专题03 导数(第03期)-决胜2016年高考全国名校试题文数分项汇编(新课标II特刊)(解析版)

第三章 导数
一．基础题组
1.
（长春市普通高中2016届高三质量监测（二）文科数学） 已知向量=（a ，01=（，）b ，则当
[2]t ∈时，||t -⋅a b 的取值范围是___________.
【答案】 【解析】
试题解析：由题意，b 为(0,1)，根据向量的差的几何意义，||t -⋅a b 表示t b 向量终点到a 终点的距离，当
t =时，该距离取得最小值为1，当t =
||t -a b 的取值范围是.
2. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数学（文）试题）已知偶函数)(x f (0)x ≠的导函数
为)(x f '，且满足(1)0f =，当0x >时，()2()xf x f x '<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(1,0)(1,)-+∞ D ．(1,0)(0,1)-
【答案】D 【解析】
3. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数学（文）试题）函数()2ln f x x x =-的单调递增
【解析】
试题分析：函数()2ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞，，所以函数()2ln f x x x =-的
4. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（文）试题）设函数()f x 在R 上存在导
函数()f x '，对任意x R ∈，都有2
()()f x f x x +-=，且()0+x ∈∞，
时，()f x x '>，若2(2-)()22f a f a a ≥-－，则实数a 的取值范围是（ ）
A. [)1+∞，
B. (],1-∞
C. (],2-∞
D. [)2+∞， 【答案】B 【解析】
5. （黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（文）试题）函数f （x ）的导函数为f′（x ），对
∀x ∈R ，都有f′（x ）＞f （x ）成立，若f （ln2）=2，则不等式f （x ）＞e x 的解是（ ） A ．x ＞1 B ．0＜x ＜1 C ．x ＞ln2 D ．0＜x ＜ln2 【答案】C
【分析】造函数g （x ）=，利用导数可判断g （x ）的单调性，再根据f （ln2）=2，求得g （ln2）
=1，继而求出答案．
【解析】解：∵∀x ∈R ，都有f′（x ）＞f （x ）成立，
∴f′（x ）﹣f （x ）＞0，于是有（
）′＞0，
令g （x ）=，则有g （x ）在R 上单调递增，
∵不等式f （x ）＞e x ，
∴g（x）＞1，
∵f（ln2）=2，
∴g（ln2）=1，
∴x＞ln2，
故选：C．
【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．
6. (甘肃省白银市会宁四中2016届高三上学期期末数学（文）试题)已知函数f（x）=﹣mx3+nx2的图象在点（﹣1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，则实数t的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[﹣2，﹣1] D．[﹣2，+∞）
【答案】C
【分析】由f（x）=﹣mx3+nx2，知f′（x）=﹣3mx2+2nx，故f′（﹣1）=﹣3m﹣2n，函数f（x）=﹣mx3+nx2的图象在点（﹣1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，知，解得m=﹣1，n=3，令f′（x）=3x2+6x≤0，解得﹣2≤x≤0，由函数f（x）在[﹣2，0]上单调递减，能求出t的范围．
【解析】
【点评】本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程的应用，具体涉及到导数的几何意义、直线平行的条件、利用导数判断函数的单调等知识点，解题时要认真审题，仔细解答．
7. (甘肃省白银市会宁四中2016届高三上学期期末数学（文）试题)已知在R 上可导的函数f （x ）的图象
如图所示，则不等式f （x ）•f′（x ）＜0的解集为（ ）
A ．（﹣2，0）
B ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）
C ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
D ．（﹣2，﹣1）∪（0，
+∞） 【答案】B
【分析】函数y=f （x ）（x ∈R ）的图象得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，得不等式f （x ）f′（x ）＜0的解集
【点评】考查识图能力，利用导数求函数的单调性是重点．
8.
（吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测（二） 数学（文）试题）已知向量=（a ，01=（，）b ，
则当[2]t ∈时，||t -⋅a b 的取值范围是___________. 【答案】
【命题意图】本题考查积分的运算.
【解析】由题意，b 为(0,1)，根据向量的差的几何意义，||t -⋅a b 表示t b 向量终点到a 终点的距离，
当t =
时，该距离取得最小值为1，当t =时，根据余弦定理，，即||t -a b 的
取值范围是.
9. （甘肃省河西五市部分普通高中2016届高三第一次联考数学（文）试题）函数])
,[()(cos ππ-∈=x xe x f x
的图象大致是（ ）
【答案】B. 【解析】
试题分析：易得()f x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除
A ，C ，
cos cos cos '()(sin )(1sin )x x x f x e xe x e x x =+⋅-=-，
显然存在0(0,)x π∈，使得当0(0,)x x ∈时，'()0f x >，0(,)x x π∈时，'()0f x <，即()f x 在[0,]π上先增后减，故排除D ，故选B ．
10. （甘肃省河西五市部分普通高中2016届高三第一次联考数学（文）试题）正项等比数列{}n a 中的 1a ，
4031a 是函数321
()4633
f x x x x =-+-的极值点，则2016a =（ ）
A ．1-
B ．1
C
D ．2 【答案】B. 【解析】
11. （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(文科)试题）曲线32y x x =-在点(1,1)- 处的切
线方程是________． 【答案】 x －y －2＝0
【考点】本题考查利用导数求函数的切线方程.
【解析】y′＝3x 2
－2，k ＝3－2＝1，所以切线方程为y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.
【技巧点拨】求曲线在某一点处的切线方程时，可以先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程．如果切点未知，要先求出切点坐标．
二．能力题组
1. （长春市普通高中2016届高三质量监测（二）文科数学） （本小题满分12分）
已知函数ln ()a x
f x x
-=
在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （1）求实数a 的值及()f x 的极值； （2）若对任意1x ，2x 2
[,)e ∈+∞，有121212
()()|
|>
f x f x k
x x x x --⋅，求实数k 的取值范围； 【答案】(1) ()f x 有极大值为(1)1f =.(2) (,2]-∞. 【解析】
2. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数学（文）试题）（本小题满分12分）
（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a ，b 的值； （Ⅱ）若1x =是函数()f x 的极值点，求实数a 的值；
（Ⅲ）若20a -≤<，对任意12,(0,2]x x ∈，
求m 的最小值．
【答案】（Ⅰ）2a =-，1
2
b =-.（Ⅱ）1a =.（Ⅲ）m 的最小值为12. 【解析】
（Ⅲ）因为20a -≤<，02x <≤ ， 所以'()0a
f x x x
=-
>，故函数()f x 在(0,2]上单调递增， 不妨设1202x x <≤≤，则
…………10分
等价于30x ax m --≤在(0,2]上恒成立，即3m x ax ≥-在(0,2]上恒成立， 又20a -≤<，所以2ax x ≥-，所以332x ax x x -≤+， 而函数3
2y x x =+在(0,2]上是增函数，
所以3212x x +≤（当且仅当2a =-，2x =时等号成立）.
所以12m ≥．即m 的最小值为12. …………12分
3. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（文）试题）已知函数()(0)x x
e a
f x a e a
-=>+ （Ⅰ）若曲线()y f x =在点()0(0)f ，处的切线与直线210x y -+=平行，求a 的值； （Ⅱ）当0x ≥时，1
()2
f x x ≤
成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）1a =；（Ⅱ）当0x ≥时，()1
2
f x x ≤
恒成立时的a 的取值范围为[)1,+∞. 【解析】
4. （山东省烟台市2016届高三上学期期末数学（文）试题）设函数
，其中a≠0．
（Ⅰ）若函数y=g （x ）图象恒过定点P ，且点P 关于直线
的对称点在y=f （x ）的图象上，求m 的值；
（Ⅱ）当a=8时，设F （x ）=f′（x ）+g （x+1），讨论F （x ）的单调性； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设
，曲线y=G （x ）上是否存在两点P 、Q ，使△OPQ
（O 为原点）是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y 轴上？如果存在，求a 的取值范围；如果不存在，说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用． 【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用． 【分析】（I ）先得出点P 关于直线
的对称点（1，0），由题意可得f （1）=0，求出m 的值；
（II）先求函数定义域，然后对函数求导，再对字母m分类讨论：当m≥0时，当m＜0时．分别解f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解即可．
（III）对于存在性问题，可先假设存在，即假设曲线y=G（x）上存在两点P、Q，满足题意，则P、Q只能在y轴的同侧，再利用△OPQ是以O为直角顶点的直角三角形，求出a的取值范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（III）由条件（I）知，，
假设曲线y=G（x）上存在两点P、Q，满足题意，则P、Q只能在y轴的同侧，
设P（t，G（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），
∵△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，
∴=0，即﹣t2+G（t）（t3+t2）=0，①
（1）当0＜t≤2时，G（t）=﹣t3+t2，此时方程①为﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，
化简得t4﹣t2+1=0，无解．满足条件的P、Q不存在；
（2）当t＞2时，G（t）=aln（t﹣1），此时方程①为﹣t2+aln（t﹣1）（t3+t2）=0，
化简得=（t+1）ln（t﹣1），设h（x）=（t+1）ln（t﹣1），则h′（x）=ln（t﹣1）+，
当t＞2时，h′（x）＞0，h（x）在（2，+∞）上是增函数，h（x）的值域为（h（2），+∞），即（0，+∞）．∴当a＞0时，方程①总有解．
综上所述，存在满足条件的P、Q，a的取值范围（0，+∞）．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值及单调性，解题时若含有参数，要对参数的取值进行讨论，而分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用．
5.（山东省烟台市2016届高三上学期期末数学（文）试题）徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元（a＞0）．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【专题】综合题．
【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域；
（2）利用基本不等式可得，当且仅当，即v=10时，等号成立，进而分类讨论可得结论．
【解析】
（2）依题意知a，v都为正数，故有，当且仅当，即v=10时，等号成立…
【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查导数知识，解题的关键是构建函数模型，利用基本不等式求最值．
6.（黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（文）试题）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程．
（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．
（Ⅲ）转化已知条件为函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围．【解析】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），
∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，
∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．
（Ⅱ），定义域为（0，+∞），
，
①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，
∵x＞0，∴x＞1+a
令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．
②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，
综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．
当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到能力．
7. (宁夏中卫一中2016届高三上学期期末数学（文）试题)设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线率为2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）证明：f（x）≤2x﹣2．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】证明题；综合题．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，再利用f（1）=0以及f′（1）=2建立方程组，联解可得a，b的值；（Ⅱ）转化为证明函数y=f（x）﹣（2x﹣2）的最大值不超过0，用导数工具讨论单调性，可得此函数的最大值．
【解析】解：
【点评】本题着重考查导数的几何意义，以及利用导数讨论函数的单调性，求函数的最值，是一道常见的函数题．
8. (甘肃省白银市会宁四中2016届高三上学期期末数学（文）试题)已知函数f（x）=x2+alnx．
（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的概念及应用．
【分析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=﹣2时， =，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间和极值．
（Ⅱ）由g（x）=x2+alnx+，得，令φ（x）=，则φ′（x）=﹣．由此利用导数性质能求出a的取值范围．
【解析】
（Ⅱ）由g（x）=x2+alnx+，得．
若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2x﹣+≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥在[1，+∞）上恒成立．
令φ（x）=，则φ′（x）=﹣．
当x∈[1，+∞）时，φ′（x）=﹣﹣4x＜0，
∴φ（x）=在[1，+∞）上为减函数，∴φ（x）min=φ（1）=0．
∴a≥0．
∴a的取值范围为[0，+∞）．
【点评】本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．
9．(广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末数学（文）试题)设函数f（x）=e x+ax+b 点（0，f（0））处的切线方程为x+y+1=0．
（Ⅰ）求a，b值，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）＞x2﹣4．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】综合题；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义以及切线方程建立方程关系即可求a，b值以及f（x）的单调区间；
（Ⅱ）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值关系即可证明不等式．
【解析】
【点评】本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性的应用，综合考查导数的应用，运算量较大，综合性较强．
10. (吉林省长春外国语学校2016届高三上学期期末数学（文）试题)已知函数f（x）=x2+2alnx．
（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数g（x）=+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．
【分析】（1）求出函数的导数，由导数的几何意义得f′（2）=1，解得即可；
（2）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意x＞0；
（3）根据函数的单调性与导数的关系可得g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即﹣+2x+≤0在[1，2]上恒成立．即a≤﹣x2在[1，2]上恒成立．利用导数求出函数h（x）=﹣x2在[1，2]上的最小值，即可得出结论．
【解析】
所以a≤﹣．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值等知识，属于中档题．
11.（辽宁省大连二十中2016届高三上学期期末数学（文）试题）设函数f（x）=e x+ax+b点（0，f（0））处的切线方程为x+y+1=0．
（Ⅰ）求a，b值，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）＞x2﹣4．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】综合题；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义以及切线方程建立方程关系即可求a，b值以及f（x）的单调区间；
（Ⅱ）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值关系即可证明不等式．
【解析】
【点评】本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性的应用，综合考查导数的应用，运算量较大，综合性较强．
12. （吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测（二） 数学（文）试题）（本小题满分12分）
已知函数ln ()a x
f x x
-=
在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （1）求实数a 的值及()f x 的极值； （2）若对任意1x ，2x 2
[,)e ∈+∞，有121212
()()|
|>
f x f x k
x x x x --⋅，求实数k 的取值范围； 【命题意图】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及用导数来描述原函数的单调性、极值等情况
.
13. （甘肃省河西五市部分普通高中2016届高三第一次联考数学（文）试题）(本小题满分12分)
已知函数()sin x
f x e x =，其中x R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.
（1）求函数()f x 的单调区间； （2）当[0,
]2
x π
∈时，()f x kx ≥，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间：3(2,2)4
4k k π
πππ-
+
，单调递减区间：37(2,2)44
k k ππ
ππ++，k Z ∈；
（2）(,1]-∞.
【解析】
考点：1.导数的运用；2.分类讨论的数学思想．
14. （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(文科)试题）（本题满分12分）
已知函数()ln f x x bx c =-+，()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为40x y ++=． （Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若在区间1
,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦
内，恒有2
()ln f x x x kx ≥++成立，求k 的取值范围．
【解析】（1）11
(),()|1x f x b f x b x
=''=
-∴=- 又切线斜率为－１，故11b -=-，从而2b = 2分 将(1,(1))f 代入方程40x y ++=得：1(1)40f ++=，从而(1)5f =-
(1)5f b c ∴=-+=-，将2b =代入得3c =-故()ln 23f x x x =-- 4分
【考点】本题考查导数的运用.
【技巧点拨】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明．
2．求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值．
3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．
4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．
：。