高考专题福建省福州三中高考考前模拟数学(理)试题(解析版).docx

第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.计算2
(1)i i -的值等于（ ）
A.-4
B.2
C.-2i
D.4i
【结束】
2.已知集合}11|{<≤-=x x A ，}0|{2
≤-=x x x B ，则B A I 等于 （ ）
A. }10|{<≤x x B ．}10|{≤<x x C ．}10|{<<x x
D.}10|{≤≤x x
【结束】
3.原命题p ：“设2
,,ac b a R c b a 则若、、>∈＞2
bc ”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题
共有（ ）个.
A.0
B.1
C.2
D.4
考点：四种命题的真假. 【结束】
4.已知角α的终边与单位圆12
2
=+y x 交于),2
1(0y P ,则α2cos 等于（ ） A ．12-
B ．2
1 C ．3
2
-
D ．1
【结束】
5.函数πsin 23y x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭在区间ππ2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，的简图是（ ）
【结束】
6.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ） A ．()x f x x =
B ．cos ()()22
x f x x x ππ=-<< C ．21()21
x x f x -=+ D ．22
()ln(1)f x x x =+
【结束】
7.设x 为非零实数，则p :21
>+
x
x 是q :1>x 成立的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析：∵1||2x x +
>，∴21()4x x +>，∴21()0x x ->，∴1
x x
≠，∴1x ≠±， 又∵||1x >，∴1x <-或1x >.
若p 成立，q 不一定成立，如取5.0=x ，反之成立，故p 是q 的必要不充分条件，故选B 考点：充分必要条件. 【结束】
8.已知曲线1C :13
22
=+y x 和2C :122=-y x ，且曲线1C 的焦点分别为1F 、2F ，点M 是1C 和2C 的一个交点，则△21F MF 的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．都有可能
【结束】
9.设a ∈R ，函数()x
x
f x e a e -=+⋅的导函数()f x '是奇函数，若曲线()y f x =的一条切线的斜率是3
2
，则
切点的横坐标为( )
A ．－ln22
B ．－ln2 C.ln2
2
D ．ln2
【结束】
10.设[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则在直角坐标平面xOy 上满足2
2
[]4[]100x y +=的点(,)P x y 所形成的图形的面积为（ ）
A.10
B. 12
C. 10π
D. 12π 【答案】B
【结束】
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
11.在5
6
7
(1)(1)(1)x x x +++++的展开式中，含4
x 的项的系数是___
【结束】
12.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3115,2S a ==，则4a =______.
【结束】
13.已知ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、．若△ABC 的面积2
2
2
S b c a =+-，则
tan A =的值是 。

【答案】4 【解析】
试题分析：222
1sin 2
S bc A b c a ==+-得222sin 42b c a A bc +-=得tan 4A =。

考点：三角形面积公式、余弦定理、商数关系. 【结束】
14.若一个四棱锥的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的等边三角形，则该四棱锥的四条侧棱长之和等于_____________
【结束】
15.已知集合{(,)()}M x y y f x ==，若对于任意实数对11(,)x y M ∈,存在22(,)x y M ∈,使得
12120x x y y +=成立，则称集合M 为“正交点集”，给出下列集合：
①1
{(,)}M x y y x
==；②2{(,)1}M x y y x ==-+；③{(,)cos }M x y y x ==；
④1{(,)}M x y y x x
==-；⑤{(,)1}M x y x y =+=.
则满足条件的“正交集合”有：_________________________（写出所有满足条件的集合的序号） 【答案】②③⑤ 【解析】
试题分析：①中取(1,1)A =，则不存在22(,)x y 使220x y +=且22
1y x =
； ④中取(1,0)A =，则不存在22(,)x y 使20y =且222
1y x x =-， 所以②③⑤正确. 考点：新定义题. 【结束】
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分13分）
某同学用“五点法”画函数()sin()(0,0,||)2
f x A x B A π
ωϕωϕ=++>><在某一个周期内的图象时，列
表并填入的部分数据如下表：
（Ⅰ）请求出上表中的123,,x x x ，并直接写出函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）将()f x 的图象沿x 轴向右平移
2
3
个单位得到函数()g x ，若函数()g x 在[0,]x m ∈（其中(2,4)m ∈）上的值域为[，且此时其图象的最高点和最低点分别为,P Q ，求OP uuu r 与OQ uuu r
夹角θ的大小。

【结束】
17.（本小题满分13分）
我国政府对PM2．5采用如下标准：
PM2.5日均值m （微克/立方米） 空气质量等级
35<m
一级
7535≤≤m 二级 75>m
超标 监测数据中，随机抽取l0天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十
位为茎，个位为叶)． (I)求这10天数据的中位数.
(II)从这l0天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；
2 8 2
3 8 2 1
4 4 5
6 3 8
7 7
PM2.5日均值（微克/立方米）
(III) 以这10天的PM2．5日均值来估计这180天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级．
【答案】（1）41；（2）分布列详见解析；（3）72. 【解析】
试题分析：本题主要考查茎叶图、中位数、超几何分布、二项分布以及期望公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用茎叶图计算中位数，将一组数据按从小到大的顺序排列，当数据有奇数个时，处在最中间的一个数是这组数据的中位数；第二问，利用超几何分布的计算公式
【结束】
18.（本小题满分13分）
如图，平面ABEF ⊥平面ABC ，四边形ABEF 为矩形，AC BC =．O 为AB 的中点，OF EC ⊥． （Ⅰ）求证：OE FC ⊥； （Ⅱ）若
3
AC AB =F CE B --的余弦值．
【答案】（1）证明过程详见解析；（2）
1
3
-. 【解析】
则(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0),2,0,0),F E B C -从而(2,1,1),(0,2,0),CE EF ==-u u u r u u u r
设平面FCE 的法向量
(,,)n x y z =r ，由00
CE n EF n ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r
g u u u r r
g ，得2)n =r ， -----------9分 同理可求得平面CEB 的法向量2,0)m =u r ，设,n m r u r 的夹角为θ，则1
cos 3
n m n m ==θr u r
g r u r ，由于二面角
F CE B --为钝二面角，则余弦值为1
3
- -----------13分
考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法.
【结束】
19.（本小题满分13分） 设椭圆22
222:1+=-x y E a r a
的焦点在x 轴上, 12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆在第一象限内的点，直线2F P 交y 轴于点Q ，
（Ⅰ）当1r =时，
(i)若椭圆E E 的方程； (ii)当点P 在直线1x y +=上时，求直线1F P 与1F Q 的夹角;
(II) 当0r r =时，若总有11F P F Q ⊥，猜想:当a 变化时，点P 是否在某定直线上，若是写出该直线方程（不必求解过程）.
【答案】（1）22
5=144
+x y ，090（2）0x y r +=. 【解析】
即点Q 坐标为00(0,)cy c x -.因此，直线F 1Q 的斜率为1F Q k ＝00
y c x -. 所以11F P F Q k k ⋅＝
0000y y x c c x ⋅+-＝－1. 所以F 1P ⊥F 1Q ， -----------10分
（2）点P 过定直线，方程为0x y r += -----------13分
考点：椭圆的标准方程、直线的方程、两直线垂直的充要条件.
【结束】
20.（本小题满分14分）
设,n N *∈ 圆222:(0)n n n C x y R R +=>与y 轴正半轴的交点为M ，与曲线y x =(,)n n N x y ，
直线MN 与x 轴的交点为(,0)n A a .
(I)用n x 表示n R 和n a
(II)若数列{}n x 满足21112(1)(1)(1)(2),3,15n n n x x x n x x -++=++≥==
(i)求常数p 的值，使得数列1{}n n a pa +-成等比数列；
(ii)比较n a 与23n ⨯的大小
.
2n n n R x x =+n n y x = 得21n n n n n
x x a x x =+ , 1
1111n n n n n n x x a x x x +∴==++++- 即11n n n a x x =++ -----------4分
()(1)(0)n n f x x x x =+->，则'11()[(1)]0n n f x n x x --=+-> 故
()(1)(0)n n f x x x x =+->是增函数，所以(3)(2)f f >，即4332n n n n ->-
即4223n n n n a =+>⋅ . -----------14分
考点：曲线与圆相交问题、直线的方程、等比数列的证明、利用导数判断函数的单调性.
【结束】
本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。

如果多做，则按所做的前两题计分。

作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

21.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
设,a b R ∈，若矩阵A ＝10a b ⎛⎫
⎪⎝⎭
的变换把直线:10l x y +-=变换为另一直线:210l x y '++=． （1）求,a b 的值；
（2）求矩阵A 的特征值．
所以 211,1,
b a +=-⎧⎨=-⎩
所以1a b ==-． ……………4分
（2）由（1）知矩阵A ＝1110-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
，
特征矩阵为111λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭
． ……………5分 特征多项式为()f λ=21111λλλλ
-=--， 令()f λ=0，解得矩阵A 的特征值1λ＝
152，2λ152+=，……………7分 考点：矩阵的变换、特征矩阵、特征多项式、特征值.
【结束】
(2)（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C1：
cos
sin
x
y
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
，
（θ为参数），曲线C2：
2
2
2
2
x t
y t
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
（t为参数）．
（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线
12
C C
''
，．写出
12
C C
''
，的参数方程．
1
C'
与
2
C'公共点的个数和C
2
1
C
与公共点的个数是否相同？说明你的理由．
（2）压缩后的参数方程分别为
1
C'：
cos
1
sin
2
x
y
θ
θ
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
（θ为参数）；2C'：
2
2
2
2
4
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
（t为参数）．
【结束】
(3) （本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
对于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥a2+b2恒成立，试求2a+b的最大值。

【结束】。