2019年辽宁省沈阳市第十六高级中学高三数学文月考试题含解析

2019年辽宁省沈阳市第十六高级中学高三数学文月考
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在等差数列中，若，则的值为
A．24 B．22 C．20 D．18
参考答案：
答案：A
2. 下列命题中，真命题是（）
A．存在x∈R，使得e x≤0
B．“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件
C．x+≥2对任意正实数x恒成立
D．“p或q是假命题”“￢p为真命题”的必要不充分条件
参考答案：
C
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由指数函数的性质判断A；由充分必要条件的判定方法判断B，D；利用基本不等式求最值判断C．
【解答】解：对于A，由指数函数的性质得e x＞0，故A错误；
对于B，若x＞1，不一定有x＞2，反之，若x＞2，必有x＞1，
∴“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故B错误；
对于C，由基本不等式可得，若x＞0，则x+≥2，故C正确；
对于D，若p或q是假命题，则p，q均为假命题，则￢p为真命题，
反之，￢p为真命题，则p为假命题，p或q不一定是假命题，
∴“p或q是假命题”是“￢p为真命题”的充分不必要条件，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查了复合命题的真假判断，是基础题．
3. “实数a=1”是“复数( a∈R ,i为虚数单位)的模为”的( ).
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不是充分条件又不是必要条件
参考答案：
A
4. 如图程序运行后输出的结果为（）
A．﹣3 B．8 C．3 D．﹣8
参考答案：
B
【考点】伪代码．
【分析】根据流程图，先进行判定是否满足条件x＜0？，满足条件则执行x=y﹣3，不满足条件即执行y=y+3，最后输出x﹣y即可．
【解答】解：程序第三行运行情况如下：
∵x=9，不满足x＜0，则运行y=﹣2+3=1
最后x=9，y=1，
输出x﹣y=8．
故选B．
5. 函数的一个单调递增区间是
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
考点：三角函数的图像与性质
因为
所以，
故答案为：D
6. 已知函数，则方程g[f（x）]﹣a=0（a为正实数）的实数根最多有（）个．
A．6个B．4个C．7个D．8个
参考答案：
A
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】利用导数求的f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（2）=﹣3，且函数的值域为R．分a=1、0＜a＜1、a＞1三种
情况，研究方程跟的个数，从而得出结论．
【解答】解：∵函数，
令f′（x）=0 可得 x=0，x=2，在（﹣∞，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
故f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（2）=﹣3，且函数的值域为R．
由函数g（x）的图象可得，当x=﹣3或x=时，g（x）=1．
①当a=1时，若方程g[f（x）]﹣a=0，则：
f（x）=﹣3，此时方程有2个根，或f（x）=，此时方程有3个根，
故方程g[f（x）]﹣a=0可能共有5个根．
②当0＜a＜1时，方程g[f（x）]﹣a=0，则：
f（x）∈（﹣4，﹣3），此时方程有1个根，或f（x）∈（﹣3，﹣2），此时方程有3个根
故方程g[f（x）]﹣a=0可能共有4个根．
③当a＞1时，方程g[f（x）]﹣a=0，则：f（x）∈（0，），或f（x）∈（，
+∞），
方程可能有4个、5个或6个根．
故方程g[f（x）]﹣a=0（a为正实数）的实数根最多有6个，
故选 A．
7. 已知复数，是的共轭复数，则 ( ) Ａ.Ｂ. Ｃ.Ｄ.
参考答案：
A
略
8. 若P点是以A（-3，0）、B（3，0）为焦点，实轴长为的双曲线与圆x2+y2=9的一个交点，则= （）
A． B. C. D.
参考答案：
A
略
9. 已知实数，，构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为
（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
10. 外接圆半径等于1，其圆心满足，则向量
在方向上的投影等于（）
A． B． C． D．3
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，则=
参考答案：
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．F3
解析：∵，∴，
∴，故答案为。

【思路点拨】利用数量积运算法则及其性质即可得出．
12. 已知曲线与直线交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为、，则__________
参考答案：
【分析】
曲线即圆曲线的上半部分，因为圆是单位圆，所以，，，，联立曲线与直线方程，消元后根据韦达定理与直线方程代入即可求解.
【详解】由消去得，
则，
由三角函数的定义得
故.
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，直线与圆的应用.此题关键在于曲线
的识别与三角函数定义的应用.
13. 如图所示的程序框图，输出的结果是_________.
参考答案：
1
由程序框图可知，所以。

14. 设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为__________．
第1行
第2行
参考答案：
由题意，从随机数表第行的第列数字开始，从左到右依次选取两个数字的结果为，，，，，，，
故选出来的第个个体编号为．
15. = 。

参考答案：
16. 由1，2，3，4，5组成的五位数中，恰有2个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的五位数的个数是（.用数字作答）
参考答案：
17. 抛物线的焦点坐标是_______________.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．
（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求cos（2A+）的值．
参考答案：
【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；
（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，
可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，
，解得sinC=；
（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣
sin2Asin==．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．
19. 某市准备从7名报名者（其中男4人，女3人）中选3人参加三个副局长职务竞选.（1）设所选3人中女副局长人数为X，求X的分布列及数学期望；
（2）若选派三个副局长依次到A,B,C三个局上任，求A局是男副局长的情况下，B局是女副局长的概率。

参考答案：
(1)略(2) 解析：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3．
依题意得P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）
==
∴X的分布列为：
∴EX=0×+1×+2×+3×=．
（2）设事件M=“A局是男副局长”，N=“B局是女副局长”，则P（N|M）===．
略
20. (本小题满分12分)
已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆
内切，圆心的轨迹为曲线。

（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于，两点，当圆的半
径最长是，求。

参考答案：
21. 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F的坐标为（1，0），且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程
（Ⅱ）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为Q′，试问△FPQ′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆的定义与几何性质，即可求出它的标准方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，消去一个未知数，化为一元二次方程的问题，判断S△TRQ是否有最大值，利用基本不等式的性质，即可求得△FPQ′的面积是否存在最大值．
【解答】解：（1）由题意可知：c=1，2a=4，即a=2，
b2=a2﹣c2=3，
∴椭圆的标准方程：；
（2）设直线l的方程为x=my+4，
与椭圆的方程联立，得，
消去x，得（3m2+4）y2+24my+36=0，
∴△=（24m）2﹣4×36（3m2+4）=144（m2﹣4）＞0，
即m2＞4；…6分
设Q（x1，y1），R（x2，y2），则Q1（x1，﹣y1），
由根与系数的关系，得y1+y2=﹣，y1?y2=；
直线RQ1的斜率为k==，且Q1（x1，y1），
∴直线RQ1的方程为y+y1=（x﹣x1）；
令y=0，得x===，
将①②代入上式得x=1；…9分
又S△TRQ=|ST|?|y1﹣
y2|=?=18×=18×=18×≤，
当=，即m2=时取得“=”；
∴△TRQ的面积存在最大值，最大值是．
22. 已知函数，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；
（Ⅱ）当a≠1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若，证明对任意，恒成立．参考答案：
见解析
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】综合题；分类讨论；函数思想；综合法；构造法；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）把a=2代入函数解析式，求出原函数的导函数，得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的导数值，再求出f（1），代入直线方程的点斜式求切线的方程；（Ⅱ）求函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，根据a的范围由导函数的零点对函数定义域分段，利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性；
（Ⅲ）当0＜a＜时，f（x）在[，1]内是减函数，又x1≠x2，不妨设0＜x1＜x2，则f
（x1）＞f（x2），于是等价于
，
即．构造函数
（x＞0），利用导数证明其为减函数得答案．
【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，f（x）=，f′（x）=，
∴f′（1）=，
∵f（1）=．
∴切线方程为：y+2=（x﹣1），整理得：x+2y+3=0；
（Ⅱ）f′（x）x﹣=（x＞0），
令f′（x）=0，解得：x=a或x=．
①若0＜a＜1，，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：
（a，）（）
0 +
∴f（x）在区间（0，a）和（）内是增函数，在（a，）内是减函数；
②若a＞1，，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：
a
x
（0，）（）
+ 0
∴f（x）在区间（0，）和（a，+∞）内是增函数，在（，+∞）内是减函数；（Ⅲ）∵0＜a＜，∴f（x）在[，1]内是减函数，又x1≠x2，
不妨设0＜x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），．
于是等价于，即．
令（x＞0），
∵g′（x）=在[，1]内是减函数，
故g′（x）≤g′（）=2﹣（a+）．
从而g（x）在[，1]内是减函数，
∴对任意，有g（x1）＞g（x2），即
，
∴当，对任意，
恒成立．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，等价转化是解答（Ⅲ）的关键，属难题．。