(全国通用版)2021年中考数学复习 第一单元 数与式 第2讲 整式及因式分解练习

第2讲整式及因式分解
重难点1 整式的运算
(xx·乐山)先化简，再求值：(2m＋1)(2m－1)－(m－1)2＋(2m)3÷(－8m)，其中m是方程x2＋x－2＝0的根．【自主解答】解：原式＝4m2－1－(m2－2m＋1)＋8m3÷(－8m)
＝4m2－1－m2＋2m－1－m2
＝2m2＋2m－2
＝2(m2＋m－1)．
∵m是方程x2＋x－2＝0的根，
∴m2＋m－2＝0，即m2＋m＝2.
∴原式＝2×(2－1)＝2.
方法指导进行整式的运算时不要盲目入手，先观察式子的结构特征，确定解题思路，结合有效的数学思想：整体代入、降次、逆向思维等，使解题更加方便快捷．
【变式训练1】先化简，再求值：(2x＋y)2＋(x－y)(x＋y)－5x(x－y)，其中x＝2＋1，y＝2－1.
解：原式＝4x2＋4xy＋y2＋x2－y2－5x2＋5xy＝9xy.
当x＝2＋1，y＝2－1时，原式＝9×(2＋1)×(2－1)＝9.
【变式训练2】已知4x＝3y，求代数式(x－2y)2－(x－y)(x＋y)－2y2的值．
解：原式＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2＝－4xy＋3y2＝－y(4x－3y)．
∵4x＝3y，∴4x－3y＝0.
∴原式＝0.
重难点2因式分解
(xx·株洲)因式分解：a2(a－b)－4(a－b)＝(a－b)(a－2)(a＋2)．
方法指导因式分解必须分解到每一个多项式都不能分解为止．
【变式训练3】因式分解：(1)(xx·恩施)8a3－2ab2＝2a(2a＋b)(2a－b)；
(2)(xx·攀枝花)x3y－2x2y＋xy＝xy(x－1)2．
【变式训练4】(xx·吉林)若a＋b＝4，ab＝1，则a2b＋ab2＝4．
考点1代数式及求值
1．(xx·贵阳)当x＝－1时，代数式3x＋1的值是(B)
A．－1 B．－2 C．4 D．－4
2．(xx·桂林)用代数式表示：a的2倍与3的和．下列表示正确的是(B)
A．2a－3 B．2a＋3 C．2(a－3) D．2(a＋3)
3．(xx·大庆)某商品打七折后价格为a 元，则原价为(B )
A ．a 元
B .107a 元
C ．30%a 元
D .7
10
a 元
4．(xx·河北)用一根长为a(单位：cm )的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1(单位：cm )
得到新的正方形，则这根铁丝需增加(B )
A ．4 cm
B ．8 cm
C ．(a ＋4)cm
D ．(a ＋8)cm
5．(xx·岳阳)已知a 2＋2a ＝1，则3(a 2＋2a)＋2的值为5．
考点2 整式及其运算
6．(xx·荆州)下列代数式中，整式为(A )
A ．x ＋1
B .
1x ＋1 C .x 2＋1 D .x ＋1x
7．(xx·武汉)计算3x 2－x 2的结果是(B )
A ．2
B ．2x 2
C ．2x
D ．4x 2 8．(xx·柳州)计算：2a·a b ＝(B )
A ．2ab
B ．2a 2b
C ．3ab
D ．3a 2b 9．(xx·攀枝花)下列运算结果是a 5的是(D )
A ．a 10÷a 2
B ．(a 2)3
C ．(－a)5
D ．a 3·a 2 10．(xx·武汉)计算(a －2)(a ＋3)的结果是(B )
A ．a 2－6
B ．a 2＋a －6
C ．a 2＋6
D ．a 2－a ＋6 11．(xx·河北)若2n ＋2n ＋2n ＋2n ＝2，则n ＝(A )
A ．－1
B ．－2
C ．0
D .1
4
12．(xx·眉山)下列计算正确的是(D )
A ．(x ＋y)2＝x 2＋y 2
B ．(－12xy 2)3＝－16
x 3y 6 C ．x 6÷x 3＝x 2 D .（－2）2＝2
13．(xx·包头)如果2x
a ＋1
y 与x 2y
b －1
是同类项，那么a
b
的值是(A )
A .12
B .32
C ．1
D ．3
14．(xx·河北)将9.52变形正确的是(C )
A ．9.52＝92＋0.52
B ．9.52＝(10＋0.5)(10－0.5)
C ．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52
D ．9.52＝92＋9×0.5＋0.52
15．(xx·绍兴)下面是一位同学做的四道题：①(a＋b)2＝a 2＋b 2；②(－2a 2)2＝－4a 4；③a 5÷a 3＝a 2；④a 3·a 4＝a 12.其中做对的一道题的序号是(C )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④ 16．(xx·株洲)单项式5mn 2的次数为3．
17．(xx·金华)化简(x －1)(x ＋1)的结果是x 2－1． 18．(xx·大庆)若2x ＝5，2y ＝3，则22x ＋y ＝75．
19．(xx·安顺)若x 2＋2(m －3)x ＋16是关于x 的完全平方式，则m ＝－1或7． 20．(xx·宁波)先化简，再求值：(x －1)2
＋x(3－x)，其中x ＝－1
2
.
解：原式＝x 2－2x ＋1＋3x －x 2＝x ＋1. 当x ＝－12时，原式＝－12＋1＝1
2
.
21．(xx·吉林)某同学化简a(a ＋2b)－(a ＋b)(a －b)出现了错误，解答过程如下：
原式＝a 2＋2ab －(a 2－b 2) (第一步) ＝a 2＋2ab －a 2－b 2(第二步) ＝2ab －b 2 (第三步)
(1)该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号； (2)写出此题正确的解答过程． 解：原式＝a 2＋2ab －(a 2－b 2) ＝a 2＋2ab －a 2＋b 2 ＝2ab ＋b 2.
考点3 因式分解
22．(xx·贺州)下列各式分解因式正确的是(A )
A ．x 2＋6xy ＋9y 2＝(x ＋3y)2
B ．2x 2－4xy ＋9y 2＝(2x －3y)2
C ．2x 2－8y 2＝2(x ＋4y)(x －4y)
D ．x(x －y)＋y(y －x)＝(x －y)(x ＋y)
23．(xx·济宁)多项式4a －a 3分解因式的结果是(B )
A ．a(4－a 2)
B ．a(2－a)(2＋a)
C ．a(a －2)(a ＋2)
D .a(2－a)2
24．(xx·凉山州)多项式3x 2y －6y 在实数范围内分解因式正确的是(A )
A ．3y(x ＋2)(x －2)
B ．3y(x 2－2)
C ．y(3x 2－6)
D ．－3y(x ＋2)(x －2)
25．因式分解：(1)(xx·湘潭)a 2－2ab ＋b 2＝(a －b)2；
(2)(xx·葫芦岛)2a 3－8a ＝2a(a ＋2)(a －2)； (3)(xx·常州)3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2；
(4)(xx·潍坊)(x ＋2)x －x －2＝(x ＋2)(x －1)．
考点4 规律探索
26．(xx·重庆)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为(B )
① ② ③ ④ A ．11 B ．13 C ．15 D ．17 27．(xx·自贡)观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2 018个图形共有6__055个○.
第1个 第2个 第3个 第4个
28．(xx·常州)下面是按一定规律排列的代数式：a 2，3a 4，5a 6，7a 8，…则第8个代数式是15a 16．
29．(xx·淄博)若单项式a
m －1b 2
与12
a 2
b n
的和仍是单项式，则n m 的值是(C )
A ．3
B ．6
C ．8
D ．9
30．(xx·乐山)已知实数a ，b 满足a ＋b ＝2，ab ＝3
4
，则a －b ＝(C )
A ．1
B ．－52
C ．±1
D ．±5
2
31．(xx·枣庄)如图，将边长为3a 的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b 的小正方形后，
再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为(A )
A ．3a ＋2b
B ．3a ＋4b
C ．6a ＋2b
D ．6a ＋4b 32．(xx·重庆)按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是(C )
A．x＝3，y＝3 B．x＝－4，y＝－2
C．x＝2，y＝4 D．x＝4，y＝2
33．(xx·苏州)若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为12．
34．(xx·娄底)设a1，a2，a3，…是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，a n表示第n个数(n是正整数)．已知a1＝1，4a n＝(a n＋1－1)2－(a n－1)2，则a2 018＝4__035．
35．(xx·泰安)观察“田”字中各数之间的关系：
12
23
36
47
512
813
722
1623
940
3241
1174
6475
…
15c
a b
则c的值为270或28＋14．
36．(xx·贵阳)如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．
(1)用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；
(2)m＝7，n＝4，求拼成矩形的面积．
解：(1)矩形的长为m＋n，
矩形的宽为m－n，
矩形的周长为4m.
(2)矩形的面积为(m＋n)(m－n)，
当m＝7，n＝4时，(m＋n)(m－n)＝11×3＝33.
37．(xx·德州)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式(a＋b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算(a＋b)8的展开式中从左起第四项的系数为(B)
A．84 B．56 C．35 D．28
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