必修5解三角形和数列测试题及答案

必修五解三角形和数列综合练习
解三角形
一、选择题
1．在△ ABC 中，三个内角
A ，
B ，
C 的对边分别是 a ， b ， c ，若 b 2＋ c 2－ a 2
＝ bc ，则角 A 等于 ()
π π 2π 5π
(A)
(B)
(C)
(D)
6
3
3
6
2．在△ ABC 中，给出下列关系式：
① sin(A ＋ B)＝ sinC
②cos(A ＋ B)＝ cosC ③ sin
A B
cos
C
2
2
其中正确的个数是 ( )
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
3．在△ ABC 中，三个内角
A ，
B ，
C 的对边分别是 a ， b ， c. 若 a ＝ 3， sinA ＝
2
， sin(A ＋ C)＝ 3
，则 b 等于 (
)
3
4
(A)4
8 (C)6
27
(B)
(D)
3
8
4．在△ ABC 中，三个内角 A ，B ，C 的对边分别是
a ，
b ，
c ，若 a ＝ 3，b ＝4， sinC ＝
2
，则此三角形的面积是 (
)
3
(A)8
(B)6 (C)4
(D)3
5．在△ ABC 中，三个内角
A ，
B ，
C 的对边分别是 a ， b ， c ，若 (a ＋ b ＋ c)(b ＋ c － a)＝ 3bc ，且 sinA ＝ 2sinBcosC ，则
此三角形的形状是 ( )
(A) 直角三角形
(B) 正三角形
(C) 腰和底边不等的等腰三角形 (D) 等腰直角三角形
二、填空题
6．在△ ABC 中，三个内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，若 a ＝ 2 ， b ＝ 2，B ＝ 45°，则角 A ＝ ________.
7．在△ ABC 中，三个内角
A ，
B ，
C 的对边分别是 a ， b ， c ，若 a ＝ 2， b ＝ 3， c ＝ 19 ，则角 C ＝ ________.
8．在△ ABC 中，三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 b ＝ 3，c ＝ 4，cosA ＝ 3
，则此三角形的面积为 ________.
5
9．已知△ ABC 的顶点 A(1， 0)， B(0 ，2)， C(4， 4)，则 cosA ＝ ________.
10．已知△ ABC 的三个内角 A ，B ，C 满足 2B ＝A ＋ C ，且 AB ＝ 1，BC ＝ 4，那么边 BC 上的中线 AD 的长为 ________. 三、解答题
11．在△ ABC 中， a ， b ，c 分别是角 A ， B ， C 的对边，且 a ＝ 3， b ＝ 4， C ＝ 60° .
(1)求 c ； (2)求 sinB.
12．设向量 a ， b 满足 a · b ＝ 3，|a |＝ 3， |b |＝ 2.
(1)求〈 a ， b 〉； (2)求 |a － b |.
13．设△ OAB 的顶点为O(0，0) ，A(5， 2)和 B(－ 9， 8)，若 BD ⊥ OA 于 D.
(1)求高线 BD 的长；
(2)求△ OAB 的面积 .
14．在△ ABC 中，若 sin2A＋sin2B＞ sin2C，求证： C 为锐角 .
(提示：利用正弦定理
a b c
，其中 R 为△ ABC 外接圆半径 ) sin A sin B
2R
sin C
15．如图，两条直路OX 与 OY 相交于 O 点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX、OY 上的 A、
B 两点， | OA |＝ 3km ， | OB |＝ 1km ，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿XO 方向，乙沿 OY 方向.
问： (1)经过 t 小时后，两人距离是多少(表示为 t 的函数 )？
(2)何时两人距离最近？
cos B b
16．在△ ABC 中， a，b， c 分别是角 A，B， C 的对边，且.
cosC2a c
(1)求角 B 的值；
(2)若 b＝13， a＋ c＝ 4，求△ ABC 的面积 .
数列
一、选择题
1．在等差数列 { a n} 中，已知 a1＋ a2＝ 4， a3＋ a4＝12，那么 a5＋ a6等于 ()
(A)16(B)20(C)24(D)36
2．在 50 和 350间所有末位数是 1 的整数和 ()
(A)5880(B)5539(C)5208(D)4877
3．若 a， b， c 成等比数列，则函数 y＝ ax2＋bx＋ c 的图象与x 轴的交点个数为 ()
(A)0(B)1(C)2(D) 不能确定
4．在等差数列 { a n} 中，如果前 5 项的和为 S5＝ 20，那么 a3等于 ()
(A) － 2(B)2(C) － 4(D)4
5．若 { a n} 是等差数列，首项 a1＞ 0，a2007＋ a2008＞ 0，a2007·a2008＜0，则使前 n 项和 S n＞ 0 成立的最大自然数n 是 ( )
(A)4012(B)4013(C)4014(D)4015
二、填空题
6．已知等比数列 { a n} 中， a3＝3， a10＝ 384，则该数列的通项a n＝ ________.
7．等差数列 { a n} 中， a1＋ a2＋ a3＝－ 24， a18＋ a19＋ a20＝ 78，则此数列前20 项和 S20＝ ________.
8．数列 { a n} 的前 n 项和记为 S n，若 S n＝ n2－ 3n＋ 1，则 a n＝ ________.
， a ， a 成等比数列，则a3a6a
9
＝ ________.
9．等差数列 { a n} 中，公差 d≠ 0，且 a1 39a
4 a
7
a
10
10．设数列 { a n} 是首项为 1 的正数数列，且 (n＋1)a n21－ na n2＋ a n＋1a n＝ 0(n∈N* ) ，则它的通项公式a n＝ ________.
三、解答题
11．设等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 a3＋a7－a10＝8， a11－ a4＝ 4，求 S13.
12．已知数列 { a n} 中， a1＝ 1，点 (a n， a n＋1＋ 1)(n∈N* )在函数 f(x)＝2x＋ 1 的图象上 .
(1)求数列 { a n} 的通项公式；
(2)求数列 { a n} 的前 n 项和 S n；
(3)设 c n＝ S n，求数列 { c n} 的前 n 项和 T n.
13．已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n满足条件 S n＝ 3a n＋2.
(1)求证：数列 { a n} 成等比数列；
(2)求通项公式a n.
14．某渔业公司今年初用 98 万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用
12 万元，从第二年开始包括维修费
在内，每年所需费用均比上一年增加 4 万元，该船每年捕捞的总收入为 50 万元 .
(1)写出该渔船前四年每年所需的费用 (不包括购买费用 )；
(2)该渔船捕捞几年开始盈利
(即总收入减去成本及所有费用为正值
)？
(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以
8 万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？
15．已知函数 f(x)＝
1 (x ＜－ 2)，数列 { a n } 满足 a 1＝ 1，a n ＝f(－ 1 )( n ∈N *
).
x 2
4
a n
1
(1)求 a n ；
(2)设 b n ＝ a n 2
1 ＋ a n
2
2 ＋⋯＋ a 22
n 1 ，是否存在最小正整数
m ，使对任意 n ∈ N *
有 b n ＜
m
成立？若存在，求出 m
25
的值，若不存在，请说明理由
.
16．已知 f 是直角坐标系平面 xOy 到自身的一个映射，点
P 在映射 f 下的象为点 Q ，记作 Q ＝ f( P) .
设 P 1(x 1，y 1 )，P 2＝ f(P 1)，P 3＝ f( P 2 )，⋯， P n ＝ f(P n －1 )，⋯ . 如果存在一个圆，使所有的点
P n ( x n ， y n )(n ∈ N *
)
都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点 P n (x n ， y n )的一个收敛圆 . 特别地，当 P 1＝ f(P 1)时，则称点 P 1 为映射 f
下的不动点 .
若点 P(x ， y)在映射 f 下的象为点 Q(－x ＋ 1，
1
y).
2
(1)求映射 f 下不动点的坐标；
(2)若 P 1 的坐标为 (2， 2)，求证：点 P n (x n ，y n )(n ∈ N *
) 存在一个半径为
2 的收敛圆 .
解三角形
1． B 2． C 3． D 4． C
5． B
提示：
5．化简 (a ＋ b ＋c)( b ＋c － a)＝ 3bc ，得 b 2
＋ c 2
－ a 2
＝ bc ，
由余弦定理，得 cosA ＝
b 2
c 2 a 2
1
，所以∠ A ＝ 60° .
2bc 2 因为 sinA ＝2sinBcosC ，A ＋ B ＋ C ＝ 180°，
所以 sin(B ＋ C)＝ 2sinBcosC ，
即 sinBcosC ＋ cosBsinC ＝2sinBcosC. 所以 sin(B － C)＝ 0，故 B ＝ C. 故△ ABC 是正三角形 .
二、填空题
6． 30°7． 120° 8． 24
9．
5
10． 3
5
5
三、解答题
11． (1)由余弦定理，得 c ＝
13 ；
(2)由正弦定理，得
sinB ＝
2 39
.
13
12． (1)由 a · b ＝ |a |· |b |· cos 〈 a ， b 〉，得〈 a ， b 〉＝ 60°；
(2)由向量减法几何意义，
知 |a |， |b |， |a － b |可以组成三角形，
所以 |a － b |2＝ |a |2＋ |b |2
－2|a |· |b |· cos 〈 a ， b 〉＝ 7，
故 |a － b |＝ 7 .
13． (1) 如右图，由两点间距离公式，
得 OA(5
0)
2
(2 0)
2
29 ，
同理得 OB
145 , AB
232 .
由余弦定理，得
OA
2
AB
2
OB
2
2 cos A
2 OA AB
,
2
所以 A ＝ 45°.
故 BD ＝AB ×sinA ＝ 2 29 .
(2)S △ OAB ＝
1
·OA · BD ＝
1
·
29 · 2 29 ＝ 29.
2
2
a b c
得
a
sin A, b
sin B, c
sin C .
2R
2R
2R 因为 sin 2
A ＋ sin 2
B ＞ sin 2
C ， 所以 ( a ) 2
( b )
2
( c ) 2
，
2R 2R
2R
即 a 2＋ b 2＞ c 2.
所以 cosC ＝ a
2
b 2
c 2
＞0，
2ab
由 C ∈ (0， π )，得角 C 为锐角 .
15． (1)设 t 小时后甲、乙分别到达
P 、Q 点，如图，
则 |AP|＝ 4t ， |BQ|＝ 4t ，因为 |OA |＝3，所以 t ＝ h 时， P 与 O 重合 .
4
故当 t ∈ [0，
]时，
4
|PQ|2
＝ (3－ 4t)2＋ (1＋ 4t)2
－ 2× (3－4t)× (1＋ 4t)× cos60°；
当 t ＞
2
－ 3) 2 ＋ (1＋ 4t) 2
－ 2× (4t － 3)× (1＋ 4t)× cos120°.
h 时， |PQ| ＝ (4t
4
故得 |PQ|＝ 48t
2
24t 7 (t ≥ 0).
(2)当 t ＝
2 24 1
h 时，两人距离最近，最近距离为2km .
48
4
16． (1) 由正弦定理
a
b
c
sin A sin B
2 R ，
sin C
得 a ＝2RsinA ， b ＝ 2RsinB ，c ＝ 2RsinC. 所以等式
cos B
b 可化为 cos B
2R sin B
，
cos C
2a c
cosC
2 2Rsin A 2 R sin C
即 cos B sin B
， cosC 2 sin A sin C
2sinAcosB ＋ sinCcosB ＝－ cosC · sinB ，
故 2sinAcosB ＝－ cosCsinB － sinCcosB ＝－ sin(B ＋ C) ，
因为 A ＋ B ＋ C ＝π ，所以 sinA ＝ sin(B ＋ C)，
故 cosB ＝－ 1
，
2
所以 B ＝ 120° . (2)由余弦定理，得
b 2＝ 13＝ a 2＋
c 2
－ 2ac ×cos120°，
即 a 2
＋ c 2
＋ ac ＝ 13 又 a ＋c ＝ 4，
a 1 a 3
解得
3
，或
.
c
c
1
所以 S ＝ 11
× 1× 3× 3 ＝ 3 3 .
数列
一、选择题
1． B 2． A
3． A
4． D
5． C
二、填空题
n －
3
1, (n 1) 6
10． a n ＝
1 * )
6． 3· 2
7． 1808． a n ＝
4, (n 2)
9．
n (n ∈ N
2n 7
提示：
10．由 (n ＋ 1)a 2n 1 － na 2
n ＋ a n ＋ 1a n ＝ 0，得 [(n ＋ 1)a n ＋1－ na n ]( a n ＋ 1＋ a n )＝ 0，
因为 a n ＞0，所以 (n ＋ 1)a n ＋ 1－ na n ＝ 0，即 a n 1
n a n
n
，
1
所以 a n
a 2 a 3 a n
1 2 n 1 1 .
a 1 a 2
a
n 1
2 3
n
n
三、解答题
11． S 13＝ 156.
12． (1) ∵点 (a n ， a n ＋ 1＋ 1)在函数 f(x)＝2x ＋ 1 的图象上，
∴ a n ＋ 1＋ 1＝ 2a n ＋1，即 a n ＋1＝ 2a n .
∵ a 1＝ 1，∴ a n ≠ 0，∴
a n 1
＝ 2，
a n
∴ { a n } 是公比 q ＝ 2 的等比数列，
∴ a n ＝ 2n － 1
.
(2)S n ＝
1 (1
2n ) 2n
1 .
1
2
(3)∵ c n ＝ S n ＝ 2n
－ 1，
∴ T n ＝ c 1＋c 2＋ c 3＋⋯＋ c n ＝ (2－ 1)＋ (22－ 1)＋⋯＋ (2n
－ 1)
2
n
2 (1 2n
)
n ＋
1
－n － 2.
＝ (2＋ 2 ＋⋯＋ 2 )－ n ＝
1 2
n ＝ 2
13．当 n ＝1 时，由题意得 S 1＝ 3a 1 ＋2，所以 a 1＝－ 1；
当 n ≥2 时，因为 S n ＝ 3a n ＋ 2，所以 S n － 1＝ 3a n －1 ＋2；
两式相减得 a n ＝ 3a n － 3a n － 1， 即 2a n ＝ 3a n － 1.
由 a 1＝－ 1≠ 0，得 a n ≠0. 所以 a n 3
(n ≥ 2， n ∈ N *
) .
a n 1
2
由等比数列定义知数列
{ a n } 是首项 a 1＝－ 1，公比 q ＝ 3
的等比数列 .
2
3 n － 1
所以 a n ＝－ (
)
．
14． (1) 设第 n 年所需费用为 a n (单位万元 )，则
a 1＝ 12， a 2＝ 16， a 3＝ 20， a 4＝ 24．
(2)设捕捞 n 年后，总利润为 y 万元，则 n(n 1)
由题意得 y ＞ 0，∴ 2n 2
－ 40n ＋ 98＜ 0，∴ 10－ 51 ＜ n ＜ 10＋ 51 . ∵ n ∈N *
，∴ 3≤ n ≤ 17，即捕捞 3 年后开始盈利 . (3)∵ y ＝－ 2n 2＋40n － 98＝－ 2(n － 10)2
＋ 102，
∴当 n ＝ 10 时， y 最大 ＝102．
即经过 10 年捕捞盈利额最大，共盈利
102＋ 8＝ 110(万元 ).
15． (1)由 a n ＝ f(－
1
)，得
1
1
4 (a n ＋ 1＞ 0)，
a n
2
a n
2
a
n 1
1 1 } 为等差数列，∴
1 1 ＋ (n －1) ·4．
∴ { 2
2 ＝ 2
a n
a n
a 1
∵ a 1＝ 1，∴ a n ＝
1 3 (n ∈ N *
).
4n
(2)由 b n
a n 2 1 a n
2
2
a 2
2
n 1
1 1
1 5 1 ，
4n 4n
8n 1
得 b n － b n ＋1＝ 1
1
1 1 1 ) (
1
1
) 1 8n
5 8n 9
(
2
8n
2 8n
4n 8n 5 8n
9
3
7
(8n 2)(8n 5) (8n
2)(8n 9)
∵ n ∈N *
，∴ b n － b n ＋ 1＞ 0，
∴ b n ＞ b n ＋ 1( n ∈ N *
)，∴ { b n } 是递减数列 .
∴ b n 的最大值为 b 1
a 22
a 32
14
.
45
若存在最小正整数
m ，使对任意 n ∈ N *
有 b n ＜
m
成立，
25
只要使 b 1＝
14
m
即可，∴ m ＞
70
.
45
25
9
∴对任意 n ∈N *
使 b n ＜
m
成立的最小正整数
m ＝ 8．
25
16． (1) 解：设不动点的坐标为
P 0(x 0， y 0) ，
x 0
x 0 1
1
， y 0＝ 0，
由题意，得
1
，解得 x 0 y 0
y 0
2
2
所以此映射 f 下不动点为 P 0(
1
，0) .
2
x
n 1
x n 1
(2)证明：由 P n ＋ 1＝ f(P n )，得
，
y
n 1
1
y n
2
所以 x n ＋1－ 1 ＝－ ( x n － 1
)， y n ＋1＝ 1
y n .
2
2 2
因为 x 1 ＝2， y 1＝ 2，
所以 x n － 1
≠ 0， y n ≠ 0，
2
x n 1
1 y n 1
1 .
2
所以
1
1, y n
2
x n
2
由等比数列定义，得数列
{ x n －
1
}( n ∈N
*
)是公比为－ 1，
2
首项为 x 1－ 1
＝ 3
的等比数列，
2
2
所以 x －
1
＝
3
× (－ 1)
n － 1
，则 x ＝
1
＋ (－ 1)n － 1
× 3
.
n
2
n
2
2
2
同理 y n ＝2× ( 1
)n － 1
.
2
所以 P n ( 1
＋ (－1)n －1
× 3
， 2× ( 1
) n － 1
) .
2
2 2
设 A(
1
， 1)，则 |AP n |＝ ( 3
) 2
[1 2 ( 1 )
n 1
] 2
.
2
2
2
因为 0＜ 2× ( 1
)n － 1
≤ 2，
2
所以－ 1≤ 1－ 2× (
1
)n － 1
＜ 1，
2
所以 |AP n |≤ (3
)
2
1 ＜ 2．
2
故所有的点 P n (n ∈N *
)都在以 A(
1
，1)为圆心， 2 为半径的圆内， 即点 P n (x n ，y n )存在一个半径为
2 的收敛圆 .
2。