四川省广安市武胜中学学年高一数学上学期第一次月考试卷(含解析)

四川省广安市武胜中学2014-2015学年高一上学期第一次月考数学
试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合M={0，1，2，3}，N={﹣1，0，2}那么集合M∩N（）
A．0，2 B．{0，2} C．（0，2）D．{（0，2）}
2．集合{1，2，3}的真子集的个数为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．函数y=+的定义域为（）
A．B．C．
D．
4．下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）
A．f（x）=x，g（x）=（）2B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2
C．f（x）=1，g（x）=D．f（x）=|x|，g（x）=
5．函数y=|x|+1的图象是（）
A．B．C．
D．
6．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣] C．[，+∞）D．（﹣∞，]
7．函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，2] B．[﹣2，+∞）C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
8．设A，B是非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知A={x|0≤x≤2}，B={x|x≥0}，则A×B等于（）
A．（2，+∞）B．[0，1]∪[2，+∞）C．[0，1）∪（2，+∞）D．[0，1]∪（2，+∞）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
9．若A={x∈R|x≥1}，则∁R A=．
10．若f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+3x，则f（﹣2）=．
11．已知函数f（x）=，其中x∈N，则f（8）=．
12．定义在（﹣2，2）上的函数f（x）是减函数，且f（a﹣1）＞f（2a），则实数a的取值范围为．
13．给出下列四个命题：
①空集是任何集合的子集
②已知f（x）=x2+bx+c是偶函数，则b=0
③若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
④已知集合P={a，b}，Q={﹣1，0，1}则映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射共有3个．其中正确命题的序号是．（填上所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）14．已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）的解析式．
15．全集U=R，若集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，则
（1）求A∩B，A∪B，（∁U A）∩（∁U B）；
（2）若集合C={x|x＞a}，B⊆C，求实数a的取值范围．
16．已知函数f（x）=|x﹣1|．
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）在右边所给的坐标第中画出该函数的图象；
（3）写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间（不要求证明）．
17．函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
18．设二次函数f（x）=ax2+bx+c在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值分别为M、m，集合A={x|f（x）﹣x=0}．
（1）若f（0）=2，且A={1，2}，求a，b， c；
（2）在（1）的条件下，求M和m的值；
（3）若A={2}，且a≥1，记g（a）=M﹣m，求g（a）的解析式．
四川省广安市武胜中学2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合M={0，1，2，3}，N={﹣1，0，2}那么集合M∩N（）
A．0，2 B．{0，2} C．（0，2）D．{（0，2）}
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：由M与N，找出两集合的交集即可．
解答：解：∵M={0，1，2，3}，N={﹣1，0，2}，
∴M∩N={0，2}．
故选B
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．集合{1，2，3}的真子集的个数为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
考点：子集与真子集．
专题：计算题．
分析：集合{1，2，3}的真子集是指属于集合的部分组成的集合，包括空集．
解答：解：集合的真子集为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，∅．共有7个．故选C．
点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．
3．函数y=+的定义域为（）
A．B．C．
D．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：要求函数的定义域，根号里边的数必须为非负数才能有意义得到两个不等式求出解集即可．
解答：解：据题可知：x应满足：，
解得
故函数的定义域为[﹣，]
故选：B．
点评：考查学生对定义域的理解及其求法，属于基础题．
4．下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）
A．f（x）=x，g（x）=（）2B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2
C．f（x）=1，g（x）=D．f（x）=|x|，g（x）=
考点：判断两个函数是否为同一函数．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：判断图象相同实质是判断函数相等即可．
解答：解：f（x）=x的定义域为R，g（x）=（）2的定义域为[0，+∞），故图象不同；f（x）=x2与g（x）=（x+1）2对应关系不同，故图象不同；
f（x）=1的定义域为R，g（x）=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故图象不同；
f（x）=|x|与g（x）=的定义域都是R，对应关系也相同，故图象相同．
点评：本题考查了函数相等的判断，要判断定义域与对应关系，属于基础题．
5．函数y=|x|+1的图象是（）
A．B．C．
D．
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：去掉绝对值，利用函数的表达式确定函数的图象即可．
解答：解：法1：函数y=|x|+1=，
∴函数对应的图象为C．
法2：∵函数y=|x|+1是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴C成立．
故选：C．
点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的性质是解决函数图象的关键，本题也可知直接使用函数的奇偶性进行判断．
6．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣] C．[，+∞）D．（﹣∞，]
考点：函数单调性的性质．
专题：计算题．
分析：由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数y=x2+（2a ﹣1）x+1图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案．
解答：解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛
物线
又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数，
故2≤
解得a≤﹣
点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
7．函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，2] B．[﹣2，+∞）C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．
解答：解：∵函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，
∴在[0，+∞）上是减函数，
则不等式f（a）≤f（2），等价为f（|a|）≤f（2），
即|a|≥2，
解得a≥2或a≤﹣2，
故选：D
点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．
8．设A，B是非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知A={x|0≤x≤2}，B={x|x≥0}，则A×B等于（）
A．（2，+∞）B．[0，1]∪[2，+∞）C．[0，1）∪（2，+∞）D．[0，1]∪（2，+∞）
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：计算题．
分析：先求出A∪B，A∩B，再根据新定义求A×B．
解答：解：由已知A={x|0≤x≤2}，B={x|x≥0}，
求得A∪B=x|x≥0}，
A∩B={x|0≤x≤2}，
根据新定义，A×B={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}
={x|x＞2}
=（2，+∞）
利用数轴表示如如图：
故选：A．
点评：本题考查了集合的描述法、列举法表示，集合的基本运算．本题中的新定义和课本中的补集有相通类似之处．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
9．若A={x∈R|x≥1}，则∁R A={x|x＜1}．
考点：补集及其运算．
专题：计算题．
分析：根据集合A，以及全集R，求出A的补集即可．
解答：解：∵A={x∈R|x≥1}，全集为R，
∴∁R A={x|x＜1}．
故答案为：{x|x＜1}
点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．
10．若f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+3x，则f（﹣2）=﹣14．
考点：函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：本题利用函数的奇偶性，将自变量﹣2转化为2，利用当x＞0时，f（x）=x3+3x，求出f（﹣2）的值，得到本题结论．
解答：解：∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x）．
∵当x＞0时，f（x）=x3+3x，
∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣[（2）3+3×（2）]=﹣14．
故答案为：﹣14．
点评：本题考查了函数的奇偶性与求函数值，本题难度不大，属于基础题．
11．已知函数f（x）=，其中x∈N，则f（8）=10．
考点：函数的值．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：由题意，代入相应的表达式求解即可．
解答：解：由题意，
f（8）=f（8+5）
=f（13）=13﹣3=10，
故答案为：10．
点评：本题考查了分段函数的应用，属于基础题．
12．定义在（﹣2，2）上的函数f（x）是减函数，且f（a﹣1）＞f（2a），则实数a的取值范围为﹣1＜a＜1．
考点：函数单调性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用函数f（x）的单调性，将f（a﹣1）＞f（2a）中的“f”去掉，即可得到不等式组，求解即可得到答案．
解答：解：∵f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，
则有，
解得﹣1＜a＜1，
∴实数a的取值范围为﹣1＜a＜1．
故答案为：﹣1＜a＜1．
点评：本题主要考查函数的单调性定义的应用，要注意自变量要在给定的区间内．利用函数的单调性求解不等式，解题的关键是将不等式进行合理的转化，然后利用单调性去掉“f”，属于函数知识的综合应用．属于中档题．
13．给出下列四个命题：
①空集是任何集合的子集
②已知f（x）=x2+bx+c是偶函数，则b=0
③若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
④已知集合P={a，b}，Q={﹣1，0，1}则映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射共有3个．其中正确命题的序号是①②④．（填上所有正确命题的序号）
考点：命题的真假判断与应用．
专题：函数的性质及应用；集合．
分析：①根据规定，空集是任何集合的子集，∴①对；
②根据偶函数的性质：f（﹣x）=f（x），列出方程利用对应系数相等求出a、b、c的值．
③若函数f（x）的定义域为[0，2]，则令0≤2x≤2，解得0≤x≤1，即可判断；
④列举出映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射有f（a）=﹣1，f（b）=0或f（a）=0，f（b）=0或f（a）=1，f（b）=0，即可判断．
解答：解：①根据规定，空集是任何集合的子集，∴①对；
②∵f（x）=x2+bx+c是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即x2﹣bx+c=x2+bx+c，∴﹣bx=bx，∴2bx=0，∴b=0，故②对；
③若函数f（x）的定义域为[0，2]，则令0≤2x≤2，解得0≤x≤1，
则函数f（2x）的定义域是[0，1]，故③错；
④已知集合P={a，b}，Q={﹣1，0，1}，则映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射有：
f（a）=﹣1，f（b）=0或f（a）=0，f（b）=0或f（a）=1，f（b）=0，共3个，故④对．故答案为：①②④
点评：本题考查集合与映射的概念，抽象函数的定义域，同时考查函数的奇偶性，是一道基础题，也是易错题．
三、解答题（本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）14．已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）的解析式．
考点：函数解析式的求解及常用方法．
分析：由题意设f（x）=ax+b，利用f（x）满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，利用恒等式的对应项系数相等即可得出．
解答：解：由题意设f（x）=ax+b，（a≠0）．
∵f（x）满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，
∴3[a（x+1）+b]﹣2[a（x﹣1）+b]=2x+17，
化为ax+（5a+b）=2x+17，
∴，解得．
∴f（x）=2x+7．
点评：本题考查了“待定系数法”求一次函数的解析式和恒等式的性质．
15．全集U=R，若集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，则
（1）求A∩B，A∪B，（∁U A）∩（∁U B）；
（2）若集合C={x|x＞a}，B⊆C，求实数a的取值范围．
考点：交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．
专题：计算题．
分析：（1）由A与B，求出交集与并集，根据全集U=R，求出A与B的补集，找出两补集的交集即可；
（2）根据B为C的子集，由B与C求出a的范围即可，
解答：解：（1）∵全集U=R，集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，
∴A∩B={x|3≤x≤7}，
A∪B={x|2＜x＜10}，
∁U A={x|x＜3或x≥10}，
∁U B={x|x≤2或x＞7}，
则（∁U A）∩（∁U B）={x|x≤2或x≥10}；
（2）∵B⊆C，B={x|2＜x≤7}，C={x|x＞a}，
若B⊆C，
∴a≤2．
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
16．已知函数f（x）=|x﹣1|．
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）在右边所给的坐标第中画出该函数的图象；
（3）写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间（不要求证明）．
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．
专题：作图题；数形结合．
分析：（1）根据绝对值的意义，分当x≥1时，当x＜1时两种情况求解，最后再写成分段函数的形式，
（2）每一段都是一次函数，图象是一条直线，在定义域内任取两点作图即可．
（3）根据图象，定义域即看横轴覆盖部分，值域即看纵轴覆盖部分，奇偶性，看是否关于原点对称或关于纵轴对称．单调增区间看上升趋势，单调减区间看下降趋势．
解答：解：（1）
（2）
（3）定义域为R，值域为{y|y≥0}，图象即不关于原点对称也不关于y轴对称，所以f（x）是非奇非偶函数，
单调增区间[1，+∞），单调减区间（﹣∞，1）
点评：本题主要考查绝对值函数转化为分段函数，研究其图象和性质．还考查了数形结合的思想与方法．
17．函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
考点：函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：（1）奇函数有f（0）=0，（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）利用函数的单调性解答．
解答：解：（1）由题意得，
解得，a=5，b=0．
∴f（x）=．
（2）证明：任取x1、x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则
f（x1）﹣f（x2）==，
∵﹣1＜x1＜x2＜1，
∴（1+）（1+）＞0； x1﹣x2＜0；1﹣x1•x2＞0；
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
（3）∵f（t﹣1）+f（t）＜0，
∴f（t﹣1）＜﹣f（t），
即f（t﹣1）＜f（﹣t），
则
解得，0．
点评：本题综合考查了函数的性质，包括了奇偶性，单调性的应用与证明，属于基础题．
18．设二次函数f（x）=ax2+bx+c在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值分别为M、m，集合A={x|f（x）﹣x=0}．
（1）若f（0）=2，且A={1，2}，求a，b，c；
（2）在（1）的条件下，求M和m的值；
（3）若A={2}，且a≥1，记g（a）=M﹣m，求g（a）的解析式．
考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：（1）由f（0）=2，求得c，再由A={1，2}得1，2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的两根，运用韦达定理，即可得到a，b；
（2）运用二次函数的对称轴和区间的关系，即可得到M，m；
（3）运用韦达定理，求得b，c都用a表示，再由二次函数的对称轴和区间的关系，即可得到g（a）．
解答：解：（1）f（0）=c=2，
由 A={1，2}得1，2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的两根，
由韦达定理得：a=1，b=﹣2，c=2．
（2）f（x）=x2﹣2x+2的对称轴为x=1，开口向上，
当x∈[﹣2，2]时，m=f（1）=1，M=f（﹣2）=10；
（3）由A={2}，得ax2+（b﹣1）x+c=0有2个相等实根2，
∴即∴f（x）=ax2+（1﹣4a）x+4a，
其对称轴为开口向上，
∵a≥1∴∴
∴M=f（﹣2）=16a﹣2，
∴．
点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查二次方程的韦达定理及运用，考查运算能力，属于中档题．。