永磁同步电机常用公式大全

永磁同步电机模型推导
December 15, 2016
永磁同步电机是一个多输入，强耦合，非线性的系统，为了得到电机 的动态数学模型，假设：
1）电机定子绕组 Y 型接法，三相绕组对称分布，各绕组在空间上互 差 120°；
2）转子上的永磁体在气隙中产生主磁场，转子没有阻尼绕组； 3）忽略定子绕组的齿槽对气隙磁场分布的影响； 4）忽略定子铁芯与转子铁芯的涡流损耗和磁滞损耗； 5）忽略电机参数（绕组电阻、绕组电感和永磁体磁动势）的变化。
1.1 电压方程
1 三相静止坐标系
ua
Rs 0
ub = 0 Rs
0 0
ia ib
+
d dt
ψa ψb
uc
0 0 Rs
ic
ψc
式中，ddt 为微分算子，ua、ub、uc 分别为三相定子绕组电压，ψa、ψb、ψc 为三相绕组磁链，Rs 为定子绕组电阻。
1.2 定子绕组自感与互感的磁链方程
(ψ1(θ，i)) = (ψ11(θ，i)) + (ψ12(θ))
Ms2sin(θ + 150°) Ms2sin(θ − 90°) −Ls2sin2 (θ + 120°)
ic
era(θ)
+
np ω
[ia
ibic]
·
erb(θ)
erc(θ)
（电磁转矩可以看成是定子励磁磁场和转子磁场间相互作用的结果，
转矩的大小和方向决定于两个正弦分布磁场的的幅值和磁场轴线间的相对
位置（永磁里面的负载角 or 转距角），定子磁场与转子磁场相互作用，导
1
1 三相静止坐标系
2
Figure 1: 永磁同步电机三相定子绕组示意图
永磁体匝链到定子绕组上的磁链
ψf a (θ) (ψ12(θ)) = ψfb(θ)
ψfc(θ)
式中，ψfa(θ)、ψfb(θ)、ψfc(θ) 分别为永磁体磁场交链到三相定子绕组 的分量，与定子电流无关。
ψa
Laa Lab Lac
ia
cosθ
ψb = Lba
Lbb
Lbc
ib
+ ψf
cos(θ
−
2 3
π)
ψc
Lca Lcb Lcc
ic
cos(θ
+
2 3
π)
式中，Laa、Lbb、Lcc 为各绕组自感系数，Lxy (x = a，b，c和y = a，b，c且x ̸= y) 为绕组 x 对绕组 y 的互感系数。
1.2.1 定子绕组自感 定子绕组自感 = 漏自感 + 气隙自感
7
Figure 3: 两相静止坐标系到两相旋转坐标系的转换
[
]
2 C3s→2s = 3
1
−
√
1 2
−√12
0
3 2
−
3 2
10
C2s→3s
=
−
1 2
√ 3 2√
−
1 2
−
3 2
保证总的功率不变
√[
]
C3s→2s =
2 3
1
−
√
1 2
−√12
0
3 2
−
3 2
f22ss
=
( N2 iα
+
iβ
ej
π 2
is = id + jiq
ψd ψq
= Ldid + ψf = Lqiq
6附
11
Figure 5: 同步旋转 d、q 坐标系
udsq
=
Rsidsq
+
dψsdq dt
+
jω r ψsdq
ψsdq = Ldid + ψf + jLqiq
us = udsqejθr is = idsqej
气隙磁链
Laa = Lbb = Lcc = Lsσ + Lm1
Laσ
=
ψaσ ia
=
L1
ψaδ (θ) = K · Fa · λ (θ)
1
1
λδ (θ) = 2 (λδd + λδq) + 2 (λδd − λδq) cos2θ
Laad = K · Na · λδd
Laa
=
L1
ic
era(θ)
−nψf[iaibic] · erb(θ)
erc(θ)
2 坐标变换
6
Figure 2: 坐标变换
电机转矩方程
J dω Te − T1 = np dt 式 中，J 为 整 个 机 械 负 载 折 算 到 电 动 机 轴 端 的 转 动 惯 量 (kg·m2)， T1为折算到电动机轴端 的的转矩 (N · m)。
fabc
=
2 3
( fa
+
afb
+
) a2fc
式中，a
=
ej
2π 3
,
fa
，fb
，fc
分别为
a、b、c
三相的变量。
所以，永磁同步电机在三相坐标下的复矢量模型为：
us
=
2 3
( ua
+
aub
+
) a2uc
ψs
=
2 3
( ψa
+
aψb
+
) a2ψc
在静止坐标系下，电机的复矢量数学模型为：
us ψs
=
Rsis
Rsis ´
(us
+ −
dψs dt
Rsis)dt
=
´0t(us
−
Rsis)dt
+
ψs0
6附
10
Figure 4: 表贴式永磁同步电机等效电路 ψs0 定子初始磁链，由转子永磁体位置和永磁体强度决定。
ψs = Lsis + ψf
us
=
Rsis
+
dψs dt
us
=
Rsis
+
Ls
dis dt
+
dψf dt
)
=
f22rs
=
N2 (idejθ
+
iqej
π 2
· ejθ)
[
]
cosθ sinθ
C2s→2r =
−sinθ cosθ
[
]
C2r→2s =
cosθ −sinθ sinθ cosθ
3 两相静止坐标系
uα uβ
=
Rsiα
+
dψα dt
=
Rsiβ
+
dψ dt
4 两相旋转坐标系
8
[ ][
uα = Rs
3 Pe = 2 [(−ωeLqiq)id + ωe(Ldid + ψf )iq]
3 = 2 npωr[ψf + (Ld − Lq)id]iq
电磁功率与机械角速度和电磁转矩之间的关系
Te = Pe/ωr
[
]
Te
Ld
− uq
ωΨf
Lq
Lq
= ψf + Ldid
ψq = Lqiq
[ ] [ ][ ] [
]
ψd = Ld
ψq
Lq
id + −ψf
iq
0
转矩方程
3 Te = 2 np (ψdiq − ψqid) = 1.5npiqψf = 1.5npisψfsinδ
5 复矢量
9
5 复矢量
在电磁能量转换中，dq 轴分量只参与能量转换而零轴分量只产生损 耗。所以，如果只关注机电能量之间的转换，那么就可以只用 dq 分量来 分析电机。在这种情况下，复式量仅用两个相互正交的分量（实部和虚部） 就能表示三相电气系统。这里的 d 轴分量用实部来表示，q 轴分量用虚部 来表示。三相坐标下的空间矢量的定义为：
+
1 2
(Laad
+
Laaq)
+
1 2
(Laad
−
Laaq)
cos2θ
=
(Ls0
−
Ls2cos2θ)
式中，ψaδ (θ) 为 a 相定子绕组气隙磁链，引入气隙磁导 λδ (θ)，为距 离 d 轴角度为 θ 的点处的单位面积气隙磁导，K 为气隙磁链和磁动势、气 隙磁导的比例系数。
Laa LLbcbc
ud uq
= Rsid + pψd − ωψq = Rsiq + pψq + ωψd
[ ][
ud = Rs
uq
0
][ ] [ ] [
]
0
id
d +
ψd + ω −ψq
Rs
iq
dt ψq
ψd
[] [
d dt
id iq
=
−
R Ld
−ω
Lq Ld
ψd
][ ] [
]
ω Lq Ld
−
R Lq
id iq
+
Lq
+
30°)
Lab = Lba = −Ms0 + Ms2cos2(θ + 30°)
式中，Ms0 为 a 相、b 相定子绕组互感平均值的绝对值； Ms2 为为 a 相、b 相互感的二次谐波的幅值。
Lab LLacbc
= −Ms0 − Ms2cos2 (θ + 30°) = −Ms0 − Ms2cos2 (θ − 90°) = −Ms0 − Ms2cos2 (θ + 150°)
+
dψs dt
= Lsis + ψr
式中，ψr = ψf ejθ 是永磁体磁链矢量。 在两相旋转坐标系下，其复矢量方程为：
udsq ψsdq
=
Rsidsq
+
dψsdq dt
= Lsidsq + ψf
式中，上标 dq 表示在两相旋转坐标系下，udsq = usejθ。
6附
6.1 表贴式
us ψs
= =
uβ
0
][ ] [ ]
0
iα
d +
ψα
Rs
iβ
dt ψβ
ψα = Lsiα + ψf coθ
ψβ = Lsiβ + ψfsinθ
[ ] [ ][ ] [
]
ψα = Ld
ψβ
Lq
iα + ψf cosθ
iβ
sinθ
转矩方程
3
3
Te = 2 pψs ⊗ is = 2 p (ψαiβ − ψβiα)
4 两相旋转坐标系
?????lab?ms0?ms2cos230lac?ms0?ms2cos2?90lcb?ms0?ms2cos2150lablbalaclcalbclcb?12lm1123定转子互感12???fafbfc??????mafmbfmcf???if13电机转矩方程tedwmechdm?wm?miconst注意机械角度与电气角度转化1三相静止坐标系5te?npiaibic????ls2sin2ms2sin30ms2sin150ms2sin30?ls2sin2?120ms2sin?90ms2sin150ms2sin?90?ls2sin2120??????iaibic???npiaibic???eraerberc???电磁转矩可以看成是定子励磁磁场和转子磁场间相互作用的结果转矩的大小和方向决定于两个正弦分布磁场的的幅值和磁场轴线间的相对位置永磁里面的负载角or转距角定子磁场与转子磁场相互作用导致气隙磁场畸变产生电磁转矩
ψf c (θ)
cos (θ − 240°)
−Ls2sin2θ
Te = −np · [iaibic] · Ms2sin(θ + 30°)
Ms2sin(θ + 30°) −Ls2sin2 (θ − 120°)
Ms2sin(θ + 150°)
ia
Ms2sin(θ − 90°) · ib
Ms2sin(θ + 150°) Ms2sin(θ − 90°) −Ls2sin2 (θ + 120°)
2 坐标变换
电机坐标变换的根本前提是总的磁动势不变，这样才能保证在变换过 程中气隙磁场不会变化，机电能量转化在坐标变化过程中才不会受影响。
保证电流幅值不变即一相功率不变
f23ss
=
( N3 iA
+
iBej
2π 3
)
+
iCej
4π 3
+ f22ss
=
( N2 iα
+
iβ
ej
π 2
)
3 两相静止坐标系
ψbaδ (θ) = ψ[ ad (θ) cos(θ − 120°)+ψaq (θ) sin(θ − 120°)
]
ψbaδ (θ) = −ia
1 4 (Laad
+
Laaq )
+
1 2 (Laad
−
Laaq )cos2(θ
+
30°)
Lab = Lba
=
ψbaδ (θ) ia
=
−Ms0
+
Ms2cos2(θ
us
=
Rsis
+
Ls
dis dt
+
jω r ψf
us = Rsis + jωsLsis + jωrψf
Te = npψs ⊗ is = np (Lsis + ψf ) ⊗ is = npψf ⊗ is
6.2 内置式
对于内置式永磁电机，由于电动机气隙不均匀，在幅值相等的 is 作用 下，因相角的不同，产生的电枢反应磁场也不同，等效励磁电感不再是常 值，随负载角的变化而变化，在电机学中通常采用双反应（双轴）理论来 分析凸极同步电机问题，对于内置式永磁电机也可以这种分析方法。
|[i]=const
（注意机械角度与电气角度转化）
1 三相静止坐标系
5
−Ls2sin2θ
Te = −np · [iaibic] · Ms2sin(θ + 30°)
Ms2sin(θ + 30°) −Ls2sin2 (θ − 120°)
Ms2sin(θ + 150°)
ia
Ms2sin(θ − 90°) · ib
ψad(θ) = K · Fad · λδd ψaq(θ) = K · Faq · λδq
1 三相静止坐标系
4
由于 d 轴与 b 相定子绕组相差 （θ − 120°），ψad(θ) 与 b 相绕组 交 链 的 部 分 为 ψad (θ) cos(θ − 120°)；ψaq(θ) 与 b 相 绕 组 交 链 的 部 分 为 ψaq (θ) sin(θ − 120°)；因此，a 相定子绕组通电后经过气隙与 b 相定子绕组 交链的磁链 ψbaδ (θ) 可表示为
ud uq
=
Rsid
+
dψd dt
− ωrψq
=
Rsiq
+
dψq dt
+ ωrψd
us = Rsis + jωsLdid − ωsLqiq + ωrψf 电机的电磁功率方程为
6附
12
Figure 6: 内置式永磁同步电机 d、q 轴等效电路