—学年贵州省望谟高三数学第一次月考数学试卷924)doc高中数学

2022—2022学年贵州省望谟一中高三数学第一次月考数学试卷
2022-9-24
本试卷总分值150分， 考试时间120分钟.
一.选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，
只有一项为哪一项符合题目要求的．请把答案填在答卷页的表
格内．
1.设0>a ，假设关于x 的不等式 2+ax ≥b x +2的解集为R ，那么b 的取值范围是 （ ）
A.<b 2
B.b ≤2
C. 0<b ≤2
D. 0<<b 2 2.在极坐标系中，直线1cos =θρ与圆θρcos =的位置关系为（ ）
A ．相切
B ．相离
C ．直线过圆心
D ．直线与圆相交但不过圆心 3.现从甲、乙、丙等6名学生中安排4人参加4×100m 接力赛跑。

第一棒只能
从甲、乙两人中安排1人，第四棒只能从甲、丙两人中安排1人，那么不同的安排方案共有（ ）
A ．24种
B ．36种
C ．48种
D ．72种 4、假设函数y =f (x )( x ∈R ) 满足f (x + 2) = f (x )，且x ∈(–1，1]时，f (x ) = | x |，那么log 3|x | –f (x ) =0实根个数为（ ）A ．2 B ．3 C ．4
D ．6
5. 函数y = x 3 与y =2
12x -⎛⎫
⎪
⎝⎭
的图象交点所在区间是（ ） A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（2，3）
D ．（3，4）
6.假设条件1:+x p ≤4,条件65:2+-x x q ≤0，那么 p ⌝ 是 q ⌝ 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
7.假设01
1<<b a ，那么以下结论中，不正确的选项是 （ ）
A ．2b ab <
B ．22b a <
C ．2>+b
a
a b D ．||||||b a b a -=-
8.命题: “ ,R x ∈∀x 2cos ≤x 2cos ”的否认为 ( ) A.,R x ∈∀ x 2cos x 2cos > B.,R x ∈∃ x 2cos x 2cos > C.,R x ∈∀ x 2cos <x 2cos D.,R x ∈∃ x 2cos ≤x 2cos
二.填空题：（只要求写出最后结果，并把结果写在答卷页的相应位置上，每题5分，共35分）
9.函数x x x f 2666)(-+-= 的最大值为
10.假设在n x
x )1
(+
的展开式中，只有第6项的系数最大，那么，n x x )2
(+展
开式中2x 项的
系数为
11.不等式22cos lg(9)cos lg(9)x x x x +-<+-的解集为
12. ⎰=-
2
02)3
2
(dx x x .
13. 假设参数方程⎩
⎨⎧-=+=--θθ
sin )(cos )(t
t t t e e y e e x (其中t 为参数,θ为常数,且θ为锐角)所表示的是离心率
为2的双曲线,那么锐角θ的值为
14.一个几何的三视图如以下图：其中，正视图中△ABC 的边长是2的正三角
形，俯视图为正六边形，那么该几何体几的体积为 .
15.在Rt △ABC 中，CA ⊥CB ，斜边AB 上的高为h 1，那么有:
2
221111CB CA h +=； 类比此性质，在四面体P —ABC 中，假设PA ，PB ，PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，
那么得到的正确结论为: 一. 选择题答案卡:（ 每题5分，共40分．） 1 C 2 A 3 B 4 C 5 B 6 A 7 D 8 B
二、填空题答案卡：（每题5分，共35分．）
9. 4 10. 180 11.
)22,2()2,22(π
π -- ；
12. 34 13. 3π
14. 23 ；
15.2
2221
111PC PB PA h ++=
三、解答题：（本大题共6小题，总分值75分．解容许写出文字说明、证明
过程或演算步骤．）
16.（此题总分值13分）设直线l 的参数方程为⎩
⎨⎧+=+=αα
sin 4cos 3t y t x t (为参数,
α为倾斜角),
圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θ
θ
sin 21cos 21y x （θ为参数）
(1) 假设直线l 经过圆C 的圆心,求直线l 的斜率.
(2) 假设直线l 与圆C 交于两个不同的点,求直线l 的斜率的取值范围.
解：（1）由已知得 直线l 经过的定点是)4,3(P ,而圆C 的圆心是C )1,1(-,
所以,当直线l 经过圆C 的圆心时,直线l 的斜率为 2
5
=k ；
(5分)
（2）方法1. 由圆C 的参数方程 ⎩⎨⎧+-=+=θ
θ
sin 21cos 21y x 得圆C 的圆心是
C )1,1(-，半径为2，
由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=α
α
sin 4cos 3t y t x t (为参数, α为倾斜角),
得直线l 的普通方程为 )3(4-=-x k y ，即 034=-+-k y kx ， 当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半
径，
即 21
252<+-k k ，由此解得 2021>
k .直线l 的斜率的取值范围为),20
21(+∞. 方法2.将圆C 的参数方程为⎩
⎨⎧+-=+=θθ
sin 21cos 21y x 化成普通方程是
4)1()1(22=++-y x ， ① 将直线l 的参数方程代入①式，得 025)sin 5cos 2(22=+++t t αα②当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，方程②
有两个不相等的实根，即0100)sin 5cos 2(42>-+=∆αα, 即
ααα2cos 21cos sin 20>,两边同除以α2cos ,由此解得 20
21
tan >α,即直线l 的
斜率的取值范围为),20
21
(+∞. (8分)
17. （此题总分值13分）今有5封不同的信，投入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的时机均等，设X 是这三个信箱中某个箱子里放入最多的信件数．求X 的分布列和均值EX ． 解：X 的分布列为：
ξ
2
3
4
5
P
223
533
5302!381
C C A =
·
3
33
25
3
5
3
540
381
C A C A +=
4253510
381
C A =· 1
351381
C =
（10分），9
25
8115811048140381302=
⨯+⨯+⨯+⨯
=EX . （3分） 18. （此题总分值13分）设函数)(n f 是),0(+∞上的单调递增函数，当*∈N n 时, )(n f *∈N ,
且对于任意的*∈N n ，都有n n f f 3)]([=.（1）求证：n n f 3)32(1=⋅-（*∈N n ）；
（2）设)3(1n
n f a =（*∈N n ），试证明：24+n n ≤4
1
321<++++n a a a a . 解：（1）①当1=n 时, 3))1((=f f ，假设 1)1(=f ，那么1)1())1((==f f f ，
此与3))1((=f f 矛盾，因此，1)1(>f ，即)1(f ≥2，由函数)(n f 是),0(+∞上的单调递增函数，得))1((f f ≥)2(f
即3≥)2(f ，所以，3≥)2(f )1(f >≥2，又当*∈N n 时,
)(n f *∈N ，因此有
2)1(=f ，3)2(=f ，故当1=n 时，等式成立；
② 假设当k n =时，等式成立,即k k f 3)32(1=⋅-，亦即
)3())32((1k k f f f =⋅-，
那么当1+=k n 时，由已知对于任意的*∈N n ，都有n n f f 3)]([=，
得k k k f f 32323))32((11⋅=⋅⋅=⋅--，即)3(32k k f =⋅，
因而有k k k f f f 33))3(()32(⋅==⋅13+=k ，所以，1+=k n 时，等式也
成立.
综合①②得 等式n n f 3)32(1=⋅-对任意的*∈N n 都成立. （6分）
（2）由（1）得n n f 3)32(1=⋅-，所以)3())32((1n n f f f =⋅-，而
=⋅-))32((1n f f n n 323231⋅=⋅⋅-，因此，)3(n f n 32⋅=，所以，
)3(1n n f a =
n
321
⋅=，应用等比数列求和公式得=⋅++⋅+⋅=
++++n n a a a a 3213213212321 )311(41n -由41)311(41<-n
，得 41321<++++n a a a a ①由 n n
n n n
n n C C C 22)21(310⋅++⋅+=+= ≥
n 21+，得24)1211(41)3
11(41+=+-
>-n n n n ，即 24321+>++++n n
a a a a n ②综合①②，即有24+n n ≤4
1
321<++++n a a a a 成立。

（7分）
19.（此题总分值12分）
已知命题p : []21,2,0x x a ∀∈-≥. 命题q ：x ∃∈R ，使得2
(1)10x a x +-+<.
假设p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．
解：假设p 真，那么2x 的最小值≥a ，即1≥a ； (2分)
假设q 真，那么04)1(2>--=∆a ，即,3>a 或1-<a ； (2分)
假设p 或q 为真，p 且q 为假，那么p 与q 为一真一假。

(2分)
当p 真q 假时，有 -1≤a ≤1； (2分)
当p 假q 真时，有a 3>. (2分)
故当p 或q 为真，p 且q 为假时, -1≤a ≤1 或a 3>. (2分)
20、（本小题总分值12分）如图，ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，
PA=AD =2，∠BAD=60°.
（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求点A 到平面PBD 的距离； （Ⅲ）求二面角A —PB —D 的余弦值. ．解法一：
（Ⅰ）证明：设AC 与BD 交于O ，连结PO ，
,,,ABCD BD AC PA ABCD BD ABCD
PA BD PA AC A
∴⊥⊥⊂⊥⋂=底面是菱形,底面平面又，
PAC BD 平面⊥∴ PBD
BD 平面⊂
PAC PBD 平面平面⊥∴……………………（4分）
（Ⅱ）作,E PO AE 于⊥ PBD
AE PAC PBD 平面平面平面⊥∴⊥
所以AE 为点A 到平面PBD 的距离.…………（6分）
在︒=∠=︒⋅==∆90,330cos 2,2,PAO AO PA PAO 中
7
2127327
22=
=⋅=∴=+=PO AO PA AE AO PA PO ，所以A 点到平面PBD 的距离为
7
21
2…8分 （Ⅲ）作,,EF F PB AF 连结于⊥ PB
AE PBD AE ⊥∴⊥,
平面
EF
PB AEF
PB ⊥⊥∴平 的平面角为二面角D PB A AFE --∠∴…10分
在2,7
21
2,==
∆AF AE AEF Rt 中， 7
7
)742(
1cos 7
42
sin 2=
-=∠==
∠∴AFE AF AE AFE 所以二面角A —PB —D 的余弦值为7
7
…………………12分 解法二：（Ⅰ）设AC 与BD 交于O 点
.
BD AC ⊥∴底面是菱形
以OA 、OB 所在直线分别x 轴，y 轴.
以过O 且垂直平面ABCD 的直线为z 轴，建立 如图的空间直角坐标系，那么
)2,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(P D C B A --
)2,0,0(),0,2,0(==AP DB …………………………2分 DB
AC AP
DB AP DB ⊥⊥∴=⋅又0
PDB DB PAC DB 平面又平面⊂⊥∴,
PAC PBD 平面平面⊥∴……（4分）
（Ⅱ）设平面PDB 的法向量为),,(1111z y x n =，)0,2,0()
2,1,3(==DB DP
由)1,0,332(10
20230011111111-==⎩⎨⎧==++⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n z y z y x DB n DP n 得令得 (6)
分 |
|)0,1,3(11n d PDB A DA ==的距离到平面点=
7
21
2…………8分
（Ⅲ）设平面ABP 的法向量),,(2222z y x n =
)0,1,3(),2,0,0(-==AB AP
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧===
=⎩⎨⎧=+-=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅013310
30200222222222z y x y y x x n AB n AP 得令得由)0,1,33(2=∴n (10)
分
7
7
3
473)
0,1,33)(1,0,332(
|
|||,cos 212121=
⋅-=
>=<∴n n n n n n …………11分
所以二面角A —PB —D 的余弦值为
7
7
…………12分 21. （此题总分值12分）已知对于任意实数,,,321a a a 有以下不等式：
121a ≥21)1(a ； 22
221a a +≥2
21)2(a a +； 3232221a a a ++≥2321
)3
(a a a ++. (1) 请从上述不等式中，归纳出一个对任意)(*∈N n n 个实数,,,321a a a n a , 都
成立的不等式:
(2) 请证明你归纳的不等式是恒成立的。

解：（1）对任意)(*∈N n n 个实数,,,321a a a n a , 都成立的不等式是：
n a a a n 2
2221+++ ≥2
21
)(n
a a a n +++ . (3分)
(2)证法1: (应用柯西不等式) 由柯西不等式 得
))(1111(22322
212222n a a a a ++++++++ ≥2321)1111(n a a a a ⋅++⋅+⋅+⋅ ,
两边同除以2
n ,即得n a a a n 2
2221+++ ≥2
21)(n
a a a n +++ .
(9分)
证法2: (应用数学归纳法)
(1) 当1=n 时, 121a ≥21)1
(a
成立;
(2) 假设当k n =时不等式成立,即有 k
a a a k
2
2221+++ ≥
221)(k
a a a k +++ ,
那么, 当1+=k n 时,
121
22221++++++k a a a a k k 1
12
122221++++++=+k a k a a a k k
1
+=
k k k a a a k 2
2221+++⨯ 121+++k a k ≥1+k k 221)(k a a a k +++ 121+++k a k =)1()(221++++k k a a a k 1
21
+++k a k 。

而
)1()(221++++k k a a a k 121+++k a k 2
121)1
(+++++-+k a a a a k k
2221)1())(1(+++++=k k a a a k k 221)1()1(++++k k a k k k 2
2
1
21)
1()(+++++-+k k a a a a k k k 2
2
121)
1()(+-+++=+k k ka a a a k k ≥0. 故当1+=k n 时,不等式成立.
综合(1)(2)得不等式 n a a a n 2
2221+++ ≥2
21
)(n
a a a n +++ 对任意)(*∈N n n 个
实数,,,321a a a n a , 都成立. (9分)。