹣2d=0，又∵d≠0，∴d=2…（4分）
∴a n=1+2（n﹣1），∴a n=2n﹣1．…（5分）
（2）∵，…（6分）
∴①
②
①﹣②得…（9分）
=
=2﹣8+2n+2﹣（2n﹣1）×2n+1
=﹣6+2n+1（2﹣2n+1）=﹣6+2n+1（3﹣2n）…（11分）
∴．…（12分）
19．（12分）（2016秋•枞阳县校级月考）设向量
，
（Ⅰ）设函数，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，锐角A满足，，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）
=
=；
∴；
由得增区间为：；（Ⅱ）由，得；
又因为，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA；
即7=b2+c2﹣bc；
即7=（b+c）2﹣3bc；
∴7=16﹣3bc；
∴bc=3；
∴．
20．（12分）（2016秋•枞阳县校级月考）设△A BC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC+c=2b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=1，求△A BC的周长的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可知：===2R，
则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由2acosC+c=2b，
即2sinAcosC+sinC=2sinB，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴．
∵．
又∵A∈（0，π），
∴．
（Ⅱ）由正弦定理得，
∴
=．
∵，
∴，
∴．
故△A BC的周长的取值范围是（2，3]．
21．（12分）（2016•怀化二模）在等比数列{a n}中，公比q≠1，等差数列{b n}满足b1=a1=3，b4=a2，b13=a3．
（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；
（2）记c n=（﹣1）n•b n+a n，求数列{c n}的前n项和S n．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q（q≠1），等差数列{b n}的公差为d．
由已知得：，b1=3，b4=3+3d，b13=3+12d，
所以或q=1（舍去），
所以，此时d=2，
所以，，b n=2n+1；
（Ⅱ）由题意得：，
S n=c1+c2+…+c n=（﹣3+5）+（﹣7+9）+…+（﹣1）n﹣1（2n﹣1）+（﹣1）n（2n+1）+3+32+…+3n，
当n为偶数时，，
当n为奇数时，，
所以，．
22．（12分）（2016秋•枞阳县校级月考）已知函数．（I）求函数f（x）在处的切线方程为4x﹣y+m=0时，此时函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若，判断函数g（x）=x[f（x）+a+1]的零点的个数．
【解答】解：（Ⅰ），，
所以a=﹣2，则，x∈（0，+∞），，
由f'（x）＞0得，0＜x＜1；由f'（x）＜0得，x＞1；
所以函数f（x）的单调增区间为（0，1）；单调减区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）x∈（0，+∞），g（x）=ax2﹣（a+1）xlnx+（a+1）x﹣1．
所以g'（x）=2ax﹣（a+1）lnx
设m（x）=2ax﹣（a+1）lnx，．
令m'（x）=0得，当时，m'（x）＜0；当时，m'（x）＞0．
所以g'（x）在上单调递减，在上单调递增．
所以g'（x）的最小值为．
因为，所以．
所以g'（x）的最小值．
从而，g（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
又，
设h（a）=e3a﹣（2lna+6）．则．令h'（a）=0得．
由h'（a）＜0，得；由h'（a）＞0，得．
所以h（a）在上单调递减，在上单调递增．
所以．所以h（a）＞0恒成立．
所以e3a＞2lna+6，．
所以．
又g（1）=2a＞0，所以当时，函数g（x）恰有1个零点．
参与本试卷答题和审题的老师有：742048；qiss；沂蒙松；maths；zlzhan；zhwsd；sllwyn；changq；whgcn；lcb001；sdpyqzh；陈远才；wkl197822；铭灏2016；wyz123；刘老师（排名不分先后）
huwen
2017年4月17日。