数学高考总复习重点精品课件：_《1.1回归分析的基本思想及其初步应用》课件_新人教A版选修1-2-PPT精选文档5

4．非线性回归分析 (1)非线性相关关系：样本点分布在某一条曲线的周围，而不是 一条直线附近．我们就称这两个变量之间不具有线性相关关系 而是非线性相关关系． (2)非线性回归方程线性化 ①y＝axn(其中a，x，y均为正值)(幂函数型函数) lg y＝lg a＋n lg x，令u＝lg y，v＝lg x，b＝lg a， 则u＝nv＋b，图象为一直线． ②y＝cax(a＞0，c＞0)(指数型函数) lg y＝x lg a＋lg c，令u＝lg y，b＝lg c，d＝lg a， 则u＝dx＋b，图象为一直线．
＝1350780≈0.196 2，
i＝1
a^＝ y －b^ x ＝0.181 42. 故所求回归直线方程为y^＝0.196 2x＋1.814 2. 回归直线如上图所示．
(3)据(2)，当 x＝150 m2 时，销售价格的估计值为 y^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．
n
差.
(yi－y^ i)2
称为残差平方和
i＝1
利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为 残差 ，横 残差图 坐标可以选为样本编号 ，或 身高数据 ，或体重估计值
等，这样作出的图形称为残差图
残差 图法
残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选 用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄， 说明模型拟合精度越高
解 (1)数据对应的散点图如下图所示：
(2) x ＝15i＝51xi＝109，i＝51 (xi－ x )2＝1 570，
5
y ＝23.2， (xi－ x )(yi－ y )＝308.
i＝1
设所求回归直线方程为y^＝b^ x＋a^ ，
5
xi－ x yi－ y
i＝1
则b^ ＝
5
xi－ x 2
【变式1】 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x 的数据：
房屋面积/m2 115 110 80 135 105 销售价格/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)画出数据对应的散点图； (2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．
【变式2】 已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如 下一组数据：
x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．
解 x ＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18， y ＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
题型二 线性回归分析 【例2】 为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，
对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：
x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图并求线性回归方程； (2)求出R2； (3)进行残差分析．
6
6
x2i ＝2 275，xiyi＝1 076.2
i＝1
i＝1
计算得，b^ ≈0.183，a^ ≈6.285，
所求回归直线方程为y^＝0.183x＋6.285.
(2)列表如下： yi－y^i 0.05 0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025 yi－ y －2.24 －1.37 －0.54 0.41 1.41 2.31
试一试：下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必 过( ).
x1234 y1357
A．点(2,3)
B．点(1.5,4)
C．点(2.5,4)
D．点(2.5,5)
提示 选 C.线性回归方程必过样本点的中心( x ， y )，即(2.5,4)．
3．刻画回归效果的方式
残差
数据点和它在回归直线上相应位置的差异(yi－y^i)是随机 误差．称e^i＝yi－y^i 为残差，e^i 称为相应于点(xi，yi)的残
题型一 求线性回归方程 【例1】 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
学生
学科
A B CDE
数学成绩(x) 88 76 73 66 63
物理成绩(y) 78 65 71 64 61
(1)画出散点图； (2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． [思路探索] 先利用散点图分析物理成绩与数学成绩是否线性相关， 若相关再利用线性回归模型求解．
题型三 非线性回归分析 【例3】 下表为收集到的一组数据：
x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 (1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系； (2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差； (3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．
(1)画出散点图或进行相关性检验，确定两变量x、y是 否线性相关．由散点图得x、y之间的回归模型． (2)进行拟合，预报回归模型，求回归方程．
(3)求线性回归方程的步骤： ①先把数据制成表，从表中计算出 x ， y ， x12＋x22＋…＋x2n，x1y1＋x2y2＋…＋xnyn 的值； ②计算未知参数a^，b^； ③写出线性回归方程^y＝b^x＋a^.
2．线性回归分析 (1)由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值． (2)随机误差的主要来源 ①线性回归模型与真实情况引起的误差； ②省略了一些因素的影响产生的误差； ③观测与计算产生的误差． (3)残差分析是回归分析的一种方法． (4)用相关指数R2来刻画回归效果． R2越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．
1．1 回归分析的基本思想及其初步应用
【课标要求】 1．了解随机误差、残差、残差分析的概念； 2．会用残差分析判断线性回归模型的拟合效果； 3．掌握建立回归模型的步骤； 4．通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想方法
和初步应用．
【核心扫描】 1．利用散点图分析两个变量是否存在相关关系，求线性回归方
6
所以
(yi－y^ i)2≈0.013
6
18，
(yi－ y )2＝14.678 4.
i＝1
i＝1
所以，R2＝1－01.40.16378184≈0.999 1， 回归模型的拟合效果较好．
(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确 认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠 正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀 地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归 模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系． 规律方法 当资料点较少时，也可以利用残差表进行残差分析，注 意计算数据要认真细心，残差分析要全面．
i＝1
i＝1
其中 x ＝1ni＝n1xi， y ＝1ni＝n1yi，( x ， y )称为样本点的中心．
(3)解释变量和预报变量 线性回归模型与一次函数模型的不同之处是增加了随机误差项e， 因变量y由 自变量x 和 随机误差e 共同确定，即自变量x只解 释部分y的变化，在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变 量y称为预报变量．
解 (1)散点图如图．
(2) x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2， y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
5
xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.
i＝1
5
x2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.
i＝1
5
xiyi－5 x y
i＝1
所以b^ ＝
5
＝25
054－5×73.2×67.8 27 174－5×73.22
x2i －5 x 2
i＝1
≈0.625.
a^＝ y －b^ x ≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 所以 y 对 x 的回归直线方程是 y^＝0.625x＋22.05. (3)x＝96，则y^＝0.625×96＋22.05≈82， 即可以预测他的物理成绩是 82.
e为
随机误．差
(2)对参数 a 和 b 的估计，由《数学必修 3》可知：最小二乘法估 计a^和b^就是未知参数 a、b 的最好估计，其计算公式为
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
i＝1
b^ ＝
i＝1
＝
，a^ ＝ y －b^ x ，
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
[思路探索] 作残差分析时，一般从以下几个方面予以说明：(1)散 点图；(2)相关指数；(3)残差图中的异常点和样本点的带状分布区 域的宽窄．
解 (1)散点图如图
x ＝16(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5， y ＝16(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，
5
x2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
i＝1
5
xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
i＝1
5
xiyi－5 x y
i＝1
所以b^ ＝
5
Байду номын сангаас
＝62106－605－×51×8×1872.4＝－1.15.
x2i －5 x 2
i＝1
a^ ＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求回归直线方程是：y^＝－1.15x＋28.1. 列出残差表：
3．建立回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报 变量． (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间 的关系(如是否存在线性关系等)． (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系， 则选用线性回归方程)． (4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数． (5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大 或残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否 有误，或模型是否合适等．
残差平
残差平方和为
n

(yi－y^ )2，残差平方和
越小
，模型
i＝1
方和
拟合效果越好
n

yi－y^ i2
i＝1
相关指 R2＝1－
，R2 表示 解释 变量对 预报 变量变
数 R2
n
yi－ y 2
i＝1
化的贡献率，R2 越接近于 1，表示回归的效果越好
想一想：回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实 值吗？为什么？ 提示 不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是 个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除 了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动 等．
程．(重点) 2．回归模型的选择，特别是非线性回归模型．(难点、易错点)
自学导引
1．回归分析
回归分析是对具有 相关关系 的两个变量进行统计分析的一种常
用方法．
2．线性回归模型
(1)由散点图易发现，样本点散布在某一条直线附近，而不是一
条直线上，不能用一次函数y＝bx＋a描述它们之间的关系，因
此用线性回归模型y＝bx＋a＋e来表示，其中a、b为未知参数，
名师点睛 1．线性回归方程
(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定 两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回 归直线方程． (2)求线性回归方程^y＝b^x＋a^的关键是求未知参数a^和b^，其中b^ 可借助于计算器求出，因为a^＝ y －b^ x ，即 y ＝b^ x ＋a^，所以点 ( x ，y )一定满足线性回归方程，即回归直线一定过点( x ，y )．
yi－y^i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 yi－ y 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
5
所以，
(yi－y^ i)2＝0.3，
5

(yi－ y )2＝53.2，
i＝1
i＝1
5

yi－y^ i2
i＝1
R2＝1－
≈0.994，
5
yi－ y 2
i＝1
所以回归模型的拟合效果很好．
[规范解答] (1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有 线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数 函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1、c2为待定的参数．(4分)
规律方法 (1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的， 对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关 系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析． (2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时， 求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫 无意义．