高中数学人教B版课时分层作业13 等比数列的性质 Word版含解析

课时分层作业(十三) 等比数列的性质
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．等比数列{a n }的公比q ＝－1
4，a 1＝2，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数数列
D ．摆动数列
D [因为q ＝－1
4<0，所以{a n }是摆动数列．]
2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )
【210】
A ．a 1，a 3，a 9成等比数列
B ．a 2，a 3，a 6成等比数列
C ．a 2，a 4，a 8成等比数列
D ．a 3，a 6，a 9成等比数列
D [因为a 2
6＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．]
3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(a ∈N ＋)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 1
3
(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )
A ．－5
B ．－1
5 C ．5
D ．15
A [由题知log 3a n ＋1＝log 3(3a n )＝log 3a n ＋1 所以a n ＋1＝3a n >0，所以a n ＋1
a n ＝3，
所以{a n }是公比为3的等比数列．
所以a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3＝9×33＝35，
所以log 13
(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13
35＝－5.]
4．已知－9，a 1，a 2，－1四个数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)的值等于( )
【211】
A ．－8
B ．8
C ．－98
D ．98
A [由题知a 2－a 1＝－1＋93＝8
3，b 22＝(－9)×(－1)＝9，且b 2<0，所以b 2＝－3，所以b 2(a 2－a 1)＝(－3)×8
3＝－8.]
5．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5
a 7
等于( )
A.56 B ．65 C.23
D ．32
D [设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1. 由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.
∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6
q ＋6q ＝5. 解得q ＝
26
，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622
＝32.]
二、填空题
6．在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于________.
【212】
256 [∵a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265， ∴a 3a 8＝213.
∵a 3＝16＝24，∴a 8＝29＝512.
又∵a 8＝a 3q 5，∴q ＝2， ∴a 7＝a 8q ＝512
2＝256.]
7．已知6，a ，b,48成等差数列，6，c ，d,48成等比数列，则a ＋b ＋c ＋d ＝________.
90 [由题知a ＋b ＝6＋48＝54，⎝ ⎛⎭⎪⎫d c 3
＝48
6，cd ＝6×48
所以c ＝12，d ＝24，所以a ＋b ＋c ＋d ＝54＋12＋24＝90.]
8．在等比数列{a n }中，若a 2，a 8是方程x 2－3x ＋6＝0的两个根，则a 4a 6＝________.
【213】
6 [由题知a 2·a 8＝6，根据等比数列的性质，a 4·a 6＝a 2a 8＝6.] 三、解答题
9．在83和27
2之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积．
[解] 设这个等比数列为{a n }，
其公比为q ，a 1＝83，a 5＝272＝a 1q 4＝83·q 4
. 所以q 4＝8116，q 2＝94. 所以a 2·a 3·a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3 ＝a 31
·q 6
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫833
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫943
＝63＝216. 10．设二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ∈N ＋)有两个根α，β且满足6α－2αβ＋6β＝3.
【214】
(1)试用a n 表示a n ＋1；
(2)当a 1＝7
6时，求数列{a n }的通项公式．
[解] (1)由根与系数的关系得，α＋β＝a n ＋1a n ，αβ＝1
a n ，
又6α－2αβ＋6β＝3，所以6a n ＋1a n －2
a n ＝3，
即a n ＋1＝12a n ＋1
3. (2)因为a n ＋1＝12a n ＋1
3， 所以a n ＋1－23＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －23， 又a 1－23＝1
2，
故⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n －23是以12为首项，公比也为12的等比数列，a n －23＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫12n
，所以数列{a n }
的通项公式为a n ＝23＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12n
.
[冲A 挑战练]
1．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是( )
A ．3
B ．27
C ．3或27
D ．15或27
C [设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＝3＋b ，
(a －6)2
＝3b ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝15，
b ＝27.
所以这个未知数为3或27.]
2．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )
【215】
A ．±2
B ．±4
C ．2
D ．4
C[∵T13＝4T9.
∴a1a2...a9a10a11a12a13＝4a1a2 (9)
∴a10a11a12a13＝4.
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4.∴a8a15＝±2.
又∵{a n}为递减数列，∴q>0.∴a8a15＝2.]
3．在等比数列{a n}中，有a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.
8[由等比数列的性质得a3a11＝a27，∴a27＝4a7.
∵a7≠0，∴a7＝4.
∴b7＝a7＝4.再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.]
4．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n＝a n＋1(n＝1,2，…)，若数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
【216】－9[由题意知，数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，说明{a n}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{a n}中连续四项至少有一项为负，∴q<0.
又∵|q|>1，
∴{a n}的连续四项为－24,36，－54,81.
∴q＝
36
－24
＝－
3
2，∴6q＝－9.]
5．在等差数列{a n}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项．已知数列a1，
a3，a k
1，a k
2
，…，a k
n
，…成等比数列，求数列{k n}的通项k n.
[解]依题设得a n＝a1＋(n－1)d，a22＝a1a4，
∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，整理得d 2＝a 1d ，∵d ≠0， ∴d ＝a 1，得a n ＝nd .
∴由已知得d,3d ，k 1d ，k 2d ，…，k n d ，…是等比数列．
又d ≠0，∴数列1,3，k 1，k 2，…，k n ，…也是等比数列，首项为1，公比为q ＝3
1＝3，由此得k 1＝9.
等比数列{k n }的首项k 1＝9，公比q ＝3，∴k n ＝9×q n －1＝3n ＋1(n ＝1,2,3，…)，即得到数列{k n }的通项为k n ＝3n ＋1.。