地基中的应力计算

3P
z3
3
1
P
σz = 2π (r2 + z2)5 / 2 = 2π [ (r / z)2 + 1]5 / 2 z2
P
K
z
z2
集中力作用下的竖向附加应力 系数查表2.1。
• 集中荷载产生的竖向附加应力存在着如下规律：
• 1.在集中力P的作用线上,沿P作用线上 z的分布随深度增加而递减。
•
只有基础刚度很大，地基相对较弱时才比较符合实际。
2.2.1中心荷载作用下的基底压力
P F G A
A Lb
式中 F— 作用任基础上的竖向力设计值(kN)； G— 基础自重设计值及其上回填土重标准值的总重(kN)； G=GAd ,G 其中为基础及回填土之平均重度，一般取20kN/m3， 但在地下水位以下部分应扣去浮力，即取10kN/m3；
0
0
p0max p0m in
pm ax pm in

γ
0
d
p 为基底附加压力设计值， kPa; 0
p基底压力 设计值，kPa
为基底标高以上各天然土层层的加权平均重度其 0 中位于地下水位以下部分的取有效重度， kN/m 3
d从天然地面起算的基础埋深， m)
例2-2 :某基础底面尺寸l=3m，b=2m，基础顶面作用轴心 力Fk=450kN，弯矩M=150kN.m,基础埋深d=1.2m，试计 算基底压力并绘出分布图。
粉质黏土层底 cz 1z1 2z2 3z3 16.75 18.1－10 3 41.05kN / m 2
淤泥层底 cz 1z1 2z2 3z3 4z4 41.05 16.7－107 87.95kN / m2
不 透 水 层 层 面 cz 1z1 2z2 3z3 4z4 w z3 z4 87.95 10 3 7 187.95kN / m2
2.3.2.1 矩形面积上各种分布荷载作用下的地基附加力计算
对于矩形基础，基底压力可视为矩形荷载面。在矩形面积(l×b) 上作用均布荷载p，计算矩形面积中心点下任意深度z处M点的竖
向附加应力σ z值，可从下式解得：
Kc 均 布 荷 载 土 的 附 加 应 力系 数 ，
Kc
=
f（ l ，m）, 查 表2.2可 得 ； bb
钻孔底 cz 187.95 19.6 4 266.35kN / m
kN/m2
基岩或只含强结合水的坚硬
7.85
粘土层可认为是不透水层。不
16.75
透水层层面处为土自重应力沿
深度分布的一个临界面，此处
41.05
土的自重应力等于全部上覆土
和水的总压力，自重应力分布
曲线在此有一个突变。
87.95 187.95
pmax F
G
M
pm in
AW
M (F G)e
W bl 2 6
pmax F G (1 6e)
pm in
A
l
M
e
e=l/6
F G
e＝L/6, 应力重新分布：基底压力三角形分布
e＜L/6, 应力重新分布:基底压力呈梯形分布
e>L/6, 应力重新分布
2(F G) pmax 3b l e
架桥作用：把刚性基础能够跨越基 底中部，将所承担的荷载相对集中 地传至基底边缘的现象。
•刚性基础在中心受压下：随着荷载的增大，由“马鞍形” 转变为“抛物线形”进而“钟形”。 注：一般来说，无论无粘性土或粘性土地基，只要基础埋深 和基底面积足够大，而荷载不太大时，基底反力图均呈“马 鞍形”。
3、工业与民用建筑中，基底压力一般可近似按直线分布图 形计算，即按材料力学公式进行简化计算。
地基在建筑物荷载作用下由于压缩而引起的竖 向位移称为沉降。
自重应力和附加应力
由上覆土体自重引起的应力称为土的自重应力， 它是在建筑物建造之前就已存在土中。对于形 成地质年代比较久远的土，由于在自重应力作 用下，其变形已经稳定，因此土的自重应力不 再引起地基的变形（新沉积土或近期人工充填 土除外）。
基 础 自 重 及 基 础 上 回 填土 重
Gk = γGAd = 20 ×3 ×2 ×1.2 = 144kN
偏心矩
e = Mk = 150 = 0.253m Fk +Gk 450 + 144
基底压力
pma x pmi n
=
Fk
+ Gk bl
(1
±6e
l)
=
450 + 144 (1
2 ×3
±6 ×0.253
P
O
x
r x2 y2
r
y

x
W
Rz
z
tzy
tzx
R r2 z2
y
tyz
M(x,y,z,)
y
tyx
txz txy
x
z
建筑荷载主要以竖向荷载为主，故只考虑竖向应力。
3P z3 3P


cos3
z 2 R5 2R2
R = r2 + z2 3P z3
σz = 2π • R5
2.3 地基中的附加应力
基本概念
1、定义
地基附加应力是由新增加建筑物荷载在地基中产生 的应力。是引起地基变形和破坏的主要原因。
2、基本假定
（1）基础刚度为零，即基底作用的是柔性荷载； （2）地基土是连续均匀、各向同性的的线性变形半无限体。
采用的计算方法是根据弹性理论推导的。
2.3.1竖向集中力作用下的地基应力 布辛奈斯克用弹性理论解答
第2章 地基中的应力计算
本章学习要求 2.0 概述 2.1 地基中的自重应力 2.2 基底压力 2.3 地基中的附加应力 2.4 地基中附加应力的有关问题
本章学习要求
本章是本课程学习的重点，是土力学 基本内容之一。通过本章学习，要求 掌握土中应力计算的基本知识。
掌握土中自重应力、基底压力和土中 附加应力的基本概念、分布规律及计 算方法；
sat w
地下水位升降对自重应力的影响 （a)地下水位下降；（b)地下水位上升
2.1.2水平向自重应力
土在自重作用下 不仅产生竖向自重应力，同时也产生水平自重 应力。其水平自重应力的数值大小是随着竖向自重应力 变化而 变化。
天然地面
cy
cz cx
土的侧压力系数是 小于1的系数，一般 在0.5左右
n
c 1z1 2z2 ...... n zn i zi i 1
天然地面
z1 1
1 z1
z2
2 水位面 1 z1 + 2z2
z3 3
1 z1 + 2z2 + 3z3
说明：
1.地下水位以上土层采用 天然重度，地下水位以下 土层考虑浮力作用采用浮 重度
和水平面上均无剪力存在，故地基中任意深度z处的竖
向自重应力就等于单位面积上的土柱重量。
竖向自重应力： cz = z（ 计算深度z内的土 层的天然重度 ）
自重应力数值大小与土层厚度成正比
天然地面
cz
z
cy
cz cx
cz z
1 1
z
σcz= z
土当地基由多个不同重度的土层（成层土）时：
p — 均 布 矩 形 荷 载 强 度 ，k Pa。
1、矩形均布荷载角点下土中附加应力
K p
z
c
Kc ——均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系数，简称角点 应力系数，可查表2.2得到。
2 角点法的应用
角点法具体做法： 通过M点做一些相应的辅助线，使M点成为几个小矩形的 公共角点，M点以下任意深度z处的附加应力，就等于这 几块小矩形荷载在该深度处所引起的应力之和。
2.在r>0的竖直线上，
逐渐变小。
z从零逐渐增大，至一定深度后又随着z
的增加而
•
3.在z为常数的水平面上，随着深度z的增加，集中力作用线上的 小，但随r的增加而逐渐减小。

减
z
附加应力分布特点 ：
1、在任意深度同一水平面上 附加应力不等，中心线上附 加 应力最大，向两侧逐渐减小， 但扩散的范围越来越广。
由建筑物荷载作用引起的应力称为附加应力。 附加应力由于是地基中新增加的应力，将引起 地基的变形，所以附加应力是引起地基变形和 破坏的主要原因。
2.1 地基中的自重应力 2.1.1竖向自重应力
均质土的自重应力
假设地表面是无限延伸的水平面，在深度z水平面
上各点的自重应力相等且均匀地无限分布，任何竖直面
3)
=
149.1 48.9 kPa
例2-3：某轴心受压基础底面尺寸l=b=2m，基础顶面作用 Fk=450kN，基础埋深d=1.5m，已知地质剖面第一层为杂填 土，厚0.5m,γ1=16.8kN/m3；以下为黏土，γ2=18.5kN/m3， 试计算基底压力和基底附加应力。
【解】 基础自重及基础上回填土重
G = γGAd = 20 ×2 ×2 ×1.5 = 120kN
基底压力
pk
=
FK
+ GK A
=
450 + 120 = 142.5kPa 2 ×2
基底处土自重应力 σcz = γ1z1 + γ2z2 = 16.8×0.5 + 18.5×1.0 = 26.9kPa
基底附加应力 p0 = pk－σcz = 142.5－26.9 = 115.6kPa
d —基础埋深，必须从设计地 面或室内外平均设计地面算起(m)； A — 基底面积(m 2)，对矩形基础A＝lb，l和b分别为其的长 和宽 。对于 荷载沿长度方向均匀分布的条形基础，取单位长度进行基底平均压力设 计值p(kPa)计算，A改为b(m)，而F及G则为基础截面内的相应值(kN/m)。
2ห้องสมุดไป่ตู้2.2偏心荷载下的基底压力
2
a l －e 2
2.2.3基底附加压力
※基底附加压力是考虑基础有一定埋 置深度，对天然地基而言开挖基槽相 当于卸去一部分自重应力，即：
σcz= γ×d
※一般情况下，建筑物建造前天然土层在自重作用下的变形 早已结束。因此，只有基底附加压力才能引起地基的附加应 力和变形。
p p d
2、附加应力随地基土深度增 加 其数值逐渐减小。
z 的分布
叠加原理
由两个集中力共同作用时，地基附加压力扩散产生叠加现 象，如下图。
P1
P2
两个集中力作用下
z
σz的叠加
a
b
由此可见，相邻荷载距离过近相互之间压力扩散叠加使附加 压力增加并重新分布，从而引起相邻建筑产生附加沉降。
2.3.2空间问题的附加应力计算
2.在地下水位以下如埋藏 有不透水层（如连续分布 的坚硬粘性土层）时，层 面及层面以下的自重应力 应按上覆土层的水土总重 计算。
3.非均质土中自重应力沿 深度呈折线分布
1 z1 + 2z2 + 3z3+ w z3
地下水位变化对自重应力的影响
地下水位以 下的土，由于 受到水的浮力 的作用，减轻 了土的有效自 重，因此计算 自重应力时应 采用土的有效 (浮)重度
cx cy K0 cz
cz z
z
例：某地基土层剖面如图所示，试计算各土层自重应力分布图。
【解】 填土层底 σcz = γ1z1 = 15.7 ×0.5 = 7.85kN/ m2
地下水位处 σcz = γ1z1 + γ2z2 = 7.85 + 17.8 ×0.5 = 16.75kN/ m2
2.0 概述
在建筑物荷载作用下，地基中原有的应力状态 将发生变化，从而引起地基变形，建筑物地基 亦随之沉降。地基变形控制是地基基础设计的 主要原则之一。
地基土中的应力按产生的原因可分为自重应力 和附加应力。附加应力是引起地基变形和破坏 的主要原因。
地基变形除与附加应力有关外，还与土的压缩 性直接有关，土的压缩性是引起地基变形的内 因。
266.35
2.2 基底压力
分析地基中 应力、变形 及稳定性的 外荷载
基地压力：建筑荷载在基础底
面上产生的压应力，即基础底 面与地基接触面上的压应力。
计算基础结 构内力的外
荷载
地基反力：地基支撑基础
的反力。
基底附加应力
大小相等、 方向相反的 作用力与 反作用力
基底压力 分布规律
基底压力 简化计算
重要的工程意义
基底压力分布
1、（1）基底接触压力的产生
建筑物荷重 基础 地基在地基与基础的接触面上产生 的压力，称为基底压力，也称接触压力。（地基作用于基 础底面的反力，称为地基反力。）
（2）接触压力的 大小影响因素
地基和基础的刚度 基础埋深 荷载大小 地基土性质
2、 基底压力分布形式
（1）柔性基础：没有抵抗弯曲变形的能力，基础随地基一起 变形，基底接触压力分布与上部荷载分布情况相同。均布荷 载下其基底沉降是中部大，边缘小。例如：油罐 土坝、路基 （2）刚性基础：抗弯刚度非常大 ，具有抵抗变形的能力，所以变 形不均匀，出现马鞍形、抛物线 形、钟形等。受荷后基础不挠曲 ，在调整基底沉降使之趋于均匀 的同时，也使基底压力发生由中 部向边缘转移的过程。例如：箱 形基础 混凝土坝