人教A版高中数学必修5精选优课教案2.4等比数列

《等比数学列公比q 的显著性》教学设计
广东省汕头市潮阳林百欣中学 彭小谋
教学目标︰
重点关注公比q 的几个关键值；
通过从丰富实例中抽象出不同公比对等比数列的项值影响，使学生认识到掌握好公比q 的特点是学好等比数列的不二抓手;同时经历由解决几个具体问题，体会公比q 的显著性。

教学重点：公比q 的不同类型：
教学难点：解题中如何通过q 的不同取值优化解题过程，提高解题品质。

教学过程：
一、回顾旧知，归纳拓展
在前几节课中,我们学习了等比数列的相关知识，今天我们在原有知识的基础上，进行一次拓展延伸。

【老师】首先请一位同学回答，你感觉等比数列中哪个基本量对等比数列起关键性影响？老师引导学生分析各个基本量的特点，并着重强调公比q 的特点。

【学生】通过观察，分析，理解，从而得到公比q 对等比数列的影响很关键。

二、实例讲解：
类型分析1：1=q 或1-=q
例1、化简求和：)0(......321≠++++=x x x x x S n
【学生】思考、讨论，考虑和式的结构特点。

【老师】求和的关键是看通项结构，同学们是否认可上式具有等比数列特点？ 【学生】发现等比关系，又感觉缺点什么。

【老师】认可是等比数列的同学举手！
【学生】要注意x 的取值，尤其是1=x 可能要讨论！ 【老师】很好！
解析：1）当1=x 时，n S =+++=1......11 2）当1≠x 时，x
x x S n --=1)1(
【设计意图】目的是让学生形式上的等比数列问题一定要关注q 取值对求和的影响，学会分类讨论，关注解题的完备性。

类型分析2：0.01>⇔>+n n a a q ，0.01<⇔<+n n a a q
例2：设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令,.....)2,1(1=+=n a b n n ，若数列{}n b 有连
续四项在集合{}82,37,19,23,53--中，求q 6的值。

【学生】思考、讨论，考虑条件中q 的限制。

【老师】已知集合中正、负项的个数对解题有没有帮助！
【学生】集合中正、负项的个数均不足四项，说明数列相邻项不可能同号！
【老师】很好，这说明什么问题呢？
【学生】多数学生发声：0<q ！
解析：
{}23105424245481,36,18,24,54122-=⇒><==
⇒--∈-=q q q q q b a n n 且且或
故96-=q 。

【设计意图】掌握好公比q 的正负对数列各项的调和作用！
例3、若等比数列的前n 项和0>n S ，求公比q 的范围。

【学生】思考、讨论，回顾求和公式的结构特点。

【老师】同0>q 学们有没有一个直观感觉，比方说0>q 是否成立，能否得到01>a ？
【学生】可以得到01>a 显然成立！0>q 似乎也符合题意！但必要吗？
【老师】很好的反问！谁能回答？……
解析：由0011>=⇒>a S S n 成立；
1）当0.01>⇔>+n n a a q 且001>⇒>n S a 显然恒成立，故0>q 符合题意；
2)当0<q 时，考虑01)1(1>--=q q a S n n 且01101>--⇒>q
q a n
即0)1)(1(>--q q n ，故若1001<<⇒<<-q q 时，显然符合题意，若11>⇒-≤n q q 时显然不符题意，故所求公比q 的取值范围为[][]1,00,1⋃-∈q
【设计意图】利用q 的关键值尝试分析法解不等式。

类型分析3：0≠q
例4：已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1=a （a ＞0），b 1﹣a 1=1，b 2﹣a 2=2，b 3﹣a 3=3．
（1）若a=1，求数列{a n }的通项公式；
（2）若数列{a n }唯一，求a 的值．
【老师】思考:公比q 的取值范围是什么呢？
【学生】正数、负数，但是不能为零。

【老师】很好，由于自然运算的需要，0≠q ！同学们对它的限制是如何把握的？
【学生】常识性的问题，还能怎么把握！？
【老师】实践出真知，我们不妨一块来考察上述问题。

解析：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，又∵b 1﹣a 1=1，b 2﹣a 2=2，b 3﹣a 3=3．且{b n }为等比数列
∴（2+q ）2=2（3+q 2）∴q=2±∴ （2）由（1）知（2+aq ）2=（1+a ）（3+aq 2）
整理得：aq 2﹣4aq+3a ﹣1=0
【老师】同学们在这儿会联想到什么？
【学生】二次方程！
【老师】并且是含有参数的二次方程！题目说 等比数列唯一。

【学生】说明公比唯一，说明方程有等根！说明△=0！！
【老师】继续吧！
∵a＞0，△=4a 2+4a ＞0 （【老师】纳闷吧？！）
【学生】奇怪！难道是错题！
【老师】再想想！△=4a 2+4a ＞0说明方程必有两不等根！是否与题设矛盾？
【学生】......应该两根中只有一个能做公比q ！
【老师】漂亮！公比不能为0！
【学生】数列{a n }唯一，∴方程必有一根为0！
∵数列{a n }唯一，∴方程必有一根为0，得a=
【设计意图】在实践中感受公比q 的显著性，提高的是学生的思维品质 ，炼就的是学生良好的解题习惯。

三、归纳小结 提炼精华
本节课主要学习了公比q 不同取值对数列特征的影响，包含以下几类：
1、1=q
或1-=q （分类讨论需要） 2、0.01>⇔>+n n a a q
，0.01<⇔<+n n a a q （关注调和） 3、0≠q （自然运算需要）
4、涉及数学思想方法包括：分类讨论，函数与方程、分析与综合等。

【老师】通过本节课的学习，你有哪些收获？
【学生1】在本节课中，我懂得了学好等比数列，必需以公比q为切入点，把握好公比q的几个临界值，是我们深刻理解等比数列的关键！
【学生2】在本节课中我还学习了分类讨论、分析与综合等数学思想方法。

【老师】当然我们还有方程的思想以及函数的思想。

目的只有一个：从细节做起，养成良好的思维习惯，练就优秀的解题品质！
【设计意图】让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。

这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。

四、作业
求下列各组数中插入怎样的数后是等比数列。

（1）1，____ ，9 （2）-1，____ ，-4 （3）-12，____ ，-3 （4）1，_____ ，1
2.根据右图的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?
五、目标检测设计
1:求下列等比数列的第4项和第5项；（1）4，-8,16, (2)
2：求下列各组数的等比中项；（1）4,9；（2）
3:已知等比数列的公比是q，第项为，试求其第n项。