新高中数学直线方程公式
直线方程和圆的方程概念及知识点拓展(高中数学)
直线与圆的概念公式及拓展一．直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角α的范围[)π，0。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0。
注意几种角的范围：异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π； 直线和平面所成角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，； 二面角[]π，0； 两向量的夹角[]π，0；2.斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率k ， 即k=tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率。
直线方程：Ax+By+C=0的斜率BAk -=。
方向向量：若()n m a ,=为直线的方向向量，则直线的斜率mn k =。
已知直线上两点：过两点()),(,,2211y x y x 的直线的斜率1212x x y y k --=。
二．直线方程的五种形式：1.点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则直线方程)(00x x k y y -=-，它不包括垂直于x 轴的直线。
2.斜截式：已知直线斜率为k ，在y 轴上的截距b ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线。
3.两点式：已知直线过了P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于x 轴的直线。
4.截距式：已知直线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ( a ≠0，b ≠0)则直线方程为1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
5.直线的一般式方程：任何直线都可以写成Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)的形式。
拓展：1.直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0。
直线的斜率为1或直线过原点，则直线两截距互为相反数； 直线的斜率为-1或直线过原点，则直线两截距相等。
2.设直线方程的一些常用技巧：（1）已知直线y 轴截距b ，常设其方程为y ＝kx ＋b 。
(完整版)高中数学解析几何公式大全
(完整版)高中数学解析几何公式大全一、直线方程1. 点斜式：y y1 = m(x x1)，其中m是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一个点。
2. 斜截式：y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
3. 一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数。
二、圆的方程1. 标准式：(x a)2 + (y b)2 = r2，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
2. 一般式：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F是常数。
三、椭圆的方程1. 标准式：((x h)2/a2) + ((y k)2/b2) = 1，其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆中心的坐标。
2. 一般式：((x h)2/a2) + ((y k)2/b2) 1 = 0，其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆中心的坐标。
四、双曲线的方程1. 标准式：((x h)2/a2) ((y k)2/b2) = 1，其中(a, b)是双曲线的实轴和虚轴，(h, k)是双曲线中心的坐标。
2. 一般式：((x h)2/a2) ((y k)2/b2) 1 = 0，其中(a, b)是双曲线的实轴和虚轴，(h, k)是双曲线中心的坐标。
五、抛物线的方程1. 标准式：y2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。
2. 一般式：y2 = 4ax + b，其中a是抛物线的焦点到准线的距离，b是抛物线在y轴上的截距。
六、直线与圆的位置关系1. 判定直线与圆的位置关系：计算直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系。
如果d < r，直线与圆相交；如果d = r，直线与圆相切；如果d > r，直线与圆相离。
2. 直线与圆的交点：解直线方程和圆的方程，得到两个交点的坐标。
七、直线与椭圆的位置关系1. 判定直线与椭圆的位置关系：将直线方程代入椭圆方程，得到一个关于x的一元二次方程。
高中数学中的直线方程解法
高中数学中的直线方程解法直线方程是高中数学中的基础知识之一，它是解决几何问题和代数问题的重要工具。
在高中数学中，我们学习了多种直线方程的解法，包括点斜式、一般式和截距式等。
本文将探讨这些直线方程的解法，并分析它们的特点和应用。
一、点斜式点斜式是直线方程中最常见的一种形式。
它的一般形式为：y-y₁ = m(x-x₁)。
其中，(x₁, y₁)是直线上的一点，m是直线的斜率。
通过已知的点和斜率，我们可以很容易地确定直线的方程。
例如，已知直线上的一点为A(2, 3)，斜率为2/3。
我们可以使用点斜式来确定直线的方程。
将已知的点和斜率代入点斜式的公式中，得到：y-3 = (2/3)(x-2)。
将该方程进行化简，即可得到直线的方程。
点斜式的优点是方便快捷，通过已知点和斜率即可确定直线的方程。
但是它的缺点是不适用于垂直于x轴或y轴的直线，因为这些直线的斜率不存在。
二、一般式一般式是直线方程中的另一种常见形式。
它的一般形式为：Ax + By + C = 0。
其中，A、B、C是常数，且A和B不同时为0。
通过已知的系数，我们可以得到直线的方程。
例如，已知直线的一般式为2x - 3y + 6 = 0。
我们可以通过一般式来确定直线的方程。
将一般式进行化简，得到斜率截距式的形式：y = (2/3)x + 2。
从中可以看出，斜率为2/3，截距为2。
一般式的优点是适用于各种类型的直线，包括垂直于x轴或y轴的直线。
但是它的缺点是不直观，不容易从方程中看出直线的斜率和截距。
三、截距式截距式是直线方程中的另一种常见形式。
它的一般形式为：x/a + y/b = 1。
其中，a和b是直线与x轴和y轴的截距。
通过已知的截距，我们可以得到直线的方程。
例如，已知直线与x轴和y轴的截距分别为4和3。
我们可以使用截距式来确定直线的方程。
将已知的截距代入截距式的公式中，得到：x/4 + y/3 = 1。
从中可以看出，直线与x轴和y轴的截距分别为4和3。
高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结
高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结知识点归纳概括：1.直线的倾斜角为0°≤α<180°，斜率为k=tanα（α≠90°）。
2.已知两点求斜率公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)（x2≠x1）。
3.两直线平行时，它们的斜率相等；垂直时，它们的斜率之积为-1.4.直线的五种方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。
5.两直线的交点坐标可通过联立两直线方程求得，两点间距离可用距离公式计算。
题型归纳分析：1.直线的倾斜角与斜率的计算。
2.平行和垂直直线的判断及斜率之间的关系。
3.直线的方程及其应用。
4.两直线交点坐标和两点间距离的计算。
例1：过点M(-2,a)和N(a,4)的直线的斜率等于1，则a的值为（）。
A。
1B。
4C。
1或3D。
1或4解析：由题意可得，直线MN的斜率为1，即(k=(4-a)/(a+2)=1)，解得a=2，故选B。
变式1：已知点A(1,3)、B(-1,3)，则直线AB的倾斜角是（）。
A。
60°B。
30°C。
120°D。
150°解析：由斜率公式可得，k=(3-3)/(-1-1)=0，因为斜率为0，所以直线与x轴平行，倾斜角为0°，故选A。
变式2：已知两点A(3,2)、B(-4,1)，求过点C(-1.)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。
解析：首先求出AB的斜率k1=(1-2)/(-4-3)=-1/7，然后求出点C到直线AB的距离d，d=|(-1-3)×(-1)+(?-2)×(-4+3)|/√((-4+3)²+(1-2)²)=|4-2×(?-1)|/√5，因为直线l与AB有公共点，所以点C到直线l的距离也为d，根据距离公式可得，|k1×(-1)+1×(?-1)-d|/√(k1²+1²)=d，化简得，|k1×(-1)+1×(?-1)|=2d√(k1²+1²)，即|k1+?(?-1)|=2d√(k1²+1²)，因为直线l过点C，所以直线l的斜率为k2=(?-1)/(-1-3)，代入得，|k1+k2|=2d√(k1²+1²)，整理得，|?-1+7k2|=2d√(50)，因为|?-1+7k2|≥0，所以d≥0，又因为√(50)>7，所以|?-1+7k2|≤2d×7，即|?-1+7k2|≤14d，代入得|?-1+7(?-1)/(-1-3)|≤14d，即|-2?-6/(-4)|≤14d，解得-1/2≤d≤1/2，因为d≥0，所以1/2≥d≥0，代入得-1/2≤?-1+7k2≤1/2，解得-3/14≤k2≤1/14，故k2的取值范围为[-3/14,1/14]。
高中数学《直线和圆的方程》常用公式
高中数学《直线和圆的方程》常用公式1.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 2.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；3. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.4.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.5.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 6．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．7. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).8.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).9. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.10. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是：111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分；111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.11.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d = d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.12.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .其中22B A CBb Aa d +++=.13. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．14.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .15.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=; ②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±.。
高考数学中的直线方程
高考数学中的直线方程高考数学中的知识点众多，而直线方程是其中比较常见且基础的知识点之一。
直线方程是指在平面直角坐标系中，描述一条直线的方程式。
了解直线方程是高中数学的基础，也是在高考数学中取得好成绩的必备知识点。
下面将从什么是直线方程、直线方程的种类、怎样求直线方程三个方面对直线方程进行详细的介绍。
一、什么是直线方程在平面直角坐标系中，一条直线上任意两点的坐标（x1, y1）和（x2, y2）之间总是存在一定的关系，我们可以通过确定这种关系来描述这条直线的方程式。
通常我们使用一元一次方程式来描述一条直线，即y=ax+b的形式。
其中，a和b是常数，而x和y则是未知数。
在这种形式下，a决定了这条直线的斜率，而b则决定了这条直线和y轴的交点。
二、直线方程的种类在高考数学中，我们需要掌握三种直线方程的形式：斜截式、点斜式和一般式。
下面我们分别进行详细介绍。
1.斜截式斜截式指的是y=ax+b的形式，其中a是这条直线的斜率，而b则是这条直线和y轴的交点。
在斜截式中，a的值决定了这条直线的斜率，也就是这条直线的倾斜程度。
当a的值为正数时，这条直线呈现上升的趋势；当a的值为负数时，则呈现下降的趋势。
而当a的值为0时，则表示这条直线为水平线。
在计算斜率时，通常我们需要注意两点之间的水平距离是否为0，如果是，则斜率不存在。
2.点斜式点斜式指的是y-y1=k(x-x1)的形式，其中k是这条直线的斜率，而（x1，y1）是这条直线上的一个点的坐标。
在点斜式中，我们需要发现这条直线的斜率，以及找到该直线上的一个点，然后通过点斜式计算出直线方程。
在计算时，我们可以使用任意一个点，因此对于一条直线，可以使用多个不同的点来计算直线方程。
3.一般式一般式指的是Ax+By+C=0的形式，在一般式中，A、B和C都是常数，而x和y为未知数。
在使用一般式来求解直线方程时，我们通常需要将其转化为斜截式或者点斜式。
具体的转化方式可以通过数学公式和推导来实现，在高考数学中，我们需要掌握这些转化方式，以便快速的解决具体的问题。
高中数学中的解析几何知识点总结
高中数学中的解析几何知识点总结解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了几何图形在坐标系中的性质和变换规律。
在高中数学学习中，解析几何是一个重要的内容模块。
本文将对高中数学中的解析几何知识点做一总结。
一、直线的方程1.点斜式方程：已知直线上一点P(x1, y1)及其斜率k的情况下，直线的方程可以写为y-y1=k(x-x1)。
2.两点式方程：已知直线上两点P(x1, y1)和Q(x2, y2)的情况下，直线的方程可以写为(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
3.斜截式方程：已知直线与y轴的交点为截距b，斜率为k的情况下，直线的方程可以写为y=kx+b。
二、平面坐标系1.点的坐标：平面坐标系中，一个点的位置可以由其横坐标x和纵坐标y确定。
2.距离公式：平面上两个点的距离可以通过距离公式d=sqrt((x2-x1)²+(y2-y1)²)计算得出。
3.中点公式：平面上两个点的中点坐标可以通过中点公式M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)计算得出。
三、直线的性质1.平行与垂直：两条直线平行的条件是它们的斜率相等，两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
2.直线的倾斜角：直线与x轴的倾斜角可以通过斜率的反正切得到。
3.直线的截距：直线与坐标轴的交点称为截距，x轴截距即为直线与x轴的交点的横坐标，y轴截距即为直线与y轴的交点的纵坐标。
四、圆的方程1.标准形式方程：圆的标准方程可以写为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径。
2.一般形式方程：圆的一般形式方程可以写为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
五、直线与圆的位置关系1.相切：当直线与圆只有一个交点，且此交点处的切线斜率存在时，直线与圆相切。
2.相离：当直线与圆没有交点时，直线与圆相离。
3.相交：当直线与圆有两个交点时，直线与圆相交。
高二数学直线与方程知识点
高二数学直线与方程知识点直线和方程是高中数学中常见的知识点，对于学习数学的同学来说是非常重要的基础内容。
本文将对高二数学中与直线和方程相关的知识点进行详细介绍。
一、直线的一般方程在平面直角坐标系中，一条直线可以由其一般方程表示，即Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
这个方程表示了所有直线上的点的集合。
二、直线的斜截式方程直线的斜截式方程表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b 为直线与y轴的截距。
斜截式方程直观地表示了直线与y轴交点的位置以及直线的斜率。
三、直线的点斜式方程直线的点斜式方程表示为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的一点，k为直线的斜率。
点斜式方程表示了直线上两点之间的关系，通过已知一点和斜率可以确定一条直线。
四、直线的截距式方程直线的截距式方程表示为x/a + y/b = 1，其中a、b分别为直线与x轴和y轴的截距。
截距式方程可以快速确定直线与坐标轴的交点位置。
五、直线的平行和垂直关系两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等，而两条直线垂直的充要条件是它们的斜率的乘积为-1。
平行和垂直关系是直线之间的重要性质，可以通过斜率的性质进行判断和证明。
六、直线与线段的位置关系直线与线段的位置关系可以分为三种情况：相交，平行和重合。
通过判断直线与线段的交点个数和位置可以确定其位置关系。
七、直线的距离公式直线与平面上任意一点的距离可以通过点到直线的距离公式计算。
设直线的一般方程为Ax + By + C = 0，点P的坐标为(x₁, y₁)，则点P到直线的距离为d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)。
八、方程的根与解法在解方程时，我们常用到的方法有因式分解法、配方法、公式法等。
根据方程的形式选择合适的解法，通过化简方程逐步求解来确定方程的根。
九、一次函数方程一次函数方程表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
【原创】2.2直线的方程-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步讲义
2.2 直线的方程1、直线方程的五种形式名称 几何条件 方程 适用条件斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b与x 轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y －y 0＝k (x －x 0) 两点式 过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线2、直线与x 轴的交点),(0a 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，与y 轴的交点),(b 0的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距。
截距不是距离3、两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0).4、两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.知识梳理题型一 直线方程例 1 求适合下列条件的直线方程：()1经过点()1,3A --，倾斜角等于直线3y x =的倾斜角的2倍； ()2经过点()3,4B ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【答案】（1）3330x y -+-=（2）10x y -+=或70.x y +-= 【分析】（1）根据倾斜角等于直线3y x =的倾斜角的2倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线． （2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为±1. 【详解】 （1）已知3tan =α，22tan tan 231tan k ααα===- 直线方程为33(1)y x +=+化简得3330x y -+-= （2）由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点()3,4，由点斜式得()43y x -=±-， 所求直线的方程为10x y -+=或70.x y +-=求下列直线方程：(1)求过点()1,3A ，斜率是直线4y x =-的斜率的13的直线方程. (2)求经过点()5,2A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. (3)求过()2,1A ，(),3B m 两点的直线l 的方程.知识典例巩固练习【答案】（1）43130x y +-=；（2）250x y +=或210x y ++=；（3）2(2)60x m y m --+-=. 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式方程即可得解；（2）按照直线是否经过原点分类，结合截距式方程即可得解； （3）按照2m =、2m ≠分类，结合两点式方程即可得解. 【详解】（1）设所求直线的斜率为k ，依题意14433k =-⨯=-， 又直线经过点(1,3)A ，∴所求直线方程为43(1)3y x -=--，即43130x y +-=； （2）当直线不过原点时，设所求直线方程为12x ya a+=， 将(5,2)-代入可得5212a a -+=，解得12a =-， ∴直线方程为210x y ++=；当直线过原点时，设直线方程为y kx =， 则52k -=，解得25k =-， ∴直线方程为25y x =-，即250x y +=； 故所求直线方程为250x y +=或210x y ++=； （3）①当2m =时，直线l 的方程为2x =； ②当2m ≠时，直线l 的方程为12312y x m --=--，即2(2)60x m y m --+-=， ∵2m =时，代入方程2(2)60x m y m --+-=，即为2x =， ∴直线l 的方程为2(2)60x m y m --+-=.题型二 截距例 2 已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1 B ．1-C ．2-或1D ．2或1【答案】D根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选D ．直线10x y --=与两坐标轴所围成的三角形的面积为 【答案】21 【分析】分别计算出直线的横截距和纵截距后可求三角形的面积. 【详解】令0x =可得1y =-； 令0y =可得1x =， 故所求三角形的面积为111122⨯⨯=题型三 两直线位置关系例 3 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求下列直线l ′的方程，l ′满足： （1）过点(－1,3)，且与l 平行； （2）过点(－1,3)，且与l 垂直；【答案】(1)3x ＋4y －9＝0; （2）4x -3y +13＝0.巩固练习（1）由直线平行可得直线斜率，进而由点斜式即可得解；（2）由两直线垂直可得斜率之积为-1，从而得斜率，进而利用点斜式即可得解. 【详解】(1)∵l ∥l ′，∴l ′的斜率为－34∴直线l ′的方程为：y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0. （2）l ′的斜率为43， ∴直线l′的方程为：y －3＝43(x ＋1)，即4x-3y+13＝0.已知点()4,2P －和直线370l x y --=：．求： (1)过点P 与直线l 平行的直线方程； (2)过点P 与直线l 垂直的直线方程．【答案】（1）3140x y -+=； （2）320x y +-=. 【分析】(1) 由所求直线与直线l 平行，先设所求直线的方程是30x y m -+=，再将点P 坐标代入即可求出结果； (2)由所求直线与直线l 垂直，先设出所求直线方程为30x y n ++=，再将点P 坐标代入即可求出结果. 【详解】(1)设所求直线的方程是()307x y m m -+=≠-，点()4,2P －在直线上，()342m 0∴⨯-+－＝，m 14∴=，即所求直线方程是3140x y -+=．(2)设所求直线的方程是30x y n ++=，点()4,2P －在直线上， ∴432n 0+⨯+=－，巩固练习n 2∴=－，即所求直线方程是320x y +-=．题型四 中线所在的直线例 4 已知ABC 的三个顶点分别为()2,8A ，()4,0B -，()6,0C ，则过点B 将ABC ∆的面积平分的直线方程为（ ）． A ．240x y -+= B ．240x y ++= C ．240x y +-= D ．240x y -+=【答案】D 【分析】由中点坐标公式先求,A C 的中点坐标为()44D ,，再利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：由()2,8A ，()6,0C，则,A C 的中点坐标为()44D ,，则过点B 将ABC ∆的面积平分的直线过点()44D ,， 则所求直线方程为40(4)4(4)y x -=+--，即 240x y -+=， 故选D.已知ABC 的三个顶点(1,1)A ，(2,0)B ，(4,4)C .（1）求AB 边所在直线的方程；巩固练习（2）求BC 边上中线所在直线的方程. 【答案】（1）20x y +-= （2）210x y -+= 【分析】（1）由直线的两点式方程求解即可；（2）先由中点坐标公式求出BC 中点D 的坐标，再结合直线的两点式方程求解即可. 【详解】（1）因为(1,1)A ，(2,0)B ，由直线的两点式方程可得：AB 边所在直线的方程021012y x --=--， 化简可得20x y +-=； （2）由(2,0)B ，(4,4)C ， 则BC 中点2404(,)22D ++，即(3,2)D ， 则BC 边上中线AD 所在直线的方程为231213y x --=--， 化简可得210x y -+=.题型五 定点问题例 5 直线方程kx －y +2－3k =0恒过定点（ ） A ．（3，2） B ．（2，3）C ．（－3，2）D ．（－2，3）【答案】A 【分析】将直线方程kx －y +2－3 k =0，转化为()320k x y --+= 求解. 【详解】因为直线方程kx －y +2－3 k =0， 即为()320k x y --+=所以3020x y -=⎧⎨-+=⎩ ，解得32 xy=⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点（3，2）.故选：A直线kx－y＋1－3k＝0当k 变化时，所有的直线恒过定点【答案】),(13【解析】【分析】先分离参数得到（x-3）k+1-y=0，再解方程组3010xy-=⎧⎨-=⎩即得直线所经过的定点.【详解】由题得（x-3）k+1-y=0，所以3010xy-=⎧⎨-=⎩，解之得x=3,y=1,所以直线过定点（3,1）.题型六对称问题例6已知直线l：x＋y－2＝0，一束光线从点P(0,1＋3)以120°的倾斜角投射到直线l上，经l反射，求反射光线所在的直线方程．【答案】x＋3y－(1＋3)＝0【分析】根据题意求出入射光线所在直线的方程，解方程组可得入射光线与直线l的交点坐标Q(1,1)，然后根据反射原理得到点P关于直线y＝x（过Q与直线l垂直的直线）的对称点P′(3＋1,0)在反射光线所在直线上，最后根据两点式方程可得所求．【详解】如图，设入射光线与l交于点Q，反射光线与x轴交于点P′，巩固练习由入射光线倾斜角为120°可得入射光线所在直线的斜率为－3 ， 又入射光线过点P(0,1＋3)，∴入射光线所在的直线方程为()133y x -+=－， 即3x ＋y －(1＋3)＝0．解方程组()313020x y x y ⎧+-+=⎪⎨+-=⎪⎩得11x y =⎧⎨=⎩,所以点Q 的坐标为(1,1)． 过点Q 作垂直于l 的直线l′， 显然l′的方程为y ＝x ．由反射原理知，点P(0,1＋3)关于l′的对称点P′(3＋1,0)必在反射光线所在的直线上． 所以反射光线所在直线P Q '的方程为0(31)101(31)y x --+=--+， 即x ＋3y －(1＋3)＝0．一束光线从0(1)A ，点处射到y 轴上一点(0)B ，2后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程是（ ） A ．220x y +-= B ．220x y -+= C ．220x yD ．220x y +-=【答案】B 【分析】由反射定律得点A 关于y 轴的对称点，又因为B 点也在直线上，根据截距式可得直线方程． 【详解】由题得点(1,0)A 关于y 轴的对称点(1,0)A '-在反射光线所在的直线上，再根据点(0,2)B 也在反射光线所巩固练习在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为112x y+=-，即220x y -+=，故选B.1、若直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，则a =（）A ．1a =-B ．2a =C ．1a =-或2D ．1a =或2-【答案】B 【分析】因为两直线平行，所以斜率相等，从而求出a 的取值，再根据取值情况，检验是否重合. 【详解】解：因为直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，所以22a a -=，解得：2a =或1a =-，检验：当1a =-时，两直线重合，不成立，所以2a =. 故答案为B.2、经过点（3-，2），倾斜角为60°的直线方程是（ ） A ．23)y x +=-B ．2(3)3y x -=+ C ．23)y x -=+ D ．23)3y x +=- 【答案】C 【分析】求出直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率，又直线过点()32-，，则由求出的斜率和点的坐标写出直线的方程即可 【详解】由直线的倾斜角为60︒，得到直线的斜率tan60k =︒=又直线过点()32-，则直线的方程为)23y x -=+ 故选C3、设直线53150x y +-=在x 轴上截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（ ）巩固提升A ．5,3a b ==B ．3,5a b ==C ．3,5a b =-=D ．3,5a b =-=-【答案】B【分析】 由截距的定义，分别求出直线在x 轴和y 轴的截距即可.【详解】由直线53150x y +-=令0,3y x ==令0,5x y ==即3,5a b ==故选B4、下面说法正确的是（ ）.A ．经过定点()00,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示B ．不经过原点的直线都可以用方程1x y a b+=表示 C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示D ．经过任意两个不同的点()()1122,,,P x y Q x y 的直线都可以用方程()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示【答案】D【分析】根据点斜式、截距式、斜截式法、两点式方程特征逐一分析判断.【详解】经过定点()00,P x y 且斜率存在的直线才可用方程()00y y k x x -=-表示，所以A 错； 不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程1x y a b+=表示，所以B 错； 经过定点(0,)A b 且斜率存在的直线才可用方程y kx b =+表示，所以C 错；当12x x ≠时，经过点()()1122,,,P x y Q x y 的直线可以用方程()211121y y y y x x x x --=--，即()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，当12x x =时，经过点()()1122,,,P x y Q x y 的直线可以用方程1x x =，即()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，因此经过任意两个不同的点()()1122,,,P x y Q x y 的直线都可以用方程()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，所以D 对；故选：D5、若直线(1)30kx k y +--=和直线(1)(23)20k x k y -++-=互相垂直，则k =( )A ．3-或1-B ．3或1C ．3-或1D ．1-或3【答案】C【分析】直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为直线(1)30kx k y +--=和直线(1)(23)20k x k y -++-=互相垂直，所以(1)(1)(23)0k k k k -+-+=，解方程可得1k =或3k =-，故选C.6、（多选）下列说法正确的是（ ）A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=【答案】ABD【分析】将方程化为点斜式，即可判断A ；令0x =，得出在y 轴上的截距，进而判断B ；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C ；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D .【详解】 32()y ax a a R =-+∈可化为()23y a x -=-，则直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)，故A 正确；令0x =，则2y =-，即直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确； 310x y ++=可化为31y x =--，则该直线的斜率为3-，即倾斜角为120︒，故C 错误；设过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的斜率为k因为直线230x y -+=的斜率为12，所以112k ⋅=-，解得2k =- 则过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=，故D 正确； 故选：ABD7、若直线20x y m -+=与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则实数m 的取值范围为________．【答案】2m ≥，或2m ≤-【分析】先求出直线的横纵截距，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】解：令0x =,得2y m =，令0y =,得2x m =-，由直线20x y m -+=与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则2216m m ⨯-≥，解得2m ≥或2m ≤-，故实数m 的取值范围为2m ≥或2m ≤-.8、倾斜角为直线31y x =-+的倾斜角的一半且经过点(4,1)-的直线方程为_____．【答案】13(4)y x -=+【分析】由直线的斜率可知倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，由点斜式可求得直线方程．【详解】直线y ＝－x ＋1的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率为．又直线过定点（-4，1），由点斜式可得直线方程为)134y x -=+9、已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点__________【答案】21(,)77.【分析】利用（ax+by+c ）+λ（mx+ny+p ）=0 过定点即ax+by+c =0和mx+ny+p =0的交点，解方程组求得定点的坐标．【详解】直线（3k ﹣1）x +（k+2）y ﹣k=0即﹣x +2y+k （3x+y ﹣1）=0， 由20310x y x y -+=⎧⎨+-=⎩， 得 x=27，y=17， 故定点的坐标为（27，17）， 故答案为：（27，17）．10、直线320x y k -+=在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k =______.【答案】12【分析】求出横截距和纵截距，根据题设条件得到关于k 的方程，解方程后可得实数k 的值.【详解】令0x =，则2k y =；令0y =，则3k x =-， 故223k k ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得12k =. 故答案为：12.11、设光线l 从点(A -出发，经过x 轴反射后经过点0,3B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则光线l 与x 轴交点的横坐标为______，若该入射光线l 经x 轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为______．【答案】()1,0-【分析】首先，根据光线从点(A -射向x 轴，得到其关于x 轴的对称点(4,A '-，然后根据反射光线的反向延长线经过(4,A '-和B ⎛⎝⎭，得到直线A B '，即得光线与x 轴的交点.由入射角是60°可得折射角是30°，且光线经过()1,0-，由直线的点斜式可得直线方程，以此得出纵截距.【详解】点(A -关于x轴的对称点为(4,A '-，则直线A B ':33y x =+ 与x 轴交于点(1,0)- ，所以光线与x 轴的交点为()1,0-;由入射角是60,得折射角是30，且光线经过(1,0)-,得出折射光线所在直线方程为y =12、根据下列条件，求直线的一般方程：（1）过点()2,1且与直线230x y +=平行；（2）与直线y x =垂直，且在两坐标轴上的截距之和为4-.【答案】（1）2370x y +-=（2）20x y ++=【分析】（1）根据平行关系可设直线为：230x y c ++=，代入点()2,1可求得结果；（2）假设直线的截距式方程，根据垂直关系和截距之和可求得截距，整理可得直线一般式方程.【详解】（1）设所求直线方程为：230x y c ++=则430c ++= 7c ∴=-∴所求直线方程为：2370x y +-=（2）设直线方程为：1x y a b+= 由题意可得：41a b b a+=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得：22a b =-⎧⎨=-⎩ ∴所求直线方程为：122x y +=--，即：20x y ++=。
高中数学必修2公式1总结
高中数学必修2公式1总结高中数学必修2公式1总结高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即ktan。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当0,90时，k0；当90,180时，k0；当90时，k不存在。
yy1(x1x2)②过两点的直线的斜率公式：k2x2x1注意下面四点：(1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：yy1k(xx1)直线斜率k，且过点x1,y1注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：ykxb，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：④截矩式：yy1y2y1xayxx1x2x1（x1x2,y1y2）直线两点x1,y1，x2,y21b其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。
⑤一般式：AxByC0（A，B不全为0）1各式的适用范围○2特殊的方程如：注意：○平行于x轴的直线：yb（b为常数）；平行于y轴的直线：xa（a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线A0xB0yC00（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：A0xB0yC0（C为常数）（二）过定点的直线系（）斜率为k的直线系：yy0kxx0，直线过定点x0,y0；（）过两条直线l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为，其中直线l2不在直线系中。
高中数学必修：直线方程的两点式和一般式
两点式求解实际问题举例
01
02
03
实际问题一
已知两点坐标，求直线方 程。
实际问题二
为$frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$。
02
一般式方程
直线方程的一般形式为$Ax + By + C = 0$，其中$A$和$B$不同时为
零。
03
斜率截距式与一般式的关系
斜率截距式$y = kx + b$可转化为一般式$kx - y + b = 0$。
计算斜率
利用两点坐标计算直线斜率$k = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
构造两点式方程
根据点斜式方程$y - y_1 = k(x x_1)$，将斜率$k$和点$P_1$坐标
代入，得到两点式方程$frac{y y_1}{y_2 - y_1} = frac{x x_1}{x_2 - x_1}$。
解题技巧分享
利用两点式求直线方程
01
当已知直线上两点时，可直接套用两点式方程求解。
一般式方程的求解
02
通过已知条件列出方程组，求解未知数$A$、$B$和$C$。
利用斜率截距式求一般式
03
当直线方程以斜率截距式给出时，可将其转化为一般式进行后
续计算。
拓展延伸：其他类型直线方程
点斜式方程
已知直线上一点$P(x_0, y_0)$和斜率$k$，直线方程可表示为$y - y_0 = k(x x_0)$。
新教材高中数学第一章直线与方程2
直线的一般式方程新课程标准解读核心素养 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式 数学抽象 2.会进行直线方程的五种形式间的转化数学运算同学们，前面我们学习了直线方程的四种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式． [问题] (1)你能发现这四种形式的直线有什么共同特征吗？ (2)探究它们的方程能否化简为统一的形式．知识点 直线的一般式方程1．定义：关于x ，y 的二元一次方程 Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)叫作直线的一般式方程．2．系数的几何意义：当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－C B＝b (y 轴上的截距)； 当B ＝0，A ≠0时，则－C A＝a (x 轴上的截距)，此时不存在斜率．1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示吗？ 提示：都可以．2．每一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)都能表示一条直线吗？提示：都能表示一条直线．1．直线x －3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选A 由直线的一般式方程，得它的斜率为33，从而倾斜角为30°.2．斜率为2，且经过点A (1，3)的直线的一般式方程为________． 解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0直线的一般式方程[例1] 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3且经过点A (5，3)； (2)经过A (－1，5)，B (2，－1)两点； (3)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1. [解] (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 整理得3x －y ＋3－53＝0.(2)由两点式方程得y －5－1－5＝x －（－1）2－（－1），整理得2x ＋y －3＝0.(3)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0.求直线一般式方程的策略(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A Bx ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B ，C B的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．[跟踪训练]1．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．解析：点斜式方程： y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x 433＋y－4＝1，斜截式方程： y＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0.答案：y ＋4＝3(x －0)x 433＋y－4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝02．把直线l 的一般式方程x －2y ＋6＝0化为斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形．解：把直线l 的一般式方程化为斜截式y ＝12x ＋3.因此，直线l 的斜率k ＝12，它在y 轴上的截距是3.在直线l 的方程x －2y ＋6＝0中，令y ＝0，得x ＝－6， 即直线l 在x 轴上的截距是－6.由上面可得直线l 与x 轴、y 轴的交点坐标分别为A (－6，0)，B (0，3)， 如图，过A ，B 两点作直线，就得直线l .直线的一般式方程的应用[例2] (链接教科书第17页例6)设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0.(1)已知直线l 在x 轴上的截距为－3，求m 的值； (2)已知直线l 的斜率为1，求m 的值．[解] (1)由题意知m 2－2m －3≠0，即m ≠3且m ≠－1， 令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)．∴m ＝－53.(2)由题意知，2m 2＋m －1≠0，即m ≠12且m ≠－1.由直线l 化为斜截式方程得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m2m 2＋m －1，则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1， 得m ＝－2或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝－2.[母题探究](变设问)对于本例中的直线l ，若直线l 与y 轴平行，求m 的值． 解：∵直线l 与y 轴平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，－（2m 2＋m －1）＝0，6－2m ≠0，∴m ＝12.已知含参的直线的一般式方程求参数的值(范围)的步骤[跟踪训练]直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)①当a ＝－1时，直线l 的方程为y ＋3＝0，显然不符合题意； ②当a ≠－1时，令x ＝0，则y ＝a －2， 令y ＝0，则x ＝a －2a ＋1. ∵l 在两坐标轴上的截距相等， ∴a －2＝a －2a ＋1， 解得a ＝2或a ＝0. 综上，a 的值为2或0.(2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，故要使l 不经过第二象限，只需⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）≥0，a －2≤0，解得a ≤－1. ∴a 的取值范围为(－∞，－1]．1．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12答案：C2．在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°解析：选C 直线斜率k ＝－33，所以倾斜角为150°，故选C. 3．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A ，B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠0解析：选D 方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A ，B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 4．已知直线mx －2y －3m ＝0(m ≠0)在x 轴上的截距是它在y 轴上截距的4倍，则m ＝________．解析：直线方程可化为x 3＋y－3m 2＝1，∴－3m 2×4＝3，解得m ＝－12.答案：－12。
高考数学直线方程知识点总结（2篇）
高考数学直线方程知识点总结1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点(0，)的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3.⑴两条直线平行：∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线.②在和的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且)推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在.②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.(即是垂直的充要条件)4.直线的交角：⑴直线到的角(方向角);直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.5.过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内)____点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：1.两点P1(____1,y1)、P2(____2,y2)的距离公式：.特例：点P(____,y)到原点O的距离：2.定比分点坐标分式。
高中数学直线与平面方程的求解方法
高中数学直线与平面方程的求解方法在高中数学中，直线与平面方程的求解是一个重要的内容。
掌握了这些求解方法，不仅可以解决直线与平面的相关问题，还能够帮助我们理解几何图形的性质和空间关系。
本文将介绍直线与平面方程的求解方法，并通过具体的题目来说明考点和解题技巧。
一、直线方程的求解方法直线是平面几何中最基本的图形，求解直线方程是我们学习几何的第一步。
常见的直线方程有点斜式方程、截距式方程和一般式方程等。
1. 点斜式方程点斜式方程是直线方程中最常用的一种形式。
对于已知直线上的一点P(x₁, y₁)和直线的斜率k，可以通过以下公式得到直线的方程：y - y₁ = k(x - x₁)例如，已知直线上的一点为P(2, 3)，斜率为2，那么直线的方程为：y - 3 = 2(x - 2)这种形式的方程可以直观地表示直线的位置和倾斜程度，适用于求解直线的各种性质。
2. 截距式方程截距式方程是直线方程中另一种常见的形式。
对于已知直线在x轴和y轴上的截距a和b，可以通过以下公式得到直线的方程：x/a + y/b = 1例如，已知直线在x轴和y轴上的截距分别为2和3，那么直线的方程为：x/2 + y/3 = 1这种形式的方程便于求解直线与坐标轴的交点和直线的截距等问题。
3. 一般式方程一般式方程是直线方程中最一般的形式。
对于已知直线的斜率k和截距b，可以通过以下公式得到直线的方程：y = kx + b例如，已知直线的斜率为2，截距为3，那么直线的方程为：y = 2x + 3这种形式的方程适用于求解直线的方程、斜率和截距等问题。
二、平面方程的求解方法平面是三维几何中的基本图形，求解平面方程是我们进一步探索空间关系的重要一步。
常见的平面方程有点法式方程和一般式方程等。
1. 点法式方程点法式方程是平面方程中最常用的一种形式。
对于已知平面上的一点P(x₁, y₁, z₁)和平面的法向量N(a, b, c)，可以通过以下公式得到平面的方程：a(x - x₁) + b(y - y₁) + c(z - z₁) = 0例如，已知平面上的一点为P(1, 2, 3)，法向量为N(2, -1, 3)，那么平面的方程为：2(x - 1) - (y - 2) + 3(z - 3) = 0这种形式的方程可以直观地表示平面的位置和法向量的方向，适用于求解平面的各种性质。
新人教版高中数学选择性必修第一册直线的一般式方程
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.不能确定
【解析】选B.直线x+y-2=0的斜率k=-1,直线x-y+3=0的斜率k=1,故两直线的位置
关系是垂直.
9
4.若直线ax+3y-5=0经过点(2,1),则a的值为
.
【解析】由题意,直线ax+3y-5=0经过点(2,1),故2a+3-5=0,所以a=1.
7
5
5
2
故点 B - ,0 ,所以直线 AB 的方程为 y=-
+
7
5
,即 5x+2y+7=0.
23
【思维提升】
关于 x,y 轴的对称问题
(1)根据镜面反射的原理,入射光线上的点关于镜面的对称点在反射光线上,反射光
线上的点关于镜面的对称点在入射光线上;
(2)求出入射光线或反射光线上点关于坐标轴的对称点,写出直线的两点式或点斜
可将一般式化为斜截式.
(3)解分式方程要注意验根.
16
【即学即练】
1.如果 AC<0,且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不过 (
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
)
【解析】选 C.由 AC<0 及 BC<0,可知 A≠0,B≠0,又直线 Ax+By+C=0 过点 - ,0 ,
【问题 2】能否统一成?x+?y+?=0 的形式?
【问题 3】二元一次方程 Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)表示什么图形?
4
5
直线的一般式方程
Ax+By+C=0
高中数学直线方程公式
直线方程公式1.斜率公式①假设直线的倾斜角为α〔00≤α＜1800〕, 那么k=tan α (α2π≠) ②假设直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 那么2121y y k x x -=- 解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。
点P 1〔x 1,y 1〕，P 2〔x 2,y 2〕的中点P 0〔x 0,y 0〕，那么x 0=〔x 1+ x 2〕/2，y 0=〔y 1+ y 2〕/2。
2.方向向量坐标 ：()()k y y x x x x pp x x ,1,111212122112=---=-3.两条直线的平行和垂直【1】两直线平行的判断〔1〕假设111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，那么l 1∥l 2充要条件是k 1=k 2,且b 1≠b 2。
〔2〕假设l 1：x=x 1， l 2：x=x 2，那么l 1∥l 2充要条件是x 1≠x 2。
〔3〕不重合的两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，那么l 1∥l 2充要条件是α1=α2。
〔4〕l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，那么l 1∥l 2充要条件是A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0〔或A 1C 2-A 2C 1≠0〕。
11112222||A B C l l A B C ⇔=≠。
【2】两直线垂直的判断〔1〕假设111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，那么l 1⊥l 2充要条件是k 1·k 2=-1。
〔2〕假设l 1的斜率不存在，那么l 1⊥l 2充要条件是l 2的斜率为零。
〔3〕两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，那么l 1⊥l 2充要条件是21a -a =900。
〔4〕l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，那么l 1⊥l 2充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。
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直线方程公式
1.斜率公式
①若直线的倾斜角为α（00≤α＜1800）, 则k=tan α (α2π≠
)
②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则2121y y k x x -=- 解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。
点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的中点P 0（x 0,y 0
2.3.【1（1（2（3（4l 2充要条件是A 【2（1（2（3（4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1⊥l 2充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。
【3】两直线相交的判断
（1）两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。
（2）两直线斜率存在时，斜率不等是两直线相交的充要条件。
（3）两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。
（4）直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，则A 1B 2-A 2B 1≠0是两直线相交的充要条件。
【4】两直线重合的判断
当两直线斜率与截距都相等时，它们必定重合；当A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1=0（或A 1C 2-A 2C 1=0）时，两直线重合。
4..直线的五种方程
（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．
（2
（3 （5 5.（1(1)(1:l (2)(1:l 直线（2）1l 到2l 的角公式
(1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)
(2)12211212
tan A B A B A A B B α-=
+.
(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).
直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是
2
π. 6.对称问题
【1】关于点对称问题
（1）求已知点关于点的对称点
P （x 1，y 1）关于点Q （x 0，y 0）的对称点为（2 x 0- x 1，2 y 0- y 1）。
（2）直线关于点的对称直线
设l
设P 1（x 1l ※l ※l ※l ※l ※l 【2（1，y ），
则l 是=0C 可得Q 点坐标。
※点A （x ，y ）关于直线x+y+c=0的对称点A 1的坐标为（-y-c, -x-c ），关于直线x-y+c=0的对称点A 2的坐标为（y-c, x+c ），曲线f （x,y ）=0关于直线x+y+c=0的对称曲线为f （-y-c, -x-c ）=0，关于直线x-y+c=0的对称曲线为f （y-c, x+c ）=0。
※一般地，点A （a,b ）关于x 轴的对称点的坐标为A 1（a,-b ），关于y 轴的对称点的坐标为A 2（-a,b ），关于y=x 轴的对称点的坐标为A 3（b,a ），关于y=-x 轴的对称点的坐标为A 4（-b,a ），关于x=m 轴的对称点的坐标为A 5（2m-a,b ），关于y=n 轴的对称点的坐标为A 6（a,2n-b ）。
（2）直线关于直线的对称直线
若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：
※若a 、b 相交，则l 是a 、b 夹角的平分线；
※若点A 在直线a 上，那么点A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时，AB ⊥l 且AB 中点D
※a 7 8. ※点P （※点P （※点P （※点P （ 9. 0:11=++C l By Ax 与 0:22=++C l By Ax ()c c 21≠ 的距离为B
A c c d 222
1+-= 10．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是Bx Ay -+
11。