集合间基本关系教学设计 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

1.2 集合间的基本关系
课程内容：
（一）引入新课
问题 1：上一节课，我们学习了集合的概念，集合的元素有何特征？元素与集合有何关系？集合的表示方法有哪些？
师生活动：学生回忆已学知识，教师明确集合的元素特征、元素与集合的关系及列举法、描述法.
设计意图：复习集合的概念、集合中元素的特征(确定性、互异性和无序性)、元素与集合的关系(属于、不属于)及集合的表示方法(列举法、描述法).
问题 2：两个实数之间有何关系？类比实数之间关系，你认为集合与集合有何关系？
师生活动：学生回答两个实数之间有大小关系和相等关系；教师提示，集合与集合之间有包含关系和相等关系.
设计意图：引入集合与集合的包含关系和相等关系.
（二）探究新知
问题 3：观察下面几个例子，类比实数之间的大小关系、相等关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？
（1）A = {1, 2, 3} ，B = {1, 2, 3, 4, 5}；
（2）A 为立德中学高一（2）班的全体女生组成的集合，B 为这个班的全体学生组成的集合；
（3）A = {x | x 是两条边相等的三角形} ，B = {x | x 是等腰三角形} .
师生活动：学生独立观察、思考，交流讨论；教师选择以下问题进行追问.
追问：（1）你从哪个角度来分析每组两个集合间的关系？
（学生：从元素与集合之间的关系来分析每组两个集合间的关系.）
（2）能用集合的语言归纳概括上述三个具体例子的共同特点吗？
（学生：上述三个具体例子的共同特点是：在每组两个集合中，集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素.）
（3）上述三组集合中，前两组的两个集合间的关系与第三组两个集合间的关系有什么不同之处？
（学生：不同之处是：前两组集合中，集合B 中有的元素属于集合A ，有的元素不属于集合A ；第三组集合中，集合A 中的任何元素都属于集合B ，反过来，集合B 中的任何一个元素也都属于集合A .）
设计意图：让学生经历从观察到概括的过程，认识两个集合间的包含关系和相等关系，为子集与集合相等的定义作铺垫.
问题 4：梳理问题 3 中的观察结果，你能用集合语言表达这样的两个集合之间关系吗？师生活动：抽象概括，给出子集与集合相等的定义.
一般地，对于两个集合A, B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素，就称集
合A 是集合B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )，读作：“ A 包含于B ”（或B 包含A ）.
对于两个集合 A , B ，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时集合 B 中的任 何一个元素都是集合 A 的元素，那么集合 A 与集合 B 相等，记作 A = B .
教师追问：（1）问题 3 中的两个集合 A , B 之间有何关系？
（学生：在问题 3 的第（1）（2）中， A ⊆ B ；在问题 3 的第（3）中， A = B .）
（2） 类比实数中的结论“若a ≥ b ，且b ≥ a ，则a = b ”,你能用集合的包含关系表达两个集合的相等关系吗？
（学生：对于两个集合 A , B ，如果 A ⊆ B ，且 B ⊆ A ，则 A = B .）
（3） 上面我们用文字语言与符号语言表达两个集合之间的包含关系和相等关系，能用图形语言来表达两个集合之间的包含关系和相等关系吗？
教师讲解：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为 Venn 图.如果 A ⊆ B ，则可用下列的 Venn 图表示两个集合之间的包含关系：
设计意图：引导学生经历从观察到概括的过程，定义子集与集合相等的定义.
（三）理解新知
问题 5：阅读课本第 8 页关于真子集、空集的定义及思考栏目，回答如下问题：
（1） 子集和真子集的区别与联系是什么？集合的包含关系有哪些类型？
（2） 空集的元素特征是什么？能举出空集的例子吗？
（3） 集合的包含关系有何性质？
师生活动：学生阅读课本，认识子集和真子集的区别与联系，知道包含关系有真包含和相等两种类型，认识空集的元素特征，举出空集的例子，了解集合包含关系的性质.
教师提示，子集和真子集既有区别又有联系，包含关系有真包含关系和相等关系，认识空集的元素特征，了解集合包含关系的性质.
教师追问：（1）空集是什么？集合{0}是否为空集？空集Ø与任何集合之间有何关系？ （学生：空集Ø是不含任何元素的集合，集合{0}不是空集，{0}是含有一个元素“0”的集合，因此空集与{0}之间的关系是Ø ⊆ {0} ，空集Ø与任何非空集合的真子集.）
（2） 任何集合是它本身的子集吗？
（学生：任何集合 A 都是它本身的子集，即 A ⊆ A .）
（3） 如果 A ⊆ B , B ⊆ C ,那么集合 A 与集合C 有何关系？
（学生：若 A ⊆ B , B ⊆ C ,则 A ⊆ C .）
（四）应用新知
例 1 写出集合{a , b } 的所有子集，并指出哪些是它的真子集？
师生活动：学生独立解题，教师板演解题过程.
设计意图：巩固子集和真子集的概念，体会分类的原则和方法.为保证不重不漏，要按 照一定的顺序写出子集，比如可以根据子集中元素的个数分类.
例 2 判断下列各题中集合 A 是否为集合 B 的子集，并说明理由.
（1） A = {1, 2, 3} ， B = {x | x 是 8 的约数} ； B A
（2）A = {x | x 是长方形} ，B = {x | x 是两条对角线相等的平行四边形} .
师生活动：学生独立解题，教师板演解题过程.
设计意图：深化学生对子集概念的理解，掌握判断两个集合之间关系的基本方法——定义法.
（五）巩固新知
课内练习：教科书第 8 页练习 1,2,3
设计意图：让学生对子集概念的理解，掌握判断两个集合之间关系的基本方法——定义法.
（六）归纳总结
问题 6：回顾本节知识，并回答以下问题：
（1）两个集合间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的基本关系？
（2）包含关系与属于关系有什么区别？
（3）在本节课学习中，运用了哪些数学思维方法？
设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结.
（七）布置作业
教科书习题 1.2 第2,3,4,5 题.
答疑内容：
【问题 1】如何理解“∈”与“ ⊆”的区别？
【解答】“∈”是描述元素与集合关系的符号，而“⊆”是描述集合与集合关系的符号。

例如：0N,{0}N （填“∈”或“⊆”）。

解析：因为 0 是元素，N 是集合，所以 0 ∈N；因为{0}是集合，N 是集合，所以{0} ⊆N。

【问题 2】如何判断数集 A 是否是数集 B 的子集？
【解答】根据子集的定义进行判断，即：如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合 A 为集合 B 的子集。

例如：用⊆或⊇填空：（1）集合A={0，1，2},B={0，1，2，3},则A B
（2）集合A={ x x >1 },B={ x x > 2 },则A B
解析：（1）根据子集的定义，通过观察分析可得 A ⊆B；（2）根据子集的定义，画数轴可得 A ⊇B。

【问题 3】如何理解“{0}”与“Ø”的区别？
【解答】{0}是含有一个元素“0”的集合，而Ø是不含任何元素的集合，因此Ø与{0} 之间的关系是Ø⊆ {0} 。

例如：0{0},{0}Ø，0Ø（用合适的符号填空）。

解析：因为 0 是元素，{0}是集合，所以 0 ∈{0}；因为{0}是集合，Ø是集合，且Ø是任何集合的子集，所以{0} ⊇Ø；因为 0 是元素，Ø是集合，所以 0 ∉Ø。

【问题 4】如何理解“子集”与“真子集”的区别和联系？
【解答】根据真子集的定义可知：如果A ⊂B ，则A ⊆B ；如果A ⊆B ，A ⊂B 不一
≠≠
定成立，因为可能A =B 。

例如：写出集合{a, b} 的所有子集和真子集。

解析：集合{a, b} 的子集有：{a, b} ，{a} ，{b} ，Ø；
集合{a, b} 的真子集有：{a} ，{b} ，Ø。

比较可知子集比真子集多了集合本身这个集合。

例 2 判断下列各题中集合A 是否为集合B 的子集，并说明理由.
（1）A = {1, 2, 3} ，B = {x | x 是8 的约数} ；
（2）A = {x | x 是长方形} ，B = {x | x 是两条对角线相等的平行四边形} .
回答：（1）问题 3 中的两个集合A, B 之间有何关系？
（2）类比实数中的结论“若a ≥b ，且b ≥a ，则a =b ”,你能用集合的包含关系表达两个集合的相等关系吗？
（3）上面我们用文字语言与符号语言表达两个集合之间的包含关系和相等关系，能用图形语言来表达两个集合之间的包含关系和相等关系吗？
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为 Venn 图.如果A ⊆B ，则可用下列的 Venn 图表示两个集合之间的包含关系：
B
A。