浙江省湖州市2021年中考数学试卷(含答案)

浙江省湖州市2021年中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1.（2021·湖州）实数-2的绝对值是（ ）
A. -2
B. 2
C. 1
2 D. −1
2 2.（2021·湖州）化简 √8 的正确结果是（ ）
A. 4
B. ±4
C. 2√2
D. ±2√2 3.（2021·湖州）不等式 3x −1>5 的解集是（ ）
A. x >2
B. x <2
C. x >4
3 D. x <4
3 4.（2021·湖州）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯
B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天
D. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 5.（2021·湖州）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（ ）
A. B. C. D.
6.（2021·湖州）如图，已知点O 是△ABC 的外心，∠A=40°，连结BO ，CO ，则∠BOC 的度数是（ ）
A. 60°
B. 70°
C. 80°
D. 90°
7.（2021·湖州）已知 a ， b 是两个连续整数， a <√3−1<b ，则 a ， b 分别是（ ） A. -2，-1 B. -1，0 C. 0，1 D. 1，2
8.（2021·湖州）如图，已知在△ABC 中，∠ABC<90°，AB≠BC ，BE 是AC 边上的中线。

按下列步骤作图：
①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直
线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连结CO，DE。

则下列结论错误
．．的是（）
A. OB=OC
B. ∠BOD=∠COD
C. DE∥AB
D. DB=DE
9.（2021·湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC= √3，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1页随之运动。

若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域面积是
A. π
B. π+3√3
4C. 3√3
2
D. 2π
10.（2021·湖州）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB 的面积为S2，。

有下列结论：①当x1>x2+2时，S1>S2；②当x1<2−x2时，S1<S2；③当|x1−2|>|x2−2|>1时，S1>S2；④当|x1−2|>|x2+2|>1时，S1<S2。

其中正确结论的个数是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11.（2021·湖州）计算：2×2−1=________
12.（2021·湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，则sinB的值是________
13.（2021·湖州）某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同。

若以每1000张奖券为一个开
奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其它奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是________ 14.（2021·湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点），则图中∠A的度数是________度
15.（2021·湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y=ax2+bx+2（a≠
0）对称轴上的一个动点。

小明经探究发现：当b
的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直
a
角三角形的点M的个数也随之确定。

若抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上存在3个不
的值是________
同的点M，使△AOM为直角三角形，则b
a
16.（2021·湖州）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：
如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）。

则图中AB的长应该是________
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17.（2021·湖州）计算：x(x+2)+(1+x)(1−x)
=1
18.（2021·湖州）解分式方程：2x−1
x+3
19.（2021·湖州）如图，已知经过原点的抛物线y=2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）。

（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；
（2）求直线AM的解析式。

20.（2021·湖州）为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：A.党史宣
讲；B.歌曲演唱；C.校刊编撰；D.诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情况制成了如下统计图表（不完整）：
各组参加人数情况统计表
各组参加人数情况扇形统计图
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求m的值；
（2）求扇形统计图中D所对应的圆心角度数；
（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示：
求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间。

21.（2021·湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是A D⌢所对的圆周角，∠ACD=30°。

（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F。

若AB=4，求DF的长。

22.（2021·湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加。

据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4
万人，五月份为5.76万人。

（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票。

①若丙种门票下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
23.（2021·湖州）已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP。

（1）如图1，若∠ACD=30°，∠CAD=60°，BD=AC，AP= √3，求BC的长；
（2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD=60°，BD=AC，求证：BC=2AP；
（3）如图3，若∠CAD=45°，是否存在实数m，当BD=mAC时，BC=2AP？若存在，请直接写出
．．．．m的值；
若不存在，请说明理由。

(x>0)图像上的一个动点，24.（2021·湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=1
x
连结AO，AO的延长线交反比例函数y=k
（k>0，x<0）的图像于点B，过点A作AE⊥y轴
x
于点E。

（1）如图1，过点B作BF⊥x轴于点F，连结EF，
①若k=1，求证：四边形AEFO是平行四边形；
②连结BE，若k=4，求△BOE的面积。

（k>0，x<0）的图像于点P，连结OP。

（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y=k
x
试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由。

答案解析部分
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C 8.【答案】D 9.【答案】B 10.【答案】A
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11.【答案】1
12.【答案】1
2
13.【答案】1
50
14.【答案】36
15.【答案】2或-8
16.【答案】√2-1
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17.【答案】解：原式=x2+2x+1-x2 =2x+1.
18.【答案】解：去分母得
2x-1=x+3，
解之：x=4
经检验x=4是原方程的根，
∴原方程的根为x=4.
19.【答案】（1）解：由题意得
8+2m=0
解之：m=-4
∴y=2x2-4x=2（x-1）2-2
∴点M（1，-2）.
（2）解：设直线AM的解析式为y=kx+b
∴{2k+b=0
k+b=−2
)
{k=2
b=−4
)
∴直线AM的解析式为y=2x-4.
20.【答案】（1）解：15÷30％=50人，
∴m％=10÷50=20％;
∴m=20.
（2）解：扇形统计图中D所对应的圆心角度数为：360°×5
50
×100％=36°；
（3）解：10×2.5+20×3+15×2+3×5
50
=2.6.
答：这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间为2.6小时.
21.【答案】（1）解：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵弧AD=弧AD，
∴∠ABD=∠ACD=30°
∴∠DAB=90°-∠ABD=90°-30°=60°.
（2）解：∵∠ABD=30°，AB=4
AB=2
∴AD=1
2
∵DE⊥AB，
∴DF=2DE，∠AED=90°
∵∠ADE=90°-∠DAB=90°-60°=30°，
AD=1
∴AE=1
2
在Rt△ADE中，
DE=√AD2−AE2=√4−1=√3,
∴DF=2√3.
22.【答案】（1）解：解：该景区游客人数平均每月增长的百分率为x，根据题意得
4（1+x）2=5.76
解之：x1=20％，x2=-2.2（不符合题意，舍去）.
答：该景区游客人数平均每月增长20％.
（2）解：①由题意得
（2-0.6）×100+（3-0.4）×80+（2+0.6+0.4）×（160-10）=140+208+450=798万.
答：若丙种门票下降10元，景区六月份的门票总收入为798万.
②设将丙种门票价格下降x元时，景区六月份的门票总收入为w元，根据题意得
w=100（2-0.06x）+80×（3-0.04x）+（160-x）（2+0.6x+0.4x）
整理得
w=-0.1x2+4.8x+760=-0.1（x-24）2+817.6
∵a=-0.1＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴当x=24时，w最大值=817.6万元.
答：将丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值,817.6万元.
23.【答案】（1）解：∵∠ACD=30°，∠CAD=60°
∴∠CDA=180°-∠ACD-∠CAD=180°-30°-60°=90°，
设AD=x ，则AC=BD=2x ，CD=√3x ∵点P 是CD 的中点 ∴PD =√32
x
在Rt △APD 中 AD 2+PD 2=AP 2 ∴x 2+3
4x 2=3 解之：x =2√217
∴CD =√3×2√217
=6√77
， BD =4√217
在Rt △CDB 中 CD 2+BD 2=BC 2
∴BC =√(6√77
)2
+(4√217
)2
=2√3.
（2）证明：连接BE ，
∵DE ∥AC ， ∴∠CAP=∠DEP ， ∵∵点P 是CD 的中点 ∴CP=DP ，
∴△CPA ≌△DPE （AAS ） ∴AP=EP=1
2AE ，DE=AC ， ∵BD=AC ， ∴DB=DE ∵DE ∥AC ，
∴∠BDE=∠CAD=60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴BD=BE ，∠EBD=60°， ∵BD=AC ， ∴AC=BE ，
∴△CAB ≌△EBA （SAS ） ∴AE=BC ∴BC=2AP.
（3）答：存在， m =√2
24.【答案】（1）①证明：当k=1时，点A，B是反比例函数y=1
x
上的不同象限图象上的两点，∴OA=OB，∠AOE+∠BOF=90°，
∵ AE⊥y轴，BF⊥x轴，
∴AE∥OF，∠AEO=∠BFO=90°，∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠BOF=∠EAO，
∴△AOE≌△BOF（AAS）
∴AE=OF
∴四边形AEFO是平行四边形；
②解：过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，
∵AE⊥y轴，
∴AE∥BD，
∴△AEO∽△BDO，
∴S△AEO
S△BDO ＝(AO
BO
)2
∴当k＝4时，1
2
2
＝(AO
BO
)2
∴AO：BO＝1：2，
∴S△BOE＝2S△AOE＝1；
（2）解：不改变．
理由如下：
过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，
设点A的坐标为（a，1
a ），点P的坐标为（b，k
b
），
则AE＝a，OE＝1
a ，PH＝−k
b
∵四边形AEGO是平行四边形，∴∠EAO＝∠EGO，AE＝OG，∵∠EGO＝∠PGH，
∴∠EAO＝∠PGH，
又∵∠PHG＝∠AEO，
∴△AEO∽△GHP，
∴AE
GH ＝EO
PH
，
∵GH＝OH−OG＝−b−a，
∴a
−b−a ＝
1
a
−k
b
，
∴(b
a )2＋b
a
−k＝0，
解得b
a ＝
−1±√1＋4k
2
，
∵a，b异号，k＞0，
∴b
a ＝
−1−√1＋4k
2
，
∴S
△POE =1
2
OE×(−b)=1
2
×1
a
×(−b)＝−1
2
×b
a
=
1+√1＋4k
2
∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化．
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