2018年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 7. 3空间向量

2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：7.3空间向量
一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示
<一）用向量法证明平行、垂直
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1.用向量证明线面平行的方法有：
(1>证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
(2>证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；
(3>证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.
2.用向量法证垂直问题
(1>证明线线垂直,只需证明两直线的方向向量数量积为0;
(2>证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直;
(3>证明面面垂直,只需证明两平面的法向量的数量积为0,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直.
3．利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线,直线与平面，平面与平面的平行和垂直.
<1）设直线的方向向量为直线的方向向量为则
<2）设直线l的方向向量为平面α的法向量为则
<3）设平面α的法向量为平面β的法向量则
※例题解读※
〖例〗如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.
(1>求证:CM∥平面PAD;
(2>求证:平面PAB⊥平面PAD.
思路解读：题目中存在从点C出发的三条两两垂直的直线,故可建立空间直角坐标系,用向量的坐标运算证明线面平行,线线垂直,面面垂直.
解答：以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
∵PC⊥平面ABCD,
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC=30°.
∵PC=2,∴BC=,PB=4.
∴D(0,1,0>,B(,0,0>,
A(,4,0>,P(0,0,2>,M(>,
∴=(0,-1,2>,=(,3,0>,=(>,
<1）令为平面PAD的一个法向量，则
即
令y=2,得
<2）取AP的中点E，则
<二）异面直线所成的角
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高考中对异面直线所成的角的考查,一般出现在综合题的某一步,一般步骤为:
(1>平移：要充分挖掘图形的性质,寻找平行关系,如利用“中点”特征等.
(2>证明：证明所作的角是异面直线所成的角.
寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.
(4>取舍：因为异面直线所成的角θ的取值范围是0°<θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.
若用向量法，则转化为求两向量的夹角.
※例题解读※
〖例〗如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BC⊥CF,,EF=2，BE=3，CF=4.
(Ⅰ>求证：EF⊥平面DCE；
(Ⅱ>当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°．
解读：<Ⅰ）证明：在△BCE中，BC⊥CF,BC=AD=,BE=3，∴EC=，
∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE………………3分
由已知条件知，DC⊥平面EFCB,∴DC⊥EF，
又DC与EC相交于C，……………………………………5分
∴EF⊥平面DCE……………………6分
<Ⅱ）如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz．……………………7分
设AB=a<a >0），则C(0,0,0>，A(,0,a>，B(，0，0），E(，3，0），F<0，4，0）．从而………………9分
设平面AEF的法向量为，由得，
，取x=1，则，
即，…………………………11分
不妨设平面EFCB的法向量为，
由条件，得
解得．所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°．
<三）利用向量法解决开放性问题
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1.开放性问题是近几年高考的一种常见题型，这类问题具有一定的思维深度，用向量法较容易解决.
2.对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
※例题解读※
〖例〗如图，已知正方形OBCD所在平面与等腰直角三角形AOD所在平面互相垂直，OA=OD=4，点E、F分别为CD、OA的中点.
(1>求证：DF∥平面AEB；
(2>线段AD上是否存在一点M，使BM与平面AEB所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
思路解读：第(1>问用传统方法证明，即利用中位线定理在平面AEB内找一条直线与DF平行；第(2>问用向量法解答比较容易入手.
解答：(1>如图，取AB中点G，连结FG，EG；
∵FG∥OB，
∴FG∥DE，
又FG=OB，DE=OB，
∴FG=DE，
∴四边形EDFG为平行四边形，
∴DF∥EG，
又EG平面AEB，DF平面AEB，
∴DF∥平面AEB.
(2>依题意知平面OBCD⊥平面AOD，OB⊥OD，
∴OB⊥平面AOD，得OB⊥OA，
又AO⊥OD，OB⊥OD.
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，
∵AO=OD=4，可得A(0，4，0>、E(4，0，2>、B(0，0，4>，∴=(4，-4，2>，=(0，-4，4>.
设平面AEB的一个法向量为=(1，b，c>，
解得b=2，c=2，
∴=(1，2，2>.
设线段AD上存在一点M(t，4-t，0>，
其中0≤t≤4，则=(t,4-t,-4>.
可得t2+2t-8=0，解得t=2或t=-4(舍去>.
所以AD上存在一点M(2，2，0>，它是AD的中点，
所以
二、空间直角坐标系
<一）求空间中点的坐标
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1、通过分析几何体的特点，恰当的建立坐标系，可以方便的写出点的坐标，“恰当”的原则是：①充分利用几何体的垂直关系；②尽可能的让点落在坐标轴或坐标平面上。

注：不同的建系方法，求出的点的坐标也不同。

2、求空间点P坐标的方法
方法一：<1）过点P作一个平面平行于坐标平面yOz,这个平面与x轴的交点记为，它在x轴上的坐标为x,这个数x叫做点P的横坐标；
<2）过点P作一个平面平行于坐标平面xOz，这个平面与y轴的交点记为，它在y轴上的坐标为y，这个数y叫做点P的纵坐标；
<3）过点P作一个平面平行于坐标平面xOy,这个平面与z轴的交点记为，它在z轴上的坐标为z,这个数z叫做点P的竖坐标。

显然x轴上点的坐标形如(x,0,0>,xOy平面上点的坐标形如(x,y,0>.
方法二：从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面的距离等于点P的对应坐标的绝对值，进而可求点P的坐标。

※例题解读※
〖例〗已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M为A1C1中点，N为AB1中点，建立适当的坐标系，写出M，N两点的坐标。

思路解读：利用正方体的共顶点的三棱两两垂直建系，然后用求空间中点的坐标的方法来求。

解答：如图，
以A为原点，AB，AD，AA1分别为x,y,z轴的正半轴建立空间坐标系。

从M点分别向平面yAz,平面xAz,平面xAy作垂线。

∵正方体的棱长为2，∴M点的坐标为(1,1,2>.同理，N点坐标为(1,0,1>.
<二）空间中点的对称问题
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1、常见对称点的坐标规律
在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z>,则点P
<1）关于原点的对称点是(-x,-y,-z>;
<2）关于x轴的对称点是(x,-y,-z>;
<3）关于y轴的对称点是(-x,y,-z>;
<4）关于z轴的对称点是(-x,-y,z>;
<5）关于xOy坐标面的对称点是(x,y,-z>;
<6）关于yOz坐标面的对称点是(-x,y,z>;
<7）关于zOx坐标面的对称点是(x,-y,z>.
2、中点坐标公式
若A(x1,y1,z1>,B(x2,y2,z2>,则线段AB的中点P的坐标为
3、利用中点坐标公式也可求对称点的坐标。

※例题解读※
〖例〗已知矩形ABCD中，A<4，1，3），B<2，-5，1），C<3，7，-5），求顶点D的坐标
思路解读：AC的中点即为BD中点，利用中点坐标公式可求
解答：∵矩形的对角线互相平分，∴AC的中点即为BD的中点。

由已知，AC中点M为(，4，-1>。

设D(x,y,z>,则∴x=5,y=13,z=-3.∴D(5,13,-3>.
<三）空间两点间距离公式的应用
〖例〗已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=900，AB=AC=AA1=2，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|
思路解读：建立空间直角坐标系确定点M、N的坐标求|MN|。

解答：如图，
以A为原点，AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B<2，0，0），C1<0，2，2），A1<0，0，2），B1<2，0，2），∴N<1，0，2），M<1，1，1）。

∴|MN|=。

注：利用空间中两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线段的长，只要建立恰当的坐标系，
通过简单的坐标运算即可解决。

三、空间向量及其运算
<一）空间向量的线性运算
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用已知向量表示未知向量，一定要结合图形。

可从以下角度入手。

<1）要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来；
<2）把要表示感谢向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系。

<3）用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘。

<4）注意应用以下结论，
①A为BC中点，O为空间任一点，则
②A、B、C三点共线，O为空间任一点，则λ+<1-λ）等。

※例题解读※
〖例〗如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=，，，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用，，表示以下各向量：
<1）；<2）；<3）
思路解读：结合图形，利用空间向量加减法及数乘运算法则和运算律即可。

解答：<1）∵P是C1D1的中点，
∴
<2）∵N是BC的中点，∴，又，
∴
<二）共线向量定理、共面向量定理的应用
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应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面。

1、证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
<1）
<2）对空间任一点O，
<3）对空间任一点O，
2、证明空间四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面
<1）
<2）对空间任一点O，
<3）对空间任一点O，；
<4）
注：在<3）中，若，则点P即为ΔMAB的重心。

若则若P为ΔMAB的重心，则
，此即为三角形重心坐标公式。

※例题解读※
〖例〗设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面。

思路解读：
解答：由题意得，，又A，B，C及A1，B1，C1
分别共线，∴，
∴
<三）空间向量的数量积运算
〖例〗如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C，求证：AB1=A1C。

思路解读：利用直棱柱的性质，可证明AB=AC，则AB1=A1C。

解答：。

同理：，
注：<1）利用向量的数量积，可以求异面直线所成的角，两点间的距离，证明垂直等问题。

当题目条件中有垂直关系时，转化为数量积为零进行应用，非常方便。

<2）利用向量解决几何体中的长度、夹角、垂直等问题的基本思路是先根据已知条件选择基向量，并求出其长度和数量积，再用基向量表示出有关的向量，并进行向量运算，从而得出相关结论。

<四）空间向量的坐标运算
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空间向量的有关运算
设
<1）坐标运算
<2）共线与垂直的坐标表示
<均为非零向量）。

<3）模和距离公式
若则
※例题解读※
〖例〗设向量计算以及
所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使与z轴垂直。

思路解读：代入向量坐标运算的公式求，利用数量积求的夹角余弦值，利用确定λ，μ的关系。

解答：=<6，10，-8）+<6，3，24）=<12，13，16）。

=3×<3，5，-4）-2×<2，1，8）=<9，15，-12）-<4，2，16）=<5，13，-28）。

=(3,5,-4>·(2,1,8>=6+5-32=-21.
∵
∴
由=(3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ>·(0,0,1>=-4λ+8μ=0,即λ=2μ,
∴当λ,μ满足λ=2μ时,可使与z轴垂直
四、立体几何中的向量方法
<一）利用空间向量证明平行和垂直
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利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直。

<1）设直线的方向向量为，直线的方向向量为，则
∥
<2）设直线的方向向量为，平面α的法向量为，则
∥α
<3）设平面α的法向量为，平面β的法向量为，则α∥β
※例题解读※
〖例〗如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=600，PA=AB=BC，E是PC的中点。

<1）证明AE⊥CD；
<2）证明：PD⊥平面ABE。

思路解读：①建立空间直角坐标系确定的坐标计算AE⊥CD；
②求面ABE的法向量判断满足PD⊥平面ABE或确定
坐标计算 PD⊥平面ABE
解答：<1）∵AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
设PA=AB=BC=1，则P<0，0，1）。

<二）利用空间向量求点面距
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利用向量法求点面距，其步骤如下：
<1）求出该平面的一个法向量；
<2）找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量；
<3）求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点面平面的距离，如图：
点P到平面α的距离
由于可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段所对应向量的数量积的绝对值，即。

※例题解读※
〖例〗<北京卷16）如图，在三棱锥中，，，，
．
<Ⅰ）求证：；
<Ⅱ）求二面角的大小； <Ⅲ）求点
到平面
的距离．
思路解读：题中<I
）利用
证明；题中<II ）<III ）可利用题中<I ）的结论：PC ，AC ，BC
两两垂直，建立空间直角坐标系求解。

解法一： <Ⅰ）取
中点，连结
．
，
．
，
．
，
平面．
平面
，
．
<Ⅱ）
，，
．
又
，
．
又
，即，且，
平面
． 取
中点
．连结．
，．
是
在平面内的射影，
．
是二面角
的平面角．
在
中，
，，
，
．
A
C
B
D
P
A
C
B
E P
二面角的大小为．<Ⅲ）由<Ⅰ）知平面，
平面平面．
过作，垂足为．
平面平面，
平面．
的长即为点到平面的距离．
由<Ⅰ）知，又，且，
平面．
平面，
．
在中，，，
．
．
点到平面的距离为．
解法二：
<Ⅰ），，
．
又，
．
，
平面．
平面，
．
<Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则．
A
C
B
D
P
H
x
y
设．
，
，．
取中点，连结．
，，
，．
是二面角的平面角．
，，，
．
二面角的大小为．
<Ⅲ），
在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．
如<Ⅱ）建立空间直角坐标系．
，
点的坐标为．
．
点到平面的距离为．
<三）利用空间向量求空间角
〖例〗湖北卷18.<本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，平面侧面.
<Ⅰ）求证：；
<Ⅱ）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关
系，并予以证明.
思路解读：<I）利用面面垂直的性质转化为线面垂直，再证线面垂直，进而得到线线垂直；
<II）建立空间直角坐标系，求出与的某个三角函数值，然后比较两角的大小。

解答：本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.
<Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得
AD⊥平面A 1BC,又BC平面A1BC，
所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，
则AA1⊥底面ABC，
所以AA1⊥BC.
又AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，
又AB侧面A 1ABB1，故AB⊥BC.
<Ⅱ）解法1：连接CD，则由<Ⅰ）知是直线AC与平面A1BC所成的角，
是二面角A1—BC—A的平面角，即
于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中，
由AB＜AC，得又所以
解法2：由<Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分
别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b,
AB=c,则B(0,0,0>, A(0,c,0>, 于是
[
设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z>，则
由得
可取n=(0,-a,c>，于是与n的夹角为锐角，则与互为余
角.
所以
于是由c＜b，得
即又所以
注：求空间角<异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）一直是高考的热点，如果用几何法求需要作出这些角的平面角，对空间想象能力要求高。

而用向量法求解时，只需利用公式。

通过简单的向量运算即可解决，显示了向量这一工具巨大的作用。

求二面角时，可以利用法向量求。

申明：
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