最新《全优点练课计划》九年级数学下册(北师版)-第一章综合测评

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北师大版初三数学9年级下册第1章(直角三角形的边角关系)单元综合测评(含答案)

北师大版九年级数学下册《第1章直角三角形的边角关系》单元综合测评（附答案）一．选择题（共5小题，满分25分）1．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（）A．2B．C．D．2．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB；④∠F，∠ADB，FB．其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（）A．B．C．D．4．北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站AB，其设计图如图所示，BF，ED与地面平行，CD的坡度为i＝1：0.75，EF的坡角为45°，小王想利用所学知识测量基站顶部A 到地面的距离，若BF＝ED，CD＝15米，EF＝3米，小王在山脚C点处测得基站底部B的仰角为37°，在F点处测得基站顶部A的仰角为60°，则基站顶部A到地面的距离为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．21.5米B．21.9米C．22.0米D．23.9米5．某网红地惊现震撼的裸眼3D超清LED巨幕，成功吸引了广大游客前来打卡．小丽想了解该LED屏AB的高度，进行了实地测量，她从大楼底部C点沿水平直线步行30米到达台阶底端D点，在D点测得屏幕下端点B的仰角为27°，然后她再沿着i＝4：3长度为35米的自动扶梯到达扶梯顶端E点，又沿水平直线行走了45米到达F点，在F点测得屏幕上端点A的仰角为50°（A，B，C，D，E，F，G在同一个平面内，且E、F和C、D、G分别在同一水平线上），则该LED屏AB的高度约为（）（结果精确到0.1，参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）A．86.2米B．114.2米C．126.9米D．142.2米二．填空题（共8小题，满分40分）6．直角坐标系内，点A与点B（sin60°，）关于y轴对称，如果函数的图象经过点A，那么k＝．7．若锐角x满足tan2x﹣（+1）tan x+＝0，则x＝．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝6，tan B＝，则CE＝．9．如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA：CB＝5：7，则∠CAD的余弦值为．10．小致为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡行走20m，达到坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°，小致的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，则楼房AB的高度为 m．（计算结果精确到1m，参考数据：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝．）11．小区有一坡度为1：2的楼梯CD，CD＝6米，小亮从家里阳台点B处看楼梯顶部C 点的俯角为34°，看楼梯底部D点的俯角为53°，小亮家距地面的距离AB约为米．（tan34°≈，tan53°≈）12．如图所示，一艘轮船在A处观测到北偏东45°方向上有一个灯塔B，轮船在正东方向以每小时20海里的速度航行1.5小时后到达C处，又观测到灯塔B在北偏东15°方向上，则此时轮船与灯塔B相距海里．（结果保留根号）13．如图，在河对岸有一等腰三角形场地EFG，FG＝EG，为了估测场地的大小，在笔直的河岸上依次取点C，D，B，A，使FC⊥l，BG⊥l，EA⊥l，点E，G，D在同一直线上，在D观测F后，发现∠FDC＝∠EDA，测得CD＝12米，DB＝6米，AB＝12米，则FG＝米．三．解答题（共7小题，满分55分）14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，tan B＝，求AB的值．15．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tan B＝．（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）16．如图在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、BC的中点，过点B作BF⊥AC于点F，BF与DE交于点G．（1）求证：DE⊥BF；（2）连结EF，若S△CEF＝S△BDG，求cos∠CEF的值．17．生活中，我们经常看到有的窗户上安装着遮阳蓬，如图1．现在要为一个面向正南方向的窗户安装一个矩形遮阳蓬．如图2，AB表示窗户的高，CD表示遮阳蓬，且AB＝1.5m，遮阳蓬与窗户所在平面的夹角∠BCD等于75°．已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为60°，若使冬天正午阳光最低时光线最大限度的射入室内，而夏天正午阳光最高时光线刚好不射入室内，试求出遮阳蓬的宽度CD．18．小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB影子恰好落在水平地面BC和斜坡面CD上，测得旗杆在水平地面上的影长BC＝20m，在斜坡坡面上的影长CD＝8m，太阳光线AD与水平地面成30°角，且太阳光线AD与斜坡坡面互相垂直，请你帮小明求出旗杆AB的高度（结果保留根号）．19．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼GC的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．（1）求古树BH的高；（2）求教学楼CG的高．（结果可保留根号）20．如图，某海岸边有B，C两码头，C码头位于B码头的正东方向，距B码头60海里．甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东37°方向的C码头航行，当甲船到达距B码头40海里的E处时，乙船位于甲船北偏东60°方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离（结果精确到0.1海里）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42，≈1.732）参考答案一．选择题（共5小题，满分25分）1．解：如图，取格点K，连接AK，BK．观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，∴∠AED＝∠ABK，∴tan∠AED＝tan∠ABK＝＝，故选：B．2．解：此题比较综合，要多方面考虑，第①组中，因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；第②组中可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；第③组中设AC＝x，AD＝CD+x，AB＝，AB＝；因为已知CD，∠ACB，∠ADB，可求出x，然后得出AB．第④组中，在直角△DEF中已知条件中没有边，无法求得DF或EF或DE的长度，从而无法求得AB的长度；故选：C．3．解：如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．∵BD＝DC，∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，∴△BDM≌△CDF（SAS），∴CF＝BM＝9，∠M＝∠CFD，∵CE∥BM，∴∠AFE＝∠M，∵EA＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∴∠BAM＝∠M，∴AB＝BM＝9，∵AE＝4，∴BE＝5，∵∠EBC＝90°，∴BC＝＝＝12，∴AC＝＝＝15，∴cos∠ACB＝＝＝，解法二：过点D作DG平行AC，构造三角形BDG相似于三角形BCG，同理AEF相似于AGD，再由题目条件，可得cos角ACB的值，遇到分点问题想平行，构造A或8字型相似．故选：D．4．解：如图，延长AB交过点C的水平线于M，交DE延长线于点N，作DG⊥MC于G，FH⊥DN于H，∵CD的坡度为i＝1：0.75＝，∴＝，设DG＝4k，CG＝3k，则CD＝5k，∴5k＝15，∴k＝3，∴DG＝12，CG＝9，∵EF的坡角为45°，EF＝3，∴EH＝FH＝3，∵四边形BNHF和四边形DGMN是矩形，∴BF＝NH＝DE，BN＝FH＝3，DN＝MG，NM＝DG＝12，∴BM＝BN+NM＝15，在Rt△BCM中，∠BCM＝37°，MC＝MG+CG＝DN+CG＝NH+HE+DE+CG＝2BF+3+9＝2BF+12，∴BM＝CM•tan∠BCM，∴15＝（2BF+12）×0.75，∴BF＝4，在Rt△ABF中，∠AFB＝60°，∴AB＝BF•tan60°＝4≈6.92（米），∴AM＝AB+BM＝6.92+15≈21.9（米）．故选：B．5．解：作EM⊥GC于M，设FE交AC于N，如图所示：则EN＝MC＝DM+DC，EM＝NC＝NB+BC，由题意得：∠AFN＝50°，FE＝45米，DC＝30米，DE＝35米，∠BDC＝27°，ED的坡度i＝4：3，∵tan∠BDC＝，∴BC＝DC×tan27°≈30×0.51＝15.3（米），∵DE的坡度为4：3＝，∴EM＝NC＝ED＝28（米），DM＝DE＝21（米），∴EN＝MC＝DM+DC＝21+30＝51（米），∴FN＝FE+EN＝45+51＝96（米），∵tan∠AFN＝，∴AN＝FN×tan50°≈96×1.19≈114.24（米），∴AB＝AC﹣BC＝AN+NC﹣BC＝114.24+28﹣15.3≈126.9（米）．故选：C．二．填空题（共8小题，满分40分）6．解：∵sin60°＝，∴点B（，）．根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”可知：点A为（﹣，），∵函数的图象经过点A，∴k＝×＝．7．解：∵tan2x﹣（+1）tan x+＝0，∴（tan x﹣1）（tan x﹣）＝0，∴tan x＝1或，当tan x＝1时，x＝45°；当tan x＝时，x＝60°．故x＝45°或60°．8．解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠FAD，∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，∴△BFG∽△BAC，∴＝，∵AC＝6，∠ACB＝90°，∴tan B＝＝∴BC＝8，AB＝＝＝10，∴＝，∵FC＝FG，解得：FC＝3，即CE的长为3．故答案为：3．9．解：如图作AH⊥BC于H，设AC═CD＝5k，BC＝7k，∵∠B＝45°，∠AHB＝90°，∴AH＝BH，设AH＝BH＝x，在Rt△ACH中，∵AH2+HC2＝AC2，∴x2+（7k﹣x）2＝（5k）2，解得x＝3k或4k（舍弃与钝角三角形矛盾），当x＝3k时，∴BH＝AH＝3k，DH＝k，∴AD＝k，∴cos∠CAD＝cos∠ADH＝＝＝．故答案为．10．解：作DH⊥AB于H，∵∠DBC＝15°，BD＝20m，∴BC＝BD•cos∠DBC＝20×＝19.2（m），CD＝BD•sin∠DBC＝20×＝5（m），由题意得，四边形ECBF和四边形CDHB是矩形，∴EF＝BC＝19.2m，BH＝CD＝5m，∵∠AEF＝45°，∴AF＝EF＝19.2m，∴AB＝AF+FH+HB＝19.2+1.6+5＝25.8≈26（m），答：楼房AB的高度约为26m．故答案是：26．11．解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，根据题意可知：∠BCM＝34°，∠BDA＝53°，CE：DE＝1：2，在Rt△CDE中，DE＝2CE，CD＝6（米），∴CD2＝CE2+DE2，即36×5＝5CE2，解得CE＝±6（负值舍去），∴CE＝6（米），∴DE＝12（米），在Rt△BCM中，∠BCM＝34°，CM＝AE＝DE+AD＝（12+AD）米，∴tan∠BCM＝，∴BM＝tan34°×（12+AD）＝（12+AD），即BM＝（12+AD）①，在Rt△BAD中，∠BDA＝53°，AB＝AM+BM＝（6+BM）米，∴tan∠BDA＝，∴AB＝AD•tan53°，即6+BM＝AD②，将①代入②得，AD＝21（米），∴BM＝22（米），∴AB＝BM+AM＝＝BM+CE＝22+6＝28（米），答：小亮家距地面的距离AB约为28米．故答案为：28．12．解：作CD⊥AB，垂足为D．根据题意，得∠BAC＝45°，∠1＝15°，∴∠ACB＝105°，则∠B＝30°，AC＝20×1.5＝30（海里），在Rt△ADC中，∠BAC＝45°，AC＝30，∴CD＝AC•sin45°＝30×＝15（海里）．在Rt△BCD中，∠B＝30°，CD＝15，∴BC＝30（海里）．此时轮船与灯塔B相距30海里．13．解：过点G作GM⊥AE于G．GN⊥EF于N，过点D作DJ⊥l，过点F作FT⊥AE于T．∵FC⊥l，BG⊥l，EA⊥l，∴∠FCD＝∠EAD＝90°，BG∥AE，∵∠FDC＝∠EDA，∴△FCD∽△EAD，△GBD∽EAD，∴＝＝2，＝＝，∴DF＝2DG，DE＝3DG，∴EG＝FG＝2DG，∴FD＝FG，∴∠FDG＝∠FGD＝∠GFE+∠GEF，∵GE＝GF，∴∠GEF＝∠GFE，∵∠FDJ+∠FDC＝90°，∠EDJ+∠EDA＝90°，∠FDC＝∠EDA，∴∠FDJ＝∠EDJ，∴2∠EDJ＝2∠GEF，∴∠EDJ＝∠DEF，∵DJ∥AE，∴∠EDJ＝∠AED，∴∠DEA＝∠DEF，∵GM⊥AE，GN⊥EF，∴∠EMG＝∠ENG＝90°，∵EG＝EG，∴△EGM≌△EGN（AAS），∴EM＝EN，∵GE＝GF，GN⊥EF，∴FN＝EN＝EM，∵四边形ABGM，四边形CFTA都是矩形，∴AB＝GM＝CD＝6（米），∵DF＝EG，∠FCD＝∠GME＝90°，∴Rt△FCD≌Rt△EMG（HL），∴CF＝EM，设AM＝m米则AE＝3m米，EM＝CF＝AT＝FN＝EN＝2m米，∴ET＝AE﹣AT＝m（米），在Rt△EFT中，FT2+ET2＝EF2，∴302+m2＝（4m）2，∴m＝2或﹣2（舍弃），∴FN＝4（米），∵GN＝GM＝12米，∴FG＝＝＝8（米），故答案为：8．三．解答题（共7小题，满分55分）14．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，tan B＝，∵tan B＝，∴BC＝＝＝，则AB＝＝．15．解：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：在Rt△ADC中，AC＝4，∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝2，CD＝AC•cos30°＝4×＝2，在Rt△ABD中，tan B＝＝＝，∴BD＝16，∴BC＝BD﹣CD＝16﹣2；（2）在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图2所示：∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°，tan15°＝tan∠AMD＝＝＝＝2﹣≈0.3．16．证明：（1）∵点D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC．∴∠DGB＝∠AFB．∵BF⊥AC，∴∠AFB＝∠BFC＝90°．∴∠DGB＝90°，∴DE⊥BF．（2）∵∠BFC＝90°，点E是BC的中点，∴EF＝BE＝EC，∴∠EFC＝∠C．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．∴∠CEF＝180°﹣2∠C＝∠BAC．∵DE∥AC，点D是AB的中点，∴△BDG∽△BAF，∴＝．∵点E是BC的中点，∴S△BFC＝2S△CEF，∵S△CEF＝，∴．∴S△AFB＝S△ABF+S△BCF＝S△ABF+2S△CEF＝S△CEF．∴＝＝S△CEF：S△CEF＝，在Rt△ABF中，cos∠CEF＝cos∠BAF＝＝＝．17．解：过点D作DE⊥AC于点E，由题意，∠DBC＝60°，∠BAD＝30°，AB＝1.5m，∵∠DBC＝∠BAD+∠ADB＝60°，∴∠BDA＝∠ADB＝30°，∴AB＝BD＝1.5m，∴BE＝BD•cos60°＝0.75（m），DE＝BE＝0.75（m），∵∠BCD＝75°，∠CAD＝30°，∴∠ADC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴AD＝AC＝2DE＝1.5，∴EC＝AC﹣AE＝1.5﹣1.5﹣0.75＝1.5﹣2.25，∴CD＝＝＝．18．解：作AD与BC的延长线，交于E点．如图所示：根据平行线的性质得：∠E＝30°，∴CE＝2CD＝2×8＝16（m）则BE＝BC+CE＝20+16＝36（m），在直角△ABE中，tan∠E＝，∴AB＝BE•tan30°＝36×＝12（m）．即旗杆AB的高度是12m．19．解：（1）由题意得，∠HFE＝45°，EF＝10，AF＝BE＝CD＝1.5，∠GED＝60°，在Rt△EFH中，∵∠HFE＝45°，EF＝10，∴EH＝EF＝10，∴BH＝BE+EH＝1.5+10＝11.5，答：古树BH的高为11.5米；（2）在Rt△FGD中，∵∠GFD＝45°，∴GD＝FD，在Rt△GED中，∵∠GED＝60°，设ED＝x，则GD＝x＝DF，由DF﹣DE＝EF得，x﹣x＝10，解得x＝5+5，∴GD＝x＝15+5，∴教学楼CG的高为1.5+15+5＝16.5+5，答：教学楼CG的高为（16.5+5）米．20．解：过D作DF⊥BE于F，∴∠DFE＝90°∵∠DEF＝60°，∴∠FDE＝30°，∴DE＝2FE，设FE＝x海里，则DE＝2x海里，∴DF＝x海里，在Rt△ADF中，∠A＝37°，∴AF＝≈x＝x，AD＝≈＝x，在Rt△ABC中，∠A＝37°，BC＝60海里，∴AB＝≈＝80（海里），AC＝≈＝100（海里），∵BE＝AB﹣AF+EF，∴40＝80﹣x+x，解得x＝，∴CD＝AC﹣AD＝100﹣×≈11.8（海里）．答：乙船与C码头之间的距离为11.8海里。

北师大版九年级数学下册第1、2章综合培优练习——提高卷(含答案)

北师大版九年级数学下册第1、2章综合培优练习——提高卷(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cosA 的值是(D)A.34B.43C.35D.452.当二次函数y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时，x 的值为(A)A.－2B.1C.2D.93.(河南中考)在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋1的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是(A) A.x ＜1 B.x ＞1 C.x ＜－1 D.x ＞－1 4.在△ABC 中，把三边的长度都扩大为原来的5倍，则锐角A 的正弦函数值(C) A.缩小为原来的15B.扩大为原来的5倍C.不变D.不能确定5.在直角坐标系xOy 中，点P(4，y)在第四象限内，且OP 与x 轴正半轴的夹角的正切值是2，则y 的值是(D) A.2 B.8 C.－2 D.－86.抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的表达式可能是(C)A.y ＝x 2－2x ＋3 B.y ＝－x 2－2x ＋3C.y ＝－x 2＋2x ＋3D.y ＝－x 2＋2x －37.(泰安中考)如图，轮船从B 处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是(D)A.20海里B.40海里C.2033海里D.4033海里8.函数y ＝－x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图象如图，它与x 轴交于A ，B 两点，线段OA 与OB 的比为1∶3，则m 的值为(D)A.13或2B.13C.1D.29.在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为p ，OP 与x 轴正方向的夹角为α，则用[p ，α]表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系.例如：点P 的坐标为(1，1)，则其极坐标为[2，45°]；若M 的坐标为(－1，－1)，则其极坐标为[2，225°].若点Q 的极坐标为[4，60°]，则点Q 的坐标为(A) A.(2，23) B.(2，－23) C.(23，2) D.(2，2)10.(梅州中考)对于二次函数y ＝－x 2＋2x ，有下列四个结论：①它的对称轴是直线x ＝1；②设y 1＝－x 21＋2x 1，y 2＝－x 22＋2x 2，则当x 2>x 1时，有y 2>y 1；③它的图象与x 轴的两个交点是(0，0)和(2，0)；④当0<x<2时，y>0.其中正确的结论的个数为(C)A.1B.2C.3D.4二、填空题(每小题4分，共32分)11.如图，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝12.12.如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是y ＝－x 2＋2x ＋3.13.(河南中考)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴交于A ，B 两点.若点A 的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝2，则线段AB 的长为8.14.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，tan ∠ACD ＝34，AB ＝5，那么CD 的长是125.15.如图，从热气球C 上测得建筑物A ，B 底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD 为150米，且点A ，D ，B 在同一直线上，那么建筑物A ，B 间的距离为.16.一个函数的图象关于y 轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”.如果二次函数y ＝x 2＋bx －4是“偶函数”，该函数的图象与x 轴交于点A 和点B ，顶点为P ，那么△ABP 的面积是8. 17.如图，将一块斜边长为12 cm ，∠B ＝60°的直角三角板ABC ，绕点C 沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB 向右平移，使点B′刚好落在斜边AB18.某幢建筑物，从10米高的窗口A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如图).如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面403米，那么水流落地点B 离墙的距离OB 是3米.三、解答题(共58分)19.(6分)计算：cos 245°tan 30°·sin60°＋tan 60°.解：原式＝（22）233×32＋ 3 ＝1＋ 3.20.(8分)已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m.(1)如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；(2)如图，二次函数的图象过点A(3，0)，与y 轴交于点B ，直线AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点P ，求点P 的坐标.解：(1)∵二次函数的图象与x 轴有两个交点，∴Δ＝22＋4m ＞0.∴m＞－1. (2)∵二次函数的图象过点A(3，0)，∴0＝－9＋6＋m.∴m＝3.∴二次函数的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3. 令x ＝0，则y ＝3，∴B(0，3).设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝3k ＋b ，3＝b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3.∴直线AB 的表达式为y ＝－x ＋3.∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3的对称轴为直线x ＝1， ∴把x ＝1代入y ＝－x ＋3，得y ＝2. ∴P(1，2).21.(8分)(济宁中考)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由.解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3， ∴tan α＝tan ∠CAB ＝13＝33. ∴α＝30°.(2)文化墙PM 不需要拆除.过点C 作CD⊥AB 于点D ，则CD ＝6.∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶3，∴BD ＝CD ＝6，AD ＝6 3. ∴AB ＝AD －BD ＝63－6＜8.∴文化墙PM 不需要拆除.22.(10分)(梅州中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x 元.(1)请用含x 的式子表示：①销售该运动服每件的利润是(x －60)元；②月销量是(－2x ＋400)件；(直接写出结果) (2)设销售该运动服的月利润为y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？解：由题意，得y ＝(x －60)(－2x ＋400)＝－2x 2＋520x －24 000＝－2(x －130)2＋9 800， ∴当x ＝130时，y 最大＝9 800.∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9 800元.23.(12分)(泰州中考)图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD 长为1.6 m ，CD 与地面DE 的夹角∠CDE 为12°，支架AC 长为0.8 m ，∠ACD 为80°，求跑步机手柄的一端A 的高度h.(精确到0.1，参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48)解：过点C 作CM 平行于AB ，过点A 作AF⊥CM 于点F ，过点C 作CG⊥ED 于点G. ∵CM ∥AB ，∴CM ∥ED.∵∠CDE＝12°，∴∠DCM ＝12°. ∵∠ACD ＝80°，∴∠ACF ＝68°.∵在Rt △CDG 中，CD ＝1.6 m ，∠CDE ＝12°， ∴sin ∠CDE ＝CG CD ，即sin12°＝CG1.6.∴CG ＝sin12°×1.6≈0.21×1.6＝0.336(m).∵在Rt △ACF 中，AC ＝0.8，∠ACF ＝68°， ∴sin ∠ACF ＝AF AC ，即sin68°＝AF0.8.∴AF ＝sin68°×0.8≈0.93×0.8＝0.744(m).∴h ＝0.336＋0.744＝1.080≈1.1(m).答：跑步机手柄的一端A 的高度h 约为1.1 m.24.(14分)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线y ＝x ＋4经过A ，C 两点.(1)求抛物线的表达式；(2)在AC 上方的抛物线上有一动点P.①如图1，当点P 运动到某位置时，以AP ，AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P 的坐标；②如图2，过点O ，P 的直线y ＝kx 交AC 于点E ，若PE∶OE＝3∶8，求k 的值.图1 图2 解：(1)∵直线y ＝x ＋4经过A ，C 两点，∴A(－4，0)，C(0，4).又∵抛物线过A ，C 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12×（－4）2－4b ＋c ＝0，c ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝4.∴抛物线的表达式为y ＝－12x 2－x ＋4.(2)①∵y＝－12x 2－x ＋4，∴抛物线的对称轴是直线x ＝－1.∵以AP ，AO 为邻边的平行四边形的第四个顶点Q 恰好也在抛物线上， ∴PQ ∥AO ，PQ ＝AO ＝4.∵P ，Q 都在抛物线上，∴P ，Q 关于直线x ＝－1对称. ∴P 点的横坐标是－3.∴当x ＝－3时，y ＝－12×(－3)2－(－3)＋4＝52.∴P 点的坐标是(－3，52).②过P 点作PF∥OC 交AC 于点F ，∵PF ∥OC ，∴△PEF∽△OEC.∴PE OE ＝PF OC .又∵PE OE ＝38，OC ＝4，∴PF ＝32.设点F(x ，x ＋4)，∴(－12x 2－x ＋4)－(x ＋4)＝32.解得x 1＝－1，x 2＝－3.当x ＝－1时，y ＝92；当x ＝－3时，y ＝52.∴P 点坐标是(－1，92)或(－3，52).又∵点P 在直线y ＝kx 上， ∴k ＝－92或k ＝－56.。

《初中数学北师大版九年级下学期_第一章_单元测试卷》详细答案与试题解析

《初中数学北师大版九年级下学期第一章单元测试卷》一、单选题（共10题；共40分）1. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，∠B＝40∘，AB＝10，则直角边BC的长是（）A.10sin40∘B.10cos40∘C.10tan40∘D.10sin402. 若∠A是锐角，且sin A=14，则（）A.0º<∠A<30ºB.30º<∠A<45ºC.45º<∠A<60ºD.60º<∠A<90º3. 如果a是锐角，且cos a=45，那么sin a的值是（）A.9 25B.45C.35D.16254. 如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为( )A.1 2B.√55C.2D.2√555. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=5，AC=12，则sin B的值是（）A.5 12B.125C.135D.12136. 如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(3,1)，则tanα的值是().A.√1010B.√10 C.13D.37. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，如果a＝3b，那么∠A的余切值为（）A.1 3B.3C.√24D.√10108. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，如果AC＝2，cos A=34，那么AB的长是（）A.5 2B.83C.103D.23√79. 某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度.如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米它的坡度i=1:√3.在离C点40米的D处，用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37度，测角仪DE的高度为1.5米，求大楼AB的高度约为（）米(sin37∘=0.60,cos37∘=0.80,tan37∘=0.75,√3=1.73)A.39.3B.37.8C.33.3D.25.710. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）.已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（）A.a sin x+b sin xB.a cos x+b cos xC.a sin x+b cos x.D.a cos x+b sin x二、填空题（共6题；共24分）=________．已知∠A是锐角，且tan A=√3，则sin A2如图，当小明沿坡度i＝1:√3的坡面由A到B行走了6米时，他实际上升的高度BC＝________米．如果α是锐角，且sinα＝cos20∘，那么α＝________度．若sinα=√2cos60∘，则锐角α＝________．某人从地面沿着坡度为i＝1:√3的山坡走了100米，这时他离地面的高度是________米．，∠C=∠D，则如图，在四边形ABCD中，AB=√29，AD=7，BC=8，tan∠B=52线段CD的长为________．三、计算题（共2题；共12分）计算：2cos30∘+4sin30∘−tan60∘.+√8cos45∘+√(1−tan60∘)2．计算：3tan30∘−1cos60∘四、解答题（共5题；共44分）我们把底角为51∘的等腰三角形称为最稳定三角形．如图，已知△ABC是最稳定三角形，AB=AC，BC=232.8m．求BC边上的高AD的长．(sin51∘≈0.8，cos51∘≈0.6，tan51∘≈1.2，精确到1m)，AC＝6√3，求AB的长．如图，在△ABC中，∠A＝30∘，tan B=34周末，小强在文化广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为58∘，已知风筝线BC的长为10米，小强的身高AB为1.55米．请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin58∘=0.85，cos58∘=0.53，tan58∘=1.60）如图，四边形ABCD中，∠ADB=∠DBC=90∘，AD=6，CD=12，tan A=4，求5sin C的值．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A 处测得古塔顶端点D的仰角为45∘，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30∘．求该古塔BD的高度（，结果保留一位小数）.参考答案与试题解析《初中数学北师大版九年级下学期第一章单元测试卷》一、单选题（共10题；共40分） 1.【答案】 B【考点】解直角三角形【解析】根据余弦的定义求解．【解答】在Rt △ABC 中，∠C ＝90∘， cos B =BC AB，BC ＝10cos 40∘． 2.【答案】 A【考点】锐角三角函数的定义【解析】根据题意，由30∘的正弦值，判断得到|∠A 的度数范围即可．【解答】解：∵ sin 30∘=12又∵ 0<14<12:0∘<∠A <30∘ 故答案为：A ． 3.【答案】 C【考点】锐角三角函数的定义【解析】根据题意，由cos a 的值，计算得到答案即可．【解答】解∵ sin 2a +cos 2a =1 ∵ 5ln a =√1−cos 2a=√1−(45)2=35故答案为：C ．4. 【答案】D【考点】锐角三角函数的定义勾股定理【解析】过B点作BD⊥AC，得AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果．【解答】解：过B点作BD⊥AC于D，如图，由勾股定理得AB=√12+32=√10，AD=√22+22=2√2，cos A=ADAB =√2√10=2√55.故选D.5.【答案】D【考点】锐角三角函数的定义【解析】由勾股定理先求斜边，再由正弦定义可求．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理|AB=√BC2+AC2=√52+122=13inB=ACAB =1213故答案为：D．6.【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】将点(3,1)设为点C，过点C作CD⊥x轴于点D，然后利用正切的定义即可求出答案．【解答】将点(3,1)设为点C，过点C作CD⊥x轴于点D，C(3,1)OD=3,CD=1tanα=CD OD=13故答案为：C．7.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】根据余切函数的定义即可求解．【解答】∵在Rt△ABC中，∠C＝90∘，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝3b，∴cot A=ba =13．8.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】根据cos A=ACAB =34，求出AB即可．【解答】在Rt△ABC中，∵∠C＝90∘，AC＝2，又∵cos A=ACAB =34，∴AB=83，9.【答案】C【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】延长AB交直线DC于点F，过点E作I5H⊥AF，垂足为点H，在RtttCF中利用坡度的定义求得CF的长，则DF即可求得，然后在直角4AEH中利用三角函数求得AF的长，进而求得AB的长．【解答】解：延长AB交直线DC于点F,过点E作EH⊥AF，垂足为点H．：在RtBC中，BFCF=1:√3∴设BF=k，则CF=√3k,BC=2k.又．BC=12k=6.BF=6,CF=6√3DF=DC+CFDF=40+6√3：在RtAEH中，tan∠AEH=AHEHAH=tan37∘×(40+6√3)≈37.785（米），⋅8H=BF−FHBH=6−1.5=4.5AB=AH−HBAB=37.785−4.5≈33.3.3.故答案为：C．10.【答案】D【考点】解直角三角形的应用【解析】作4G⊥OC交OC于点G，交BC于点H，由矩形性质得．∠ABH=90∘AD=BC=b，根据等角的余角相等得∠HCG=∠BAH=x，在Rt=ABH中，根据锐角三角函数余弦定义cos x=ABAH得AH=a COSx 根据锐角三角函数正切定义tan x=BHAB得BH=a+ax，从而可得CH长，在Rt=CGH中，根据锐角三角函数正弦定义sin x=GHCH得GH=bsinxa tan x sin x，由AG=AH+HG计算即可得出答案【解答】解：作AG⊥OC交OC于点G，交BC于点H，如图，：四边形ABCD为矩形，AD=b∠ABH=90∘AD=BC=bOB⊥OC∠O=90∘又…∠HGG+∠GHC=90∘∠AB+∠BAH=90∘∠GHC=∠ABB∠BCO=x ∠HCG=∠BAH=x在Rt=ABH中，∵cos∠BAH=cos x=ABAHAB=a∴ AH=a COSx⋅tan∠BAH=tan x=BHBH=a+anxCH=BC−BH=b−a+anx在R t tGGH2中，∵ 5∠HGG=sin x=GH CH(b−−a+−a+am⋅sin x=b sinsin x−axxAG=AH+HG=acos x+b sin x−a tan x sin xa cos x +b sin x−a sin2xcos x=b sin x+a cos x.故答案为：D．二、填空题（共6题；共24分）【答案】12【考点】特殊角的三角函数值【解析】先根据tan A=√3，求出∠A的度数，然后代入求解．【解答】解：∵tan A=√3，∴∠A=60∘，∴sin A2=sin30∘=12．故答案为：12．【答案】3【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】根据坡度的概念求出∠A，根据直角三角形的性质解答．【解答】∵i＝1:√3，∴tan A=√3=√33，∴∠A＝30∘，∴BC=12AB＝3（米），【答案】70【考点】互余两角三角函数的关系【解析】直接利用sin A＝cos(90∘−∠A)，进而得出答案．【解答】∵sinα＝cos20∘，∴α＝90∘−20∘＝70∘．【答案】45∘【考点】特殊角的三角函数值【解析】根据30∘，45∘，60∘角的三角函数值解答即可．【解答】∵sinα=√2cos60∘=√2×12=√22，∴α＝45∘．【答案】50【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】垂直高度、水平距离和坡面距离构成一个直角三角形．利用坡度比找到垂直高度和水平距离之间的关系后，借助于勾股定理进行解答．【解答】∵坡度为i＝1:√3，∴设离地面的高度为x，那么水平距离为√3x．∵x2+(√3x)2＝1002解得x＝50．即这时他离地面的高度是50米．【答案】6√2613【考点】解直角三角形【解析】如图，作AH⊥BC于H，在CB上截取CE，使得CE=AD，连接AE，作DM⊥AE于M，CN⊥AE于N．构造等腰梯形，把等腰梯形分成两个全等三角形一个矩形解决问题即可．【解答】如图，作AH⊥BC于H，在CB上截取CE，使得CE=AD，连接AE，作DM⊥AE于M，CN⊥AE于N．∵∠ADC=∠ECD，DA=CE，∴四边形ADCE是等腰梯形，则△ADM≅△ECN，可得AM=EN，四边形MNCD是矩形，可得CD=MN，在Rt△ABH中，∵tan B=52，AB=√29，∴AH=5，BH=2，∵BC=8，EC=AD=7，∴BE=8−7=1，∴EH=BH−BE=1，在Rt△AEH中，AE=√AH2+EH2=√26，∵△ECN∽△EAH，∴ENEH =ECAE，∴EN=7√2626，∴AM=EN=7√2626，∴CD=MN=AE−AM−EN=6√2613，三、计算题（共2题；共12分）【答案】解：2cos30∘+4sin30∘−tan60∘=2×√32+4×12−√3=2.【考点】特殊角的三角函数值【解析】代入特殊角的三角函数直接求解即可. 【解答】解：2cos30∘+4sin30∘−tan60∘=2×√32+4×12−√3=2. 【答案】解：原式=3×√33−112+√8×√22+√(1−√3)2=√3−2+2+√3−1=2√3−1．【考点】特殊角的三角函数值【解析】将特殊角的三角函数值代入，根据实数的运算法则求值即可．【解答】此题暂无解答四、解答题（共5题；共44分）【答案】高AD的长是140米．【考点】锐角三角函数的定义解直角三角形特殊角的三角函数值等腰三角形的性质：三线合一【解析】此题暂无解析【解答】根据最稳定三角形得出∠B=∠C=51∘，且AB=AC，再利用三线合一得出BD，最后利用三角函数求出AD.解：∵△ABC是最稳定三角形，∴∠B=∠C=51∘，且AB=AC，∵AD BC，∴BD=BC=116.4m，∴AD=116.4×tan51∘=139.68≈140m，∴BC边上的高AD的长是140米．【答案】如图，过点C作CD⊥AB于点D．∵在Rt△CDA中，∠A＝30∘，∴CD＝AC⋅sin30∘＝3√3，AD＝AC×cos30∘＝9，在Rt△CDB中，∵tan B=34∴CDBD =34∴BD＝4√3，∴AB＝AD+DB＝9+4√3．【考点】解直角三角形【解析】过点C作CD⊥AB于点D，根据∠A＝30∘，tan B=34，AC＝6√3可求出AD与BD的长度．【解答】如图，过点C作CD⊥AB于点D．∵在Rt△CDA中，∠A＝30∘，∴CD＝AC⋅sin30∘＝3√3，AD＝AC×cos30∘＝9，在Rt△CDB中，∵tan B=34∴CDBD =34∴BD＝4√3，∴AB＝AD+DB＝9+4√3．【答案】风筝离地面的高度约为10.1m．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】根据题意画出图形，根据sin58∘=CEBC可求出CE的长，再根据CD=CE+ED即可得出答案．【解答】解：如图，过点C作地面的垂线CD，垂足为D，过点B作BE⊥CD于E．在Rt△CEB中，∵sin∠CBE=CEBC，∴CE=BC⋅sin58∘=10×0.85≈8.5m，∴CD=CE+ED=8.5+1.55=10.05≈10.1m，【答案】解：∵∠ADB=∠DBC=90∘，AD=6，tan A=45，tan A=BDAD，∴BD=4.8．∵CD=12，∴sin C=BDCD =4.812=25．【考点】解直角三角形【解析】根据∠ADB=∠DBC=90∘，AD=6，CD=12，tan A=45，可以求得BD的长，从而可以求得sin C的值．【解答】解：∵∠ADB=∠DBC=90∘，AD=6，tan A=45，tan A=BDAD，∴BD=4.8．∵CD=12，∴sin C=BDCD =4.812=25．【答案】27.3m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题勾股定理解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】先根据题意得出：∠BAD2CD的度数及;AC的长，再在Rt△ABD中可得出AB=BD，利用锐角三角函数的定义可得出BD的长．【解答】解：根据题意可知：∠BAD=45∘,∠BCD=30∘,AC=20m在Rt△ABD中，由∠BAD=∠BDA=45∘，得AB=BD在F加BDC中，由|tan∠BCD=BDBC，得BC=√3BD又BC⋅AB=AC,√3BD−BD=20，∴BD=√3−1≈27.3(n)答：该古塔BD的高度273m。

北师大版九年级数学下册第一章综合素质评价含答案

北师大版九年级数学下册第一章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1.【教材P5例2变式】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sin B等于()A.35 B.45 C.34 D.43(第1题)(第3题)(第4题)(第6题)(第7题)2．【教材P4习题T2改编】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝12，则BC的长是()A．2 B．8 C．2 5 D．4 5 3．【2021·宜昌】如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为()A.23 B.22 C.43 D.2234．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，已知AC＝5，BC＝2，那么sin ∠ACD等于()A.53 B.23 C.253 D.525．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是()A．20°B．30°C．40°D．50°6．【2021·东营】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是()7．【教材P14随堂练习T4变式】【中考·长春】如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3 m．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为()A．3 sin α m B．3 cos α m C.3sin αm D.3cos αm8．【教材P20随堂练习T2变式】如图，大坝横截面的背水坡AB的坡比为12，若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为()A．43米B．63米C．65米D．24米(第8题) (第9题)(第10题)9．如图，钓鱼竿AC长6 m，露出水面的鱼线BC长3 2 m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露出水面的鱼线B′C′长为3 3 m，则钓鱼竿转过的角度是()A．60°B．45°C．15°D．90°10．【2022·湘潭】中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形(如图)，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan α＝()A．2 B.32 C.12 D.55二、填空题(每题3分，共24分)11．【2022·广东】sin 30°＝________．12．【教材P21习题T1变式】如图，在山坡上种树，已知∠C＝90°，∠BAC＝α，相邻两棵树的坡面距离AB为a m，则相邻两棵树的水平距离AC为________m．(第12题) (第13题) (第15题)(第16题)(第17题)13．如图，P (12，a )在反比例函数y ＝60x 的图象上，PH ⊥x 轴于H ，则tan ∠POH的值为________．14．【教材P 24复习题T 4变式】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝13，则cos B＝________．15．【教材P 15习题T 4变式】如图，在高度是21 m 的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°，底部D 处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD ＝__________m(结果保留根号)．16．如图，一艘船从A 处向北偏东30°的方向航行10 n mile 到B 处，再从B 处向正西方向航行20 n mile 到C 处，这时这艘船与A 处的距离为________ n mile. 17．如图①是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD ，BC 与桌面构成，如图②，已知OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝30 cm ，∠COD ＝60°，则点A 到地面(C ，D 所在的平面)的距离是________cm.18．疫情期间在家上网课时，小李将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA 所在水平面的夹角(即∠AOB )为120°，此时感觉最舒适(如图①)，侧面示意图为图②.使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO ′后，使电脑变化至AO ′B ′位置(如图③)，侧面示意图为图④.已知OA ＝OB ＝24 cm ，O ′C ⊥OA 于点C ，O ′C ＝12 cm.(1)∠CAO ′＝________；(2)显示屏的顶部B ′比原来升高了________cm(结果精确到0.1 cm ，参考数据：3≈1.73)．三、解答题(19题10分，其余每题14分，共66分)19．【2022·齐齐哈尔】计算：(3－1)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＋|3－2|＋tan 60°.20．如图，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，点E 是AB 的中点，tan D ＝2，CE ＝1.求sin ∠ECB 的值和AD 的长．21．【教材P 21习题T 4变式】2022年一款被称作“小蛮驴”的智能送快递机器人(如图①)在某高校投入使用，据悉“小蛮驴”兼具人工智能和自动驾驶技术．如图②，点A 为该校快递收纳站点，点B ，C 分别为两处宿舍楼，“小蛮驴”将会从点A 出发，沿着A －B －C －A 的路径派送快递．已知点B 在点A 的正北方向，点C 在点A 的北偏东20°方向，在点B 的北偏东60°方向，点B 与点C 相距1 000 m ，求点A 到点B 的距离(结果精确到1 m ，参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，3≈1.73)．22．【2021·凉山州】王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB 的高度，如图，他在点C 处测得大树顶端A 的仰角为45°，再从C 点出发沿斜坡走210米到达斜坡上D 点，在点D 处测得树顶端A 的仰角为30°，若斜坡CF 的坡比为i ＝1∶3(点E ，C ，B 在同一水平线上)．(1)求王刚同学从点C 到点D 的过程中上升的高度； (2)求大树AB 的高度(结果保留根号)．23．【2022·张家界】阅读下列材料：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：asin A＝b sin B.证明：如图①，过点C作CD⊥AB于点D，则：在Rt△BCD中，CD＝a sin B；在Rt△ACD中，CD＝b sin A，∴a sin B＝b sin A.∴asin A＝bsin B.根据上面的材料解决下列问题：(1)如图②，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：bsin B＝csin C.(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图③，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80 m，求这片区域的面积(结果保留根号，参考数据：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9)．答案一、1.B 2.A 3.B 4.A 5.A 6.D7.A8．C9.C10．A 点思路:由已知可得，大正方形的面积为1×4＋1＝5.设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则a2＋b2＝5，a－b＝1，解得a＝2，b＝1或a＝－1，b＝－2(不合题意，舍去)．故tan α＝ab＝21＝2.二、11.1212.a cos α13.51214.101015．(21＋73)16.10317.30 318．(1)30°(2)15.2点拨:(1)∵O′C⊥OA，∴∠ACO′＝90°.在Rt△ACO′中，O′C＝12 cm，O′A＝24 cm，∴sin ∠O′AC＝O′CO′A＝1224＝12.∴∠CAO′＝30°.(2)如图，过点B作BD⊥AO，交AO的延长线于点D.∵∠AOB＝120°，∴∠BOD＝180°－∠AOB＝180°－120°＝60°.在Rt△BOD中，BD＝OB·sin∠BOD＝24×32＝123(cm)．∵∠ACO′＝90°，∠CAO′＝30°，∴∠AO′C＝90°－∠CAO′＝60°.∵∠AO′B′＝120°，∴∠AO′B′＋∠AO′C＝180°.∴B′，O′，C在同一条直线上．∴B′C＝B′O′＋O′C＝24＋12＝36(cm)．∴显示屏的顶部比原来升高了B′C－BD＝36－123≈15.2(cm)．三、19.解：原式＝1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋(2－3)＋3＝1＋9＋2－3＋3＝12.20．解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°.∵点E 是AB 的中点，CE ＝1， ∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2. ∴∠B ＝∠ECB .∵BC CD ＝32，∴设BC ＝3x (x >0)，则CD ＝2x . 在Rt △ACD 中，tan D ＝2，∴ACCD ＝2. ∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ， ∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.由AB ＝5x ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝25x ＝25×25＝455. 21．解：如图，作CH ⊥AB ，交AB 的延长线于点H .在Rt △BCH 中，∵∠BHC ＝90°，∠CBH ＝60°，BC ＝1 000 m ，∴BH ＝BC ·cos 60°＝500 m ，CH ＝BC ·sin 60°＝500 3 m. 在Rt △AHC 中，∵∠CAH ＝20°，∴AH ＝CH ÷tan 20°≈5003÷0.36≈2 402.8(m)． ∴AB ＝AH －BH ≈2 402.8－500≈1 903(m)．答：点A 到点B 的距离大约为1 903 m. 22．解：(1)如图，过点D 作DH ⊥CE 于点H .由题意知CD＝210米．∵斜坡CF的坡比为i＝1∶3，∴DHCH＝13.设DH＝x米，则CH＝3x米，∵DH2＋CH2＝DC2，∴x2＋(3x)2＝(210)2，解得x＝2(负值舍去)．∴DH＝2米．答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米．(2)如图，过点D作DG⊥AB于点G.由题易得四边形DHBG为矩形，∴DH＝BG＝2米．设AB＝m米，则AG＝(m－2)米．∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝m米．由(1)知CH＝6米，∴BH＝DG＝(m＋6)米．∵∠ADG＝30°，∴AGDG＝tan 30°＝33.∴m－2m＋6＝33，解得m＝6＋4 3.答：大树AB的高度是(6＋43)米．23．(1)证明：如图①，过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中，AD＝c sin B；在Rt△ACD中，AD＝b sin C，∴c sin B＝b sin C.∴bsin B＝csin C.(2)解：如图②，过点A作AE⊥BC于点E. ∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，∴∠C＝60°.在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 60°＝80×32＝403(m)．∵ACsin B＝BCsin∠BAC，∴BC＝AC·sin∠BACsin B≈80×0.90.8＝90(m)．∴S△ABC ＝12BC·AE≈12×90×403＝1 8003(m2)．∴这片区域的面积大约是1 800 3 m2.。

精品试题北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评试卷(含答案解析)

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在Rt ABC 中，90,5,2C AB AC ∠=︒==，则cos A 的值是（）A B ．25C D ．522、已知锐角α满足tan （α+10°）=1，则锐角用α的度数为（） A ．20°B ．35°C ．45°D ．50°3、在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sin A ＝23，则边AC 的长是（）A B ．3 C ．43D 4、比较下图长方形内阴影部分面积的大小，甲（）乙A ．＞B ．＜C ．＝D ．无法确定5、如图，在小正方形网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为（）A ．35B ．43C ．45D ．346、在Rt ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列式子一定成立的是（） A ．sin a c B =⋅B ．cos a c B =⋅C ．tan ac B=D ．sin c a A =⋅7、如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AC =12，则tanB 等于（）A ．512B ．125C ．513D ．12138、某山坡坡面的坡度i =100米，小刚上升了（）A ．B ．50米C ．D 9、将一矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 点恰好落在AD 边上的F 处，若:4:5AB BC =，则cos AFE ∠的值为（）A ．54B ．35C ．34D ．4510、图①是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC ．若1AB BC ==，AOB α∠=，则tan BOC ∠的值为（）A ．sin αB ．cos αC ．tan αD ．1sin α第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，小明家附近有一观光塔CD ，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A 处时，塔顶D 的仰角为37°，他往前再走5米到达点B （点A ，B ，C 在同一直线上），塔顶D 的仰角为53°，则观光塔CD 的高度约为 _____.（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈34，tan53°≈43）2、如图，是拦水坝的横断面，堤高BC 为6米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB 的长为_______米．3、如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，若DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 的长为__．4、在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC ==BC B ∠=______．5、如图，直线y =+b 与y 轴交于点A ，与双曲线y kx=在第三象限交于B 、C 两点，且AB •AC ＝16．下列等边三角形△OD 1E 1，△E 1D 2E 2，△E 2D 3E 3，…的边OE 1，E 1E 2，E 2E 3，…在x 轴上，顶点D 1，D 2，D 3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k ＝________，前25个等边三角形的周长之和为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在A 处观察到电视塔在北偏东37度的方向上，5分钟后在B 处观察到电视塔在北偏西53度的方向上．已知电视塔C 距离公路AB 的距离为300米，求小明的徒步速度．（精确到个位，sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan370.75︒≈，tan53 1.3︒≈）2、为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．3、如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx＋12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：（1）求点A、点B的坐标．（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝14，双曲线y＝mx（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、计算：112cos302-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭．5、如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，22.5B ∠=︒（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线l 交BC 于点D ．（保留痕迹，不写作法）（2）在（1）的作图下，试求tan 67.5︒的值（结果保留根号）-参考答案-一、单选题 1、B 【分析】根据题意，画出图形，结合余弦函数的定义即可求解．【详解】解：由题意，可得图形如下：根据余弦函数的定义可得2 cos5ACAAB==，故选：B【点睛】此题考查了余弦函数的定义，解题的关键是根据题意画出图形，并掌握余弦函数的定义．2、B【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可；【详解】∵tan（α+10°）=1，且tan451︒=，∴1045α+︒=︒，∴35α=︒；故选B．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，准确计算是解题的关键．3、A【分析】先根据BC＝2，sin A＝23求出AB的长度，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵sin A＝BCAB =23，BC＝2，∴AB＝3,∴AC故选：A．【点睛】本题考查正弦的定义、勾股定理等知识，是重要考点，难度较小，掌握相关知识是解题关键．4、C【分析】如图，在三角形中，等底等高的两个三角形的面积相等，由此可得三角形1面积=三角形2面积，三角形3面积=三角形4面积，根据两个大三角形的面积相等，即甲的面积加上三角形1和三角形3的面积等于乙的面积加上三角形2和三角形4的面积，即可求得甲的面积等于乙的面积．【详解】解：如图，在三角形中，等底等高的两个三角形的面积相等，由此可得三角形1面积=三角形2面积，三角形3面积=三角形4面积，根据长方形的对边相等，则长方形对角线分成的两个三角形面积等相等，所以甲的面积加上三角形1和三角形3的面积等于乙的面积加上三角形2和三角形4的面积，则甲的面积等于乙的面积．故选：C．【点睛】此题考查了三角形的面积，等底等高的两个三角形的面积相等是解答此题的关键． 5、A 【分析】观察题目易知△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝4，求出斜边AB ，根据余弦的定义即可求出cos A ．【详解】解：由题知△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝4，∴AB cos A ＝35AC AB =，故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形知识，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中的灵活应用是解题的关键． 6、B 【分析】根据题意，画出直角三角形，再根据锐角三角函数的定义对选项逐个判断即可．【详解】解：由题意可得，如下图：sinaAc=，则sina c A=⋅，A选项错误，不符合题意；cosaBc=，则cosa c B=⋅，B选项正确，符合题意；tanbBa=，则tanacB≠，C选项错误，不符合题意；sinaAc=，则sinacA=，D选项错误，不符合题意；故选B，【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是画出图形，根据锐角三角函数的定义进行求解．7、B【分析】根据锐角三角函数求解即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，所以tanB＝ACBC＝125，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握正切的定义：正切是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比，是正确解答的关键．8、B【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设小刚上升了x 米．根据勾股定理可得：)222100x +=．解得50x =．即此时该小车离水平面的垂直高度为50米．故选：B ．【点睛】考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题和勾股定理，熟悉且会灵活应用公式：坡度=垂直高度÷水平宽度是解题的关键．9、D【分析】由∠AFE ＋∠CFD ＝90°得cos sin CD AFE CFD CF∠=∠=，根据折叠的定义可以得到CB ＝CF ，则CD AB CF BC=，即可求出cos AFE ∠的值，继而可得出答案．【详解】∵∠AFE ＋∠CFD ＝90°， ∴cos sin CD AFE CFD CF∠=∠=，由折叠可知，CB ＝CF ，矩形ABCD 中，AB ＝CD ，4cos 5CD AB AFE CF BC ∠===．故选：D ．【点睛】本题考查了折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，解题关键是得到CB ＝CF ．10、A【分析】在Rt OAB 中，sin AB OB α=，可得OB 的长度，在Rt OBC 中，tan BC BOC OB ∠=，代入即可得出答案．【详解】解：∵1AB BC ==，在Rt OAB 中，sin AB OB α=， ∴1sin OB α=，在Rt OBC 中，1tan sin 1sin BC BOC OB αα∠===.故选：A ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键.二、填空题1、8.6米【分析】根据题意，利用锐角三角函数解直角三角形即可．【详解】解：由题意知，∠A =37°，∠DBC =53°，∠D =90°，AB =5，在Rt△CBD 中，tan∠DBC =CD BC ， ∴BC =tan 53CD ≈34CD ，在Rt△CAD 中，tan∠A =CD AC ，即354CD CD +=tan37°≈34 ∴解得：CD =607≈8.6，答：观光塔CD 的高度约为8.6米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数解直角三角形的方法是解答的关键． 2、【分析】由斜面坡度为1:2有12BC AC =，解得AC =12，再由勾股定理求得AB 即可．【详解】∵斜面坡度为1:2 ∴12BC AC = ∴212AC BC ==∵ACB △是直角三角形，故有AB====故答案为：【点睛】本题考察了直角三角形应用题，解直角三角形应用题的一般步骤（1）弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；（2）将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形；（3）寻找直角三角形，并解这个三角形．3【分析】由已知的DE AB ⊥，根据垂直的性质得到90AED ∠=︒，即三角形ADE 为直角三角形，在此直角三角形中，根据正弦函数得到60DE sin AD︒=，将AD 的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE ．【详解】解：∵DE AB ⊥，∴90AED ∠=︒，在Rt ADE 中，60BAD ∠=︒，2AD =， ∴60DE sin AD︒=，则·602DE AD sin =︒==题目主要考查利用锐角三角函数解三角形及特殊角的三角函数值，菱形的性质等，深刻理解锐角三角函数的性质是解题关键．4、30°【分析】根据正切定义，先求出tan B ，再求出B 的度数即可．【详解】解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC =，BC∴ tanAC B BC = 30B ∴∠=︒ ，故答案为：30【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形两锐角之间、三边之间和边角之间的关系是解题的关键．5、设直线y =+b 与x 轴交于点D ，作BE ⊥y 轴于E ，CF ⊥y 轴于F ．首先证明∠ADO ＝60°，可得AB＝2BE ，AC ＝2CF ，由直线y =+b 与双曲线y k x =在第一象限交于点B 、C 两点，可得+b kx=，整理得，2+bx ﹣k ＝0，由韦达定理得：x 1x 2=k ，即EB •FC k ，由此构建方程求出k 即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题．【详解】设直线y =+b 与x 轴交于点D ，作BE ⊥y 轴于E ，CF ⊥y 轴于F ．∵y =+b ，∴当y ＝0时，x =b ，即点D ，0），当x ＝0时，y ＝b ，即A 点坐标为（0，b ），∴OA ＝﹣b ，OD =．∵在Rt△AOD 中，tan∠ADO OA OD == ∴∠ADO ＝60°．∵直线y =+b 与双曲线y k x=在第三象限交于B 、C 两点，∴+bkx =，整理得，2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2，即EB•FC=k，∵EBAB=cos60°12=，∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=＝16，解得：k＝由题意可以假设D1（m，，∴m2∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n），∵（4+n＝解得n＝2，∴E1E2＝4，即第二个三角形的周长为12，设D3（a），由题意（a＝解得a ＝…，∴第四个三角形的周长为∴前25个等边三角形的周长之和+=60，故答案为60．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．三、解答题1、126米/分钟【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，则300CD =米，由解直角三角形求出AD 和BD 的长度，则求出AB 的长度，即可求出小明的速度．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，则300CD =米，∴903753CAD ∠=︒-︒=︒，∴300tan tan 53 1.3CAD AD∠=︒=≈， ∴231AD ≈，同理：400BD ≈631AB AD BD =+= 速度：631÷5≈126（米/分钟）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，以及解直角三角形，解题的关键是正确求出AD 和BD 的长度．2、（1）15 m（2）2y AB y x=- 【分析】（1）设AB a ，则BE =，根据GEF GBA ∽，列出比例式即可得出关于a 的方程，解方程求解即可，（2）根据,CD AB EF AB ∥∥可得,ECD EBA GEF GBA ∽∽，进而得出比例式，代入已知量，将等式变形即可求得AB ．（1）设AB a ，由∠DEC ＝30°，CD BG ⊥在Rt ABE △中，tan AB BE AEB ==∠ EG ＝4，4BG BE EG ∴=+=+EF BG ⊥AB EF ∴∥∴GEF GBA ∽EF EG AB BG∴=即2a =解得815a =+≈∴旗杆AB 的高度为15m ；（2）,CD AB EF AB ∥∥∴,ECD EBA GEF GBA ∽∽,CD CE EF EG AB BE AB BG∴== CE 的长为x ，EG 的长为y ，2CD EF ==22,x y AB BE AB BE y∴==+ 2AB x BE ⋅∴= 22y ABx AB y ∴=+ 整理得：2y AB y x =- 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似三角形的应用，勾股定理，根据题意找到相似三角形是解题的关键．3、（1）A （16，0），B （-9，0）；（2）-24；（3）存在，（16，12）或（25，12）或（32，643）或（288384,2525）【分析】（1）解一元二次方程x 2﹣15x ﹣16＝0，对称点A （16，0），根据直线BC 的解析式为y ＝kx ＋12，求出与y 轴交点C 为（0，12），利用三角函数求出tan∠BCO = tan∠OAC =3=4OB OC ，求出OB =3312944OC =⨯=即可；（2）过点D 作DE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，利用勾股定理求出AC20=，BC，根据三角函数求出tan∠CAD ＝1204CD CD AC ==，求出12054CD =⨯=，利用三角函数求出DE = CD sin∠BCO =3535⨯=，再利用勾股定理求出点D （-3，8）即可；（3）过点A 作AP 1与过点C 与x 轴平行的直线交于P 1，先证四边形COAP 1为矩形，求出点P 1（16，12），再证△P 1CA ∽△CAB ，作P 2A ⊥AC 交CP 1延长线于P 2，可得∠CAP 2=∠BCA =90°，∠P 2CA =∠CAB ，可证△CAP 2∽△ACB ，先求三角函数值cos∠CAO =164205CO AC ==，再利用三角函数值cos∠P 2CA = cos∠CAO =222045AC CP CP ==，求出225CP =，得出点P 2（25,12）作∠P 3CA =∠OCA ，在射线CP 3截取CP 3=CO =12，连结AP 3，先证△CP 3A ≌△COA （SAS ）再证△P 3CA ∽△CAB ，设P 3（x ，y ）利用勾股定理列方程()()22222216161212x y y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解方程得出点P 3（2883842525，），延长CP 3与延长线交P 4，过P 4作PH ⊥x 轴于H ，先证△CAP 4∽△ACB ，再证△P 4P 3A ≌△P 4HA （ASA ），利用cos∠P 3CA =34123205PC CA CA CP ===，求得4510033CA CP ==即可．【详解】解：（1）x 2﹣15x ﹣16＝0，因式分解得()()1610x x -+=，解得12161x x ==-，，点A 在x 轴的正半轴上，OA =16，∴点A （16，0），∵直线BC的解析式为y＝kx＋12，与y轴交点C为（0，12），∴tan∠OAC=123=164，∠OCA+∠OAC=90°，∵AC⊥BC，∴∠BCO+∠OCA=90°，∴∠BCO=∠OAC，∴tan∠BCO= tan∠OAC=3=4 OBOC，∴OB=33129 44OC=⨯=，∴点B（-9，0）；（2）过点D作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，在Rt△AOC中，AC20=，在Rt△BOC中，∵tan∠CAD＝1204 CD CDAC==，∴12054CD=⨯=，∵sin∠BCO=93155 OBBC==，∴DE= CD sin∠BCO=3535⨯=，∴CE4=，OE=OC-EC=12-4=8，∴点D（-3，8），∵双曲线y ＝m x（m ≠0）的一个分支经过点D ， ∴3824m xy ==-⨯=-;（3）过点A 作AP 1与过点C 与x 轴平行的直线交于P 1，则∠CP 1A =∠P 1CO =∠COA =90°，∴四边形COAP 1为矩形，∴点P 1（16，12），当点P 1（16,12）时，CP 1∥OA，∠P 1CA =∠CAB ，∠ACB =∠CP 1A ，∴△P 1CA ∽△CAB ，作P 2A ⊥AC 交CP 1延长线于P 2，∵∠CAP 2=∠BCA =90°，∠P 2CA=∠CAB，∴△CAP 2∽△ACB ，∴cos∠CAO =164205CO AC ==， ∴cos∠P 2CA = cos∠CAO =222045AC CP CP ==，∴225CP =，∴点P 2的横坐标绝对值=225CP =，纵坐标的绝对值=OC=12，∴点P 2（25,12），作∠P 3CA =∠OCA ，在射线CP 3截取CP 3=CO =12，连结AP 3，在△CP 3A 和△COA 中，33CP CO PCA OCA CA CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CP 3A ≌△COA （SAS ），∴AP 3=OA =16， ∴33124164,155205CP P A CB CA ====， ∴3334,905CP P A CP A BCA CB CA ==∠=∠=︒ ∴△P 3CA ∽△CAB ，设P 3（x ，y ）()()22222216161212x y y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得22223224x y x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得：2882538425x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 3（2883842525，），延长CP 3与延长线交P 4，过P 4作PH ⊥x 轴于H ，∵∠P 4CA =∠CAB ，∠P 4AC =∠BAC =90°，∴△CAP 4∽△ACB ，∵∠BAC +∠HAP 4=∠CAP 3+∠P 3AP 4=90°，∠CAP 3=∠BAC ，∴∠HAP 4=∠P 3AP 4，∠P 4P 3A =180°-∠CP 3A =180°-90°=90°=∠P 4HA ，在△P 4P 3A 和△P 4HA 中，34444434P AP HAP AP AP P P A P HA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △P 4P 3A ≌△P 4HA （ASA ），∴AP 3=AH =16，P 3P 4=P 4H ，∵cos∠P 3CA =34123205PC CA CA CP ===， ∴4510033CA CP ==， ∴43443100641233P H P P CP CP ==-=-=，OH =OA +AH =OA +AP 3=16+16=32， ∴点464323P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，综合直线CB 下方，使以C 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似．点P 的坐标（16，12）或（25,12）或64323⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(2883842525，)．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，直线与y轴的交点，反比例函数解析式，锐角三角形函数，勾股定理，三角形全等判定与性质，矩形判定与性质，三角形相似，图形与坐标，解方程组，本题难度大，综合性强，涉及知识多，利用动点作出准确图形是解题关键．4、2【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值、二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】解：原式22=-=．2【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．5、（1）见解析；（21【分析】（1）作线段AB 的垂直平分线即可；（2）由垂直平分线的性质求出45ADC DAC ∠=∠=︒，设AC x =，BD AD ==，在三角形ABC 中利用三角函数即可求解．【详解】（1）作图如下，（2）根据垂直平分线的性质知， BD AD =，22.5DBE DAE ∠=∠=︒，在三角形ACD 中，45ADC DAC ∠=∠=︒设AC x =，∴AD ，∴BD AD =，∴在三角形ABC 中，9022.567.5BAC ∠=︒-︒=︒，∴tan 67.51BC AC ︒===．【点睛】本题考查的是作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、三角函数，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．。

北师大版九年级数学下册第一章学情评估附答案 (1)

北师大版九年级数学下册第一章学情评估一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．cos 30°的值为()A.12 B.32 C.22 D.332．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则tan∠ABC等于()A.32B．1 C.22 D. 2(第2题)(第5题)3．在Rt△ABC中，如果各边的长度同时扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值和余弦值()A．都扩大为原来的2倍B．都缩小为原来的1 2C．都不变D．不能确定4．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是()A．20°B．30°C．40°D．50°5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝5，BC＝2，那么sin ∠ACD等于()A.53 B.23 C.2 53 D.526．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是()(第6题)A.8÷sin42＝B.8÷tan42＝C.8÷cos42＝D.8×tan42＝7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，tan A＝3，则BC的长为() A．3 B．2 C. 3 D．2 38．如图，窗子高AB＝m米，窗子外面上方0.2米处有一个1米长的水平遮阳板CD，当太阳光线与水平线成60°角时，太阳光线刚好不能直接射入室内，则m 的值是()A.3＋0.8B.3＋0.2C.3－0.2D.3－0.8(第8题)(第9题)9．如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高DE＝5 m，斜坡BC的坡比为5 ∶12，则斜坡BC的长为()A．17 m B．13 m C．12 m D．7 m10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF ⊥AB交AC于点F.若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为()A.35 B.55 C.45 D.2 55 (第10题)(第14题)二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则sin A的值为________．12．比较大小：sin 37°________cos 37°.13．若α为锐角，且sin2α＋cos2 26°＝1，则α＝________．14．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上的一个标志物M的俯角为α，水平飞行900米后到达点B处，此时测得标志物M的俯角为β，若tan α＝23，tan β＝43，则飞机与地面的距离为________米．15．如图，AD是△ABC的中线，AD＝5，tan∠BAD＝34，S△ADC＝15，则AC的长为________．(第15题)三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)16．计算：sin 30°·tan 45°＋sin2 60°－2cos 60°.17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2 3.解这个直角三角形．(第17题)18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AD⊥BC于点D，tan∠CAD＝12，求BC的长．(第18题)四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)若AB＝12，sin A＝13，求BC的长；(2)若BC＝2，AC＝6，求∠B的度数．(第19题)20．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD，AB＝AD，BD＝4，tan C＝1 4.(1)求AB的长；(2)求点C到直线AB的距离．(第20题)21．一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，30分钟后到达B处，已知从A，B两处分别测得小岛C在北偏东45°方向和北偏东15°方向，如图所示．(1)求∠C的度数；(2)求B处与小岛C的距离．(结果保留根号)(第21题) 五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题12分，共24分)22．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，如图，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走210米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A 的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1∶3(点E，C，B在同一水平线上)．(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；(2)求大树AB的高度(结果保留根号)．(第22题)23．如图，△ABC中，AB＝AC＝3 cm，BC＝4 cm，点P从点B出发，沿BC边以2 cm/s的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿C→A→B的路径以3 cm/s 的速度向终点B运动，P，Q同时出发，设点P的运动时间为t s，△CPQ的面积为S cm2.(1)求sin B；(2)求S关于t的函数关系式．(第23题)答案一、1.B 2.B 3.C 4.A 5.A 6.D7.D8.C9.B 10．A二、11.3512.＜13.26°14.1 20015．210提示：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点A作AF⊥DC，垂足为F.∴tan∠BAD＝DEAE.又∵tan∠BAD＝34，∴可设DE＝3x，AE＝4x，又∵AD＝5，∴(3x)2＋(4x)2＝52，解得x＝1(负值已舍去)．∴AE＝4，DE＝3.∵AD是△ABC的中线，∴易得S△ADC ＝S△ADB＝12AB·DE＝15，∴12AB×3＝15，∴AB＝10，∴BE＝AB－AE＝10－4＝6. 在Rt△BDE中，BD＝BE2＋DE2＝62＋32＝3 5，∴S△ADB ＝12BD·AF＝12×3 5×AF＝15，∴AF＝2 5.在Rt△ADF中，DF＝AD2－AF2＝25－20＝ 5. ∴FC＝CD－DF＝BD－DF＝3 5－5＝2 5.在Rt△AFC中，AF＝2 5，FC＝2 5，∴AC＝AF2＋FC2＝2 10.(第15题)三、16.解：原式＝12×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×12＝12＋34－1＝14. 17．解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝2 3，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝（2 3）2＋22＝4， tan A ＝BC AC ＝22 3＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝180°－90°－30°＝60°. 18．解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在Rt △ADB 中，∠B ＝30°，AB ＝4， ∴AD ＝2，∴BD ＝42－22＝2 3.在Rt △ADC 中，tan ∠CAD ＝CD AD ＝12，AD ＝2， ∴CD ＝1.∴BC ＝BD ＋CD ＝2 3＋1.四、19.解：(1)在Rt △ABC 中，∵sin A ＝BC AB ＝13，AB ＝12，∴BC ＝4.(2)在Rt △ABC 中，∵tan B ＝AC BC ＝62＝3，∴∠B ＝60°.20．解：(1)如图，过点A 作AH ⊥BD ，垂足为点H .∵AB ＝AD ，∴BH ＝HD ＝12BD ＝2. ∵点D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ＝4. ∴HC ＝HD ＋CD ＝6.∴tan C ＝AH CH ＝AH 6＝14，∴AH ＝32. ∴AB ＝BH 2＋AH 2＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝52.(2)如图，过点C 作CG ⊥BA ，交BA 的延长线于点G . 由(1)易知BC ＝8.∵sin B ＝AH AB ＝CGBC ，∴3252＝CG 8.∴CG ＝245.∴点C 到直线AB 的距离为245.(第20题)21．解：(1)∵∠ABC ＝90°＋15°＝105°，∠CAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠C ＝180°－105°－45°＝30°. (2)过点B 作BE ⊥AC 于点E . 由题意得，AB ＝40×3060＝20(海里)． ∴BE ＝AB ·sin 45°＝10 2海里， ∴BC ＝2BE ＝20 2海里．答：B 处与小岛C 的距离为20 2海里．五、22.解：(1)如图，过点D 作DH ⊥CE 于点H .(第22题)由题意知CD ＝210米．∵斜坡CF 的坡比为i ＝1∶3，∴DH CH ＝13. 设DH ＝x 米，则CH ＝3x 米， ∵DH 2＋CH 2＝DC 2， ∴x 2＋(3x )2＝(210)2，解得x ＝2(负值舍去)．∴DH ＝2米．答：王刚同学从点C 到点D 的过程中上升的高度为2米． (2)如图，过点D 作DG ⊥AB 于点G . 由题易得四边形DHBG 为矩形，∴DH ＝BG ＝2米．设AB ＝m 米，则AG ＝(m －2)米． ∵∠ACB ＝45°，∴BC ＝AB ＝m 米．由(1)知CH ＝6米，∴BH ＝DG ＝(m ＋6)米． ∵∠ADG ＝30°，∴AG DG ＝tan 30°＝33. ∴m －2m ＋6＝33，解得m ＝6＋4 3. 答：大树AB 的高度是(6＋4 3)米． 23．解：(1)过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，BC ＝4 cm ， ∴BD ＝12BC ＝2 cm.在Rt △ABD 中，AB ＝3 cm ，BD ＝2 cm ， ∴AD ＝AB 2－BD 2＝32－22＝5(cm)， ∴sin B ＝AD AB ＝53.(2)当0＜t ≤1时，如图①，过点Q 作QE ⊥BC ，垂足为E ，∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B ，∴sin C ＝sin B ＝53. 由题意得CQ ＝3t cm ，BP ＝2t cm ， ∴CP ＝BC －BP ＝(4－2t )cm.在Rt △CQE 中，QE ＝CQ ·sin C ＝3t ·53＝5t (cm)． ∵S △CPQ ＝12CP ·QE ，∴S ＝12(4－2t )·5t ＝2 5t －5t 2＝－5t 2＋2 5t ；11(第23题) 当1＜t ＜2时，如图②，过点Q 作QE ⊥BC ，垂足为E . 由题意得CA ＋AQ ＝3t cm ，BP ＝2t cm ，∴CP ＝BC －BP ＝(4－2t )cm ，BQ ＝AB ＋AC －(CA ＋AQ )＝(6－3t )cm.在Rt △BQE 中，QE ＝BQ ·sin B ＝(6－3t )·53＝2 5－5t (cm)，∵S △CPQ ＝12CP ·QE ，∴S ＝12(4－2t )·(2 5－5t )＝5t 2－4 5t ＋4 5.∴S ＝⎩⎨⎧－5t 2＋2 5t （0<t ≤1），5t 2－4 5t ＋4 5（1<t <2）.。

北师大版九年级数学下册第一章测试题含答案2套

北师大版九年级数学下册第一章测试题含答案2套第一章测试卷（1）一、选择题(每题3分，共30分) 1．cos30°的值为( )A.12B.32C.22D.332．如图，已知Rt △BAC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．4 5(第2题) (第3题)3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D 点，已知AC ＝5，BC ＝2，那么sin∠ACD 等于( ) A.53B.23C.253D.524．若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°5．已知cos θ＝0.253 4，则锐角θ约等于( )A ．14.7°B ．14°7′C ．75.3°D ．75°3′6．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE ＝33°，AB ＝a ，BD＝b ，则下列求旗杆CD 长的式子中正确的是( ) A ．CD ＝b sin 33°＋a B ．CD ＝b cos33°＋a C ．CD ＝b tan33°＋aD ．CD ＝btan33°＋a(第6题) (第7题)7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( ) A ．2B.255C.55D.128．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AB ＝2(1＋3)，则BC 等于( )A ．2B. 6C ．2 2D ．1＋ 39．如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m 到C 点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为( ) A ．82 mB ．163 mC ．52 mD ．30 m(第9题) (第10题)10．如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′长为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( ) A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°二、填空题(每题3分，共30分)11．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则tan α＝________． 12．若反比例函数y ＝kx 的图象经过点(tan30°，cos60°)，则k ＝________．13．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sin A ＝23，则AB ＝________.14．某梯子与地面所成的角α满足45°≤α≤60°时，人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端，现有一个长6 m 的梯子，则使用这个梯子最高可以安全爬上__________高的墙．15．某游客在山脚处看见一个标注海拔40 m 的牌子，当他沿山坡前进50 m 时，他又看见一个标注海拔70 m 的牌子，于是他走过的山坡的坡度是__________．16．如图，△ABC 的顶点A ，C 的坐标分别是(0，23)，(2，0)，且∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，则顶点B 的坐标是__________．(第16题) (第17题) (第18题) (第19题) (第20题)17．如图，一棵树的枝叶部分AB 在太阳光下的投影CD 的长是5.5 m ，此时太阳光线与地面的夹角是52°，则AB 的长约为__________ (结果精确到0.1 m ．参考数据：sin 52°≈0.79，tan52°≈1.28)．18．如图，秋千链子的长度OA ＝3 m ，静止时秋千踏板处于A 位置，此时踏板距离地面0.3m ，秋千向两边摆动，当踏板处于A ′位置时，摆角最大，此时∠AOA ′＝50°，则在A ′位置，踏板与地面的距离约为________m(sin 50°≈0.766，cos50°≈0.642 8，结果精确到0.01 m)．19．如图，轮船在A 处观测灯塔C 位于北偏西70°方向上，轮船从A 处以每小时20 n mile的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1 h 后到达码头B 处，此时，观测灯塔C 位于北偏西25°方向上，则灯塔C 与码头B 的距离约是________n mile(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)．20．如图，正方形ABCD 的边长为22，过点A 作AE ⊥AC ，AE ＝1，连接BE ，则tan E ＝________. 三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分) 21．计算：(1)2－1－3sin 60°＋(π－2 020)0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12；(2)12－3＋4cos60°·sin 45°－（tan60°－2）2.22．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，2a ＝3b ，求∠B 的正弦、余弦和正切值．23．如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，BCCD＝32，点E是AB的中点，tan D＝2，CE＝1，求sin∠ECB的值和AD的长．(第23题)24．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，正在对某城市河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在C处测得点A在西北方向上，如图，量得BC长为200 m，求该河段的宽度(结果保留根号)．(第24题)25．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为30 n mile/h，在此航行过程中，该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)(第25题)26．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15 m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°.假设汽车在高架道路上行驶时，周围39 m以内会受到噪音的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39 m，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(结果精确到1 m，参考数据：3≈1.7)(第26题) 答案一、1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.C 7．D 8.A 9.A10．C 点拨：∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ＝45°.∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°.∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°. 二、11.1 12.36 13.9 14.3 3 m 15．3∶4 16.(8，23)17．7.0 m 点拨：过点B 作BE ∥CD ，交AD 于点E .∵太阳光线与地面的夹角是52°，且太阳光线是平行的， ∴tan 52°＝ABBE ，BE ＝CD ＝5.5 m.∴AB ＝5.5×tan 52°≈5.5×1.28＝7.04≈7.0(m)．18．1.37 点拨：如图，作A ′D ⊥OA 于点D ，A ′C 垂直地面于点C ，延长OA 交地面于点B .(第18题)易得四边形BCA ′D 为矩形， ∴A ′C ＝DB .∵∠AOA ′＝50°，且OA ＝OA ′＝3 m ，∴在Rt △OA ′D 中，OD ＝OA ′·cos ∠AOA ′≈3×0.642 8≈1.93(m)．又AB ＝0.3 m ， ∴OB ＝OA ＋AB ＝3.3 m. ∴A ′C ＝DB ＝OB －OD ≈1.37 m. 19．2420.23 点拨：延长CA 到F 使AF ＝AE ，连接BF ，过B 点作BG ⊥AC ，垂足为G .根据题干条件证明△BAF ≌△BAE ，得出∠E ＝∠F ，然后在Rt △BGF 中，求出tan F 的值，进而求出tan E 的值．三、21.解：(1)原式＝12－3×32＋1＋12＝12－32＋1＋12＝12；(2)原式＝－(2＋3)＋4×12×22－(3－2)＝－2－3＋2－3＋2＝－23＋ 2. 22．解：由2a ＝3b ，可得a b ＝32.设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝2k ，由勾股定理，得c ＝a 2＋b 2＝9k 2＋4k 2＝13k . ∴sin B ＝b c ＝2k 13k ＝21313，cos B ＝a c ＝3k 13k ＝31313，tan B ＝b a ＝2k 3k ＝23. 23．解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°. ∵点E 是AB 的中点，CE ＝1， ∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2. ∴∠B ＝∠ECB . ∵BC CD ＝32，∴设BC ＝3x ，则CD ＝2x . 在Rt △ACD 中，tan D ＝2， ∴ACCD ＝2. ∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ， ∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝25x ＝25×25＝455. 24．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .(第24题)根据题意知∠ABC ＝90°－30°＝60°，∠ACD ＝45°，∴∠CAD ＝45°. ∴∠ACD ＝∠CAD . ∴AD ＝CD .∴BD ＝BC －CD ＝200－AD . 在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝ADBD ，∴AD ＝BD ·tan ∠ABD ＝(200－AD )·tan 60°＝3(200－AD )． ∴AD ＋3AD ＝200 3.∴AD ＝20033＋1＝300－1003(m)．答：该河段的宽度为(300－1003)m. 25．解：如图，过点A 作AP ⊥BC ，垂足为P ，设AP ＝x n mile.(第25题)在Rt △APC 中，∵∠APC ＝90°， ∠PAC ＝90°－60°＝30°， ∴tan ∠PAC ＝CP AP ＝33. ∴CP ＝33x n mile.在Rt △APB 中，∵∠APB ＝90°， ∠PAB ＝45°， ∴BP ＝AP ＝x n mile.∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12＝15(n mile)，∴33x ＋x ＝15. 解得x ＝15（3－3）2.∴PB ＝15（3－3）2 n mile. ∴航行时间为15（3－3）2÷30＝3－34(h)．答：该渔船从B 处开始航行3－34 h ，离观测点A 的距离最近．26．解：(1)如图，连接PA .(第26题)由已知得AP ＝39 m ，在Rt △APH 中，PH ＝AP 2－AH 2＝392－152＝36(m)．答：此时汽车与点H 的距离为36 m. (2)由题意，隔音板位置应从P 到Q ，在Rt △ADH 中，DH ＝AH tan 30°＝1533＝153(m)；在Rt △CDQ 中，DQ ＝CQ sin 30°＝3912＝78(m)．∴PQ ＝PH ＋HQ ＝PH ＋DQ －DH ＝36＋78－153≈114－15×1.7≈89(m)．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89 m 长．第一章测试卷(2)一、选择题(每题3分，共30分) 1．已知cos A ＝32，则锐角A 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．50°D ．60°2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan B ＝32，BC ＝23，则AC 等于( )A ．3B ．4C ．4 3D ．63．在锐角三角形ABC 中，若⎝⎛⎭⎪⎫sin A －322＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－cos B ＝0，则∠C 等于( )A ．60°B ．45°C ．75°D ．105°4．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC 的值为( )A ．35B ．34C ．105 D ．1(第4题) (第5题) (第6题)5．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则tan B 的值为( )A ．45B ．35C ．34D ．436．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于点D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下4组数据：①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC .能根据所测数据，求出A ，B 两点之间距离的有( ) A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组7．如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边上的点F 处．已知AB ＝8，BC ＝10，则tan ∠EFC 的值为( )A ．34B ．43C ．35D ．458．如图所示，从热气球C 处测得地面A ，B 两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球的高度CD 为100 m ，点A ，D ，B 在同一直线上，则A ，B 两点之间的距离是( ) A ．200 m B ．200 3 m C ．220 3 m D ．100(3＋1)m(第8题) (第9题) (第10题) 9．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则()A．S1＝12S2B．S1＝72S2C．S1＝85S2D．S1＝S210．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是()A．3＋318B．3＋118C．3＋36D．3＋16二、填空题(每题3分，共24分)11．计算：cos245°＋tan 30°sin 60°＝________．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为5033，则∠A＝_________度．13．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.14．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin A＝________．15．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′＝________.(第15题) (第16题) (第17题) (第18题)16．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC＝3 m，cos∠BAC＝34，则墙高BC＝________.17．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB 的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________.18．如图，甲、乙两渔船同时从港口O出发外出捕鱼，乙沿南偏东30°方向以10 n mile/h 的速度航行，甲沿南偏西75°方向以10 2 n mile/h的速度航行，当航行1 h后，甲在A 处发现自己的渔具掉在了乙船上，于是迅速改变航向和速度，仍以匀速沿南偏东60°方向追赶乙船，正好在B 处追上．则甲船追赶乙船的速度为________n mile/h. 三、解答题(19题12分，20题10分，21，22每题14分，23题16分，共66分) 19．计算：(1)3sin 60°－2cos 45°＋38；(2)12－3＋4cos 60°·sin 45°－（tan 60°－2）2.20．a ，b ，c 是△ABC 的三边，且满足等式b 2＝c 2－a 2，5a －3c ＝0，求sin A ＋sin B 的值．21．如图，已知▱ABCD ，点E 是BC 边上的一点，将边AD 延长至点F ，使∠AFC ＝∠DEC.(1)求证：四边形DECF 是平行四边形．(2)若AB ＝13，DF ＝14，tan A ＝125，求CF 的长．22．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，正在对某城市河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，如图，量得BC长为200 m，求该河段的宽度(结果保留根号)．23．某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，BC∥AD，斜坡AB长为22 m，坡角∠BAD＝68°.为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离(精确到0.1 m)．(2)为了确保安全，学校计划改造时保持坡的根部A不动，坡顶B沿BC前进到F点处，问BF至少是多少？(精确到0.1 m)(参考数据：sin 68°≈0.927 2，cos 68°≈0.374 6，tan 68°≈2.475 1，sin 50°≈0.766 0，cos 50°≈0.642 8，tan 50°≈1.191 8)答案一、1．A2．A 点拨：由tan B ＝AC BC 知AC ＝BC tan B ＝23×32＝3.3．C 点拨：由题意，得sin A －32＝0，22－cos B ＝0.所以sin A ＝32，cos B ＝22.所以∠A ＝60°，∠B ＝45°，所以∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－60°－45°＝75°. 4．B 5．C6．C 点拨：对于①，可由AB ＝BC ·tan ∠ACB 求出AB 的长；对于②，由BC ＝ABtan ∠ACB，BD ＝AB tan ∠ADB ，BD －BC ＝CD ，可求出AB 的长；对于③，易知△DEF ∽△DBA ，则DEEF ＝BDAB ，可求出AB 的长；对于④，无法求得AB 的长，故有①②③共3组，故选C . 7．A8．D 点拨：由题意可知，∠A ＝30°，∠B ＝45°，tan A ＝CD AD ，tan B ＝CDDB ，又CD ＝100 m ，因此AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝100tan 30°＋100tan 45°＝1003＋100＝100(3＋1)(m)． 9．D 点拨：如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过点D 作DN ⊥EF ，交FE 的延长线于点N .在Rt △ABM 中，∵sin B ＝AMAB ，∴AM ＝3×sin 50°，∴S 1＝12BC ·AM ＝12×7×3×sin 50°＝212sin 50°.在Rt △DEN 中，∠DEN ＝180°－130°＝50°.∵sin ∠DEN ＝DN DE ，∴DN ＝7×sin 50°，∴S 2＝12EF ·DN ＝12×3×7×sin 50°＝212sin 50°，∴S 1＝S 2.故选D .10．D 点拨：依题意知：D 1E 1＝12，B 2C 2＝33，B 3E 4＝36，B 3C 3＝13，A 3C 3＝23，sin ∠A 3C 3x＝sin(30°＋45°)＝sin 75°＝2＋64，∴A 3到x 轴的距离3＋16. 二、11．1 点拨：cos 245°＋tan 30°sin 60°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋33×32＝1.12．60 点拨：∵BC ＝10，∴S △ABC ＝BC ·AC 2＝10·AC 2＝5033，则AC ＝1033，∴tan A ＝BC AC ＝101033＝3，∴∠A ＝60°.13．43 14．1215．13 点拨：如图，过A ′作A ′D ⊥BC ′于点D ，设A ′D ＝x ，则B ′D ＝x ，BC ＝2x ，BD ＝3x .∴tan ∠A ′BC ′＝A ′D BD ＝x 3x ＝13.16．7 m 点拨：由cos ∠BAC ＝AC AB ＝34，知3AB ＝34，∴AB ＝4 m.在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝42－32＝7(m)． 17．2 点拨：由题意知BD ′＝BD ＝2 2.在Rt △ABD ′中，tan ∠BAD ′＝BD ′AB ＝222＝ 2.18．(10＋103) 点拨：如图，由题意可知，∠DOB ＝30°，∠AOD ＝75°，∠2＝90°－60°＝30°.∵∠3＝∠AOD ＝75°，∴∠1＝90°－75°＝15°，故 ∠1＋∠2＝15°＋30°＝45°.如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则∠AOC ＝90°－∠1－∠2＝90°－45°＝45°.易知OA ＝102n mile ，∠OAB ＝∠AOC ＝45°，∴OC ＝AC ＝OA ·sin 45°＝102×22＝10(n mile)．在Rt △OBC 中， ∠BOC ＝∠AOD ＋∠BOD －∠AOC ＝75°＋30°－45°＝60°，∴BC ＝ OC ·tan 60°＝10 3 n mile ，∴AB ＝AC ＋BC ＝(10＋103)n mile.∵OC ＝10 n mile ，∠B ＝30°，∴OB ＝2OC ＝2×10＝20(n mile)，乙船从O 到B 所用时间为20÷10＝2(h )．∵甲船从O 到A 所用时间为1 h ，∴甲船从A 到B 所用时间为2－1＝1(h)，故甲船追赶乙船的速度为(10＋103)n mile/h.三、19．解：(1)原式＝3×32－2×22＋2＝32－1＋2 ＝52.(2)原式＝－(2＋3)＋4×12×22－（3－2）2 ＝－2－3＋2－(2－3) ＝－2.20．解：由b 2＝c 2－a 2，得a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°. ∵5a －3c ＝0， ∴a c ＝35，即sin A ＝35. 设a ＝3k ，c ＝5k ，则b ＝（5k ）2－（3k ）2＝4k . ∴sin B ＝b c ＝45， ∴sin A ＋sin B ＝35＋45＝75.21．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC .∴∠ADE ＝∠DEC . 又∵∠AFC ＝∠DEC ， ∴∠AFC ＝∠ADE . ∴DE ∥FC .∴四边形DECF 是平行四边形．(2)解：过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图所示．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BCD ＝∠A ，AB ＝CD ＝13. 又∵tan A ＝125＝tan ∠DCH ＝DHCH ， ∴DH ＝12，CH ＝5. ∵DF ＝14， ∴CE ＝14. ∴EH ＝9.∴DE ＝92＋122＝15. ∴CF ＝DE ＝15.22．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .根据题意，知∠ABC ＝90°－30°＝60°，∠ACD ＝45°，∴∠CAD ＝45°. ∴∠ACD ＝∠CAD . ∴AD ＝CD .∴BD ＝BC －CD ＝200－AD . 在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝ADBD ，∴AD ＝BD ·tan ∠ABD ＝(200－AD )·tan 60°＝3(200－AD )． ∴AD ＋3AD ＝200 3.∴AD ＝20033＋1＝(300－1003)(m)．故该河段的宽度为(300－1003)m.23．解：(1)如图，作BE⊥AD，E为垂足，则BE＝AB·sin 68°＝22 sin 68°≈20.4(m)．即改造前坡顶与地面的距离约为20.4 m.(2)如图，作FG⊥AD，G为垂足，连接FA.则∠FAG＝50°，FG＝BE.∵AG＝FGtan 50°≈20.41.191 8≈17.12(m)，AE＝AB·cos 68°＝22cos 68°≈8.24(m)，∴BF＝GE＝AG－AE≈8.9 m，即BF至少是8.9 m.。

北师大版初三数学9年级下册第1章(直角三角形的边角关系)综合达标测试(附答案解析)

北师大版九年级数学下册《第1章直角三角形的边角关系》单元综合达标测试（附答案）一、单选题（满分30分）1．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，设A ∠，B Ð，C ∠所对的边分别为4，3，5，则（）A ．53sinB =B ．35sin B =C ．43tan B =D ．35tan B =2．Rt ABC 中，90C ∠=︒，若2cos 3A =，则tanB 的值是（）A B C D 3．在锐角ABC 中，10AB AC ==，3tan 4B =，则底边BC 的长为（）．A ．6B ．8C ．12D ．164．一辆汽车沿倾斜角为40°的斜坡行驶，它上升的垂直高度为7米，则小汽车行驶的路程是（）A ．7sin 40︒B ．7tan 40︒C ．7cos40°D ．7cos 40︒5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线12y k x =+与y 轴交于点C ，与反比例函数2k y x =在第一象限内的图象交于点B ，连接BO ，若11,tan 3OBC S BOC =∠= ，则2k 的值是（）A ．32B ．52C ．2D ．36．如图，在正方形网格中有△ABC ，则sin ∠ABC 的值等于（）A B C ．13D 7．下列说法中，正确的是（）A ．在Rt △ABC 中，锐角A 的两边都扩大5倍，则cos A 也扩大5倍B ．若45°＜α＜90°，则sin α＞1C ．cos30°+cos45°＝cos （30°+45°）D ．若α为锐角，tan α＝512，则sin α＝5138．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 是CD 边上的一点，点F 是点D 关于直线AE 对称的点，连接AF 、BF ，若tan ∠ABF ＝2，则DE 的长是（）A ．1B ．65C ．43D ．539．已知30AOB ∠=︒，在OA 上有一点M ，10cm OM =，现要在OB OA 、上分别找点Q N 、，使QM QN +最小，则其最小值为（）A ．B ．C ．5D ．310．如图，某航拍无人机从A 点俯拍在坡比为3：4的斜坡CD 上的景点C ，此时的俯角为30°，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高200米到达B 点，此时的俯角变为45︒．已知无人机与斜坡CD 的坡底D 的水平距离DE 为400米，则斜坡CD 的长度约为（精确到0.1 1.73≈≈）（）A ．91.1米B ．91.3米C ．58.2米D ．58.4米二、填空题（满分30分）11．若A ∠是锐角，且3cos 5A =，则()cos 90A ︒-=________．12．如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB 、CD 分别表示水库上下底面的水平线，135ABC ∠=︒，BC 的长是40m ，则水库大坝的高度h 是______m ．（结果保留根号）13．计算：22cos 604sin 60tan 30cos 45+⋅- =_________．14．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，将△ABC 沿直线BC 平移得到△A ′B ′C ′，使得B ′与C 重合，联结A ′B ，则tan ∠A ′BC ′的值为____．15．在△ABC 中，AB ＝5，tan ∠ABC ＝12，AC ，则BC ＝___．16．如图，在平面直角坐标系中，AB =AB 并延长至C ，连接OC ，若满足2=⋅OC BC AC ，tan 2α=，则点C 的坐标为___．17．小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D 处后进球．已知小明与篮框内的距离5BC =米，眼镜与底面的距离 1.7AB =米，视线AD 与水平线的夹角为α∠，已知3tan 10α∠=，则点D 到底面的距离CD 是_______米．18．如图，一艘船从A 向北偏东30°的方向行驶10千米到达B 处，再从B 处向正西方向行驶20千米到达C 处，这时这艘船与A 的距离为_______千米．19．如图，在正方形纸片ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，沿过点B 的直线折叠，使点C 落在EF 上，落点为N ，折痕交CD 边于点 M ，BM 与EF 交于点P ，再展开．则下列结论中：①CM =DM ；②∠ABN =30°；③AB 2=3CM 2；④△PMN 是等边三角形．正确的有 ____20．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 上，点F 在CB 的延长线上，∠EAF ＝45°，AE 交BD 于点G ，tan ∠BAE ＝12，BF ＝2，则FG ＝___．三、解答题（满分60分）21．计算：26tan 30sin45cos45︒+︒︒．22．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，延长斜边BC 到点D ，使12CD BC =，联结AD ，如果4tan 3B =，求tan CAD ∠的值．23．如图，在建筑物DF 的左边有一个小山坡，坡底B 、C 同建筑底端F 在同一水平线上，斜坡AB 的坡比为5:12i =，小李从斜坡底端B 沿斜坡走了26米到达坡顶A 处，在坡顶A 处看建筑物的顶端D 的仰角a 为35°，然后小李沿斜坡AC 走了C 点，已知建筑物上有一点E ，在C 处看建筑物E 点的仰角β为18°，（点A 、B 、C 、D 、E 、F 在同一平面内）建筑物顶端D 到E 的距离DE 长度为28.8米，（参考数据：4cos355︒≈，7tan 3510︒≈，9cos1810︒≈，1tan183︒≈）（1）求小李从斜坡B 走到A 处高度上升了多少米．（2）求建筑物DF 的高度．24．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B ﹣A ﹣O 表示固定支架，AO 垂直水平桌面OE 于点O ，点B 为旋转点，BC 可转动，当BC 绕点B 顺时针旋转时，投影探头CD 始终垂直于水平桌面OE ，经测量：AO ＝6.8cm ，CD ＝8cm ，AB ＝30cm ，BC ＝35cm ．（结果精确到0.1）．（1）如图2，∠ABC ＝70°，BC //OE ．①填空：∠BAO ＝_______°．②求投影探头的端点D 到桌面OE 的距离．（2）如图3，将（1）中的BC 向下旋转，当投影探头的端点D 到桌面OE 的距离为6cm 时，求∠ABC 的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）25．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A 、B 的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M 、N 分别从O 、B 同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动，过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于点P ，连接MP ，已知动点运动了t 秒．（1）当t ＝2秒时，则点N 的坐标　　；（直接写出答案）（2）当△APM的面积为103时，求t的值；（3）是否存在t的值，使以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求t 的值；若不存在，请说明理由．26．小颖的数学学习日记：x月x日：测量旗杆的高度．（1）今天上午王老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，方案如下：小亮拿着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所示，标杆AB＝a，影长BC＝b，旗杆的影长DF＝c，则可求得旗杆DE 的高度为．（2）但今天测量时，阴天没有阳光，就不能用以上的方案了．如图2所示，王老师将升旗用的绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地面的夹角为37°，然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台，剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为54°，利用这些数据能求出旗杆DE的高度吗？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75；sin54°≈0.8，cos54°≈0.58，tan54°≈1.45）请你回答小颖的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由．参考答案1．B解：在△ABC 中，∠C =90°，设∠A 、∠B ，∠C 所对的边分别为4，3，5，所以sin B =35b c =，即3=5sin B ，因此选项A 不符合题意，选项B 符合题意，tan B =34b a =，即3=4tan B ，因此选项C 不符合题意，选项D 不符合题意，故选：B ．2．A解：∵在Rt ABC 中，90C ∠=︒，∴cos b A c=，tan bB a =，222+=a b c .∵2cos 3A =，设2b x =，则3c x =，a ，∴tan B ==.故选A.3．D解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ， ABC 中，10AB AC ==，3tan 4B =，34AD BD ∴=，BD CD =，设3AD k =，则4BD k =，510AB k ===，解得2k =，8BD CD ∴==，16BC ∴=．故选D ．4．A解：如图，∠A ＝40°，∠C ＝90°，CB ＝7米，则小汽车行驶的路程是：sin40°＝7AB，故AB ＝7sin 40︒（米）．故选：A ．5．D解：∵直线y =k 1x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为（0，2），∴OC =2，过B 作BD ⊥y 轴于D ，∵S △OBC =1，∴BD =1，∵tan ∠BOC =13，∴13BD OD =，∴OD =3，∴点B 的坐标为（1，3），∵反比例函数2k y x=在第一象限内的图象交于点B ，∴k 2=1×3=3．故选：D ．6．B解：∵AB BC AC ，∴AB 2＝BC 2+AC 2，∴∠ACB ＝90°．∴sin ∠ABC ＝AC AB ==．故选：B ．7．D解：A 、在Rt ABC 中，锐角A 的两边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以cos A 值不变，故本选项错误；B 、4590︒<α<︒∴sin 1α<<，故本选项错误；C 、三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误；D 、根据5tan 12α=设两直角边为5k 、12k ，根据勾股定理得斜边为13k ，所以5sin 13α=，故本选项正确．故选：D ．8．C解：过点F 作FN ⊥AB 于点N ，并延长NF 交CD 于点M ，∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD ，∴∠FME ＝90°，∵tan ∠ABF ＝2，∴FNBN＝2，设BN ＝x ，则FN ＝2x ，∴AN ＝4﹣x ，∵点F 是点D 关于直线AE 对称的点，∴DE ＝EF ，DA ＝AF ＝4，∵AE ＝AE ，∴△ADE ≌△AFE （SSS ），∴∠D ＝∠AFE ＝90°，∵AN 2＋NF 2＝AF 2，∴（4﹣x ）2＋（2x ）2＝42，∴x 1＝0（舍），x 2＝85，∴AN ＝4﹣x ＝4﹣85＝125，MF ＝4﹣2x ＝4﹣165＝45，∵∠EFM ＋∠AFN ＝∠AFN ＋∠FAN ＝90°，∴∠EFM ＝∠FAN ，∴cos ∠EFM ＝cos ∠FAN ，∴FM EF ＝AN AF，即41255=EF 4，∴EF ＝43，∴DE ＝EF ＝43．故选：C ．9．B解：如图，作M 关于直线OB 的对称点,M ' 作M N OA '⊥于,N 交OB 于,Q 连接,MQ 则,,,OB MM ME M E QM QM '''⊥==QM QN QM QN M N ''∴+=+=最小，30,10,AOB OM ∠=︒=15,60,2EM OM OMM '∴==∠=︒210,MM ME '∴==.M N '∴==故选：B.10．B解：如图，过点C 作CP BE ⊥于点P ，CQ DE ⊥于点Q ，由题意知，30,45,200ACP BCP AB ∠=︒∠=︒=，设AP x =，则tan AP CP ACP ===∠，∵45BCP ∠=︒，∴BP CP =，200x =+，解得100x =+∴300CP ==+，∵400DE =，∴300400100QD QE DE CP DE =-=-=+-=-，∵斜坡CD 的坡比为：34CQ QD =，∴设3CQ y =，则4QD y =，∴5CD y ==，∴45QD CD =，∴55100)91.344CD QD ==≈，即斜坡CD 的长度约91.3米．故选B ．11．45解：∵22cos sin 1A A +=，又A 为锐角，3cos 5A =，∴4sin 5A =，∴()4cos 90sin 5A A ︒-==；故答案为：45．12．解：过点C 作CE AB ⊥于点E ，135ABC ∠=︒∴45CBE ∠=︒在t R CBE 中，BC 的长是40msin 45CEBC∴︒=40CE ∴==，故答案为：13．122解：原式=21242⨯+=11+22-=122故答案为12214．14解：如图，过点A '作A D BC '⊥'于点D ，△ABC 是等腰三角形，AB AC ∴=，△ABC 沿直线BC 平移得到△A ′B ′C ′，使得B ′与C 重合，A C A C '''∴=，142CD C D BC '∴===，Rt A CD '△中3A D '===，8412BD BC CD ∴=+=+=，31tan 124A D A BC BD '''∴∠===，故答案为：1415解：如图所示，当∠C 为锐角时，过点A 作AE ⊥BC 于E ，∴1tan =2AE ABC BE =∠，222AB BE AE =+，222AC AE CE =+∴2BE AE =，∴22525AE AB ==，∴AE =，∴2BE AE ==CE ==∴BC BE CE =+=如图所示，当∠ACB 为钝角时，过点A 作AE ⊥BC 交BC 延长线于E ，∴1tan =2AE ABC BE =∠，222AB BE AE =+，222AC AE CE =+∴2BE AE =，∴22525AE AB ==，∴AE =，∴2BE AE ==CE ==∴BC BE CE =-=16．(2,4)-解：C C ∠=∠ ，2OC BC AC =⋅ ，即OC AC BC OC=，OBC OAC ∴∆∆∽，A COB ∴∠=∠，90COB α+∠=︒ ，90A ABO ∠+∠=︒，ABO α∴∠=，tan 2α= ，tan 2OA ABO OB∴∠==，2OA OB ∴=，AB = 由勾股定理可得：222OA OB AB +=，即2224OB OB +=，解得：3OB =，6OA ∴=．1tan 2OB A OA ∴∠==．如图，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，tan 2α= ，∴设(,2)C m m -，0m >，6AD m ∴=+，1tan 2A ∠=，∴12CD AD =，∴2162m m =+，解得：2m =，经检验，2m =是原方程的解．∴点C 坐标为：(2,4)-．17．3.2解：由题意可得：5m AE BC ==， 1.7mCE AB ==3tan 510DE DE DE AE BC α∠====解得 1.5mDE ==3.2mCD CE DE =+故答案为3.218．解：如图，∵BC ⊥AE ，∴∠AEB =90°，∵∠EAB =30°，AB =10千米，∴BE =5米，AE ∴CE =BC -BE =20-5=15（千米），∴AC = ==，故答案为：19．②③④解：如图示，BMN ∆Q 是由BMC ∆翻折得到的，BN BC ∴=，又点F 为BC 的中点，在Rt BNF △中，1sin 2BF BNF BN ∠==，30BNF ∴∠=︒，60FBN ∠=︒，9030ABN FBN ∴∠=︒-∠=︒，故②正确；在Rt BCM △中，1302CBM FBN ∠=∠=︒，tan tan 30CM CBM BC ∴∠=︒==，BC ∴=，223AB CM =故③正确；9060NPM BPF MBC ∠=∠=︒-∠=︒，9060NMP MBN ∠=︒-∠=︒，PMN ∴∆是等边三角形，故④正确；由题给条件，证不出CM DM =，故①错误．故答案是：②③④．20．解：如图，过点E 作EH AC ⊥于点H ，则EHC △是等腰直角三角形，设EH =a ，则CH =a ,CE ，在Rt ABE ，90ABE ∠=︒，1tan 2BE BAE AB ∴∠==1BE AB 2∴=BE CE ∴==AB BC ∴==4,3AC a AH a∴==1tan 3EH EAH AH ∴∠==45EAF BAC ∠=∠=︒BAF EAH∴∠=∠1tan tan 3BAF EAH ∴∠=∠=2BF = 6,3AB BE CE ∴===AE AF ∴==5EF ∴=//AD BC::2:1AD BE AG GE ∴==GE ∴=:5:3EF GE AE BE GEF BEA====∠=∠Q ::EF GE AE BE∴=GEF BEA∴V :V 90EGF ABE ∴∠=∠=︒90AGF ∴∠=︒AGF ∴V是等腰直角三角形，FG AF ∴==故答案为：21．12-解：原式26=⨯.123212=-+=-22．14解：过点C 作CF AC ⊥交AD 于点F ，则90ACF ∠=︒,∵90BAC ∠=︒，∴//AB CF ，∴DCF DBA ∠=∠，∴DCF DBA ∽△△，∴CF CD AB BD=，∵12CD BC =，∴13CD BD =，即1=3CD BD ，∴13CF AB =，∴13CF AB =，在Rt ABC 中，∵4tan 3B =，即43=AC AB ，设4AC x =，则3AB x =，∴133CF x x =⨯=，∴1tan 44CF x CAD AC x ∠===．23．（1）10米；（2）40.8米解：（1）过A 作AG BC ⊥，∵AB 的坡比5:12i =，设5AG x =，12BG x=∴在Rt ABG 中，1326AB x ====∴2x =，∴10AG =；答：小李从斜坡B 走到A 处高度上升了10米．（2）延长角α的水平边交DF 于H 则AH DF ⊥，在Rt ACG 中，8GC ===设EF m =，在Rt CEF 中，1tan tan183EF CF β=︒=≈，∴3CF m=∵四边形AGFH 是矩形，∴83AH GF GC CF m==+=+又∵()28.81018.8DH DE EH DE EF HF m m =+=+-=+-=+，在Rt AHD 中，7tan tan 3510DH AH α=︒=≈，18.878310m m +∴≈+，12m =∴；∴28.81240.8DF DE EF =+=+=；答：建筑物DF 的高度为40.8米．24．（1）①160；②27.0cm ；（2）∠ABC ＝33.2°．解：（1）①过点A 作AG //BC ，如图1，则∠BAG ＝∠ABC ＝70°，∵BC //OE ，∴AG //OE ，∴∠GAO ＝∠AOE ＝90°，∴∠BAO ＝90°+70°＝160°，故答案为：160；②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF＝AB•sin∠ABF＝30×sin70°≈28.2（cm），∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+OA﹣CD＝28.2+6.8﹣8＝27.0（cm）；（2）作DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图3，则∠MBA＝70°，AF＝28.2cm，DH＝6cm，BC＝35cm，CD＝8cm，∴CM＝AF+AO﹣DH﹣CD＝28.2+6.8﹣6﹣8＝21（cm），∴sin∠MBC＝210.635CMBC==，∴∠MBC＝36.8°，∴∠ABC＝∠ABM﹣∠MBC＝33.2°．25．（1）（4，8）；（2）1秒或5秒；（3）存在，t＝3秒或t＝27 17解：（1）如图，∵平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8），∴OC＝AB＝8，OA＝BC＝6，BC∥AO．又点N 的运动速度是每秒1个单位，∴当t ＝2时，CN ＝6﹣2＝4，则N （4，8）．故答案是：（4，8）．（2）如图，延长NP 交OA 于点E ，∵NP ⊥BC ，∴NP ⊥OA ．∵tan ∠OAC ＝tan ∠EAP ，∴OC OA ＝PE AE ，即86＝PE AE，∴PE ＝43AE ．∵AM ＝6﹣t ，PE ＝43AE ＝43BN ＝43t ，∴1410(6)233t t -⋅=，∴t 1＝1；t 2＝5，综上所述，当△APM 的面积为103时，t 的值是1秒或5秒；（3）存在．理由如下：在△ACB 中，PN ∥AB ，则BN BC ＝AP AC ，即610t AP =，解得AP ＝53t ，又∵AM ＝6﹣t ，则有：①△AMP ∽△AOC 时，AM AO ＝AP AC ，即 66t -＝5310t ，解得t ＝3秒；②△APM ∽△AOC 时，AP AO ＝AM AC ，即536t ＝610t -，解得t ＝2717秒，综上所述，当t ＝3秒或t ＝2717秒时，以P 、A 、M 为顶点的三角形与△AOC 相似．26．（1）ac b；（2）能，10.5m.（1）解：因为AC //EF ，所以∠ACB =∠EFD ，所以BCA DFE ,所以AB BC DE DF =，所以a c DE b=，所以ac DE b =；（2）设绳子长为L ，ED 高度为h ，由GE 为全长，∠EGD =37°，L sin37°=h ，由台子高0.5m ，绳余5m ，夹角54°可得：（L -5）sin54°=h-0.5，联立()0.60.850.5L h L h =⎧⎨-=-⎩，解得17.510.5L h =⎧⎨=⎩，答：旗杆高度可求，为10.5m。

难点解析北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评试题(含答案解析)

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在Rt△ABC中，∠C=90º，那么cot A等于（）A．ACBCB．ACABC．BCACD．BCAB2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cos B的值等于（）A．34B．43C．45D．353、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则tanB等于（）A．512B．125C．513D．12134、小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A ．3.2米B ．3.9米C ．4.7米D ．5.4米5、如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为13BC =m ，则AB 的长度为（）A ．6mB ．C ．9mD ．6、在直角△ABC 中，90C ∠=︒，3AB =，AC ＝2，则tan A 的值为（）A B C ．23 D 7、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 是AC 边上的高，则下列选项中不能表示tan A 的是（）A ．BC AB B ．BD ADC ．CD BD D ．AB AC8、已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，则 tan B 的值为（）A B ．1 C D ．29、在正方形网格中，△ABC 在网格中的位置如图，则sin B 的值为（）A B C D ．1210、如图，AB 是河堤横断面的迎水坡，堤高AC BC ＝1，则斜坡AB 的坡度为()A B C ．30° D ．60°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、比较大小：tan 46°_____cos 46°．2、已知α，β都是锐角，且满足1sin 02α-，则βα-=______．3、计算：cos 245°＋tan30°·sin60°－sin 245°＝________．4、计算"2sss60°sss60°−“ √2“sss45°sss60°”5、在ABC 中，75B ∠=︒，tan A =C ∠的度数是______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图是位于奉贤南桥镇解放东路 866 号的 “奉贤电视发射塔”, 它建于 1996 年,在长达二十几年的时间里它一直是奉贤区最高建筑物, 该记录一直保持到 2017年, 历了25 年风雨的电视塔铎刻了一代奉贤人的记忆．某数学活动小组在学习了 “解直角三角形的应用” 后, 开展了测量“奉贤电视发射塔的高度”的实践活动．测量方案：如图, 在电视塔附近的高楼楼顶 C 处测量塔顶 A 处的仰角和塔底 B 处的俯角．数据收集：这幢高楼共 12 层, 每层高约 2.8 米, 在高楼楼项 C 处测得塔顶 A 处的仰角为 58, 塔底 B 处的俯角为 22.问题解决：求奉贤电视发射塔 AB 的高度（结果精确到 1 米）．参考数据：sin220.37,cos220.93≈≈, tan220.40,sin580.85≈≈, cos580.53,tan58 1.60≈≈．根据上述测量方案及数据, 请你完成求解过程．2、如图, 某种路灯灯柱 BC 垂直于地面, 与灯杆 AB 相连. 已知直线 AB 与直线 BC 的夹角是 76. 在地面点 D 处测得点 A 的仰角是 53, 点 B 仰角是 45, 点 A 与点 D 之间的距离为3.5 米．求：（1）点 A 到地面的距离；（2）AB 的长度．（精确到 0.1 米）（参考数据: sin530.8,cos530.6,sin760.97,cos760.24≈≈≈≈）3(02cos454π-︒+-．4、如图，上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处，从A 、B 两处分别测得小岛C 在北偏东60︒和北偏东45︒方向上，已知小岛C 周围方圆30海里的海域内有暗礁．该船若继续向东方向航行，有触礁的危险吗？并说明理由．5、（1）计算：(2sin60︒ ；（2）先化简，再求值：()222211121a a a a a a +-÷++--+，其中a 满足2340a a --=．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切，记作cotA．【详解】解：∵∠C=90°，∴cot A=AC BC，故选：A．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义．2、D【分析】根据题意画出图形，求出AB的值，进而利用锐角三角函数关系求出即可．【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB=，∴cos B＝BCAB＝35．故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟知余弦函数的定义是解题关键．3、B【分析】根据锐角三角函数求解即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，所以tanB＝ACBC＝125，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握正切的定义：正切是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比，是正确解答的关键．4、C【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．【详解】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF ＝x ， ∵tan65°＝OF DF， ∴OF ＝x tan65°，∴BF ＝3+x ， ∵tan35°＝OF BF， ∴OF ＝（3+x ）tan35°，∴2.1x ＝0.7（3+x ），∴x ＝1.5，∴OF ＝1.5×2.1＝3.15，∴OE ＝3.15+1.5＝4.65，故选：C ．【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形的应用，根据题意构建直角三角形是解本题的关键．5、A【分析】根据迎水坡AB 的坡比为1BC AC =AC 的长度，运用勾股定理可得结果．【详解】解：迎水坡AB 的坡比为1BC AC ∴=，即3AC = 解得，AC =由勾股定理得，()6AB m ==，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，熟知坡比的意义是解本题的关键．6、B【分析】先利用勾股定理求出BC 的长，然后再求tanA 的值．【详解】解：∵在Rt△ABC 中，AB=3，AC ＝2，∴BC∴tanA=BC AC =故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．7、D【分析】根据题意可推出△AB C 、△ADB 、△BDC 均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出tan A 即可．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BD 是AC 边上的高，∴△AB C 、△ADB 、△BDC 均为直角三角形，又∵∠A +∠C =90°，∠C +∠DBC =90°，∴∠A =∠DBC ，在Rt △ABC 中，tan A =BC AB，故A 选项不符合题意；在Rt △ABD 中，tan A =BD AD，故B 选项不符合题意；在Rt △BDC 中，tan A =tan∠DBC =CD BD ，故D 选项不符合题意；选项D 表示的是sin C ，故D 选项符合题意；故选D ．【点睛】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键．8、A【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求得30B ∠=︒，根据特殊角的三角函数值即可求解【详解】∵∠C =90°，∠A =60°，∴30B ∠=︒又tan 30︒=故选A【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，求特殊角的三角函数值，理解特殊角的三角函数值是解题的关键．9、A【分析】利用勾股定理先求出AB 的长度，最后利用正弦值的定义得到sin AD B AB=，进而得到最终答案．【详解】解：如图所示在Rt ADB ∆中，由勾股定理可得：AB =sinAD B AB ∴=== 故选：A ．【点睛】本题主要是考察了勾股定理和锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．10、A【分析】直接利用坡度的定义得出，斜坡AB 的坡度为：AC BC，进而得出答案．【详解】解：由题意可得：∠ACB ＝90°，则斜坡AB 的坡度为：AC BC == 故选：A ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键．二、填空题1、＞【分析】根据tan 46°＞tan 45°=1＞cos 46°即可比较．【详解】∵46°＞45°∴tan 46°＞tan 45°=1∵1＞cos 46°∴tan 46°＞cos 46°．故答案为：＞．【点睛】此题主要考查三角函数值的大小比较，解题的关键是熟知三角函数的性质．2、15°【分析】根据非负数的性质得出1sin tan 12αβ==，，由特殊角的三角函数值求得α，β，计算即可求解．【详解】解：∵1sin 02α-=，∴1sin0tan102αβ-=-=，，∴1sin tan12αβ==，，∴=30α，=45β，∴βα-=45°－30°＝15°，故答案为：15°．【点睛】本题考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．3、12【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．【详解】解：22cos45+tan30sin60sin45︒︒︒-︒=2212= .故答案为12．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．4、5 2【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则进行求解即可．【详解】解：2sin60tan6045cos60︒︒︒︒122=132=-52=，故答案为：52．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．5、45°度【分析】由条件根据∠A的正切值求得∠A的度数，再根据三角形的内角和定理求∠C即可．【详解】解：∵在△ABC中，tanA∴∠A=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-75°=45°．故答案为：45°．【点睛】本题主要考查特殊角的正切值以及三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．三、解答题1、168米【分析】作CE ⊥AB 于E ，则在Rt △BCE 中由正切关系可求得CE 的长，再在Rt △ACE 中，由正切关系可求得AE 的长，从而可求得AB 的长，即电视发射塔的高．【详解】由题意CD =12×2.8=33.6(米)作CE ⊥AB 于E ，如图所示则∠CEA =∠CEB =90°∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD∴∠CDB =∠DBE =∠CEB =90°∴四边形CDBE 是矩形∴BE =CD =33.6米∵∠ECB =22°，∠ACE =58°在Rt △BCE 中，33.684tan 220.40BE CE ===︒（米）在Rt △ACE 中，tan58=84 1.60=134.4AE CE =︒⨯(米)∴AB =AE +BE =134.4+33.6= 168(米)即电视发射塔的高度为168米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，关键是理解题中的仰角、俯角的含义，作辅助线把非直角三角形转化为直角三角形来解决．2、（1）2.8米；（2）AB 的长度为0.6米【分析】（1）过点A 作AF CD ⊥交于点F ，则90AFD ∠=︒，在Rt AFD 中，用三角函数即可得；（2）过点A 作AH EC ⊥交于点H ，根据90AFC FCH CHA ∠=∠=∠=︒，证明四边形AFCH 是矩形，则AH FC =，AF HC =，设BC =x ，则(2.8)HB x =-米，根据三角形内角和定理得45DBC BDC ∠=∠=︒，即BC DC x ==，根据三角函数得DF =2.1米，( 2.1)FC AH x ==-米，在Rt AHB 中，根据三角函数得tan 4.04ABH ∠≈，则 4.04AH BH ≈，即可得 2.66x ≈，则0.14BH ≈，根据三角函数即可得0.6AB ≈米．【详解】解：（1）过点A 作AF CD ⊥交于点F ，则90AFD ∠=︒，在Rt AFD 中，sin53 3.50.8 2.8AF AD =︒=⨯≈（米），即点A 到地面的距离为2.8米；（2）过点A 作AH EC ⊥交于点H ，在四边形AFCH 中，90AFC FCH CHA ∠=∠=∠=︒，∴四边形AFCH 是矩形，∴AH FC =，AF HC =，设BC =x ，则(2.8)HB x =-米，∵45DBC ∠=︒，90BCD ∠=︒，∴180180459045BDC DCB BCD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴45DBC BDC ∠=∠=︒，∴BC DC x ==（米），∴cos 3.50.6 2.1DF AD ADF =∠=⨯=（米），∴( 2.1)FC AH x ==-米，∵在Rt AHB 中，sin 0.97tan 4.04cos 0.24AH ABF ABH BH ABF ∠∠==≈≈∠， ∴ 4.04AH BH ≈，∴ 2.1 4.04(2.8)x x -≈⨯-2.111.312 4.04x x -≈-5.0413.412x ≈ 2.66x ≈，∴ 2.8 2.660.14BH =-≈（米）， ∵cos cos 760.24BH ABH AB∠=∠︒=≈， ∴0.140.6cos 760.240.24BH BH AB ≈≈≈≈∠︒（米）．【点睛】本题考查了三角函数，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．3【分析】根据二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的性质计算即可．【详解】(02cos454π-︒+-124=-14=3．【点睛】本题考查的是实数的混合运算，掌握二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的性质是解题关键．4、有触礁的危险，见解析【分析】从点C 向直线AB 作垂线，垂足为E ，设CE 的长为x 海里，根据锐角三角函数的概念求出x 的值，比较即可．【详解】解：有触礁的危险．理由：从点C 向直线AB 作垂线，垂足为E ，根据题意可得：AB =20海里，∠CAE =30°，∠CBE =45°，设CE 的长为x 海里，在Rt △CBE 中：∵∠CBE =45°，∴BE =CE =x 海里，∴AE =AB +BE =（20+x ）海里，在Rt △CAE 中：∵∠CAE =30°，∴tan 30°=20x x =+解得：x ，＜30，∴该船若继续向正东方向航行，有触礁的危险．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用－方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．5、（1）0，（2）31a a +-，73【分析】（1）先求特殊角三角函数值，再根据二次根式运算法则计算即可；（2）先运用分式运算法则进行化简，再解方程代入求值即可．【详解】解：（1）(2sin 60︒=2=-=0（2）22221(1)121a a a a a a +-÷++--+ =22(1)1(1)(1)11(1)a a a a a a ++-⨯+-+- =2111a a a ++-- =31a a +- 解2340a a --=方程得，11a =-，24a =，当11a =-时，分式无意义，把24a =代入，原式=437413+=- 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值和二次根式运算，分式化简求值，解题关键是熟练运用相关法则进行计算，熟记三角函数值．。

2021-2022学年最新北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步测评试卷

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端，行了100米，下落的铅直高度为50米，则该斜坡的坡度为（）A．30°B．C D．122、如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0＜α＜120°）得到△AB'C'，B'C'与BC、AC分别交于点D、点E，设CD+DE＝x，△AEC'的面积为y，则y与x的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3、如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ACB 的值为（）A ．3B ．13 C D 4、在科学小实验中，一个边长为30cm 正方体小木块沿着一个斜面下滑，其轴截面如图所示．初始状态，正方形的一个顶点与斜坡上的点P 重合，点P 的高度PF ＝40cm ，离斜坡底端的水平距离EF ＝80cm ．正方形下滑后，点B 的对应点B '与初始状态的顶点A 的高度相同，则正方形下滑的距离（即AA '的长度）是（）cmA ．40B ．60C ．D ．5、如图，在ABC 中，135ABC ∠=︒，点P 为AC 上一点，且90PBA ∠=︒，12CP PA =，则tan APB ∠的值为（）A ．3B ．2C ．13 D 6、如图，琪琪一家驾车从A 地出发，沿着北偏东60︒的方向行驶，到达B 地后沿着南偏东50︒的方向行驶来到C 地，且C 地恰好位于A 地正东方向上，则下列说法正确的是（）A ．B 地在C 地的北偏西40︒方向上B ．A 地在B 地的南偏西60︒方向上C ．50∠=°ACBD ．sin BAC ∠= 7、如图，在小正方形网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为（）A ．35B ．43C ．45 D ．348、如图所示，某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为m （m ），那么这两棵树在坡面上的距离AB 为（）A ．m cos α（m ）B ．co m s α（m ）C ．m sin α（m ）D ．sin mα（m ）9、某人沿坡度1:2i =的斜坡向上前进了10米，则他上升的高度为（）A ．5米B ．C ．D ．10、比较下图长方形内阴影部分面积的大小，甲（）乙A ．＞B ．＜C ．＝D ．无法确定第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，则tan EFC ∠的值为_____．2、在Rt ABC 中，90C ∠=︒，2BC AC =，点D 在BC 上，且BD AD =，则cos BAD ∠=______．3、如图所示为4×4的网格，每个小正方形的边长均为1，则四边形AECF的面积为________；tan∠FAE=_______4、△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为A的度数是_________．5、如图，如果小华沿坡度为A到B行走了8米，那么他实际上升的高度为______米．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB=AD，BD=4，1 tan4C．（1）求AB 的长；（2）求点C 到直线AB 的距离．2、（111()2---2•cos30°﹣（﹣1）2021；（2）解方程组：2335x y x y +=-⎧⎨=+⎩．3、计算：8cos60°＋（π－3.14）0－－4|＋（－1）2021．4、在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD 的四边BA ，CB ，DC ，AD 分别延长至E ，F ，G ，H ，使得AE CG =，BF DH =，连接EF ，FG ，GH ，HE ．（1）判断四边形EFGH 的形状，并证明；（2）若矩形ABCD 是边长为1的正方形，且45FEB ∠=︒，tan 2AEH ∠=，求AE 的长．5、计算：()1012sin 452tan 602-︒︒⎛⎫--π-+ ⎪⎝⎭-参考答案-一、单选题1、B【分析】画出对应图形，根据题意即勾股定理求出水平距离OB 的长度，利用坡度等于铅直距离与水平距离之比，求出坡度即可．【详解】解：如下图所示：由题意即图可知：100OA =，50AB =，在Rt AOB ∆中，由勾股定理可得：OB ==∴坡度为：1:AB OB = 故选：B ．【点睛】本题主要是考查了坡度的定义以及勾股定理，熟练掌握坡度的定义，是求解该类问题的关键．2、B【分析】先证△ABF ≌△AC ′E （ASA ），再证△B ′FD ≌△CED （AAS ），得出DE +DC =DE +DB ′=B ′E =x ，利用锐角三角函数求出2B C GC '''==AG =AC ′sin30°=1，根据三角形面积列出函数解析式12y x =是一次函数，即可得出结论．解：设BC 与AB ′交于F ，∵△ABC 绕点A 逆时针旋转α（0＜α＜120°）得到△AB 'C '，∴∠BAF =∠C ′AE =α，∵AB =AC =AB ′=AC ′，∠B =∠C =∠B ′=∠C ′=30°，在△ABF 和△AC ′E 中，B C AB AC CAF C AE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠''⎩'， ∴△ABF ≌△AC ′E （ASA ），∴AF =AE ，∵AB ′=AC ，∴B ′F =AB ′-AF =AC -AE =CE ，在△B ′FD 和△CED 中，B CFDB EDC B F CE'''∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△B ′FD ≌△CED （AAS ），∴B ′D =CD ，FD =ED ，∴DE +DC =DE +DB ′=B ′E =x ，过点A 作AG ⊥B′C′于G ，∵AB ′=AC ′，∴B′G =C′G ，∴cos C ′=2GC GC AC ''=='，∴B G GC ''==∴2B C GC '''==∴AG =AC ′sin30°=1∴EC ′=B C B E x '''-=∴()1111222y EC AG x x '=⋅=⨯⨯=∴12y x =是一次函数，当x =0时，y =故选择B ．【点睛】本题考查等腰三角形性质，图形旋转，三角形全等判定与性质，解直角三角形，三角形面积，列一次函数解析式，识别函数图像，本题综合性强，难度大，掌握以上知识是解题关键．3、D【分析】连接格点AD ，构造直角三角形，先计算AC ，再算∠ACB 的正弦即可．【详解】连接格点A 、D ，如图．在Rt△ADC 中，∵AD ＝3，CD ＝1，∴CA ＝C A∴sin∠ACB ＝AD AC故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．4、B【分析】根据题意可得：A 与B '高度相同，连接AB '，可得AB EF '∥，利用平行线的性质可得：B AA PEF ''∠=∠，根据正切函数的性质计算即可得．【详解】解：根据题意可得：A 与B '高度相同，如图所示，连接AB '，∴AB EF '∥，∴B AA PEF ''∠=∠， ∴1tan tan 2PF B AA PEF EF ''∠=∠==， ∴301tan 2A B B AA AA AA ''''∠===''， ∴60AA '=，故选：B ．【点睛】题目主要考查平行线的性质及锐角三角函数解三角形，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题关键．5、A【分析】过点P 作PD∥AB 交BC 于点D ，因为135ABC ∠=︒，且90PBA ∠=︒，则tan∠PBD =tan45°=1，得出PB =PD ，再有12CP PA =，进而得出tan∠APB 的值．【详解】解：如图，过点P 作PD AB ∥交BC 于点D ，∴CPD CAB △∽△， ∴AC AB PC PD=,∵135ABC ∠=︒，且90PBA ∠=︒，∴∠PBD =45°，∴tan tan 451PBD ∠=︒=，∴PB PD =，又∵12CP PA =， ∴3AC PC=， ∴tan 3AB AB AC APB PB PD PC∠====．故选A ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解．6、B【分析】根据题意可知60BAD ∠=︒，50CBP ∠=︒，由此即可得到50BCE CBP ∠∠==︒即可判断A ；由60ABP ∠=︒可以判断B ；由9040ACB BCE ∠∠=︒-=︒可以判断C ；求出30BAC ∠=︒即可判断D ．【详解】解：如图所示：由题意可知，60BAD ∠=︒，50CBP ∠=︒，50BCE CBP ∠∠∴==︒，即B 在C 处的北偏西50，故A 不符合题意；60ABP ∠=︒，A ∴地在B 地的南偏西60︒方向上，故B 不符合题意；9040ACB BCE ∠∠=︒-=︒，故C 错误．60BAD ∠=︒，30BAC ∴∠=︒，1sin 2BAC ∠∴=，故D 不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形和方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．7、A【分析】观察题目易知△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝4，求出斜边AB ，根据余弦的定义即可求出cos A ．【详解】解：由题知△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝4，∴ABcos A ＝35AC AB =，故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形知识，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中的灵活应用是解题的关键．8、B【分析】直接利用锐角三角函数关系得出m cos AB α=，进而得出答案．【详解】由题意可得：m cos ABα=，则AB =co m s α．故选：B ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．9、B【分析】由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．根据题意可得BC ：AC =1：2，AB =10m ，可解出直角边BC ，即得到位置升高的高度．【详解】解：由题意得，BC ：AC =1：2．∴设BC=x，则AC=2x．∵AB=10，BC2+ AC2=AB2，∴x2+ (2x)2=102，解得：x ．故选：B．【点睛】本题主要考查了坡度的定义和解直角三角形的应用，注意画出示意图会使问题具体化．10、C【分析】如图，在三角形中，等底等高的两个三角形的面积相等，由此可得三角形1面积=三角形2面积，三角形3面积=三角形4面积，根据两个大三角形的面积相等，即甲的面积加上三角形1和三角形3的面积等于乙的面积加上三角形2和三角形4的面积，即可求得甲的面积等于乙的面积．【详解】解：如图，在三角形中，等底等高的两个三角形的面积相等，由此可得三角形1面积=三角形2面积，三角形3面积=三角形4面积，根据长方形的对边相等，则长方形对角线分成的两个三角形面积等相等，所以甲的面积加上三角形1和三角形3的面积等于乙的面积加上三角形2和三角形4的面积，则甲的面积等于乙的面积．故选：C．【点睛】此题考查了三角形的面积，等底等高的两个三角形的面积相等是解答此题的关键．二、填空题1、34．【分析】根据折叠的性质和锐角三角函数的概念来解答即可．【详解】解：根据题意可得：在Rt ABF ∆中，有8AB =，10AF AD ==则在ABF ∆中，6BF ，90AFE D ∠=∠=︒，BAF EFC ∴∠=∠，B C ∠=∠，∴Rt ABF Rt EFC ，EFC BAF ∴∠=∠，故63tan tan 84EFC BAF ∠=∠==．故答案是：34．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．2 【分析】由题意知ABD BAD ∠=∠，在Rt ABC 中利用勾股定理求出AB 的长，cos cos BC BAD ABD AB∠=∠=，进而得出结果．【详解】解：BD AD =∴ABD BAD ∠=∠在Rt ABC中，AB BC =∴cos cos BC BAD ABD AB ∠=∠==【点睛】本题考察了等腰三角形，勾股定理与三角函数值．解题的关键在于角度的转化．3、4，724 【分析】（1）利用分割的思想得ABE ADF ABCD AECF S S S S =--正方形四边形，即可求出；（2）连接EF ，过点F 作FG AE ⊥，垂足为点G ，利用勾股定理求出AG 即可求出．【详解】解：（1）14434242ABE ADF ABCD AECF S S S S =--=⨯-⨯⨯⨯=正方形四边形．（2）连接EF ，过点F 作FG AE ⊥，垂足为点G ．1411 3.52AEF ECFAECF S S S ∴=-=-⨯⨯=四边形． 5AE AF =，12AEF S AE GF =⋅，275AEF SGF AE ⋅∴==． 245AG ∴==． 775tan 24245GF FAE AG ∴∠===．故答案为：4，724．【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是利用分割的思想进行求解．4、60°或120°【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5，可以求出AC 边上的高，再根据∠A 的三角函数值可得∠A 的度数，注意需要分情况讨论．【详解】解：当∠A 是锐角时，如图，过点B 作BD ⊥AC 于D ，∵AC ＝5，△ABC 的面积为∴BD ＝在Rt ABD △中，sin A ＝BD AB ∴∠A ＝60°．当∠A 是钝角时，如图，过点B 作BD ⊥AC ，交CA 的延长线于D ，∵AC ＝5，△ABC 的面积为∴BD ＝在Rt△ABD 中，sin∠BAD ＝sin A ＝BD AB∴∠BAD＝60°．∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°．故答案为60°或120°．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线．5、4【分析】根据坡度的概念（把坡面的垂直高度h和水平方向的距离l的比叫做坡度）求出∠A，根据直角三角形的性质解答．【详解】∴∠A=30°，∴上升的高度=12AB=4（米）.故答案为4．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、坡度坡角的概念是解题的关键．三、解答题1、 (1)52；(2)245【分析】(1) 过点A 作AH ⊥BD ，垂足为点H ．根据等腰三角形的性质求出DH ,再根据1tan 4=C ,求出AH ,利用勾股定理即可求出AB ；(2) 过点C 作CG ⊥BA ，交BA 的延长线于点G ，根据sin ==AH CG B AB BC即可求出答案．【详解】解：（1）∵过点A 作AH ⊥BD ，垂足为点H ．∵AB =AD ，∴BH =HD=12BD =2 ．∵点D 是BC 的中点，∴BD =CD ．∵BD =4，∴CD =4．∴HC =HD + CD =6． ∵1tan 4=C ，∴14=AH HC ，∴32AH =．∵=AB∴52AB ==．（2）过点C 作CG ⊥BA ，交BA 的延长线于点G ．∵sin ==AH CG B AB BC， ∴32582=CG ． ∴245CG =． ∴点C 到直线AB 的距离为245【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理以及锐角的三角比,熟练掌握锐角的三角比是解题的关键．2、（11；（2）12x y =⎧⎨=-⎩．【分析】（1）利用二次根式性质，负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及乘方的意义计算即可得到结果；（2）利用代入消元法求出解即可．【详解】解：（1）原式＝21）＝21；（2）23?35?x y x y +=-⎧⎨=+⎩①②，由①得：x ＝﹣2y ﹣3③，把③代入②得：﹣6y ﹣9＝y +5，解得：y ＝﹣2，把y ＝﹣2代入③得：x ＝1，则方程组的解为12x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了实数计算和解方程组，解题关键是熟记特殊角三角函数值，熟练运用负指数、二次根式和解二元一次方程组的方法求解．3【分析】先计算特殊角三角函数值、0指数、绝对值和乘方，再加减即可．【详解】解：8cos60°＋（π－3.14）0－4|＋（－1）2021．=181412⨯+-=4141+-【点睛】本题考查了特殊角三角函数值、0指数、绝对值和乘方运算，解题关键是熟记特殊角三角函数值，准确计算0指数、绝对值和乘方．4、（1）平行四边形，证明见解析；（2）2【分析】（1）由四边形ABCD 为矩形，AE CG =，BF DH =可得BE =DG ，FC =AH ，由勾股定理可得EH =FG ，EF =GH ，故四边形EFGH 为平行四边形．（2）设AE 为x ，由45FEB ∠=︒，可求得BF =DH =x +1，AH =x +2，由tan 2AEH ∠=可求得AH =2x ，则x =2，即AE =2.【详解】（1）∵四边形ABCD 为矩形∴AD =BC ，AB =CD ，∠HAB =∠EBC =∠FCD =∠ADG =90°，又∵AE CG =，BF DH =∴BE =DG ，FC =AH∴EH =FG =，EF =GH ∴EH =FG ，EF =GH∴四边形EFGH 为平行四边形．（2）设AE =x 则BE =DG =x +1在Rt BEF △中，45FEB ∠=︒∴BE FB =∵BF =DH =x +1∴AH =x +1+1=x +2又∵tan 2AEH ∠= ∴2AH AE= ∴AH =2AE =2x∴2x =x +2解得x =2，∴AE =2【点睛】本题考查了平行四边形的判定和解直角三角形，熟练掌握平行四边形的判定从而证明出EH =FG ，EF =GH 是解题关键．5、1【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂的运算法则求解即可．【详解】解：()1012sin 452tan 602-⎛⎫-︒-π-+︒ ⎪⎝⎭211==【点睛】此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂的运算法则．。

下学期九年级优化训练数学：第一章1-2节B卷(北师大版)(附答案)[下学期]北师大版

1.1~1.2 从梯子的倾斜程度谈起、30°,45°,60°角的三角函数值(B 卷)(50分钟,共100分)班级：_______ 姓名：_______ 得分：_______ 开展性评语：_____________一、请准确填空(每题3分,共24分)1.如图1,在平面直角坐标系中,P 是∠α的边OA 上一点,且P 点坐标为(4,3)那么 sin α=______,cos α=______.2.α是锐角,且2cos α=1,那么α=______；假设tan(α+15°)=1,那么tan α=______.3.如图2,B 、C 是河岸边两点,A 是对岸岸边一点,测得∠ABC =45°,∠ACB =45°,BC =60 m,那么点A 到对岸BC 的距离是_____m.A BC30ABCo图1图2图34.要把5米长的梯子上端放在距地面3米高的阳台边沿上,猜测一下梯子摆放坡度最小为______.5.tan α·tan30°=1,且α为锐角,那么α=______.6.设β为锐角,且x 2+2x +sin β=0的两根之差为2,那么β=______.7.在△ABC 中,∠C =90°.假设3AC =3BC ,那么∠A 的度数是______,cos B 的值是______. 8.如图3,某建筑物BC 直立于水平地面,AC =9米,要建造阶梯AB ,使每阶高不超过20 cm,那么此阶梯最少要建_____阶.(最后一阶的高度缺乏20 cm 时,按一阶算,3取1.732)二、相信你的选择(每题3分,共24分)9.在△ABC 中,AB =AC =4,BC =2,那么4cos B 等于 A.1B.2C.15D.415 10.△ABC 中,∠A 、∠B 都是锐角,且sin A =21,cos B =23,那么△ABC 的形状是A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定11.令a =sin60°,b =cos45°,c =tan30°,那么它们之间的大小关系是 A.c <b <a B.b <c <a C.b <a <c D.a <c <b12.在Rt △ABC 中,∠C =90°,以下式子中不一定成立的是 A.tan A =AAcos sin B.sin 2A +sin 2B =1C.sin 2A +cos 2A =1D.sin A =sin B13.在△ABC 中,假设|sin A －23|+(1－tan B )2=0,那么∠C 的度数是 A.45°B.60°C.75°D.105°14.△ABC 中,∠C =90°,∠A =60°,BC +AC =3+3,那么BC 等于 A.3B.3C.23D.3+115.假设等腰三角形腰长为4,面积是4,那么这个等腰三角形顶角的度数为 A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° 16.某人沿着坡度为1∶3的山坡前进了1000 m,那么这个人所在的位置升高了 A.1000 m B.500 m C.5003 m D.331000 m 三、考查你的根本功(共24分) 17.(16分)计算或化简：(1)sin45°·cos60°－cos45°·sin30°; (2)5tan30°－2(cos60°－sin60°). (3)(23tan30°)2022·(22sin45°)2022; (4)2(2cos45°－tan45°)－(tan60°+sin30°)0－(2sin45°－1)－1.18.(8分)△ABC 中,∠C =90°,AC =m ,∠BAC =α(如图4),求△ABC 的面积.(用α的三角函数及m 表示)ABCmB北60A图4图5四、生活中的数学(共18分)19.(9分)“郑集中学〞有一块三角形形状的花圃ABC ,现可直接测量到∠A =30°,AC = 40 m,BC =25 m,请求出这块花圃的面积.20.(9分)如图5,某货船以20海里/小时的速度将一批重要的物资由A 处运往正西方向的B 处,经16小时的航行到达,到达后便接到气象部门通知,一台风中央正由A 向北偏西60°方向移动,距台风中央200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.在B 处的货船是否会受到台风的侵袭？说明理由.五、探究拓展与应用(共10分) 21.(10分)(1)如图6中①、②,锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角确实定而确定,变化而变化,试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值及余弦值的变化规律.123(注:AB 1 =AB 2 =AB 3)①B 1B 2B 3C②图6(2)根据你探索到的规律,试分别比拟18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.参考答案一、1.53 54 2.60° 33 3.30 4.435.60°6.30°7.60° 238.26二、9.A 10.B 11.A 12.D 13.C 14.B 15.B 16.B 三、17.(1)0;(2)3338 ;(3)21;(4)－22. 18.解：∵tan α=ACBC , ∴BC =AC ·tan α=m ·tan α. S △ABC =21AC ·BC =21m 2tan α. 四、19.解：作CD ⊥AB.∵∠A =30°, ∴CD =21AC =21×40=20(m), AD =22CD AC =203(m),BD =22CD BC =15(m).(1)当∠ACB 为钝角时,AB =AD +BD =203+15, ∴S △ABC =21AB ·CD =21(203+15)×20=(2003+150)(m 2). (2)当∠ACB 为锐角时,AB =AD －BD =203－15. ∴S △ABC =21AB ·CD =21(203－15)×20=(2003－150)(m 2). 20.解：AB =16×20=320(海里),作BD ⊥AC 垂足为D . ∵∠BAC =30°,∴sin30°=ABBD,BD =AB ·sin30°=160. ∵160<200,∴B 处的货船会受到影响. 五、21.(1)由图①知sin B 1AC 1=111AB C B ,sin B 2AC 2=222AB CB , sin B 3AC 3=333AB C B . ∵AB 1=AB 2=AB 3且B 1C 1>B 2C 2>B 3C 3, ∴111AB C B >222AB C B >333AB C B . ∴sin B 1AC 1>sin B 2AC 2>sin B 3AC 3. 而∠B 1AC 1>∠B 2AC 2>∠B 3AC 3, 而对于cos B 1AC 1=11AB AC , cos B 2AC 2=22AB AC , cos B 3AC 3=33AB AC . ∵AC 1<AC 2<AC 3,∴cos B 1AC 1<cos B 2AC 2<cos B 3AC 3. 而∠B 1AC 1>∠B 2AC 2>∠B 3AC 3. 由图②知sin B 3AC =33AB CB , ∴sin 2B 3AC =2323AB C B . ∴1－sin 2B3AC =1－2323AB C B =232323AB C B AB =232AB AC . 同理,sin B 2AC =22AB C B ,1－sin 2B 2AC =222AB AC, sin B 1AC =21AB C B ,1－sin 2B 1AC =212AB AC . ∵AB 3>AB 2>AB 1,∴232AB AC <222AB AC <212AB AC .∴1－sin 2B 3AC <1－sin 2B 2AC <1－sin 2B 1AC. ∴sin 2B 3AC >sin 2B 2AC >sin 2B 1AC.∵∠B 3AC ,∠B 2AC ,∠B 1AC 均为锐角, ∴sin B 3AC >sin B 2AC >sin B 1AC . 而∠B 3AC >∠B 2AC >∠B 1AC . 而对于cos B 3AC =3AB AC, cos B 2AC =2AB AC, cos B 1AC =1AB AC. ∵AB 3>AB 2>AB 1,∴3AB AC <2AB AC <1AB AC. ∴cos B 3AC <cos B 2AC <cos B 1AC . 而∠B 3AC >∠B 2AC >∠B 1AC .结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大,锐角的余弦值随角度的增大而减小. (2)由(1)知sin18°<sin34°<sin50°<sin62°<sin88°, cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°.。

北师大版数学九年级下第一章直角三角形的边角关系全章综合测评题教学例

全章综合测评题一、选择题1.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若2AC BC =，则sin A 的值是（）A.12B.2 2.如图，ABC △的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tan A 的值是（）A.65B.563.在ABC △中，若cos A =，tan B = ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形4.如图，在平地上种树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ，如果在坡度为0.5的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离约为（） 2.24≈）A.4.5mB.4.6mC.6mD.8m5.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若4AB =，3sin 5A =，则斜边上的高等于（） A.6425 B.4825C.165D.125 6.甲、乙、丙三个梯子斜靠在一堵墙上（梯子顶端靠谱），小明测得：甲与地面的夹角为60︒；乙的底3 ）A.甲较陡B.乙较陡C.丙较陡D.一样陡7.如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70︒方向的M 处，它以每小时40海里的速度向正北方方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40︒方向的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为（）A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里8.小亮在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5︒角的正切值是（）1 1 C.2.5二、填空题9.计算：()0212sin 45π 3.142--︒+-+=________.10.周长为20的等腰三角形，一边长为6，则底角的余弦值为______.11.如图，小颖利用有一个锐角是30︒的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛与地面的距离），那么这棵树高是______m .（结果保留根号）12.如图，一个小球由地面沿着坡度1:3i =的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为_____m .13.如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC 为3米，引桥的坡角ABC ∠为15︒，则引桥的水平距离BC 的长是______米.（精确到0.1米，sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）14.在平面直角坐标系中，已知()2,3P ，OP 与x 轴所夹锐角为α，则tan α=_____.15.将一副三角尺如图所示叠放在一起，若14cm AB =，则阴影部分的面积是______2cm .16.如图，已知直线1234l l l l ∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α=______.三、解答题17.水务部分为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD ，如图所示，已知迎水坡面AB 的长为16米，60B ∠=︒，背水坡面CD 的长为米，加固后大坝的横截面为梯形ABED ，CE 的长为8米.（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后大坝背水坡面DE 的坡度.18.如图所示，秋千链子的长度为3m ，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m ，秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53︒，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？（参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈）19.如图，某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22︒是，教学楼在建筑物的墙上留下高2m 的影子CE ；而当光线与地面的夹角是45︒时，教学楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13m 的距离（B 、F 、C 在一条直线上）.求教学楼AB 的高度. （参考数据：3sin 228︒≈，15cos2216︒≈，2tan225︒≈）20.小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图所示是晒衣架的侧面示意图，立杆AB 、CD 相交于点O ，B 、D 两点立于地面，经测量：136cm AB CD ==，51cm OA OC ==，34cm OE OF ==，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段，且32cm EF =.（1）求扣链EF 与立杆AB 的夹角OEF ∠的度数.（精确到0.1︒）（2）小红的连衣裙挂在衣架后的总长度达到122cm ，垂挂在晒衣架上是否拖落到地面？通过计算说明理由.（参考数据：sin61.90.882︒≈，cos61.90.471︒≈，tan28.10.533︒≈）聊旺角认识新朋友——正弦：小菱形面积的性质新朋友——正弦，它已帮我们解决了好几个题目，但我们对它了解得却并不多，现在就来熟悉一下它. 正弦性质1：sin0sin1800︒=︒=，sin901︒=.道理很简单：菱形的一个角为0︒或180︒时，菱形就退化为线段；面积当然是0，菱形的一个角为90︒时，菱形就是正方形，因此，sin90︒就是单位正方形的面积，当然是1.（如图1-1）正弦性质2：()sin 180sin αα︒-=.这是因为，当菱形有一角为α时，必有另一个角等于180α︒-，因此，sin α和()sin 180α︒-按定义表示的是同一块面积.（如图1-2）当菱形一个角为0︒时，面积为0，这个角慢慢变大时，菱形面积也随着增大，直到变为正方形，这个角继续变大时，菱形面积又变小，直到变成0，这种性质也体现在正弦的性质上.在我们的书上，直接规定“直角三角形中锐角的正弦sin A 等于A ∠的对边与斜边之比”，这种用直角三角形的边长之比来定义正弦的方法，是18世纪的大数学家欧拉首先引进的，关于正弦的性质我们将在以后继续学习，有兴趣的同学可以试一试.创新寄语提出新的疑问，新的可能，从新的角度看老问题，需要创造性的想象力，并且标志着科学的真正进步. 答案一、1.C2.A3.A4.A5.B6.D7.D8.B二、 9.1410.23或373214.3215.49三、17.（1）（2 18.1.7m19.12m20.解：（1）如图，在OEF △中，34cm OE OF ==，32cm EF =，作OM EF ⊥于点M ，则16cm EM =，16cos 0.47134EM OEF OE ∠==≈∴， 61.9OEF ∠=︒∴（2）小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面.理由：EF BD ∵∥，61.9ABD OEF ∠=∠=︒∴过点A 作AH BD ⊥于点H在Rt ABH △中，sin AH AND AB∠=∵， ()sin 136sin61.91360.882120.0cm AH AB ABD ⋅=∠=⨯︒≈⨯≈∴ ∵小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度122cm >晒衣架高度120.0cm ， ∴会拖落到地面上.。

强化训练北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评试题(含答案及详细解析)

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，点P 位于点A 正北方向，点C 位于点A 的北偏西46°，若测得PC ＝50米，则小河宽PA 为（）A ．50sin44°米B ．50cos44°C ．50tan44°米D ．50tan46°米2、如图，滑雪场有一坡角为20°的滑道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（）米．A ．100cos20︒B ．100cos20°C ．100sin 20︒D ．100sin20°3、如图，点A 为α∠边上的任意一点，作AC BC ⊥于点C ，CD AB ⊥于点D ，下列用线段比表示sin α的值，正确的是（）A ．DC ACB ．AC BC C ．DC BCD ．BC AB4、如图，在小正方形网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为（）A ．35B ．43C ．45 D ．345、如图所示，某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为m （m ），那么这两棵树在坡面上的距离AB 为（）A ．m cos α（m ）B ．co m s α（m ）C ．m sin α（m ）D ．sin mα（m ）6、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝6，∠DAC ＝60°，点F 在线段AO 上从点A 至点O 运动，连接DF ，以DF 为边作等边三角形DFE ，点E 和点A 分别位于DF 两侧，下列结论：①∠BDE ＝∠EFC ；②ED ＝EC ；③∠ADF ＝∠ECF ；④点E 运动的路程是（）A ．①④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④7、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A 12=，则cos B 等于（）A ．12BC D8、如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为13BC =m ，则AB 的长度为（）A ．6mB ．C ．9mD ．9、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 边的中点，连接CD ，若4BC =，3CD =，则sin DCB ∠的值为（）A ．23 B C D 10、如图，为测量小明家所住楼房AB 的楼高，小明从楼底A 出发先沿水平方向向左行走到达点C ，再沿坡度1:2.4i =的斜坡行走104米到达点D ，在D 处小明测得楼底点A 处的俯角为14︒，楼顶最高处B 的仰角为22︒，AB 所在的直线垂直于地面，点A 、B 、C 、D 在同一平面内，则AB 的高度约为（）米．（参考数据：sin140.24︒≈，cos140.97︒≈，tan140.25︒≈，sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈）A．104 B．106 C．108 D．110第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______．2、如图 , 在Rt ABC中,390,sin5C B D∠==．是边BC的中点, 点E在边AB上, 将BDE沿直线DE翻折, 使得点B落在同一平面内的点F处. 如果线段FD交边AB于点G, 当FD AB⊥时, :AE BE的值为________．3、计算：1sin 602︒=______． 4、如图，等边ABC 的边长为2，点O 是ABC 的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段,AB BC 于D ，E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②四边形ODBE 的面积始终ODE BDE S S =；④BDE 周长的最小值为3．其中正确的结论是________（填序号）．5、在△ABC 中，∠C =90°，如果tan ∠A=2，AC =3，那么BC =______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ．（1）如图1，当α＝60°时，猜想PA 和DC 的数量关系并说明理由；（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA 和DC 的数量关系并说明理由．2、如图1所示的是一辆混凝土布料机的实物图，图2是其工作时部分示意图，AC 是可以伸缩的布料臂，其转动点A 离地面BD 的高度AH 为3.2米．当布料臂AC 长度为8米，张角HAC ∠为118︒时，求布料口C 离地面的高度．（结果保留一位小数；参考数据：sin 280.47︒≈，cos280.88︒≈，tan 280.53︒≈）3、为了测量旗杆AB 的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD ，EF 是两个长度为2m 的标杆．（1）如果现在测得∠DEC ＝30°，EG ＝4m ，求旗杆AB 的高度；（2）如果CE 的长为x ，EG 的长为y ，请用含x ，y 的代数式表示旗杆AB 的高度．4、先化简，再求代数式54a a -÷+（94a -+a ＋4）的值，其中a ＝2sin60°﹣5tan45°． 5、如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝kx ﹣3k 交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，tan∠ABO ＝2．（1）求k 的值；（2）点G 为线段AB 上一点，过点G 作CG ⊥AB 交y 轴正半轴于点C ，若点G 的横坐标为t ，线段OC 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式，并直接写出t 的取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，延长GC 交x 轴于点D ，连接BC ，在BC 上截取BH ＝OC ，F 为第一象限内一点，且FB ⊥x 轴，连接FH ，点E 在第三象限，连接AE 、BE 、DE ，若∠CBO ＝2∠FHB ，∠AEB +∠OBC ＝90°，且BF ＝34，DE ，求点E 坐标．-参考答案-一、单选题1、C【分析】先根据AP ⊥PC ，可求∠PCA =90°-46°=44°，在Rt△PCA 中，利用三角函数AP =tan 4450tan 44PC ︒⨯=︒米即可．【详解】解：∵AP ⊥PC ，∴∠PCA +∠A =90°，∵∠A =46°，∴∠PCA =90°-46°=44°，在Rt△PCA 中，tan∠PCA =AP CP，PC =50米， ∴AP =tan 4450tan 44PC ︒⨯=︒米．故选C ．【点睛】本题考查测量问题，掌握测量问题经常利用三角函数求边，熟悉锐角三角函数定义是解题关键．2、B【分析】首先根据坡角的概念得到20C ∠=︒，然后由C ∠的余弦值可得cos BC C AC∠=，代入AC 的值求解即可．【详解】解：∵滑道坡角为20°，∴20C ∠=︒，∵AC 为100米，90B ∠=︒， ∴cos BC C AC ∠=， ∴cos 100cos20BC AC C =∠=︒．故选：B ．【点睛】此题考查了解三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的表示方法．3、C【分析】根据正弦值等于对边与斜边的比，可得结论．【详解】解：在Rt ABC 中，AC sin ABα=；在Rt ADC 中，CD sin BC α=．故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．4、A【分析】观察题目易知△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝4，求出斜边AB ，根据余弦的定义即可求出cos A ．【详解】解：由题知△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝4，∴AB cos A ＝35AC AB =，故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形知识，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中的灵活应用是解题的关键．5、B【分析】直接利用锐角三角函数关系得出m cos AB α=，进而得出答案．【详解】由题意可得：m cos ABα=，则AB =co m s α．故选：B ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．6、D【分析】①根据∠DAC ＝60°，OD ＝OA ，得出△OAD 为等边三角形，再由△DFE 为等边三角形，得∠EDF ＝∠EFD ＝∠DEF ＝60°，即可得出结论①正确；②如图，连接OE ，利用SAS 证明△DAF ≌△DOE ，再证明△ODE ≌△OCE ，即可得出结论②正确； ③通过等量代换即可得出结论③正确；④如图，延长OE 至E ′，使OE ′＝OD ，连接DE ′，通过△DAF ≌△DOE ，∠DOE ＝60°，可分析得出点F 在线段AO 上从点A 至点O 运动时，点E 从点O 沿线段OE ′运动到E ′，从而得出结论④正确；【详解】解：①∵∠DAC ＝60°，OD ＝OA ，∴△OAD 为等边三角形，∴∠DOA ＝∠DAO ＝∠ODA ＝60°，AD ＝OD ，∵△DFE 为等边三角形，∴∠EDF ＝∠EFD ＝∠DEF ＝60°，DF ＝DE ，∵∠BDE +∠FDO ＝∠ADF +∠FDO ＝60°，∴∠BDE ＝∠ADF ，∵∠ADF +∠AFD +∠DAF ＝180°，∴∠ADF +∠AFD ＝180°﹣∠DAF ＝120°，∵∠EFC +∠AFD +∠DFE ＝180°，∴∠EFC +∠AFD ＝180°﹣∠DFE ＝120°，∴∠ADF ＝∠EFC ，∴∠BDE ＝∠EFC ，故结论①正确；②如图，连接OE ，由①得AD ＝OD ，DF ＝DE ，∠ODA ＝60°，∠EDF 60°，∴∠ADF ＝∠ODE ，在△DAF 和△DOE 中，{AD ODADF ODE DF DE∠∠=＝＝，∴△DAF ≌△DOE （S A S ），∴∠DOE ＝∠DAF ＝60°，∵∠COD ＝180°﹣∠AOD ＝120°，∴∠COE ＝∠COD ﹣∠DOE ＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE ＝∠DOE ，在△ODE和△OCE中，{OD OC COE DOE OE OE=∠∠=＝∴△ODE≌△OCE（SAS），∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，故结论②正确；③ 由②得∠ODE＝∠ADF，∠OCE＝∠ODE，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，∵OE′＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝6•tan30°＝∴点E运动的路程是故结论④正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，解题的关键是熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识．7、A【分析】由1sin =2A 知道∠A =30°，即可得到∠B 的度数即可求得答案．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，1sin =2A ，∴∠A =30°，∴∠B =60°， ∴1cos =cos60=2B ︒．故选A ．【点睛】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数值，直角三角形两锐角互余，解题的关键是正确识记30°角的正弦值和60度角的余弦值．8、A【分析】根据迎水坡AB 的坡比为1BC AC =AC 的长度，运用勾股定理可得结果．【详解】解：迎水坡AB 的坡比为1BC AC ∴=，即3AC = 解得，AC =由勾股定理得，()6AB m ==，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，熟知坡比的意义是解本题的关键．9、D【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB ，再根据三角函数的意义，可求出答案．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 边的中点，∴AD ＝BD ＝CD ＝12AB ，∴DCB B ∠=∠,又∵CD ＝3，∴AB ＝6，AC =∴sin DCB ∠＝sin B ＝AC AB == 故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提．10、A【分析】根据题意作DE AB ⊥交于E ，延长AC ，作DF CF ⊥交于F ，由坡度的定义求出DF 的长，得AE 的长，再解直角三角形求出DE 、BE 的长，即可解决问题．【详解】解：如图，作DE AB ⊥交于E ，延长AC ，作DF CF ⊥交于F ，∵斜坡CD 的坡度为i =1：2.4，CD =104米，∴DF =AE =40（米），CF =96（米），∵14EDA ︒∠=, ∴40tan tan140.25AE EDA DE DE︒∠===≈， ∴160DE =（米），∵22EDB ︒∠=, ∴tan tan 220.4160BE BE EDB DE ︒∠===≈， ∴64BE =（米），∴4064104AB AE BD =+=+=（米）.故选：A.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是二、填空题1 【分析】利用勾股定理求出AO 、BO 的长，再由ABO S =12AB ×2=12AO ⋅BC ，得出BC ，sin ∠AOB 可得答案．【详解】解：如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，过点B 作BC ⊥OA 于点C ．由勾股定理，得AO=BO =∵ABO S =12AB ×OE =12AO ×BC ，∴BC =AB OEAO ⨯=∴sin ∠AOB =BCBO =【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，熟练掌握正弦函数的意义、勾股定理的应用及三角形的面积求法2、1:4【分析】过点E 作EH ⊥AC 与H ，EI ⊥BC 与I ，设AC =3m ，根据三角函数可求AB =353sin 5AC m m B ==，根据勾股定理4BC m =，根据点D 是边 BC 的中点，得出CD =BD =2m ，DG =BD sin B =36255m m ⨯=，根据BDE 沿直线 DE 翻折,得到△FDE ，得出∠EDC =∠EDF ，可证△EID ≌△EGD （AAS ），得出ID =GD =65m ，再证四边形HCIE 为矩形HE =CI =45m ，HE∥CI 即HE∥CB ，证明△AEH ∽△ABC ，4554m AE m m m=⨯=即可．【详解】解：过点E 作EH ⊥AC 与H ，EI ⊥BC 与I ，设AC =3m ，390,sin 5C B ∠==， ∴AB =353sin 5AC m m B ==，根据勾股定理4BC m ===，∵点D 是边 BC 的中点，∴CD =BD =2m ，∵FD AB ⊥， ∴DG =BD sin B =36255m m ⨯=， ∵BDE 沿直线 DE 翻折,得到△FDE ，∴∠EDC =∠EDF ，∵EI ⊥BC ，∴∠EID =90°=∠EGD ，在△EID 和△EGD 中，EID EGD EDI EDG ED ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EID ≌△EGD （AAS ），∴ID =GD =65m ， ∴CI =CD -ID =2m -6455m m =， ∵EH ⊥AC ，∴∠EHC =90°，∵∠HCI =∠ACB =90°，∠EIC =90°，∴∠EHC =∠HCI =∠EIC =90°，∴四边形HCIE 为矩形，∴HE =CI =45m ，HE∥CI 即HE∥CB ， ∴∠AHE =∠ACB ，∠AEH =∠B ，∴△AEH ∽△ABC ， ∴AE HE AB CB =即4554m AE m m=，解得4554m AE m m m=⨯=，∴BE =AB -AE =5m -m =4m ，∴::41:4AE BE m m ==．故答案为1:4．【点睛】本题考查锐角三角函数，勾股定理，折叠性质，三角形全等判定与性质，矩形判定与性质，三角形相似判定与性质，线段的比，掌握锐角三角函数，勾股定理，折叠性质，三角形全等判定与性质，矩形判定与性质，三角形相似判定与性质，线段的比是解题关键．3【分析】根据特殊的三角函数值解答即可．【详解】解：1sin 602︒=12=，【点睛】本题考查了特殊的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题是关键．4、①③④【分析】如图：连接OB 、OC ，利用等边三角形的性质得∠ABO =∠OBC =∠OCB =30°，再证明∠BOD =∠COE ，可证△BOD ≌△COE ，即BD =CE 、OD =OE ，则可对①进行判断；利用 △△=BOD COE S S 得到四边形ODBE 的面积13ABC S ==OH ⊥DE ，则DH =EH ，计算出S △DOE 2,=利用S △DOE 随OE的变化而变化和四边形ODBE 的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE 的周长=BC +DE =4+DE OE ，根据垂线段最短，当OE ⊥BC 时，OE 最小，△BDE 的周长最小，计算出此时OE 的长则可对④进行判断．【详解】解：连接OB 、OC ，如图，∵等边ABC∴∠ABC =∠ACB =60°,∵点O 是△ABC 的中心，∴OB =OC ，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠ABO =∠OBC =∠OCB =30°∵∠BOC =120°，即∠BOE +∠COE =120°，而∠DOE =120°，即∠BOE +∠BOD =120°，∴∠BOD =∠COE ,在△BOD 和△COE 中BOD COE BO COOBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOD ≌△COE ,∴BD =CE ，OD =OE ，所以①正确；∴△△=BOD COE S S∴四边形ODBE 的面积=211233OBC ABCS S ==⨯=，故②正确；如图：作OH ⊥DE ，则DH =EH ，∵∠DOE =120°,∴∠ODE=_OEH =30°,12OH OE ∴=，HE,==,DE ∴=211,22ODE S OE ∴=⋅= 即S △DOE 随OE 的变化而变化，而四边形ODBE 的面积为定值，;ODE BDES S ∴≠所以③错误； ∵BD =CE ,∴△BDE 的周长=BD +BE+DE =CE +BE +DE =BC +DE =2+DE当OE ⊥BC 时，OE 最小，△BDE 的周长最小，此时 OE =∴△BDE 周长的最小值=2+1=3,所以④止确．故填①③④．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键5、6【分析】利用正切的定义求解．【详解】解：∵∠C =90°，∴tan ∠A =BC AC=2， ∴BC =2AC =2×3=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中，∠C =90°．锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tan A ．三、解答题1、（1）PA DC =，理由见解析；（2）CD =，理由见解析【分析】（1）根据已知条件证明ABP CBD △≌△即得到PA DC =；（2）过点A 作AE BC ⊥于E ，过点P 作PF BD ⊥，进而可得BC AB BD BP=DBC PBA ∠=∠进而证明CBD ABP ∽△△，根据相似三角形的性质列出比例式即可求得CD =【详解】（1）PA DC =，理由如下，∵,60AB AC BAC =∠=︒，∴ABC 是等边三角形，60ABC ∠=︒，∵线段PB 绕点P 逆时针旋转60︒后得到线段PD ，∴PBD △是等边三角形，,60PB PD BPD =∠=︒，∴ABP ABD CBD ABD ∠+∠=∠+∠，∴ABP CBD ∠=∠，∴()ABP CBD SAS ≌，∴AP CD =；（2）CD =．理由如下，如图，过点A 作AE BC ⊥于E ，过点P 作PF BD ⊥，∵,120AB AC BAC =∠=︒，∴30ABC ∠=︒，12BE BC =cos BE ABC AE ∴∠==∴BC AB∵,120PB PD BPD =∠=︒，∴30PBD ∠=︒，12BF BD =cos BF PBD PB ∴∠==∴BD BP= ∴BC BD AB BP =，即BC AB BD PB=， ∵PBA PBD ABD ∠=∠+∠，DBC ABC ABD ∠∠+∠=，∴DBC PBA ∠=∠，∴CBD ABP ∽△△，∴CD BD AP BP==∴CD =．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．2、高度为7.0米【分析】过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作AF CE ⊥于点F ，根据矩形的判定定理可得四边形AHEF 为矩形，由图中角的关系可得28CAF ∠=︒，在Rt ACF 中，利用正弦三角函数可得 3.76=CF ，根据图形中CE CF EF =+即可得．【详解】解：如图，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作AF CE ⊥于点F ，∵90AHE HEF AFE ∠=∠=∠=︒，∴四边形AHEF 为矩形，3.2EF AH ∴==，90HAF ∠=︒，1189028CAF CAH HAF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒.在Rt ACF 中，sin CF CAF AC∠=， 8sin 2880.47 3.76CF ∴=⨯︒≈⨯=，3.76 3.27.0CE CF EF ∴=+=+≈，答：布料口C 离地面的高度为7.0米．【点睛】题目主要考查矩形的判定和性质，锐角三角函数解三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．3、（1）15 m（2）2y AB y x=- 【分析】（1）设AB a ，则BE =，根据GEF GBA ∽，列出比例式即可得出关于a 的方程，解方程求解即可，（2）根据,CD AB EF AB ∥∥可得,ECD EBA GEF GBA ∽∽，进而得出比例式，代入已知量，将等式变形即可求得AB ．（1）设AB a ，由∠DEC ＝30°，CD BG ⊥在Rt ABE △中，tan AB BE AEB==∠ EG ＝4，4BG BE EG ∴=+=+EF BG ⊥AB EF ∴∥∴GEF GBA ∽EF EG AB BG∴= 即2a =解得815a =+≈∴旗杆AB 的高度为15m ；（2）,CD AB EF AB ∥∥∴,ECD EBA GEF GBA ∽∽,CD CE EF EG AB BE AB BG∴==CE 的长为x ，EG 的长为y ，2CD EF ==22,x y AB BE AB BE y∴==+ 2AB x BE ⋅∴= 22y ABx AB y ∴=+ 整理得：2y AB y x =- 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似三角形的应用，勾股定理，根据题意找到相似三角形是解题的关键．4、15a，【分析】先计算括号内的分式的加减运算，再把除法转化为乘法，约分后可得化简的结果，再化简a ＝2sin60°﹣5tan45°，再代入化简后的代数式可得答案. 【详解】解：54a a -÷+（94a -+a ＋4） 25916444a a a a a 55544a a a a a 54455a a a a a15aa ＝2sin60°﹣5tan45°， 325135,a 所以原式3.3553 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，分式的化简求值，二次根式的除法运算，熟记特殊角的三角函数值，掌握分式的混合运算的运算顺序与运算法则是解本题的关键.5、（1）k =-2；（2）d =6-52t ，1205t ≤≤，（3）点E （211588--，）．【分析】（1）先求出直线y ＝kx ﹣3k 交x 轴于点B （3，0），OB =3，根据三角函数求出tan∠ABO ＝2=3OA OA OB =，点A （0，6）利用待定系数法求即可；（2）过G 作GL ⊥x 轴于L ，根据点G 的横坐标为t ，得出OL =t ，BL =3-t ，利用三角函数求出GL =6-2t ，根据勾股定理AB==GB (3t ==-利用线段差求出GA =AB -GB =(3t -，再求出cos∠OAB =OA AB =AC =52t 即可；（3）作∠OBC 的平分线交y 轴于T ，过O 作OQ ⊥BT 交BC 与Q ，交BT 于V ，过B 作BS ⊥AE 于S ，过E作EJ ⊥x 轴于点J ，根据角平分线可得∠OBT =∠CBT =12CBO ∠，根据∠CBO ＝2∠FHB ，得出∠OBT =∠CBT =11222CBO FHB FHB ∠=⨯∠=∠，先证△OCQ ≌△HBF （ASA ），得出CQ =BF =34，再证△OBV ≌△QBV （ASA ），得出OB =QB =3，可求BC =CQ +BQ =315344+=，利用勾股定理在Rt△COB 中，OC =94=，求出d =94，可证AC =OA -OC =6-91544==BC ，再证CG 为AB 的垂直平分线，可证△ASB 为等腰直角三角形，求出SB =AB cos45°==EBS ∽△CBO ，可求15243BE ==OD =2OC =99242⨯=，设OJ =m ，JD =OD -OJ =92m -，BJ =3+m ，根据勾股定理JE 2=2222DE DJ BE BJ -=-即()2222932m m ⎛⎫--=-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得218m =, 158JE =即可．【详解】解：（1）∵直线y ＝kx ﹣3k 交x 轴于点B ，当y =0时，x =3，∴点B （3，0），OB =3，∵tan∠ABO ＝2=3OA OA OB =， ∴OA =6，∴点A （0，6），∵点A 在直线y ＝kx ﹣3k 上，∴﹣3k =6，∴k =-2；（2）过G 作GL ⊥x 轴于L ，∵点G 的横坐标为t ，∴OL =t ，BL =3-t ，∴tan∠ABO ＝2=3GL GL LB t =-， ∴GL =6-2t ，在Rt△AOB 中AB=在Rt△GLB 中GB (3t -∴GA =AB -GB =(3t -，∵cos∠OAB =OA AB∴cos∠OAB =cos∠GAC =AG AC = ∴AC =52t ，∴CO =OA -AC =6-52t ，∴d =6-52t ， ∵5062t ≤≤， ∴1205t ≤≤， ∴d =6-52t ，（1205t ≤≤）；（3）作∠OBC 的平分线交y 轴于T ，过O 作OQ ⊥BT 交BC 与Q ，交BT 于V ，过B 作BS ⊥AE 于S ，过E 作EJ ⊥x 轴于点J ，∴∠OBT =∠CBT =12CBO ∠，∵∠CBO ＝2∠FHB ，∴∠OBT =∠CBT =11222CBO FHB FHB ∠=⨯∠=∠， ∵BF ⊥x 轴，∴BF∥y 轴，∴∠OCQ =∠FBH ，∵BQ ⊥BT ，∴∠COQ +∠QOB =90°，∵∠QOB +∠EBO =90°，∴∠COQ =∠TBO =∠FHB ，在△OCQ 和△HBF 中，OCQ HBF OC HFCOQ BHF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OCQ ≌△HBF （ASA ），∴CQ =BF =34，在△OBV 和△QBV 中，OVB QVB VB VBVBQ VBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OBV ≌△QBV （ASA ），∴OB =QB =3，∴BC =CQ +BQ =315344+=，∴在Rt△COB 中，OC94==， ∴d =94，∴AC =OA -OC =6-91544==BC ， ∵CG ⊥AB ，∴CG 为AB 的垂直平分线，∵点S 在CG 上，∴SA =SB ，∵BS ⊥AE ，∴△ASB 为等腰直角三角形，∴SB =ABcos45°== ∵∠AEB +∠OBC ＝90°，∠OCB +∠OBC =90°，∴∠AEB =∠OCB ，∵BS ⊥AE ，∴∠ESB =∠COB =90°，∴△EBS ∽△CBO ， ∴SB BE OB BC=21534BE =，∴15243BE ==∵tan∠DCO =tan∠ABO =2OD OC=，∴OD =2OC =99242⨯=， ∴DB =OD +OB=915322+=，设OJ =m ，JD =OD -OJ =92m -，BJ =3+m ，根据勾股定理JE 2=2222DE DJ BE BJ -=-即()2222932m m ⎛⎫--=-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得218m =，∴JE 2=222292128DE DJ ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭⎝⎭，解得158JE =， ∴点E （211588--，）．【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，锐角三角函数值，勾股定理，角平分定义，三角形完全判定与性质，三角形相似判定与性质，等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，根据勾股定理列拓展一元一次方程，完全平方公式，本题难度大，涉及知识多，图形复杂，需滤清思路，利用辅助作出准确图形是解题关键．。

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《全优点练课计划》九年级数学下册(北师版)-第一章综合测评
__________________________________________________
言语理解与表达
A
1 [哀怜爱怜爱恋] 三者读音大致相同，但意义和用法不同。

”哀怜”指对别人的不幸遭遇表示同情，如”中华民族有哀怜弱者的传统”。

”爱怜”指十分疼爱，多用于子女，如”爱怜子女”。

”爱恋”指热爱而难以分离，多用于男女之间，如”二十多年来，他俩一直相互爱恋着”。

2 [爱护爱惜] 爱护有精心保护，不使受到损坏或镀害的意思;爱惜指不浪费，不糟蹋。

前者既可指人，又可指物;后者则仅指物或抽象事物，如”时间”。

3 [安闲安适] 安闲重在”闲”——心中无所牵挂;安适重在”适”——舒适，惬意。

4 [安置安顿安排] “安置”重在于”置”，使工作、生活、物品等有适当的位置，或指人或物的处置各得其所，又指安置亲属、行李、灾民等;”安顿”着重在于”顿”，妥当安排使有着落。

”安排”着重于”排”，分轻重缓急，先后主次，有条不紊地处置人或事物，多指人事、任务等的处理。

5 [按语暗语] 相同点：二者都与语言有关。

不同点：”按语”也写作”案语”，指作者、编者对有关文章、词句所做的说明、提示或考证。

如”这个文段，编者特地加了按语”;”暗语”指彼此约定的秘密话，如”这些话纯是暗语，别人根本听不懂”。

6 [暗淡黯淡] 二者都指不明朗。

不同的是：”暗淡”指光色昏暗，不光明，不鲜艳，如”光线暗淡”;”黯淡”①指心理暗淡，如”心情黯淡”;②同”暗淡”。

7 [翱翔遨游] 二者都与游动有关，但游动的方式有所不同。

”翱翔”指在空中回旋地飞。

”遨游”指漫游，游历。

如”自由翱翔”，”遨游太空”。

8 [懊悔懊恼] 懊悔重在”悔”——后悔，更多的是”责己”;懊恼重在”恼”——烦恼，更多的是”怨天尤人”。

B
9 [把持操纵] 把持是独占、独揽的意思，往往是公开性的活动;操纵是支配、控制的意思，多是幕后行为。

10 [颁布颁发]”颁布”侧重于公布，对象往往是法令、条例等;”颁发”侧重于授予、发出，对象常是奖品或命令、指示等。

11 [包括包罗包含包涵] “包括”可指具体事物，又可指抽象事物，如意识形态，包括政治、法律、道德等思想观点。

”包罗”指广大范围，众多事物，常说包罗万象。

”包含”对象多是抽象事物，如：这句话包含好几层意思。

”包涵”请人原谅，如：请多包涵。

12 [包藏饱藏] “包藏”指包含，隐藏，如”包藏祸心”。

”饱藏”指深深地隐藏着，如”他那双贼圆的眸子里饱藏着杀机”。

13 [包含饱含包涵] 三者都有含有的意思，但含有的浓度或对象不同。

”包含”仅指里边含有，如”这句话包含好几层意思”。

”饱含”指所含的量特别充足，如”饱含着深厚的阶级感情”。

”包涵”指客套话，请人原谅，如”唱得不好，请大家多多包涵”。

14 [保障保证] “保障”指有效地保护人民财产、劳动、科研成果等使人不受侵犯和破坏;”保证”着重于用事实或行动担保做到。

15 [报复抱负包袱] “报复”指对批评自己或损害自己利益的人进行反击，贬义，如”他善于对提意见的人打击报复”。

”抱负”指远大的志向，褒义，如”青年人应该有理想，有抱负”。

”包袱”比喻影响思想或行动的负担，如”思想包袱”。

16 [报到报道] “报到”，动词，指向组织报告自己已经来到，如”新生入学报到处”。

”报道”也写作”报导”，名词，指新闻稿，如”他写了一篇新闻报道”;动词，通过媒体把新闻告诉群众，如”报道消息”。

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17 [暴戾暴力] “暴戾”，形容词，指粗暴乖张，残酷凶恶，如”这个老板真是暴戾，动辄对工人进行打骂”。

”暴力”，名词，①强制的力量，武力，如”暴力革命”;②特指国家的强制力，如”军队对于敌对阶级是一种暴力”。

18 [暴病抱病] 二者都与疾病有关，但词性和词义不同。

”暴病”指突然发作来势很凶的病，名词，如”一场暴病，整得他意志完全消沉了”。

”抱病”指有病在身，动词，如”自此以后，他一直抱病在家，不再露面”。

19 [爆发暴发] “爆发”，①指岩浆突然冲破地壳，向外进出，如”火山爆发”;②指通过外部冲突而发生的质变，如”爆发革命”;
③指力量、情绪等忽然发作，或事变突然发生，如”会场里爆发出雷鸣般的掌声”。

”暴发”，①指突然发作，如”山洪暴发”;②指突然发财得势，多含贬义，如”暴发户”。

20 [奔赴奔向] “奔赴”侧重于”将要走到，跑到，赶到”;”奔向”侧重于”朝某个方向”奔，没有”赶到”之意。

21 [本领本事] “本领”着重于工作的技能，特殊的技巧，”本事”着重于活动的能力，指一般的能力，如：他有本事。

22 [本质实质] “本质”运用范围比”实质”广，”本质”指人或事物本身所固有的根本的属性，它可构成本质特点等词组，”实质”指内在的实际属性，跟表面的或虚假的东西相对，一般指抽象事物，如：精神实质。

23 [崩裂迸裂] 二者都是动词，都有裂开的意思。

”崩裂”指物体猛然分裂成若干部分，如”山石崩裂”。

”进裂”指破裂，裂开而往外飞溅，如”脑浆进裂”。

24 [必须必需] 必须，副词，侧重于”应当怎样”;必需，动词，侧重于”不可或缺”。

25 [变易变异] 二者都与变化有关，但所指的对象不同。

”变易”指改变，变化，如”这里的情况并无多大变易”。

”变异”指同性生物世代之间或同代生物不同个体之间在形态特征、生理特征等方面所表现出来的差异，如”物种变异”。

26 [变换变幻] 二者都是动词，都有变化之意。

”变换”指事物的一定形式或内容换成另一种，多指具体的事物，如”变换一下位置”。

”变幻”指不规则地改变，多指抽象事物，如”世界上的政治风云变幻莫测”。

27 [辨别鉴别] “辨别”侧重于把事物区分开;”鉴别”侧重于审定真伪或好坏。

28 [辩白辩护辩解] “辩白”重在于”白”，说明白事实，一般指在被误会或被指责的情况下进行分辩，使真相大白;”辩护”着重于”护”，用充足的理由为自己或他人申辩;”辩解”着重于”解”，分辩解释，说明见解或言行是正确的或错误不是那么严重。

29 [报怨抱怨]二者都与”怨”有关。

不同点是：”报怨”指报复怨恨，如”这次恶性事件是由肇事者报怨引起的”;”抱怨”指心中不满，数说别人不对，或埋怨，如”这都应怪自己，不能抱怨别人”。

30 [辩别辨别] “辩别”指用言辞来分别，如”辩论会上，他从理论上仔细辩别了这件事的是非曲直”。

”辨别”指根据不同事物的特点，在认识上加以区别，如”
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